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单元检测·28第17单元文学类文本阅读·散文(1)[共40分]一、阅读下面的文章，完成1—4题。
(20分)雨季的头几天叶多多在哈卜玛那个不大不小的寨子里，居住着清一色的拉祜族人。
沿着坡地，一家一所茅草房，参过失落。
衡宇周围，有着不太广漠的红壤，稀稀拉拉种着包谷和荞麦。
红壤缺水缺肥，庄稼活得艰巨，但村民一年的口粮，要紧还得靠这些土地。
没有人会注意到门前的麻栗树已经发出了好看的嫩芽，也没有人会注意到头上的天空是何等的蓝，太阳正隔着树叶透出一束束耀眼的光，那些憋了一个冬季的小飞虫，正无拘无束地享受着春风与阳光。
是的，在哈卜玛，人们很小就学会让自己像树一样深深扎根于土壤，寻觅赖以生存的养分。
靠天用饭的日子不能不让人揪心，种子如期播了下去，心却随着悬了起来，收成太难预料。
但欢乐总仍是需要的。
每当节日，或仅仅是某个想唱歌想跳舞的夜晚，哈卜玛的人们都会把篝火点燃，弹着弦子尽情地唱歌跳舞，所有的躯体围着蓬勃的篝火一遍遍地咏颂、祈祷、诉说。
在哈卜玛，神灵无处不在，它们和所有人的先人连在一路，和庄稼的生长谷物的收成连在一路。
人们已经适应把自己的欲望与妄图、幸福与不幸通通交给各自心中的神祇。
去哈卜玛的路上，不时会遇见几个正在干活或走路的山里人，一两个，三四个，很少会超过五六个的。
他们无一例外地老是一门心思地盯着脚下的土地，不断歇，但也并非着急。
很多人是赤脚的，缺少鞋子或是舍不得穿鞋子。
深山里，江岸边，那些绳索一样的小路，满是这些被太阳晒黑了的脚板踩出来的。
山路的历史太漫长了，往前翻一百年是那个样子，翻一千年仍是那个样子，尔后呢，或许仍是如此。
在一个叫老鹰嘴的垭口上，我不能不歇了下来，以减缓一下难耐的渴与累。
还好，有风吹来了，混合着阳光、尘埃和草根树木的气息。
我的目光跳进了低处几个缓慢移动的黑点，固然仍是那些不知从哪里来又将到哪里去的山里人。
一会儿，黑点移到了我的眼前，是四个年纪相仿的中年妇女，每人背一竹篓，里面有一些根状的植物，其中一名还手拿一棉线团，边走边捻。
一)语文阅读分析常用名词一、表达方式：记叙、描写、抒情、议论、说明二、修辞手法：比喻、拟人、排比、夸张、反复、借代、反问、设问、引用、对比三、说明文分类：1、实物说明文、事理说明文、程序说明文2、科技性说明文、文艺性说明文(也叫科学小品或知识小品)四、说明顺序：1、时间顺序：历史顺序、年代顺序、四季交替顺序、早晚(先后)顺序2、空间顺序：注意表方位的名词3、逻辑顺序：先总后分、由主到次、由表及里、由简到繁、由此及彼、由现象到本质等。
五、说明方法：列数字、作比较、举例子、打比方、分类别等说明方法的作用：打比方：生动形象说明了——————增强了文章的趣味性。
举例子：具体说明_____ 的特点，从而使说明更具体，更有说服力。
作比较:把____ 和 ______相互比较, 突出强调了____ 的_____特点.列数字: 用具体的数据加以说明，使说明更准确更有说服力。
六、记叙的顺序：顺叙、倒叙、插叙(追叙)七、人物描写的方法：1、肖像(外貌)描写、动作描写、神态描写、语言描写、心理活动描写;2、正面描写与侧面烘托八、常见写作方法、表现手法：联想、想像、象征、比较、对比、衬托、烘托、反衬、先抑后扬、以小见大、托物言志、借物喻理、寓理于物、借物喻人、状物抒情、借景抒情、情景交融九、语句在文章篇章结构上的作用：总起全文、引起下文、打下伏笔、作铺垫、承上启下(过渡)、前后照应、首尾呼应、总结全文、点题、推动情节发展十、语句在表情达意方面的作用：渲染气氛、烘托人物形象(或人物感情)、点明中心(揭示主旨)、突出主题(深化中心)(二)典型题实战兵法词曲小知识词牌名(或曲牌名)表示词(或曲)的格律，而题目则限定词(或曲)的内容。
如《补算子.咏梅》，补算子是词牌名，咏梅是题目。
引号的作用：1、表引用(引用人物对话、诗文句等);2、表特定称谓(特殊含义);3、表否定、反语、讽刺等意味;4、表强调。
词语的比较(选词填空)：1、比较词义，尤其是意思相近的词，一定要仔细辨别两个词在程度、适用范围、感情色彩的方面的区别。
2.3 基本不等式1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .简记为：积定和最小． 6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大． 7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab 6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 221.下列说法正确的是( ) A.a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B.函数y ＝x ＋1x的最小值是2C.函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4D.“x>0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充分不必要条件解：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，0<cos x <1，f (x )＝cos x ＋4cos x无最小值；选项D 中，当x y ＋y x ≥2时，需x y>0即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D. 2.(2019·首都师范大学附中模拟)在各项均为正数的等比数列{}a n 中，a 6＝3，则a 4＋a 8 ( )A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3解：因为a 6＝3，所以a 4a 8＝a 26＝9，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝6，当且仅当a 4＝a 8＝3时等号成立．故选A. 3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为 ( ) A.12 B.43C.－1D.0 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0.故选D. 4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1x (x >0)取得最小值． 解：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x (x >0)，即当x ＝12时，等号成立．故填12.5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)， 所以1≥22x ＋y ，所以14≥2x ＋y ，所以2－2≥2x＋y ，所以x ＋y ≤－2. 所以x ＋y 的最大值为－2.故填－2.类型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解法一：因为a >0，b >0，4a ＋b ＝1，所以1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab ≤14，ab ≤116，则ab 的最大值为116.解法二：因为4a ＋b ＝1，所以ab ＝14·4a ·b ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18， b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为116.故填116. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故填1.(3)(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解：因为a ＞0，b ＞0，由2a ＋b ＝ab ⇒2b ＋1a＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2b ＋1a ＝4＋4a b ＋ba≥4＋4＝8.当且仅当4a b ＝ba ，即b ＝2a ＝4时等号成立．另解：因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝2a ＋b ≥22ab ，解得ab ≥8，当且仅当2a ＝b 时等号成立．故填8.点拨 利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．变式1 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a＋b ＝4，则1ab的最小值为 ( )A.2B.12C.4D.14解：因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，所以22ab ≤4⇒0<ab ≤2，所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立)．故选B.(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．因为34∈⎝⎛⎭⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92.故填92. (3)(2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．解：因为曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，所以A (1，1)．将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·m n ＝4，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号．故填4.类型二 利用基本不等式求参数的值或范围例2 (1)(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学期末)若对任意x >0，都有4xx 2＋x ＋1≤a 恒成立，则实数a的取值范围是________．解：因为x >0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以4x x 2＋x ＋1＝41x＋x ＋1≤42＋1＝43，即4x x 2＋x ＋1的最大值为43，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞.故填⎣⎡⎭⎫43，＋∞.(2)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解：因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.故填36.点拨 求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .变式2 (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8解：因为(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋ax y ＋yx ＋a ≥a ＋1＋2a ，当且仅当ax y ＝yx时等号成立．要使原不等式恒成立，则只需a ＋1＋2a ≥9恒成立，所以(a －2)(a ＋4)≥0，解得a ≥4， 所以正实数a 的最小值是4.故选B.(2)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1) 解：由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，所以k ＋1<22，即k <22－1.故选B.类型三 利用基本不等式解决实际问题例3 (2019·上海高三单元测试)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用(单位：元)构成：①固定成本(与生产玩具套数x 无关)，总计一百万元；②生产所需的直接总成本50x ＋1100x 2.(1)该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？(2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q 元，q ＝a ＋xb(a ，b ∈R )．若当产量为15 000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本费用) 解：(1)由题意知，生产成本为p ＝1 000 000＋50x ＋1100x 2，p x ＝x 100＋1 000 000x ＋50≥2x 100·1 000 000x ＋50＝250，当且仅当x 100＝1 000 000x ，即x ＝10 000时，取等号．故该公司生产1万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，此时每套的成本费用为250元．(2)设利润为s ，则s ＝qx －p ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000 000＋50x ＋1100x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －1100x 2＋(a －50)x －1 000 000，根据题意，有1b －1100<0，a ＋15 000b ＝300，且－a －502⎝⎛⎭⎫1b －1100＝15 000，解得a ＝250，b ＝300.点拨 建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．变式3 (1)(2019·阜新市高级中学高一月考)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x 万元．为了使总运费与总库存费用之和最小，则x 的值是________．解：由题意，总的费用y ＝400x×4＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫400x ＋x ≥4×2400x ×x ＝160，当x ＝20时取“＝”.故填20.(2)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m 2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m 宽的绿化，绿化造价为200元/m 2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m 2.设矩形的长为x (m)，总造价为y (元)．(Ⅰ)将y 表示为关于x 的函数； (Ⅱ)当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价． 解：(Ⅰ)由矩形的长为x ，得矩形的宽为200x ， 则中间区域的长为x －4，宽为200x－4，则定义域为(4，50)， 则y ＝100⎣⎡⎦⎤（x －4）⎝⎛⎭⎫200x －4＋200[200－(x －4)⎝⎛⎭⎫200x －4]， 整理得y ＝18 400＋400⎝⎛⎭⎫x ＋200x ，x ∈(4，50)． (Ⅱ)x ＋200x ≥2x ·200x＝202， 当且仅当x ＝200x时取等号，即x ＝102∈(4，50)．所以当x ＝10 2 m 时，总造价最低，且为18 400＋8 0002元．1．基本不等式的变式和推广①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤14(a ＋b )2；④⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33，等等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正、二定、三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决． 5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．1．(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．故选A.2．(2018·北京高三期中)某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (0＜a <b )，其全程的平均速度为v ，则 ( )A.v ＝a ＋b 2 B. v ＝ab C.a < v <ab D.ab < v <a ＋b 2 解：设从甲地到乙地距离为s ，往返的时间分别为t 1＝s a ，t 2＝sb(a <b )，其全程的平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b<ab ，因为0<a <b ，所以1a >1b ，1a ＋1b <2a ，v >22a ＝a ，所以a < v <ab.故选C.3.(2019·河北高三月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1－x )，若对任意的正数a ，b 满足f (a )＋f (3b －1)＝0，则3a ＋1b的最小值为 ( )A.6B.8C.12D.24解：因为x 2＋1－x >x 2－x ≥x －x ＝0，所以定义域为R ，因为f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )，所以f (x )＝－f (－x )，则f (x )为奇函数．又x ＞0时，f (x )＝log 21x 2＋1＋x单调递减，f (0)＝0，f (x )为奇函数，所以f (x )为减函数，因为f (a )＋f (3b －1)＝0，所以f (a )＝－f (3b －1)＝f (1－3b )，则a ＝1－3b ，即a ＋3b ＝1，所以3a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝9b a ＋ab＋6， 因为9b a ＋a b ≥29b a ×a b ＝6，所以3a ＋1b≥12⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝12，b ＝16时，等号成立. 故选C.4．(2019·江苏省如皋中学高一月考)0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是 ( )A.a 1b 1＋a 2b 2B.a 1a 2＋b 1b 2C.a 1b 2＋a 2b 1D.12解：因为0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，所以a 1a 2＋b 1b 2<⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 222＝12，又a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)b 1－(a 1－a 2)b 2＝(a 2－a 1)(b 2－b 1)>0，所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1，而1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1<2(a 1b 1＋a 2b 2)，故a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可得a 1b 1＋a 2b 2最大．故选A.5．(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.[6，＋∞)解：因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab ，即a ＝4，b ＝12时取等号．依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立．又x 2－4x －2＝(x －2)2－6≥－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.故选D.6．(2019·宜春昌黎实验学校高一月考)关于x 的方程9x ＋(a －2)3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是 ( )A.(－2，＋∞)B.(－∞，－4)C.(－∞，－2]D.[－4，＋∞)解：因为9x ＋(a －2)3x ＋4＝0，所以(a －2)3x ＝－(9x ＋4)，所以a －2＝－9x ＋43x ＝－⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ≤－4(当且仅当3x ＝43x ，即x ＝log 32时，等号成立)，故a ≤－2，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．故选C.7．(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为 ( )A.2B.2＋2C.4D.2＋22 解：因为△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，所以12(a ＋b ＋c )×m ＝m ，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为2＋22.故选D.8．【多选题】(2019·海南东方市民族中学高一期中)已知a ，b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是 ( )A.a ＋b ＋1ab ≥3 B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋b D.2ab a ＋b≥ab解：对于A ，a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22<3，当且仅当a ＝b ＝22时取等号； 对于B ，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a＝4，当且仅当a ＝b 时取等号；对于C ，a 2＋b 2ab ≥（a ＋b ）22ab ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号；对于D ，当a ＝12，b ＝13时，2aba ＋b ＝1356＝215， ab ＝16，16>215， 此时2ab a ＋b <ab.当a ＝b ＝1时，22≥1成立．综上知，选项A ，D 中的不等式不一定成立．故选AD.9．(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________．解：因为a 3＝7，a 9＝19， 所以d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， 所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）×9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号．故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.故填3.10．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________． 解：32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，因为x ，y 均为正实数，所以xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故填16.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋25y 的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy.因为2x ＋5y ＝20，所以210xy≤20，xy ≤10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.则当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0，所以1x ＋25y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋25y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫4＋5y x ＋4x 5y ≥120⎝⎛⎭⎫4＋25y x ·4x 5y ＝25，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝4x 5y，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．所以1x ＋25y 的最小值为25.12.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，所以y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8y x＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．13．(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设n 年获取纯利润为y 万元． n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，所以n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －81－n 2n＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)， 所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元， 所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.附加题 (宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模)点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1＋1b的最小值为________．解：曲线C 可整理为：(x －2)2＋y 2＝25， 则曲线C 表示圆心为(2，0)，半径为5的圆， t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，设d ＝（x ＋6）2＋（y －6）2，则d 表示圆C 上的点到(－6，6)的距离，则d max ＝（2＋6）2＋（0－6）2＋5＝15，所以t max ＝152－222－a ＝b ，整理得，a ＋1＋b＝4.所以1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ba ＋1＋a ＋1b ＋1. 又b a ＋1＋a ＋1b ≥2b a ＋1·a ＋1b＝2(当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝1，b ＝2时取等号)．所以1a ＋1＋1b ≥14×4＝1，即1a ＋1＋1b 的最小值为1.故填1.。
2021年高考语文核按钮答案宁海、辽、黑、吉、陕版2021年高考语文核按钮答案宁海、辽、黑、吉、陕版.txt10有了执著，生命旅程上的寂寞可以铺成一片蓝天；有了执著，孤单可以演绎成一排鸿雁；有了执著，欢乐可以绽放成满圆的鲜花。
127到130页板块一文言实词训练 1.D（直：副词，只，只是，不是通假字。
）2.C（危：高。
）3.C（间：从小路。
）4.A（胜：尽。
B.受：①通授，②接受。
C.奉：①承奉，②接受。
D.行：①遵守，②行为。
） 5.D（报：报答。
A.卒：①士兵，②最终。
B.破：①攻克，②残破。
C.举：①尽，②举荐。
） 6.A.其次：古义，它的旁边；今义，居于次一等的。
B.茫然：古义，旷远的样子；今义，完全不知道的样子。
C.众人：古义，一般人，普通人；今义，很多人。
D.从而：古义，是两个词，动词从和连词而，意为跟随而且；今义，合成一个连词，表目的或结果。
7.D（狼狈：形容困苦受窘的样子，古今义相同。
A.非常：古义，意外的变故；今义，异乎寻常的，很。
B.跪：古义，蟹腿；今义，下跪。
C.成立：古义，成人自立；今义，指组织、机构等筹备成功，开始存在。
）8.（1）衰老。
（2）旧。
（3）所以。
（4）旧交。
9.（1）逃亡，逃跑。
（2）失去，丢失。
（3）灭亡。
（4）通无，没有。
10.（1）再拜：拜两次，古代表示隆重的礼节。
（2）东宫：太子所住的地方，代指太子。
（3）管弦：代指音乐。
（4）左迁：降职。
板块二文言虚词训练1.D（而在①③句中表转折关系，②④句中表并列关系。
）2.D（于：用在形容词后面，引进比较的对象。
可译为比。
A.之：①取消句子独立性；②结构助词，的。
B.以：介词，①介词，因为；②连词，表顺承。
C.者：①用在今后面，起补足音节的作用；②用在判断句主语后，起提顿作用，引出判断。
） 3.C〔则：连词，表顺承，就，那么。
A.也：①放在句中表示停顿；②表疑问语气。
B.焉：①兼词，在那里；②代词，他（师）。
2021高考语文核按钮--字形专题语文备课大师 目录式免费主题备课平台！2021高考语文核按钮专题2：识记并正确书写现代常用规范字【考纲解读】考纲内容考纲阐释考点分布识记并正确现代汉字，对古汉语中使用而现代已经消亡的（1）同音字，指字形、字义不同而读音书写现代常用古僻汉字则不会涉及到。
相同的字。
规范字,能力层考查的重点是现代汉语中的2500个常用字和（2）形似字，指形体相似、差别细微的级：A级（识记） 1000个次常用字。
其主要范围是一些同音字、形字。
近字、多音多义字、错别字。
尽量做到识记、熟（3）多义字，指有多种意义，容易混淆背和正确默写。
的字。
（4）易混淆的成语，看起来只是一字之差，但字形不同，意义也不同的字。
有一些成语，它们的字形是约定俗成的，不能随意改动。
【粤题精讲】 1.（2021年高考广东卷）下列词语中没有错别字的一组是 A. 竣工缜密水蒸气寸草春晖漫山遍野 B. 沧桑销蚀势利眼卑恭屈膝瑕不掩瑜 C. 犒赏装帧水龙头纷至沓来民生凋蔽 D. 毕竟旋律侯车室摩拳擦掌天崩地坼名师剖析：考查音同形似字的识别。
B项“卑恭屈膝”应为“躬”；C项“民生凋蔽”应为“敝”；D项“侯车室”应为“候” 。
对于字形相近的同音字，需要根据字义仔细识别，还要仔细辨识字形上的细微区别。
如：凋敝（破败）/遮蔽，等候/侯爵。
）答案：A。
2. （2021广东卷）下列词语中没有错别字的一组是A．坐镇辩证法入不敷出循私舞弊 B．帐篷金刚钻计日程功夸夸其谈 C．翱翔烟幕弹唇枪舌箭前倨后恭 D、沉缅暴发户甘拜下风举棋不定答案：B名师剖析：A、“辩证法”应为“辩证法”，这是形同音同而误。
“辨证”是“辨明是非，改正错误”的意思，“辩”有“辩论”之意。
“循私舞弊”应为“徇私舞弊”，这是音同义近而误。
“徇”是“曲从”之意，“徇私”就是为了私情而做不合法的事。
而“循”是“遵守”、“沿袭”等意思。
C、“唇枪舌箭”应为“唇枪舌剑”，这是音同而误。
第一章 集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算．①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念． (2)了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．§1.1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，______________________.(3)集合常用的表示方法：________和________．(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________；如果a不是集合A 中的元素，就说a________集合A ，记作________．B ) 12n ______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．(1)①A ∩B________A ； ②A ∩B_______B ；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________；(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝___________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠：1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N*(N＋) N Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－1 2n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2013·重庆)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{1，3，4} B．{3，4}C．{3} D．{4}解：∵A∪B＝{1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．故选D.(2014·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0，1] B．(0，1)C．(0，1] D．[0，1)解：由题意得集合N＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1，x∈R}．故选D.设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝( )A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解：∵∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．故选C.(2014·江苏)已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________.解：利用交集的概念知A∩B＝{－1，3}．故填{－1，3}．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.解：∵3∈B，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，a＝1.故填1.类型一集合的概念(2013·河南调考)已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－32.当a＝－1时，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当a＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12满足题意，故a＝－32.点拨：对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．含有3个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a，ba，1，又可表示为{a2，a＋b，0}，则a2015＋b2015＝________.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，ba＝0，∴b＝0，∴a2＝1，a＝±1.当a＝1时，a2＝a＋b＝a＝1，不符合集合中元素的互异性，舍去；当a＝－1时，集合可表示为{－1，0，1}，∴a2015＋b2015＝－1.故填－1.类型二集合间的关系已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．(1)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围；(2)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数m的取值范围；(3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3，4]．点拨：本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．(1)已知集合A ＝{x |x ＞1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：当B ＝∅时，若B ⊆A ，则m ＞m ＋3，不成立；当B ≠∅时，有m ＞1，故m 的取值范围为(1，＋∞)．(2)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D解：∵正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，∴C ⊆B ⊆A ，C ⊆D ⊆A .故选B.类型三 集合的运算设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m ＝________.解：易知A ＝{－1，－2}，B ＝{x |(x ＋1)(x ＋m )＝0}，∵(∁U A )∩B ＝∅，∴B ⊆A .∴m ＝1或2.故填1或2.点拨：本题难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn 图进行直观分析不难找出，如A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，(∁U A )∩B ＝∅⇔B ⊆A 等，在解题中遇到这种情况要善于转化．已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则 (∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}解：A ∪B ＝{0，1，2，3，4，5，6，8}，由集合运算的性质知(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝ {7，9}．故选B.类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M 解：作出Venn 图．当M ∩P ≠∅时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P .当M ∩P ＝∅时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ∉M }＝∅＝M ∩P .故选B .点拨：这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M －P ”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn 图将问题简单化．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2}，N＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <3}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x ≤2}解：图中阴影部分表示集合∁U M 与集合N 的交集，∵∁U M ＝{x |x ≤2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，∴(∁U M )∩N ＝{x |1＜x ≤2}．故选C.类型五 和集合有关的创新试题设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集，下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.点拨：本题具有高等数学背景，这些新的定义是我们平时学习中很难碰到的．对此，我们可以利用特例和熟知的内容进行分析，看结果是否符合题意，从而得出正确的判断．总之，化陌生为熟悉，化非常规为常规是解决这类问题的基本方法．定义A ⊗B ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B ，设A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，则A ⊗B 中所有元素的和为( )A ．1B ．3C ．9D ．18解：当x ＝0，y ＝1或x ＝0，y ＝2时，xy ＋x y＝0；当x ＝2，y ＝1时，xy ＋x y＝4；当x ＝2，y ＝2时，xy ＋x y＝5，∴A ⊗B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B ＝{0，4，5}，0＋4＋5＝9，故选C .1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.1．已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2，3} D ．M ∪N ＝{1，4}解：由已知得M ∩N ＝{2，3}，C 正确，易知A ，B ，D 错误．故选C.2．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1} 解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}， ∴M ∩N ＝{0，1}．故选B.3．已知三个集合U ，A ，B 及元素间的关系如图所示，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{5，6}B ．{3，5，6}C ．{3}D ．{0，4，5，6，7，8} 解：易知U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，5，6}，∴∁U A ＝{0，4，5，6，7，8}．∴(∁U A )∩B ＝{5，6}．故选A.4．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A .()0，1B .(]0，2C .()1，2D .(]1，2解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D.5．(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.故B 中元素个数为5，故选C.6．(2013·上海)设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x－1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解：当a ＞1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1＜a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a ＜1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1≤a ，∴A ∪B ＝R ，故a ＜1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．故选B.7．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解：∵U ＝{1，2，3，…，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴∁U A ＝{4，6，7，9，10}．∴(∁U A )∩B ＝{7，9}．故填{7，9}．8．已知集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x≤1}，则A ∪B ＝________________________.解：∵A ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，B ＝{x |2x≤1}＝(－∞，0]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故填(－∞，1]．9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3} ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值．解：∵6x ＋1≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，6≥x ＋1⇔－1＜x ≤5，∴A ＝{x |－1＜x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}，∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁U B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}可知x ＝4是方程x 2－2x －m ＝0的一个根，∴42－2×4－m ＝0，m ＝8；x ＝－1可能是方程x 2－2x －m ＝0的另一根，∴(－1)2－2×(－1)－m ＝0，m ＝3.当m ＝8时，B ＝{x |－2＜x ＜4}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，符合题意；当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜3}，不合题意．综上知，m ＝8.11．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的值．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． (1)当a ＝0时，B ＝∅，不合要求； 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要使A ⊆B ，只须⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4， 解得43≤a ≤2；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要使A ⊆B ，只须⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，解集为∅.综上知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. (2)若A ∩B ＝∅，则当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，有a ≥4或3a ≤2，∴0<a ≤23或a ≥4；当a ≤0时，显然A ∩B ＝∅.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)．(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然当a ＝3时成立，此时B ＝{x |3<x <9}，而A ∩B ＝{x |3<x <4}， 故所求a 的值为3.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：易知A ＝{0，－4}，若B ⊆A ，则可分以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上所述，a 的取值范围为{}a |a ≤－1或a ＝1.§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p ，则q ”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系(1)四种命题的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p ⇒q ，则称p 是q 的________，q 是p 的_________．(2)如果________，且________，那么称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的__________，记作________．(3)如果p ⇒q ，但q p ，那么称p 是q 的______________条件．(4)如果________，但________，那么称p 是q 的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p 是q 的既不充分也不必要条件．自查自纠：1．(1)判断真假 判断为真 判断为假(2)互逆命题 (3)互否命题 (4)互为逆否命题(5)若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p2．(1)(2)①相同 ②没有关系 3．(1)充分条件 必要条件(2)p ⇒q q ⇒p 充要条件 p ⇔q (3)充分不必要(4)p q q ⇒p (5)p q q p下列语句为命题的是( ) A ．对角线相等的四边形 B ．a ＜5C ．x 2－x ＋1＝0D ．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 解：只有选项D 是可以判断真假的陈述句，故选D.(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a ＝3⇒A ⊆B ，反之，A ⊆B ⇒a ＝2或3.故选A.(2014·上海)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件解：当a ＝5，b ＝0时，满足a ＋b ＞4，但a ＞2且b ＞2不成立，即充分性不成立；若a ＞2且b ＞2，则必有a ＋b ＞4，即必要性成立．因此，“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的必要非充分条件．故选B .已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________________________．解：∵“＝”的否定为“≠”，“≥”的否定为“<”，∴命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．故填若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.设y＝f(x)是定义在R上的函数，则“x≠1”是“f(x)≠f(1)”成立的________条件解：∵y＝f(x)是定义在R上的函数，∴当f(x)≠f(1)时，必然有x≠1；反之，当x≠1时，f(x)＝f(1)也可能成立．∴“x≠1”是“f(x)≠f(1)”成立的必要不充分条件．故填必要不充分．类型一四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB ＞AC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．点拨：写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”．写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零．否命题：若xy≠0，则x，y都不为零．(2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数．类型二充要条件的判定“sinα＝12”是“cos2α＝12”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解法一：(定义法)若sinα＝12，则cos2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫122＝12，充分性成立；反之，若cos2α＝12，则有1－2sin2α＝12，得sin2α＝14，sinα＝±12，必要性不成立．因此，“sinα＝12”是“cos2α＝12”的充分不必要条件．解法二：(集合法)令A＝{α|p(α)}，B＝{α|q(α)}，则可得A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sinα＝12，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|cos2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|1－2sin2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|sinα＝±12.显然，A B，所以p是q的充分不必要条件．故选A.点拨：判断p是q成立的什么条件，通常有三种方法：(1)定义法：根据充分条件与必要条件的定义，判断“若p，则q”与“若q，则p”是否成立，若只有一个成立，则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件，若两个命题同时成立，则p是q的充要条件；(2)集合法：利用集合的观点来判断充要条件的问题，就是把命题p ，q 与集合的特征性质结合起来，即p ，q 是集合A ，B 的特征性质，A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，再由集合A ，B 之间的关系就可以得到命题p ，q 之间的关系．(3)等价法：对于带有否定性的命题，直接判断比较困难，可利用原命题和逆否命题，逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．(1)(2013·福建)设点P (x ，y )，则“x＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：∵点P (2，－1)满足直线l 的方程，∴它在直线l 上．反之，不能推出点P 的坐标必为(2，－1)．故选A.(2)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≥4}，通过画草图可知A B ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断．(3)(2013·山东)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴綈q 是p 的必要而不充分条件，从而得出p 是綈q 的充分而不必要条件，故选A.类型三 充要条件的证明与探求数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)是数列{a n }是等差数列的什么条件？解：当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝2An ＋B －A ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝A ＋B ，适合a n ＝2An ＋B －A .所以a n ＝2An ＋B －A ，显然{a n }是等差数列，故充分性成立．反之，若{a n }是等差数列，则有S n ＝na 1＋n （n －1）2d (d 为公差)，即S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，即得S n ＝An 2＋Bn ，因此，必要性成立．所以S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的充要条件．点拨：在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p ”(或“q ”)分别作为条件，推出“q ”(或“p ”)．求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a－1)x ＋3的图象全在x 轴上方的充要条件．解：使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，Δ＝16（a －1）2－4（a 2＋4a －5）×3＜0， 解得1＜a ＜19.又当a ＝1时，y ＝3也符合条件．所以使函数f (x )的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a ＜19.类型四 充要条件的应用设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，p q .设A ＝{x |p (x )}＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0}＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |q (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧x |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0＝{}x |2＜x ≤3，则B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＞3，得1＜a ≤2. ∴实数a 的取值范围是(1，2]． 点拨：此题和变式4难度都不大，但“拐弯抹角”，易于出错．应注意：①充分运用充要条件的定义；②条理清晰，细心作答；③借助数轴，准确运算．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0} ＝{x |3a <x <a }，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x >2}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件， ∴A B .∴a ≤－4或3a ≥2. 又a <0，∴a 的取值范围是(－∞，－4]．1．命题及判断命题的真假(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反应用互为逆否命题的等价性来判断．3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论．4．充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p⇒q及q⇒p的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若A B，则p是q的充分不必要条件；③若B⊆A，则p是q的必要条件；④若B A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件；⑥若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案．故选B.2．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0 B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0 C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0解：否命题既否定条件又否定结论．故选B.3．(2013·上海)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件解：条件p：货便宜，q：货不好．“便宜没好货”可以表示成“若p，则q”，所以它的逆否命题“若綈q，则綈p”，即“好货不便宜”成立，因此“不便宜”是“好货”的必要条件．故选B.4．(2014·北京)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：令a＝2，b＝－3，则“a>b”推不出“a2>b2”；反之，令a＝－1，b＝0，则“a2>b2”推不出“a>b”．综上知，故选D.5．(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：若存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C，则A∩B ⊆C∩(∁U C)＝∅；反过来，若A∩B＝∅，由Venn图可知，一定存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C.故选C.6．(2013·上海春季高考)已知a，b，c∈R，“b2－4ac<0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴上方”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：当b2－4ac＜0时，若a＜0，则f(x)的图象在x轴的下方，充分性不成立；反之，当f(x)的图象在x轴的上方，则b2－4ac＜0或a＝b＝0，c ＞0，必要性不成立．故选D.7．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________．解：x＝4±16－4n2＝2±4－n，∵x是整数，即2±4－n为整数，∴4－n为整数，且n≤4.又∵n∈N＋，∴可取n＝1，2，3，4，验证可知n＝3，4符合题意；反之，当n＝3，4时，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．故填3或4.8．已知下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的是_________(填写对应序号即可)．解：对于①，“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；对于②，“面积相等的三角形全等”的否命题“面积不等的三角形不全等”为真命题；对于③，“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题的真值即为原命题的真值，当m≤1时，Δ＝4－4m≥0，∴方程x2－2x＋m＝0有实根，原命题为真，故③为真；对于④，“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题的真值即为原命题的真值，由于A∩B＝B⇔B⊆A，原命题为假，故④为假．故填①②③.9．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则x－2＋(y＋1)2＝0；(真)否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y ≠－1；(真)逆否命题：若x≠2或y≠－1，则x－2＋(y ＋1)2≠0.(真)．10．设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜3}，则“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的什么条件？试证明你的结论．解：“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．证明如下：∵M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜3}，∴M∪P＝R，M∩P＝{x|2＜x＜3}．∴(M∩P )(M∪P)．∴“x∈(M∪P)”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．11．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0(a＞0)⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q p，∴{}x|－2≤x≤10{x|1－a≤x≤1＋a}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－a＜－2，1＋a＞10，a＞0解得a＞9.又当a＝9时，也满足条件．因此，所求实数a的取值范围为[9，＋∞)．求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解：(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－12，符合题目要求；(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则由韦达定理得x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a.①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，1a＜0，得a＜0；②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，－2a＜0，1a＞0，得0＜a≤1.综上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．注：特称命题也称存在性命题．命 题 命题的否定 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，p (x 0)命题的否定是________命题．5．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断(真值表) 注：“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q 命题称为简单命题．p q p ∧q p ∨q 綈p 真 真 ① ②③ 真 假④ ⑤ ⑥ 假 真 ⑦ ⑧⑨ 假 假 ○10 ⑪ ⑫自查自纠： 1．逻辑联结词2．全称量词 ∀ 全称命题 3．存在量词 ∃ 特称命题4．∃x 0∈M ，綈p (x 0) ∀x ∈M ，綈p (x ) 特称 全称5．①真 ②真 ③假 ④假 ⑤真 ⑥假 ⑦假⑧真 ⑨真 ○10假 ⑪假 ⑫真(2014·湖南)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．∀x 0∈R ，x 20＋1≤0 解：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃x 0∈R ，x 20＋1≤0”．故选B.下列命题中的假命题．．．是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解：对于B 选项，x ＝1时，(x －1)2＝0 ，故选B.(2014·重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q ) 解：显然p 真，由x ＞2⇒x ＞1，而x ＞1x ＞2，因此“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，q 假，綈q 真，p ∧(綈q )是真命题．故选D .给出下列结论：①命题“若綈p ，则q ”的逆否命题是“若p ，则綈q ”；②命题“∃n ∈N *，n 2＋3n 能被10整除”的否定是“∀n ∈N *，n 2＋3n 不能被10整除”；③命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3＜0”．其中结论正确的是________．解：由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；全称命题的否定是特称命题，故③不正确．综上，只有②正确，故填②.已知p ：x 2－2x －3<0；q ：1x －2<0，若p 且q 为真，则x 的取值范围是________．解：若p 为真，则由x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)<0，得－1<x <3；若q 为真，则由1x －2<0，得x <2.∵p且q 为真， ∴－1<x <2.故填(－1，2)．类型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9或18的约数，是真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数，真命题；非p：3不是9的约数，假命题．(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题；非p：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p或q：π是有理数或无理数，真命题；p且q：π是有理数且是无理数，假命题；非p：π不是有理数，真命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m 的取值范围．解：设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－m2≤－1，解得m≥2，由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p真q假时，⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≤1或m≥3，得m≥3.(2)当p假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⎩⎪⎨⎪⎧m＜2，1＜m＜3，得1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．(1)当m为何值时，p或q为真？(2)当m为何值时，p且q为真？解：若p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝1＞0(x1，x2为方程x2＋mx＋1＝0的两个实根)，解得m＞2；若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q为真，则p，q至少有一个为真．∴若p或q为真时，m的取值范围是(1，＋∞)．(2)若p且q为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m＞2，1＜m＜3，得2＜m＜3.故当m∈(2，3)时，p且q为真．。
一、现代文阅读（共40分）阅读下面的文字，完成下列小题。
（共20分）【甲】李白的《望庐山瀑布》中有“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的名句，描绘了庐山瀑布的壮观景象。
庐山瀑布之所以令人赞叹，不仅因其壮观的自然景观，更因其背后蕴含的丰富文化内涵。
庐山瀑布位于江西省九江市庐山区，是一座典型的喀斯特地貌瀑布。
瀑布高约155米，宽约30米，水流从山涧倾泻而下，气势磅礴。
瀑布周围环境优美，奇峰异石、古树名花遍布，是一处集自然景观和人文景观于一体的旅游胜地。
自古以来，庐山瀑布就吸引了无数文人墨客前来游览。
唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布》中写道：“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川。
飞流直下三千尺，疑是银河落九天。
”这首诗将庐山瀑布的壮美景象描绘得淋漓尽致，展现了诗人对大自然的赞美之情。
庐山瀑布的文化内涵丰富。
首先，它象征着中华民族不屈不挠的精神。
瀑布从高山上奔腾而下，犹如中华民族历经磨难，始终坚韧不拔的精神。
其次，它寓意着人生的奋斗历程。
人生就像瀑布，从高处跌落，经历风雨，最终才能抵达成功的彼岸。
此外，庐山瀑布还与佛教文化有着密切的联系。
佛教认为，水是净化心灵的象征，瀑布流水象征着佛法的传播和智慧的启迪。
【乙】随着时代的发展，庐山瀑布也面临着一些挑战。
首先，环境污染问题日益严重，瀑布周围的山体植被遭到破坏，水土流失严重。
其次，旅游业的发展给瀑布带来了巨大的压力。
游客数量的激增导致景区环境恶化，部分游客的乱扔垃圾、破坏植被等行为更是加剧了这一问题。
为了保护庐山瀑布这一珍贵的自然景观，我国政府采取了一系列措施。
一方面，加大环保力度，加强景区管理，严厉打击破坏环境的行为；另一方面，推广绿色旅游，引导游客文明旅游，提高游客的环保意识。
总之，庐山瀑布是一处集自然景观和人文景观于一体的旅游胜地，它所蕴含的文化内涵值得我们传承和弘扬。
在保护环境、发展旅游的过程中，我们要做到人与自然和谐共生，让庐山瀑布的壮美景象永远流传。
1. 下列对文中观点的概括，不正确的一项是（3分）A. 庐山瀑布的壮观景象令人赞叹，不仅因其自然景观，更因其文化内涵。
9.6 双曲线1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的________等于常数2a (2a______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的一条准线，常数e 叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做 ．“离心率e ＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．y 2x 2自查自纠1．(1)绝对值 ＜ 焦点 焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线 充要 垂直2．(2)x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )(7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(e ＞1) (10)y ＝±ba x1．(2019·浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是 ( )A.22B.1C. 2D.2解：由题意知a ＝b ，则e ＝c a ＝a 2＋a 2a ＝2.故选C. 2．(陕西省汉中市2019－2020学年高三上学期第五次质量检测)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于 ( )A.1B.13C.1或13D.15解：由题意得a ＝3，c ＝5，||PF 1|－|PF 2||＝6，而|PF 1|＝7，解得|PF 2|＝13或1.而|PF 2|≥c －a ＝2，所以|PF 2|＝13.故选B.3．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为 ( )A.324B.322C.2 2D.32解：由a ＝2，b ＝2，得c ＝a 2＋b 2＝6，因为|PO |＝|PF |，所以x P ＝62，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设在渐近线y ＝22x 上，则y P ＝22×62＝32，所以S △PFO ＝12|OF |×|y P |＝12×6×32＝324.故选A. 4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为 ． 解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，c a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.故填x 2－y 23＝1.5．已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m ＝ .解：双曲线方程化为标准方程得x 2－y2－1m＝1，故a ＝1，b ＝－1m ，依题意可知b ＝2a ，即－1m＝2，解得m ＝－14.故填－14.类型一 双曲线的定义及标准方程例1 (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解：因为渐近线y ＝b a x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，解得a ＝2，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.故选A. (2)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为 ． 解：设动圆M 的半径为r ，则|MC |＝2＋r ，|MA |＝r ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故填x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B.根据两圆外切的条件，有|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 故填x 2－y28＝1(x ≤－1)．点拨 ①求双曲线的标准方程一般用待定系数法.②当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算． 变式1 (1)(2019·哈尔滨调研)已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为 ( ) A.y 23－x 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 22＝1 解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，即F (2，0)，所以4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±bax 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2b b 2＋a 2＝2，所以a 2＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.故选D.(2)已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为x 23－y 2＝1，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ． 解：由题意得C 1的焦点为(±2，0)，所以双曲线C 2的焦点为(±2，0)，即c ＝2.而C 1的一条渐近线为y ＝33x ，其斜率k ＝tan α＝33， 即C 1的一条渐近线的倾斜角α＝π6，所以C 2的一条渐近线的倾斜角为2α＝π3，其斜率k ＝tan2α＝3，即C 2的一条渐近线为y ＝3x ＝bax ，即ba＝3.又a 2＋b 2＝c 2＝4，所以a ＝1，b ＝3，所以C 2的方程为x 2－y 23＝1.故填x 2－y 23＝1.(3)已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M ，N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A.x 2－y 210＝1(x ＞0)B.x 2－y 28＝1(x ＞1)C.x 2－y 28＝1(x ＞0)D.x 2－y 210＝1(x ＞1)解：如图所示，设两切线分别与圆相切于点S ，T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2(定值)，且2<[3－(－3)]＝6，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，其中a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．故选B. 类型二 双曲线的离心率 例2 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解：如图，由F 1A →＝AB →，得|F 1A |＝|AB |.又|OF 1|＝|OF 2|， 得OA 是△F 1F 2B 的中位线，即BF 2∥O A.由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，所以OA ⊥F 1A ，所以|OB |＝|OF 1|，∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1，又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝180°，所以∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，又渐近线OB 的斜率为ba＝tan60°＝3，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋（3）2＝2.故填2.(2)(河南郑州2019届高三第三次质检)F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足PF 1→·PF 2→＝－a 2，则双曲线离心率的取值范围为 ( )A.[3，＋∞)B.[2，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：由题意，取点P 为右支上的点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，∠F 1PF 2＝θ，根据双曲线的定义知，m －n ＝2a.在△F 1PF 2中，由余弦定理可得，cos θ＝m 2＋n 2－4c 22mn，①又因为PF 1→·PF 2→＝－a 2，所以mn cos θ＝－a 2，② 由①②得，即m 2＋n 2＝4c 2－2a 2. 又因为m ≥a ＋c ，n ≥c －a ，所以(c ＋a )2＋(c －a )2≤4c 2－2a 2⇒c 2≥2a 2，即e 2≥2，所以e ≥2.故选B.点拨 求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a 及b 或c 的值，由e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次式(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 变式2 (1)(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，以A ，B 为焦点的双曲线经过C ，D 两点，则此双曲线的离心率为 ( )A.3＋52B.3－52C.1＋52D.1＋52解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2c 2－a2＝1(c ＞a ＞0)，由题意双曲线过点(c ，c )，代入得c 2a 2－c 2c 2－a 2＝1⇒e 2－e 2e 2－1＝1，e 2＝3±52，由e ＞1，所以e 2＝3＋52，故e ＝1＋52.另解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意有2b 2a ＝2c ，即b 2＝ac ，即c 2－a 2＝ac ⇒e 2－e－1＝0，解得e ＝1＋52.故选C.(2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则离心率e 的取值范围是 ．解：设直线AF 1的方程为y ＝k (x ＋c )，则由题意可得|k |＜b a ，所以2a ＝|2kc |1＋k 2⇒|k |＝a b ＜ba⇒a ＜b⇒e ＞2.故填(2，＋∞)．类型三 双曲线的渐近线例3 (1)(内蒙古呼伦贝尔2019届高三模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y ＝±3xB.y ＝±2xC.y ＝±xD.y ＝±2x解：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点(c ，0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离为32c ，得bc a 2＋b 2＝32c ，可得b c ＝32，则b a ＝3，则C的渐近线方程为y ＝±3x.故选A.(2)(2019届辽宁沈阳市示范协作校高三一模)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，A (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )A.y ＝±33x B.y ＝±3xC.y ＝±217xD.y ＝±213x解：由题设可知c 2＋4b 2＝2c ⇒4b 2＝3c 2，即b 2＝3a 2⇒ba＝3.故选B.点拨 本例考查双曲线中a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．变式3 (1)(2020·湖北重点高中高三元月联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±xD.y ＝±2x解：如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B.因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b.又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理，得b ＝2a ，所以ba ＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.故选A.(2)(2019·河南适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22x D.y ＝±2x解：不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a.又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c＝32，化简得c 2＝3a 2，所以b 2＝c 2－a 2＝2a 2，则ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.故选D.类型四 直线与双曲线例4 (1)(山西晋城2019届高三三模)设双曲线C ：x 28－y 2m＝1(m ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝ ( )A.8 2B.8C.4 2D.4 解：由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |.由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝82.故选A.(2)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为 ( )A.12B.1C.2D.4 解：：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则OA ⊥OB ，AB 的中点为(x 1＋x 22，x 1－x 22)，又因为AB 的中点在双曲线上，所以(x 1＋x 22)2－(x 1－x 22)2＝2，化简得x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2.故选C.点拨 双曲线高考中小题居多，熟练掌握双曲线的定义、几何性质是解决此类问题的关键，必要时，联立直线与双曲线的方程．变式4 (1)若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．则k 的取值范围是．解：由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0(*) 因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝（2k ）2－4（1－k 2）×（－2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1<k <2. 故k 的取值范围是(1，2)．故填(1，2)． (2)(2018·山西太原五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝ ( )A.13B.12C.23D.1 解：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a.又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．2．在双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”.3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：①掌握方程；②掌握其倾斜角、斜率的求法；③会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程．8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线． 9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点． 10．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．1．(天津市河北区2019届高三一模)在平面直角坐标系中，过点(22，－2)且渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为 ( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1C.x 23－y 26＝1D.y 214－x 27＝1 解：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，所以设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k.又点(22，－2)在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x 2－y 2＝14，所以双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1.故选B. 2．(陕西西北工业大学附中2019届高三考前模拟)已知双曲线C ：y 2m －x 24＝1(m ＞0)的渐近线方程为3x ±y ＝0，则双曲线C 的离心率为 ( )A.32B.233C. 3D.2 解：已知双曲线C 的渐近线方程为3x ±y ＝0，且m ＞0，所以m2＝3，得m ＝12.a ＝23，c ＝m ＋4＝4，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝423＝233.故选B. 3．(陕西汉中2020届高三上五检)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是 ( ) A.－3＜m ＜0 B.－1＜m ＜3 C.－3＜m ＜4 D.－2＜m ＜3 解：方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线⇔(m ＋2)(m －3)＜0⇔－2＜m ＜3，结合选项知，仅B 符合．故选B. 4．(河南2019届高三考前仿真测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，以OF为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同于原点O的A ，B 两点，若四边形AOBF 的面积为12(a 2＋b 2)，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A.y ＝±22x B.y ＝±2x C.y ＝±x D.y ＝±2x 解：根据题意，OA ⊥AF ，双曲线C 的焦点F到C 的一条渐近线y ＝±b a x 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则|AF |＝b ，所以|OA |＝a ，所以ab ＝12(a 2＋b 2)，所以ba ＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x.故选C. 5．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为 ( )A. 2B. 3C.2D.5解：设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ ⊥x 轴，又因为|PQ |＝|OF |＝c ，所以|P A |＝c2，所以P A 为以OF 为直径的圆的半径， 所以|OA |＝|P A |＝c 2，所以P (c 2，c 2)，又P 点在圆x 2＋y 2＝a 2上，所以c 24＋c 24＝a 2，即c 22＝a 2，所以e 2＝c 2a 2＝2，所以e ＝2.故选A. 6．设F 1，F 2分别为离心率e ＝5的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1，F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M ，N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b ＝ ( )A.2B.2 2C.4D.42解：由e ＝5＝c a ，得ba ＝2，故渐近线方程为y＝2x ，以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2y ＝2x，得y ＝±2c5，由双曲线与圆的对称性知四边形MA 2NA 1为平行四边形，不妨设y M ＝2c 5，则四边形MA 2NA 1的面积S ＝2a ×2c 5＝4，得ac ＝5，又c a ＝5，则a ＝1，c ＝5，b ＝2.故选A. 7．(宁夏回族自治区银川市一中2019－2020学年高三12月月考)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是 ( ) A.a n ＝23－n B.a n ＝22nC.a n＝23n －1 D.a n＝2n ＋1解：由题意可得，双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n 的标准方程是y 2a n －x 2a n －1＝1，所以a 2＝a n ，b 2＝a n －1，所以a ＝a n ，b ＝a n －1，因为双曲线的一条渐近线方程是y ＝2x ，所以a n a n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)，所以a na n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }是等比数列，公比是2，因为数列{a n }的首项是4，所以a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.故选D.8．【多选题】已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值可能为 ( )A.1B.2C.4D.5解：不妨设过点F 2(c ，0)与双曲线的一条渐近线平行的直线为y ＝b a (x －c )，与双曲线另一条渐近线y ＝－b a x 的交点为P (c 2，－bc2a)，因为点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外，所以PF 1→·PF 2→＞0，即(－3c 2，bc 2a )·(c 2，bc 2a )＞0，－3c 24＋b 2c24a 2＞0，－3a 2＋b 2＞0，－3a 2＋c 2－a 2＞0，e 2＞4，所以e ＞2.故选CD.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝20x 的焦点重合，且其渐近线方程为y ＝±34x ，则该双曲线的方程为 ．解：因为抛物线y 2＝20x 的焦点为(5，0)，所以双曲线C 的右焦点也为(5，0)，则有c ＝5，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，所以可设其方程为x 216t －y 29t＝1，t ＞0，因为c ＝5，则16t ＋9t＝25，解得t ＝1，则双曲线的方程为x 216－y 29＝1.故填x 216－y 29＝1. 10．(厦门外国语学校2019届高三最后一模)双曲线M 的焦点是F 1，F 2，若双曲线M 上存在点P ，使△PF 1F 2是有一个内角为2π3的等腰三角形，则M 的离心率是 ． 解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为PF 2与F 1F 2或PF 1与F 1F 2，不妨设等腰三角形的腰为PF 2与F 1F 2，且点P 在第一象限，故|PF 2|＝2c ，等腰△PF 1F 2有一内角为2π3，即∠PF 2F 1＝2π3，由余弦定理可得，|PF 1|＝（2c ）2＋（2c ）2－2·2c ·2c ·cos 2π3＝23c ，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c＝2a ，即(3－1)c ＝a ，解得e ＝ca ＝3＋12.故填3＋12.11．已知双曲线Г：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)． (1)若Г的一条渐近线方程为y ＝2x ，求Г的方程；(2)设F 1，F 2是Г的两个焦点，P 为Г上一点，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．解：(1)因为双曲线Г：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b ＝2，因此Г的方程为x 2－y 24＝1. (2)由双曲线定义可得：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 又PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为9，所以|PF 1||PF 2|＝18，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|＝40，即c 2＝10，所以b 2＝10－1＝9，因此b ＝3. 12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程．(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，故双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上， 则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝2c ＝25，所以在△MF 1F 2中，边MF 1最长，由余弦定理可得cos ∠MF 2F 1＝12＋20－482×23×25＜0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2是钝角三角形．13．(2019·河北武邑中学月考)已知∀m ∈R ，直线l ：y ＝x ＋m 与双曲线C ：x 22－y 2b2＝1(b >0)恒有公共点．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P ，Q 两点，并且满足FP →＝15FQ →，求双曲线C的方程．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22－y 2b 2＝1，消去y ，整理得(b 2－2)x 2－4mx －2(m 2＋b 2)＝0.当b 2＝2，m ＝0时，易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线，不满足题意，故b 2≠2，易得e ≠2.当b 2≠2时，由题意知Δ＝16m 2＋8(b 2－2)(m 2＋b 2)≥0，即b 2≥2－m 2，故b 2>2，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2＋b22>2，e >2.综上可知，e 的取值范围为(2，＋∞)． (2)由题意知F (c ，0)，直线l ：y ＝x －c ，与双曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 22－y 2b 2＝1，消去x ，化简得(b 2－2)y 2＋2cb 2y ＋b 2c 2－2b 2＝0，当b 2＝2时，易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，与双曲线C 只有一个交点，不满足题意，故b 2≠2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2cb 2b 2－2，①y 1y 2＝b 2c 2－2b2b 2－2，②因为FP →＝15FQ →，所以y 1＝15y 2，③由①③可得y 1＝－cb 23（b 2－2），y 2＝－5cb 23（b 2－2），代入②整理得5c 2b 2＝9(b 2－2)(c 2－2)，又c 2＝b 2＋2，所以b 2＝7.所以双曲线C 的方程为x 22－y 27＝1. 附加题 (2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为 ( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 解：设双曲线的右焦点坐标为F (c ，0)，则x A＝x B ＝c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1可得y ＝±b 2a ，不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)，双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则d1＝|bc－b2|a2＋b2＝bc－b2c，d2＝|bc＋b2|a2＋b2＝bc＋b2c，则d1＋d2＝2bcc＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，又双曲线的离心率e＝ca ＝1＋b2a2＝1＋9a2＝2，则a2＝3，则双曲线的方程为x23－y29＝1.故选A.。
3.7 函数的图象1．作函数的图象的两种基本方法 (1)利用描点法作图，其一般步骤为： ①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象． (2)图象变换法． 2．图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移a 个单位长度而得到；②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移b 个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”. (2)对称变换①y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于 、 、 对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线 对称．(3)伸缩变换①要得到y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸(A >1时)或缩(A <1时)到原来的______________；②要得到y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的_______________．(4)翻折变换①y ＝|f (x )|的图象作法：作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变； ②y ＝f (|x |)的图象作法：作出y ＝f (x )在y 轴右边的图象，以y 轴为对称轴将其翻折到左边得y ＝f (|x |)在y 轴左边的图象，右边的部分不变．自查自纠2．(1)①y ＝f (x ＋a ) 右 ②y ＝f (x )＋b 下 (2)①y 轴 x 轴 原点 ②x ＝m(3)①A 倍 ②1a倍1．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是 ( )A BC D 解：因为log a 2<0，所以0<a <1，由f (x )＝log a (x ＋1)的单调性可知A ，D 错误，再由定义域知B 选项正确．故选B.2．函数y ＝1－1x －1的图象是 ( )A BC D解：将y ＝－1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象，选项B 符合题意．故选B. 3.(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A BC D解：函数是奇函数，排除A ，又f (π)＞0，排除B ，C.故选D.4．已知函数f (x )的部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1，2)，则实数t 的值为________．解：由图象可知x ＋t 的范围是(0，3)，即不等式的解集为(－t ，3－t )，依题意可得t ＝1.故填1.5．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________． 解：作出f (x )的图象如图，当x >4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知1<a <2<b <4<c <9，由f (a )＝f (b )， 得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ， 因为4<c <9，所以16<4c <36，即16<abc <36，所以abc 的取值范围是(16，36)．故填(16，36)．类型一 作图例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．① ② (2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②. (3)因为y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.③ ④ (4)y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.其图象如图④.点拨 画函数图象的一般方法：①直接法，当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出；②图象变换法，若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．变式1 作出下列函数的图象：(1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 解：(1)先画出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图①.(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2－1x ＋1，可由y ＝－1x 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②.(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0＜x ＜1如图③所示．① ② ③类型二 识图例2 (1)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数是 ( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝－|f (x )|C.y ＝－f (－|x |)D.y ＝f (－|x |) 解：图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象．故选C. (2)(2018·浙江)函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( )A BC D解：函数y ＝2|x |sin2x 是奇函数，故排除A ，B选项．不论x 取何值，2|x |始终大于0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0，故y ＝2|x |sin2x >0，图象在x 轴的上方；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin2x <0，故y ＝2|x |sin2x <0，图象在x 轴的下方，选项D 符合．故选D. (3)(2018·蚌埠二模)函数y ＝x 33x 4－1的图象大致是( )A BC D解：由题意，函数在(－∞，－1)，(0，1)上的函数值为负，在(－1，0)，(1，＋∞)上的函数值为正，仅选项A 符合．故选A. 点拨 抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；②从函数的单调性判断图象的变化趋势；③从周期性判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性判断图象的对称性．抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题．变式2 (1)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数可能为( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝|f (x )|C.y ＝f (－|x |)D.y ＝－f (|x |)解：y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ≥0，f （x ），x ＜0.故选C.(2)(2019·黑龙江大庆实验中学高考模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式可能是 ( )A.f (x )＝(4x ＋4－x )|x |B.f (x )＝(4x －4－x )log 2|x | C.f (x )＝(4x ＋4－x )log 2|x |D.f (x )＝(4x ＋4－x )log 12|x |解：由图可知，函数f (x )是偶函数，且f (1)＝0， f (x )＝(4x ＋4－x )|x |是偶函数，但是f (1)≠0，不满足题意； f (x )＝(4x －4－x )log 2|x |是奇函数，不满足题意；f (x )＝(4x ＋4－x )log 2|x |是偶函数，f (1)＝0满足题意；f (x )＝(4x ＋4－x )log 12|x |是偶函数，f (1)＝0，但x ∈(0，1)时，f (x )＞0，不满足题意．故选C.(3)(2019·江西名校联考)函数f (x )＝x 2＋ln(e －x )·ln(e ＋x )的大致图象为 ( )A BC D 解：因为函数f (x )的定义域为(－e ，e)，且f (－x )＝x 2＋ln(e ＋x )·ln(e －x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除C ；因为x →e 时，f (x )→－∞，所以排除B ，D.故选A.类型三 用图例3 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________． 解：由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1， 作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点． 因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．故填5.(2)(2018·衡水中学6月训练)已知实数a ，b ，c ，2a ＝－log 2a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝－log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝c －23，则( ) A.b >c >a B.c >b >aC.b >a >cD.c >a >b解：由题意可知，a 是函数y ＝2x 与y ＝log 12x的交点的横坐标，b 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝log 2x 的交点的横坐标．c 是y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝x －23的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y ＝2x ，y ＝log 12x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝x －23的图象，结合图象，得b >a >c.故选C. (3)(2019·衡阳市高三第一次联考)若函数f (x )的图象上存在两个不同点A ，B 关于原点对称，则称A ，B 两点为一对“优美点”，记作(A ，B )，规定(A ，B )和(B ，A )是同一对“优美点”.已知f (x )＝⎩⎨⎧|cos x |，x ≥0，－lg （－x ），x ＜0，则函数f (x )的图象上共存在“优美点” ( )A.14对B.3对C.5对D.7对解：与y ＝－lg(－x )的图象关于原点对称的函数是y ＝lg x ，函数f (x )的图象上的优美点的对数，即方程|cos x |＝lg x (x >0)的解的个数，也是函数y ＝|cos x |与y ＝lg x 的图象的交点个数，在同一直角坐标系中分别作函数y ＝|cos x |与y ＝lg x 的图象，如图．f (3π)＝1，f (－10)＝－1，而9＜3π＜10，故由图可知，共有7个交点，函数f (x )的图象上存在“优美点”共有7对．故选D.点拨 函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透．变式3 (1)(2018·深圳质检)设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是________．(填写所有正确命题的编号)解：y ＝2x －1x －2＝2（x －2）＋3x －2＝2＋3x －2，图象如图所示，x ＝2及y ＝2是其渐近线，则①不正确，②正确．y ＝2＋3x －2由y ＝3x 向右、向上平移2个单位得到，由y ＝3x关于y ＝x 对称知③正确，④不正确．故仅②③正确．故填②③.(2)(2018·安徽江淮十校4月联考Ｋ)若直角坐标系内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数f (x )的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“和谐点对”有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解：作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，观察它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，由图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．故选B . (3)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2－x )＝4－f (x ＋4)，若函数y ＝2x ＋2x －3与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝ ( )A.3mB.5mC.6mD.10m 解：因为f (2－x )＝4－f (x ＋4)， 即f (2－x )＋f (x ＋4)＝4，令t ＝2－x ，x ＝2－t ，则有f (t )＋f (6－t )＝4(利用“若函数f (x )满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则函数f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称图形”)，所以f (x )的图象关于点(3，2)对称．因为y ＝2x ＋2x －3＝2（x －3）＋8x －3＝2＋8x －3也关于点(3，2)对称，所以x 1＋x 2＋x 3＋…＋x m ＝m2×6＝3m ，y 1＋y 2＋y 3＋…＋y m ＝m2×4＝2m ，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋y3＋…＋y m ＝5m.故选B.1．涉及函数图象问题的主要考查形式 (1)知图选(求)式． (2)知式选(作)图． (3)图象变换． (4)图式结合等． 对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”.2．识图与用图(1)识图：对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面，研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．(2)用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期；⑫求参数范围等．3．图象对称性的证明(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．1．(2019·河北衡水二中月考)若函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则()A.a>1，b>1B.a>1，0<b<1C.0<a<1，b>1D.0<a<1，0<b<1解：由图象从左向右下降，知0<a<1.又y＝f(x)与y轴的交点为(0，1－b)，所以0<1－b<1，则0<b<1.故选D.2．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6，6]的图象大致为()A BC D解：设y＝f(x)＝2x32x＋2－x，则f(－x)＝2（－x）32－x＋2x＝－2x32x＋2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C.又f(4)＝2×4324＋2－4>0，排除选项D；f(6)＝2×6326＋2－6≈7，排除选项A.故选B.3．(2019·陕西咸阳一中期中)函数f(x)＝2|x|－x2的图象大致为()A BC D解：由题意知，当x＞0时，f′(x)＝2x ln2－2x，当x→0时，2x→1，2x→0，f′(x)＞0，说明函数f(x)的图象在y轴右侧开始时是递增的，故排除选项A，B，D.故选C.4．(2018·甘肃省庆阳市月考)已知函数f(x)＝x a，g(x)＝a x，h(x)＝log a x(其中a>0，a≠1)，在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是()A BC D解：对于A ，其中指数函数的底数大于1，而幂函数的指数小于0，故A 不对；对于B ，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也大于1，故B对；对于C ，其中指数函数的底数大于1，而对数函数的底数小于1，故C 不对；对于D ，其中幂函数的指数大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．综上，B 正确．故选B.5.(2019·山东青岛二中期末)已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是 ( )y ＝f (x －1)的图象 y ＝f (－x )的图象 A By ＝|f (x )|的图象 y ＝f (|x |)的图象 C D解：在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，因此C正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.6．(2019·湖北武汉模拟)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2.规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )．则h (x ) ( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解：如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的大致图象，两图象相交于A ，B 两点．在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象为图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．故选C.7．(安徽省六校2020届高三上第一次素质测试)某罐头加工厂库存杧果m kg ，今年又购进n kg 新杧果后，欲将杧果总量的三分之一用于加工为杧果罐头．被加工为罐头的新杧果最多为f 1kg ，最少为f 2kg ，则下列图象中最能准确描述f 1，f 2分别与n 的关系的是 ( )A BC D解：要使得被加工为罐头的新芒果最少，则尽量使用库存杧果，当m ＋n3≤m ，即n ≤2m 时，f 2＝0， 当m ＋n 3＞m ，即n ＞2m 时，f 2＝n ＋m3－m ＝n －2m 3，对照图象舍去B ，D ； 要使得被加工为罐头的新杧果最多，则尽量使用新杧果，即当m ＋n 3≤n ，即n ≥m 2时，f 1＝m ＋n 3，当m ＋n 3＞n ，即n ＜m 2时，f 1＝n ，因为m 2＜2m ，由A ，C 选项知，C正确．故选C.8．【多选题】(山东潍坊2020届高三期中)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x <0，f （x －2），x ≥0，以下结论正确的是( ) A.f (－3)＋f (2 019)＝－3B.f (x )在区间[4，5]上是增函数C.若方程f (x )＝kx ＋1恰有3个实根，则k ∈⎝⎛⎭⎫－12，－14 D.若函数y ＝f (x )－b 在(－∞，4)上有6个零点x i (i ＝1，2，3，4，5，6)，则∑i ＝16x i f (x i )的取值范围是(0，6)解：函数f (x )的图象如图所示，对于A ，f (－3)＝－9＋6＝－3，f (2 019)＝f (1)＝f (－1)＝1，所以f (－3)＋f (2 019)＝－2，故A 错误；对于B ，由图象可知f (x )在区间[]4，5上是增函数，故B 正确；对于C ，由图象可知k ∈⎝⎛⎭⎫－12，－14时，直线y ＝kx ＋1与函数图象恰有3个交点，故C 正确； 对于D ，由图象可得，当函数y ＝f (x )－b 在 (－∞，4)上有6个零点x i (i ＝1，2，3，4，5，6)，则0<b <1，又f (x i )＝b ，故错误!i ＝b (－2＋2＋6)＝6b ∈(0，6)，故D 正确．故选BCD.9．(2019·吉林省实验中学模拟)函数f (x )＝x ＋1x的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________.解：因为f (x )＝x ＋1x ＝1x ＋1，所以f (x )的图象关于点(0，1)对称，而直线y ＝kx ＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0，1)对称，所以y 1＋y 22＝1，即y 1＋y 2＝2.故填2.10．(2019·福建双十中学模拟)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解：画出f (x )的大致图象如图所示． 不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f （x ）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．故填{x |x ≤0或1<x ≤2}．11．(湖北鄂南高中2020届高三上10月月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin π2x ，－2≤x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)写出实数k 的取值范围；(3)求x 1＋x 2＋x 3＋x 4的取值范围． 解：(1)f (x )的函数图象如图所示．(2)由图及题意知0＜k ＜1.故实数k 的取值范围是(0，1)．(3)设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2＝－2，且1e ＜x 3＜1＜x 4＜e ，因为－ln x 3＝ln x 4，所以ln(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－2＋x 3＋x 4＝x 3＋1x 3－2，设g (x )＝x ＋1x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，则g ′(x )＝1－1x 2＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，所以0＜g (x )＜e ＋1e－2， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，e ＋1e －2.12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2.因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2f （x －2），x ∈（0，＋∞）.(1)求函数f (x )在[－2，4]上的解析式；(2)若方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，求实数a 的取值范围．解：(1)当－2≤x ≤4时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2－2|x －1|，x ∈（0，2），4－4|x －3|，x ∈[2，4].(2)作出函数f (x )在区间[－2，4]上的图象如图．设y ＝x ＋a ，方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 在区间[－2，4]上有3个交点．由图象易知，实数a 的取值范围是－2<a <0或a ＝1，即{a |－2<a <0或a ＝1}．附加题 (山东省德州市2020届高三上期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈（0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈（2，4]，min{|x －3|，|x －5|}，x ∈（4，＋∞），其中min{a ，b }表示a ，b 中较小的数．(1)若f (x )＝a 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________；(2)若关于x 的方程f (x －T )＝f (x )(T ＞0)有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是________．解：(1)函数式化简后为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈（0，2]，|x －3|，x ∈（2，4]，|x －5|，x ∈（4，＋∞），作出函数图象，如图，f (x )在(0，1]，[2，3]，[4，5]上都是单调递减的，在[1，2]，[3，4]，[5，＋∞)上都是单调递增的，f (2)＝f (4)＝f (6)＝1，因此当a ＞1时，函数f (x )的图象与直线y ＝a 有且只有一个交点，所以f (x )＝a 有且只有一个实根．(2)如图，把f (x )的图象向右平移，只有当a 段与d 段有一个交点，b 与e ，c 与f 各有一个交点，才能满足题意，这样有2＜T ＜4.故填(1，＋∞)；(2，4)．11。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，字形、字音完全正确的一项是（）A. 沉湎（miǎn）蜿蜒（wān yán）谦逊（qiān xùn）B. 峰回路转（fēng huí huí zhuǎn）欣欣向荣（xīn xīn xiāng róng）纵横交错（zòng héng jiāo cuò）C. 风华绝代（fēng huá jué dài）妙笔生花（miào bǐ shēng huā）雕梁画栋（diāo liáng huà dòng）D. 鹿死谁手（lù sǐ shuí shǒu）倾国倾城（qīng guó qīng chéng）纷至沓来（fēn zhì tà lái）2. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 随着科技的进步，我国在人工智能领域的研究取得了举世瞩目的成就。
B. 他的演讲既有深度，又有广度，赢得了与会者的热烈掌声。
C. 虽然他身体不好，但他仍然坚持每天锻炼，为班级的体育活动做出了贡献。
D. 随着经济的发展，我国人民的生活水平不断提高，但环境污染问题日益严重。
3. 下列各句中，加点词解释有误的一项是（）A. “众女嫉余之蛾眉兮，谣诼谓余以善淫。
”（蛾眉：美丽的眉毛）B. “何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时。
”（巴山：巴蜀山区）C. “山不在高，有仙则名；水不在深，有龙则灵。
”（仙：仙人）D. “黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还。
”（楼兰：古国名）4. 下列各句中，加点词用法相同的一项是（）A. “青青子衿，悠悠我心。
”（青：形容词用作动词）B. “青青园中葵，朝露待日晞。
”（青：形容词用作名词）C. “青青子衿，悠悠我心。
”（青：形容词用作名词）D. “青青园中葵，朝露待日晞。
3.6 对数与对数函数1．对数 (1)对数：如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x叫做以a 为底N 的 ，记作x ＝ .其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ．(2)两类重要的对数①常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作 ；②自然对数：以 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作 ． 注：(i)无理数e ＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数； (iii)log a 1＝ ，log a a ＝ . (3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N x ＝log a N. (4)对数运算的性质 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (MN )＝ ； ②log a M N ＝ ； ③log a M n＝ ； 一般地，log a m M n ＝ .(5)换底公式及对数恒等式①对数恒等式：a log a N ＝ ； ②换底公式：log a b ＝ (a ＞0且a ≠1；c ＞0且c ≠1；b ＞0)．特别地，log a b ＝ .a ＞10＜a ＜1____________对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与指数函数y＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．自查自纠1．(1)对数 log a N 底数 真数(2)①10 lg N ②e ln N (iii )0 1(3)⇔(4)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M n m log aM (5)①N ②log c b log c a 1log b a2．(0，＋∞) R (1，0) 增函数 减函数 3．y ＝x1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10 B.10 C.20 D.100解：由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，解得m ＝10.故选A. 2．(2019·天津卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b 解：因为a ＝log 52<log 55＝12，b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即12<c <1，所以a <c <b.故选A. 3．(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1解：－1.45－(－26.7)＝25.25，25.25×25＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.解：由题意得f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，所以f (a )＋f (－a )＝2，f (－a )＝－2.故填－2.5.(2018·禅城月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是________．解：画出y ＝|lg x |的图象如图．因为0<a <b ，且f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |且0<a <1，b >1，所以－lg a ＝lg b ，所以ab ＝1，所以2a ＋b ≥22ab ＝22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b ，ab ＝1，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故填[22，＋∞)．类型一 对数的化简与求值例1 (1)求值：lg8＋lg125－lg2－lg5lg 10lg0.1＝________.解：lg8＋lg125－lg2－lg5lg 10lg0.1＝lg1000－lg1012lg10×（－lg10）＝－4.故填－4.(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg ()2x －3y ，则log 32xy ＝________．解：因为lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，所以⎩⎨⎧x >0，y >0，2x －3y >0，xy ＝（2x －3y ）2，所以x y ＝94或xy ＝1(舍去)，log 32x y ＝log 3294＝2.故填2.(3)若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________，用m ，n 表示log 46为________．解：因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以a m＝2，an＝3，a 2m ＋n ＝(a m )2×a n ＝22×3＝12，log 46＝log a 6log a 4＝log a 2＋log a 32log a 2＝m ＋n 2m .故填12；m ＋n2m.点拨 对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．变式1 (1)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2的值为________．解：原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋lg2)＋lg 22＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg2＋lg5)＝2＋lg5＋lg2＝3.故填3.(2)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.解：设log b a ＝t ，则t ＞1，由1t ＋t ＝52⇒t ＝2⇒a ＝b 2，由a b ＝b a ⇒b 2b ＝bb 2⇒2b ＝b 2⇒b ＝2，a ＝4.故填4；2. (3)(山东滨州2019届高三二模)若函数f (x )＝x 2－(a －2)x ＋1(x ∈R )为偶函数，则log a 27＋log 1a87＝________.解：函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，即x 2－(a －2)x ＋1＝x 2＋(a －2)x ＋1恒成立，所以a －2＝0，a ＝2.则log a 27＋log 1a 87＝log 227＋log 278＝log 2⎝⎛⎭⎫27×78＝log 214＝－2.故填－2. 类型二 对数函数的图象及应用例2 (1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是 ( )A BC D解：由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.故选B.(2)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为 ( )A.2 2B.4C.52D.92解：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n的最小值为92.故选D.(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解：如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x只有一个交点．故填(1，＋∞)．点拨 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．变式2 (1)(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋12)(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是 ( )A BC D解：y ＝1a x ＝(1a)x ，选项A，B ，D 所示为该函数在1a ＞1，即0＜a ＜1的图象，此时y ＝log a (x ＋12)单调递减，且是将y ＝log a x 的图象向左平移12个单位得到的，仅选项D 符合．选项C 所示为0＜1a＜1，即a ＞1的情形，但y ＝log a (x ＋12)的图象应是将y ＝log a x 的图象向左平移得到，所以错误．故选D.(2)已知0＜m 1＜2＜m 2，a ＞0，且a ≠1，若log a m 1＝m 1－1，log a m 2＝m 2－1，则实数a 的取值范围是( ) A.(2，3) B.(0，1) C.(1，2) D.(3，4)解：依题意，知方程式log a x ＝x －1有两个不等实根m 1，m 2，在同一直角坐标系下，作出函数y ＝log a x 与y ＝x －1的图象，显然a ＞1，由图可知m 1＝1，要使m 2＞2，需满足log a 2＞2－1，即a ＜2.综上知：实数a 的取值范围是1＜a ＜2.故选C.(3)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1 C .(1，2) D.(2，2)解：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时4x >0，log a x <0⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.故选B.类型三 对数函数的性质及应用 例3 (1)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝ ⎝⎛⎭⎫12－0.52，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜c ＜a C.c ＜b ＜a D.b ＜a ＜c解：a ＝log 25＞2，b ＝log 5(log 25)∈(0，1)，c ＝⎝⎛⎭⎫12－0.52∈(1，2)，可得b ＜c ＜a.故选B.(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是 ( )A.(0，1)B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞) 解：由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.故选C. (3)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解：f (x )＝12log 2x ·[2(log 2x ＋1)]＝(log 2x )2＋log 2x＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14(x >0)，所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.故填－14.点拨 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正．变式3 (1)(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则 ( )A.a ＋b <ab <0B.ab <a ＋b <0C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b解：因为a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，所以1a＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，1a ＋1b ＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1b <1，即0<a ＋bab <1.又因为a >0，b <0，所以ab <0，即ab <a ＋b <0.故选B.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是 ( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0，1)解：由题意可得⎩⎨⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C.(3)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则 ( ) A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c解：因为a ＞0，所以2a ＞1，所以log 12a ＞1，所以0＜a ＜12.又因为b ＞0，所以0＜⎝⎛⎭⎫12b＜1，所以0＜log 12b ＜1，所以12＜b ＜1.又因为⎝⎛⎭⎫12c ＞0，所以log 2c ＞0，所以c ＞1，所以0＜a ＜12＜b ＜1＜c.故选A.类型四 对数函数的综合问题例4 已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围；(4)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值．解：(1)由f (x )的定义域为R ， 知x 2－2ax ＋3＞0的解集为R ， 则Δ＝4a 2－12＜0，解得－3＜a ＜3. 所以a 的取值范围为(－3，3)．(2)函数f (x )的值域为R 等价于u ＝x 2－2ax ＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要u min ＝3－a 2≤0⇒a ≤－3或a ≥3.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(3)由f (x )在[－1，＋∞)内有意义，知u (x )＝x 2－2ax ＋3＞0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，因为y ＝u (x )图象的对称轴为x ＝a ， 所以当a ＜－1时，u (x )min ＝u (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，2a ＋4＞0，解得－2＜a ＜－1； 当a ≥－1时，u (x )min ＝u (a )＝3－a 2＞0，即－3＜a ＜3，所以－1≤a ＜3.综上可知，a 的取值范围为(－2，3)．(4)因为y ＝f (x )≤－1，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3的值域为[2，＋∞)，又u (x )＝(x －a )2＋3－a 2≥3－a 2， 则有u (x )min ＝3－a 2＝2，解得a ＝±1.点拨 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、化归与转化思想的使用．变式4 (1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________．解：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2)．故填[1，2)． (2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －3，x ≤2，log a x ，x ＞2(a >0且a ≠1)的值域是[2，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：当x ≤2时，f (x )≥⎝⎛⎭⎫122－3＝2，即函数的值域为[2，＋∞)；当x >2且a >1时，f (x )>log a 2，即函数的值域为(log a 2，＋∞)，由(log a 2，＋∞)⊆[2，＋∞)，得log a 2≥2，解得1<a ≤2；当x >2且0<a <1时，f (x )<log a 2，与题设不符．所以实数a 的取值范围是(1，2]．故填(1，2]．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．解：对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ，由y ＝f (x )的图象(如图)可知，当x ＝12时，f (x )取最大值，且f (x )max ＝14；因为g (x )＝|x －k |＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|，所以g (x )min ＝|k －1|，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.故填⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞. 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0且a ≠1)． (1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)设t (x )＝3－ax ，则t (x )是关于x 的一次函数，从而⎩⎪⎨⎪⎧t （0）＞0，t （2）＞0，所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0，所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数，所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.点拨 ①确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行．②如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．③在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．④在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 变式5 (2018·安徽蚌埠月考)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝m 有解，求实数m 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ，即log 44x ＋14－x ＋1＝－4kx ，所以log 44x ＝－4kx ，所以x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－14.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44x ＋12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ，因为2x ＋12x ≥2，当且仅当x ＝0时等号成立，所以m ≥log 42＝12.故要使方程f (x )＝m 有解，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.1．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径． 2．比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论． (2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．3．作对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应抓住三个点⎝⎛⎭⎫1a ，－1，(1，0)，(a ，1)．1．设a ＝0.36，b ＝log 36，c ＝log 510，则 ( )A.c >b >aB.a >c >bC.b >c >aD.a >b >c解：由a ＝0.36<1，b ＝lg6lg3＝1＋lg2lg3，c ＝1＋lg2lg5，又lg5>lg3>lg2，则0<lg2lg5<lg2lg3，则b >c >1.故b >c >a.故选C.2．(2018·湖北八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－2，x ≤1，log 2（x －1），x ＞1，则不等式f (x )<2的解集为 ( ) A.(－∞，1] B.(－∞，5) C.(1，5) D.[1，5) 解：当x ≤1时，f (x )<2等价于2x －2<2，即2x <4＝22，所以x <2，故x ≤1；当x >1时，f (x )<2等价于log 2(x －1)<2，即x －1<22＝4，所以x <5，故1<x <5.综上可得，不等式f (x )<2的解集为(－∞，5)．故选B.3．已知函数f (x )＝log 2x －2log 2(x ＋c )，其中c＞0.若对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1，则c 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎤0，14B.⎣⎡⎭⎫18，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤0，18 D.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解：f (x )＝log 2x （x ＋c ）2≤1，x（x ＋c ）2≤2，2x 2＋(4c －1)x ＋2c 2≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则－4c －14≤0或(4c －1)2－16c 2≤0，解得c ≥18.故选B. 4．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)的值为 ( ) A.1 B.45 C.－1 D.－45 解：由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－1.故选C. 5.(河南郏县一中2019－2020学年高一上期中)2019年7月15日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救性发掘工作结束，共发现古墓539座，已发掘墓葬93座，该墓地是一处大型古墓群，在已发掘的93座墓葬中，有战国时期墓葬32座、两汉时期墓葬56座、唐墓2座、宋墓3座．生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.检测一殉葬动物尸体出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断为该墓葬属于( )时期(参考数据：log 20.79≈－0.34) 参考时间轴：A.战国B.两汉C.唐朝D.宋朝 解：生物体内碳14的含量P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P ＝⎝⎛⎭⎫12t5 730(t ＞0)，P ＝⎝⎛⎭⎫12t5 730＝0.79，所以t 5 730＝log 120.79，所以t ＝5 730×log 120.79＝－5 730×log 20.79≈1948， 2 019－1 948＝71，对应朝代为汉．故选B.6．(2020届山东新高考模拟)若a >b >c >1，且ac <b 2，则 ( )A.log a b >log b c >log c aB.log c b >log b a >log a cC.log b c >log a b >log c aD.log b a >log c b >log a c 解法一：因为a >b >c >1，所以log a b <log a a ＝1，log c a >log c c ＝1，所以log a b <log c a ，可排除A ，C 选项．因为a >b >c >1，且ac <b 2，所以1＜a b <bc，又因为c <b ，所以log c b c >log b b c >log b ab ，得logc b >log b a >1，而log a c <1.故log c b ＞log b a ＞log a c.解法二：可以代入特殊值进行检验，令a ＝4，b ＝3，c ＝2，可排除A ，C ，再令a ＝6，b ＝4，c ＝2，可以排除D.故选B.7．(甘肃省天水一中2020届高三一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈ [－1，0]时，f (x )＝x 2，函数g (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g (x )＝lg x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是 ( )A.9B.10C.11D.12 解：由于f (x －1)＝f (x ＋1)，所以，函数y ＝f (x )的周期为2，且函数y ＝f (x )为偶函数，由h (x )＝0，得出f (x )＝g (x )，问题转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )图象的交点个数，作出函数y＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知，0≤f (x )≤1，当x >10时，g (x )＝lg x >1， 则函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在(10，＋∞)上没有交点，又g (0)＝0，结合图象可知，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )图象共有11个交点．故选C. 8．【多选题】已知函数y ＝f (x )为奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1＋x )＝－f (1－x )．当x ∈(2，3)时，f (x )＝log 2(x －1)，下列四个结论正确的是( ) A.函数y ＝f (x )的图象关于点(k ，0)(k ∈Z )成中心对称B.函数y ＝|f (x )|是以2为周期的周期函数C.当x ∈(－1，0)时，f (x )＝－log 2(1－x )D.函数y ＝f (|x |)在(k ，k ＋1)(k ∈Z )上单调递增解：f (1＋x )＝－f (1－x )＝f (x －1)，得2是f (x )的周期，再结合题意，画出函数y ＝f (x )的图象如图所示．结合图象易知A ，B 正确，D 错误；对于C ，当x ∈(0，1)时，x ＋2∈(2，3)，f (x )＝f (x ＋2)＝log 2(x ＋2－1)＝log 2(x ＋1)，故当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1)，f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)，C 正确．故选ABC.9．(2018·上海普陀区二模)设函数f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，若m 是等比数列{a n }(n ∈N *)的公比，且f (a 2a 4a 6…a 2 020)＝7，则f (a 21)＋f (a 22)＋f (a 23)＋…＋f (a 22 020)的值为________． 解：因为f (a 2a 4a 6…a 2 020)＝7，所以a 2a 4…a 2 020＝m 7，a 1a 3…a 2 019＝a 2a 4…a 2 020m 1 010＝m －1 003，所以f (a 21)＋f (a 22)＋f (a 23)＋…＋f (a 22 020)＝log m (a 1a 3…a 2 019·a 2a 4…a 2 020)2＝log m (m －1 003·m 7)2＝log m m －1 992＝－1 992.故填－1 992.10．f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则a 的取值范围为________．解：由已知f (x )＝log a x ， 当0<a <1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23>0， 当a >1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝ －log a 23>0，故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13>|f (2)|总成立． 作y ＝|f (x )|的图象如图(上述结论也可由图象给出)．要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)．故填⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 11.(2018·辽宁大石桥模拟)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3) ＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 又0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12.12．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a(a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解：由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又因为x ∈[2，8]，所以a ∈(0，1)． 因为f (x )是关于log a x 的二次函数，所以函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得，若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2，8]， 符合题意，所以a ＝12.13.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x. (1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝(f (x )＋1)·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]， 故函数h (x )的值域为[0，2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，从而k ＜－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)． 附加题 (2019·山西省长治二中高一期中)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2－x ，若不等式f (x )＋x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是_______．解：函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2－x ，所以f (－x )＝－f (x )，设x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－x 2－(－x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝x 2－x ，因为不等式f (x )＋x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，所以x 2－x ＋x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，所以x 2≤log a x 2，即x 2－log a x 2≤0(a ＞0且a ≠1)对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立． 当a >1时，x 2>0，而log a x 2<0，故a >1时不合题意；当0<a <1时，令g (x )＝x 2－log a x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时，函数g (x )单调递增， 所以g ⎝⎛⎭⎫22＝⎝⎛⎭⎫222－log a ⎝⎛⎭⎫222≤0，即⎝⎛⎭⎫222≤log a ⎝⎛⎭⎫222，所以log a a ＝12≤log a 12，a ≥12，解得a ≥14，此时14≤a <1.综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，1.故填⎣⎡⎭⎫14，1.。
单元检测·7第5单元扩展语句，紧缩语段[共85分]1．请以“在生活中每一个人都应该有乐观向上的态度”为开头写一段话，要求衔接自然，语言通顺，字数在70～90字之间。
(4分)1．(在生活中每一个人都应该有乐观向上的态度。
)天天黄昏，总有群跳舞的老太太伴随着录音机里音乐的节拍，挥动着红红绿绿的绸子，跳跃着轻巧的音符，将整个广场渲染得异彩纷呈，她们的欢乐感染着周围的人。
2．以“太阳”为重点，依照下面两种情景，别离扩写，每段很多于40字。
(6分)情景一：冬季中午太阳情景二：夏天早晨太阳2．情景一：严寒的冬季，太阳照射到的地址都是温暖的。
中午，我总会让自己沐浴在那阳光下，感受着太阳的温暖。
情景二：夏天的早晨，太阳就露出了红彤彤的面庞，霎时，万道金光直射大地，挟着热浪开始向人们示威。
3．请依照王勃《滕王阁序》中的名句“潦水尽而寒潭清，烟光凝而暮山紫”写一个场景。
要求想象合理，语言生动，很多于50字。
(4分)3．积蓄的雨水升腾蒸发，云雾飘渺，深潭澄澈而寒凉，在雾气的掩映下，冷傲而神秘。
暮霭中，远山被紫霞掩映着假设隐假设现，犹如蓬莱仙境般，令人陶醉。
4．用下面的词语写一段描述性文字，要求运用比喻、拟人的修辞方式。
(不超过60字)(5分)久旱不雨夏天烈日草木知了4．那是一个久旱不雨的夏天，太阳炙烤着大地，草木没精打采，奄奄一息，只有那知了，不断地在枝头高叫，破锣似的在替烈日呐喊助威！5．利用下面词语写一段文字，要求运用比喻、拟人的修辞方式。
(不超过60字)(4分)夏夜欢笑声冷风操场星星5．星星眨着眼睛，冷风轻轻吹拂，操场上的小孩们，一个个像小老虎似的，你追我赶，不时发出一阵阵欢笑声，何等漂亮的夏夜！6．请依照蔡肇的“野水潺潺平落涧，秋风瑟瑟细吹林。
逢人抱瓮知村近，隔坞闻钟觉寺深”(《题李世南画扇》)这首诗，描述一个场景。
要求想象合理，很多于100字。
(6分)6．一条弯曲的小河从山涧潺潺流出，瑟瑟秋风中，片片落叶随风飘舞。
单元检测·31第18单元有效类文本阅读(1)[共40分]一、阅读下面的文字，完成1－4题。
(20分)徐乾清：清水缓缓洒天地1月9日上午11点15分，我国闻名水利专家、中国工程院院士徐乾清，静静地走了，悄然离开了他牵挂一生的水利事业。
徐乾清的离去，带给人们的是无尽的哀思，而他心系水利，为我国大江大河治理倾注的大量心血，也深深感染着每一名水利工作者。
徐乾清1925年诞生于陕西城固，汉中人。
汉水自西而东横贯于汉中盆地，建于秦汉的众多水利工程和灌区，真实反映了汉中盆地稻作农业的繁荣景象。
1949年9月初，23岁的徐乾清从国立上海交通大学毕业后，被选派到泰州苏北行署水利处，开始了其一生的水利生涯。
尔后，从苏北到上海再辗转到北京中央水利部，他当过工程技术人员，担任过部专家工作室技术组组长并兼任苏联专家组组长的助手，在水利部科学技术委员会工作过……到后来担任水利电力部打算司副司长、水利部副总工程师。
60余年的水利生涯，从长江到黄河，从松花江、辽河到淮河、海河、珠江流域，徐乾清跑遍了祖国的各大江河湖泊，推动参与了全国要紧江河流域计划的编制、修订、审查工作，参与了长江三峡、南水北调等重大水利建设项目的论证和审查工作，前后担任“黄河治理”“长江防洪”“西北水资源开发利用和生态环境爱惜”等国家科研项目的专家组长，为我国大江大河治理倾注了大量心血。
20世纪80年代以来，徐乾清几回从宏观角度指出我国水资源欠缺给社会经济进展及生态环境爱惜带来的严峻阻碍，提出了明确的计谋。
当“八五”攻关即将终止之时，徐乾清又灵敏地将视野投向了水资源欠缺、生态脆弱的西北地域，提出要尽快开展西北地域生态需水研究。
在他的踊跃提倡下，“西北水资源合理利用及生态爱惜研究”被列为国家“九五”科技攻关重点项目。
该项目的及时设立和功效产出，为20世纪末我国西部大开发战略的实施提供了重要的科技支撑。
了解徐乾清的人都明白，他一生出席的大小会议无数，但每次话都很少，却句句铿锵有力。
