高二数学培优测试

25深圳实验学校高中部高二上第二次培优数学试卷10月一.单选题:每小题5分1.直线√3x-3y-1=0的倾斜角为( ). A. 30o B. 135o C. 60o D. 150o2.已知直线ax+2ay+1=0与(a-1)x-(a+1)y-1=0垂直,则实数a 的值是( ). A. 0或3 B. 3 C. 0或-3 D. -33.已知A(-1,0)、B(3,6),则以AB 为直径的圆的一般方程为( ).A.x 2+y 2-2x-6y+3=0B.x 2+y 2-2x-6y-3=0C.x 2+y 2+2x-6y+3=0D.x 2+y 2+2x-6y-3=04.如图,直线l 1:ax+y+b=0与l 2:bx-y+a=0(ab ≠0,a ≠b)的图象可能是( ). A B C D5.直线x+y+2=0分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ).A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]6. M,N 分别为直线3x-4y-12=0与6x-8y+5=0上任意一点,则|MN|最小值为( ). A. 2910 B. 295 C. 175 D. 17107.直线l 1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l 2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P,对任意实数m,直线l 1,l 2分别恒过定点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为( ).A. 4B. 8C. 2√2D. 4√28.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=2,AA 1=1,0是AC 的中点,点P 在线段A 1C 1上,若直线OP 与平面ACD 1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是( ).A. [√23,√33]B. [√23,√63]C. [√33,√73]D. [√34,√33]二.多选题:9.下面四个结论正确的是( ).A. 已知向量a ⃗ =(1,1,x),b ⃗ =(-3,x,9),若x<310,则<a ⃗ ,b ⃗ >为钝角B. 已知a ⃗ =(2,0,-1),b ⃗ =(3,-2,5),则向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影向量是15(2,0,-1)C.若直线ax+by+c=0经过第三象限,则ab>0,bc<0D.已知A,B,C 三点不共线,对于空间任意一点O,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P,A,B,C 四点共面 10.下述四个结论,正确的是( ).A. 过点A(1,1)在x 轴,y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0B. 直线x-y+k=0与圆x 2+y 2=1相交的充分不必要条件是k=1C. 直线ax+y+1=0表示过点(0,-1)的所有直线D. 过点B(1,√3)与圆x 2+y 2=4相切的直线方程为x+√3y-4=011.已知点A(3,3)和B(4,-2),P 是直线l:x+y+2=0上的动点,则( ).A. 存在P(1,-3),使|PA|+|PB|最小B. 存在P(-1,-1),使||PA|-|PB||最小C. 存在P(5,-7),使||PA|-|PB||最大D. 存在P(12,-52),使|PA|2+|PB|2最小 三.填空题:每小题5分.12.已知x 、y 满足x 2+y 2-4x-2y+4=0,则x 2+y 2的最大值为______.13.已知从点(-5,3)发出的光线,经x 轴反射后,反射光线恰好平分圆:x 2+y 2-2x-2y-3=0的圆周,则反射光线所在的直线方程为______.14.阅读下面材料:在空间直角坐标系Oxyz 中,过点P(x 0,y 0,z 0)且一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x 0)+b(y-y 0)+c(z-z 0)=0,过点P(x 0,y 0,z 0)且方向向量为n ⃗ =(u,v,w)(uvw ≠0)的直线1的方程为x−x 0u =y−y 0v =z−z 0w =3.根据上述材料,解决下面问题:已知平面α的方程为2x-y+z-7=0,直线l 是两个平面x-y+2=0与2x-z+1=0的交线,则直线l 与平面α所成角的余弦值为______.四.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

高二数学培优（三）班级： 姓名：1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 ( )ABC 等边三角形 D2. 在△ABC 中，b=c=3，B=300，则a 等于（ ）A ．B ．12CD ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338D ．2396. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-57.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜6 9在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ________ ，AC 的取值范围 为_______________.10.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为______________ 11在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学试题（时间80分钟总分100分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．函数()f x =）A ．[)1,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],1-∞-2．已知集合{}{}21,2,3,4,20A B x x x ==--=，则A B = （）A ．{}1,1,2,3,4-B ．{}1,2,3,4C ．{}1,0,1,2,3,4-D ．{}2,1,2,3,4-3．在ABC △中，D 为边AB 的中点，则（）A ．0AD BD -= B ．0AD DB += C ．CB CD BD-= D ．2CA CB CD+= 4．数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．从第4题所给的数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（）A ．14B ．38C ．12D ．586．已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线l ⊂平面α，则“l β∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．不等式1101x +≤-的解集是（）A ．[)0,1B ．(]0,1C ．[]1,2D ．(]1,28．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（）A ．16B ．72C ．74D ．909．在ABC △中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45,75a B C ==︒=︒，则b 等于（）A ．2B．C．D．10．已知函数()222x x f x =-，则其图象一定不过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知α为锐角，且22sin cos cos sin 55ππαα⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α的值为（）A ．45B ．513C ．2425D ．91612．已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 在1B C 上运动（不含端点），点N 在11B D 上运动（不含端点），直线MN 与直线AC 所成的角为α，直线MN 与平面1ACB 所成的角为β，则下列关于,αβ的取值可能正确的是（）A ．30α=︒B ．45α=︒C ．60β=︒D ．75β=︒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13．民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A ．样本数据落在区间[)300,500内的频率为0.45B ．若规定年收人在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C ．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收人不少于400万元的有80家D ．估计样本的中位数为480万元14．已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z +=+C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+15．已知平面向量12,e e 的夹角为π3，且121e e == ，若12122,a e e b e e =-=+ ，则下列结论正确的是（）A ．a b ⊥B ．a =C ．a b a+= D ．a 在b 上的投影向量为12b- 16．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（）A ．函数()211x f x x +=-的图象关于点()1,2成中心对称图形B ．若定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有()()22f x f x ++-=，则函数()f x 图象的对称中心为()2,2C ．若()y f x a =+是偶函数，则()f x 的图象关于直线x a =成轴对称D ．若函数()f x 满足()11y f x =+-为奇函数，且其图象与函数()422xg x =+的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i = ，则()202414048ii i xy =+=∑三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为________；体积为________．18．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC △中，AD 为斜边BC 上的高，3,4AB AC ==，现将ABD △沿AD 翻折成AB D '△，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________19．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()121,,234P A P B P AB ===，则()P A B = ________．20．若函数()20(1)f x x ax b a =++=>的值域为[)0,+∞，则11a b a ++-的最小值为________．四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．已知函数()πsin2sin 23f x x x ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知锐角ABC △三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,3b c ==，若()f A =，求ABC △的面积．22．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1111124,AA AC AC BC CC AA =====⊥平面,,ABC AB BC D ⊥为AB的中点．（1）证明：111A B DC ⊥．（2）过11,,A D C 的平面把三棱台111ABC A B C -分成两部分，体积分别是1V 和()212V V V <，求12V V 的值．（3）求平面1CC D 和平面11ABB A 所成锐二面角的正切值．23．已知函数()()21,0,2,0,x x f x g x x x ⎧-≥==⎨-<⎩．（1）若()()f x g x ≤，求x 的取值范围．（2）记{}(),max ,(),a ab a b b a b ⎧≥=⎨<⎩已知函数()(){}max ,2y f x g x ax =--有k 个不同的零点．（ⅰ）若2k =，求a 的取值范围；（ⅱ）若3k =，且,αβ是其中两个非零的零点，求11αβ+的取值范围．浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学试题答案一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）123456789101112CADBDBACABDC1．解：要使函数有意义，则10x -≥，得1x ≤，所以函数的定义域为(],1-∞．故选C ．2．解：因为{}{}1,2,3,4,1,2A B ==-，所以{}1,1,2,3,4A B =- ．故选A ．3．解：由平行四边形法则可知2CA CB CE CD +==．故选D ．4．解：因为825%2⨯=，所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选B ．5．解：样本空间的样本点总数为8，事件A （这个数平方的个位数是6或9）的样本点为4，6，3，7，7，共5个，所以概率58P =．故选D ．6．解：当l β∥时，α与β可能相交也可能平行，故l β∥不能推出αβ∥；反之，αβ∥可以推出l β∥．故“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选B ．7．解：不等式可化为11011xx x +=≤--，等价于()10,10,x x x ⎧-≤⎨-≠⎩解得01x ≤<，所以不等式的解集为[)0,1．故选A ．8．解：由题意知，只要解不等式18141255G⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，化简得42lg lg 1855G ≤．因为4lg 05<，所以lg2lg52lg21 4.118lg4lg53lg21G --≥=≈--，所以18 4.173.8G ≥⨯=．故选C ．9．解：由三角形内角和定理得60A =︒，由正弦定理得sin 60sin 45b=︒︒，解得2b =．故选A ．10．解：因为1x ≠，取2x =，得()22f =，所以()f x 在第一象限有图象，取12x =，得2102f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()f x 在第四象限有图象，取1x =-，得()21(1)1022f ---=<-，所以()f x 在第三象限有图象．由排除法知图象不过第二象限．故选B ．11．解：因为α是锐角，所以2π2ππ2π2ππ0cos ,0sin 552552αα<<<<<<，所以2ππ2πcos sin 525αα=-，化简得5cos sin 4αα+=，平方得251sin216α+=，所以9sin216α=．故选D ．12．解：由题意可知，四面体11D AB C 为正四面体，设直线AC 与平面11B D C 所成的角为1θ，易知13cos 3θ=，由最小角定理得11,cos cos αθαθ><，故A ，B 错误．再设平面11B D C 与平面1ACB 所成的角为2θ，易知21cos 3θ=，由最大角定理得22,cos cos θβθβ><，代入选项得C 可能正确．故选C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13141516ABDBCBCDACD13．解：由()0.0010.00150.0020.000521001a ++++⨯=，得0.0025a =，所以数据落在区间[)300,500内的频率为()0.0020.00251000.45+⨯=，A 正确；数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++⨯=，B 正确；100n =，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是()1000.00250.00250.00150.00050.7⨯+++=，所以符合条件的民营企业有0.710070⨯=家，C 错误；数据落在区间[)200,400内的频率为0.3，数据落在区间[)200,500内的频率为0.55，估计中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，D 正确．故选ABD ．14．解：对于A ，若1i z =，则22111,1z z =-=，故A 错误；对于B ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()()()1212i,i i i z z a c b d z z a b c d a c b d +=+-++=-+-=+-+，故B 正确；对于C ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()12i z z ac bd ad bc =-++==，2212z z ⋅==C 正确；对于D ，若121i,i z z =+=，则12121z z z z +=+=，故D 错误．故选BC ．15．解：由题意得22121211,2e e e e ==⋅= ．对于A ，()()2212121122132212022a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=--=-≠ ，故A 错误；对于B，a == B 正确；对于C ，方法同B ，故C 正确；对于D，易得b = a 在b 上的投影向量为31232a bb b b bb⋅⋅=-⋅=-，故D 正确．故选BCD ．16．解：对于A ，因为()312f x x+-=为奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,2成中心对称图形，故A 正确；对于B ，设()()g x f x a b =+-，若()g x 是奇函数，则()()()()0g x g x f x a b f x a b +-=+-+-+-=，所以()()2f x a f x a b ++-+=，因为()()22f x f x ++-=，所以()1f x +-1为奇函数，所以()f x 图象的对称中心为()1,1，故B 错误；对于C ，设()()g x f x a =+，因为()g x 是偶函数，所以()()g x g x =-，则()()f x a f x a +=-+，所以()f x 的图象关于直线x a =成轴对称，故C 正确；对于D ，显然()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形，再考虑()422x g x =+的对称性，()422x g x =+可化为()()()4,22x a h x g x a b b h x +=+-=-+为奇函数，则()()()00,11,h h h ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩即1140,2244,2222a a ab b b -+⎧-=⎪⎪+⎨⎪-=-+⎪⎩++即11448222222a a a-++=+++，令2at =，则2124222t t t +=+++，即220t t -=，解得2t =或0t =（舍去），所以22a=，则1,1a b ==，因为()h x 为奇函数，所以()422x g x =+图象的对称中心为()1,1．()f x 与()g x 有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点()1,1中心对称，()()()2024123202412320241202420244048ii i xy x x x x y y y y =+=+++++++++=+=∑ ，故D 正确．故选ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．2π;π318．16π19．71220．317．解：由题意得圆锥的高h =，所以2 13π2π,ππ33S rl V r h ====侧．18．解：由题意得AC 的中点是外接球的球心，所以22,4π16πR S R ===．19．解：由概率的性质得()()()P A P AB AB P =+，所以()()()111244P AB P A P AB =-=-=，所以()()()()1217123412P A B P A P B P AB =+-=+-= ．20．解：由题意得2Δ40a b =-=，所以()()2221144(2)4114141a a a b a a a a a a a +++++++====----()()()22(1)6191(13)119116634141414a a a a a a a -+-+-+⎡⎤⋅=⋅=-+≥=⎢⎥---⎣⎦，当且仅当4a =时，等号成立，则最小值为3．四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．解：（1）()πππsin 2sin 2sin 2sin 2cos cos2sin 333f x x x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭13πsin 2cos2sin 2223x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==．（2）因为()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()π3sin 232f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为A 是锐角三角形的内角，所以ππ233A -=或π2π233A -=（舍去），所以π3A =．又2,3b c ==，所以ABC △的面积1π3323sin 232S =⨯⨯⨯=．22．（1）证明：如图1，连接1AC，得1AC =1BC ．因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA BC ⊥．又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以在直角梯形11BCC B 中，11112,2,2BC B C BB A D ====，所以15BC =，即1ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，D 是AB 的中点，所以1AB DC ⊥．又11AB A B ∥，所以111A B DC ⊥．（2）解：如图2，取BC 的中点E ，连接1,DE C E ，可得11AC DE ∥．所以过11,,A C D 的平面把棱台分成斜棱柱111DBE A B C -和几何体11ADECC A 由题意得()111128414233ABCA B C V =⨯⨯++=棱台，111DBE-142242A B C V =⨯=棱柱．因为1128164433ADECA C V =-=>几何体，所以12164,3V V ==，故12431643V V ==．（3）解：如图3，取11A B 的中点F ，连接1,C F DF ，则DF 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，由于BC ⊥平面11ABB A ，过B 作FD 延长线的垂线，垂足为G ，连接CG ，易证得BGC ∠为所求的角．延长1AA 和1BB 交于点O ，过A 作FD 的垂线，垂足为H （如图4），易得8,AO AD ==，GB AH ==，所以66tan 4BGC ∠==．即平面1CC D 和平面11ABB A所成锐二面角的正切值为4．23．解：（1）由题意得函数()g x 的定义域为[]1,1-．当[]0,1x ∈时，不等式()()f x g x ≤等价于21x -≤当[)1,0x ∈-时，不等式()()f x g x ≤等价于2x -≤，即221x ≤，解得02x -≤<．综上，()()f x g x ≤的解集为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即当x 的取值范围为2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x ≤成立．（2）（ⅰ）令()()(){}()()2,1,2max ,,1,2f x x h x f xg x g x x ⎧-≤<-⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩原题可转化为()2h x ax =+的实根个数问题（二重根为一个零点）．当12x -≤≤-时，即为()2f x ax =+，所以22x ax -=+至多一个实根①；当12x -≤≤时，即为()2g x ax =+，所以2ax =+至多两个实根②．由①知，221,22x a ⎡-=∈--⎢+⎣），所以02a ≤<-，由②知，2ax =+，所以0x =或242,142a x a ⎡⎤=-∈-⎢⎥+⎣⎦，所以2a ≤-或2a ≥+，且0a ≠．当2k =时，若0a =，则有两个零点0和-1，符合题意．当0a <时，①无实根，对于②，只要2414a x a =-≤+，化简得2(2)0a +≥，则20a -≤<，符合题意．当0a >时，若02a <<-，则有三个不等实根，不符合题意．若2a =-，则有两个零点0和22-，符合题意．若2a >-，则仅有一个零点0，不符合题意．综上所述，当2k =时，a 的取值范围为[]{}2,02-⋃-．7分（ⅱ）由（ⅰ）得当3k =时，02a <<-，且三个零点分别为224,,024a a a --++，显然,0αβ≠，所以()11311,24a a a αβ+=++∈．9分易得函数3114y a a =++在()2-上单调递减，所以3114y a a =++>所以()11αβ+∈+∞．。

培优联盟2024春季联赛高二数学参考答案1234567891011BBDCACDACDBCDAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】取0a =，0b <，则可知由“0ab =”无法推出a b =+”．2．B【解析】(3,4)BC DA BA AC DA BA DC AB CD+=++=+=--=--．3．D【解析】两式作差得，cos sin 2024cos cos 2024sin sin 2024cos()2024cos A A B C B C B C A -=-=+=-，所以sin 2025cos A A =，即tan 2025A =．4．C【解析】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个为3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是8,11,28”。

①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为3，另一个不是3”，则一个为3，另一个数不小于8，又因为极差加倍，则另一个数为53，此时56m n +=；③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，则两个数可以为753m n ì=ïïíï=ïî，653m n ì=ïïíï=ïî，553m n ì=ïïíï=ïî，453m n ì=ïïíï=ïî，252m n ì=ïïíï=ïî，151m n ì=ïïíï=ïî，050m n ì=ïïíï=ïî，…所以，m n +的最大值为60．5．A【解析】()3sin 3cos 44cos3sin 4f x x x x x '=--，''()24sin 4sin 325cos3cos 4f x x x x x =-．6．C【解析】3334tan 4882a =>⋅=，422113log 7log 7log 8222b ==<=，2222274ln12ln 4(ln 7)(ln12ln 4)4(ln 7)(ln 49)4(ln 7)log 12log 70ln 7ln 44ln 7ln 44ln 7ln 4c b -+---=-=<<=，7．D【解析】记AB 与圆222:O x y b +=相切于点00(,)P x y ，则0c AP x a =，0cAF a x a=-，进一步有AP AF a +=，同理BP BF a +=，故ABF △的周长为2a ．8．A【解析】令0x y ==，则22(0)2[(0)]f f =，解得(0)0f =或(0)1f =令2t x y ==，则2()(0)2[()]2tf t f f +=，故()1f t ≥-．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．CD【解析】选项A 取1p q ==，r =．选项B ，取1p =，i q =．选项C ，由“两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，故P ，Q ，R 三点共线．选项D ，||||||||||||q r q r p q p q =⇒=，则||p ，||q ，||r 成等比数列．10．BCD【解析】选项A ：若PC BD ^，则BD ⊥平面PAC ，进一步有BD AC ⊥，而底面ABCD 是矩形，不能保证BD AC ⊥．选项B ：取PD 中点M ，则12EA CD FM ==，进一步有EF AM = ．选项C ：1()2EF AP BC =+．11．AD【解析】选项B ：取3a =，4b =，5c =，则222a b c +<；选项C ：取4a b ==，1c =，则sin sin 0sin a b c+<<选项D ：由2a a b c a b c <+++，2b b c a a b c <+++，2c c a b a b c <+++可得2a b cb c c a a b++<+++．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3【解析】根据余弦定理计算得BC =6，所以632BC e AC AB ===-.13．2e 【解析】ln 1a c -=，ln 1b d -=．由2ln ln 1ln 1a c d a b =+=-+-，即ln ln 2b a -=，即2e ba=。

高中数学培优试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，求f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值：A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A3. 计算下列定积分的值：∫(0,2) (x^2 - 3x + 2) dx：A. 0B. 4C. 6D. 8答案：C4. 若复数z满足|z-1|=2，则z的模长|z|的最小值为：A. 1B. √3C. 2D. √5答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极值点个数为_______。

答案：26. 一个圆的半径为5，圆心在原点，求该圆的面积为_______。

答案：25π7. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的对称轴方程为_______。

答案：x=18. 若直线y=3x+2与抛物线y^2=4x相交于点A和B，求线段AB的中点坐标为_______。

答案：(1, 5/3)三、解答题（每题15分，共30分）9. 已知等比数列{bn}的前三项依次为b1=2，b2=4，b3=8，求该数列的通项公式。

答案：bn=2^n10. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数f(x)的单调递增区间。

答案：(-∞, 1)和(2, +∞)四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：若a, b, c为实数，且满足a^2+b^2+c^2=1，则(a+b+c)^2≤3。

答案：证明如下：由柯西-施瓦茨不等式可知，对于任意实数a, b, c有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，即(a^2+b^2+c^2)(3)≥(a+b+c)^2。

又因为a^2+b^2+c^2=1，所以(a+b+c)^2≤3。

五、应用题（每题15分，共15分）12. 某商场进行促销活动，规定顾客每消费满100元即可获得一张优惠券，每张优惠券可以抵用10元。

2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学试题一、单选题1．已知集合(){}(){}2,,,P x y y x Q x y y x ====∣∣，则P Q = （）A ．{}0B ．{}0,1C ．(){}0,0D ．()(){}0,0,1,1【答案】D【分析】根据集合的含义，结合解方程组，即可求得两集合的交集.【详解】由题意集合(){}(){}2,,,P x y y x Q x y y x ====∣∣表示点集，解方程组2y xy x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，故()(){}0,0,1,1P Q = ，故选：D2．若13i +是关于x 的实系数方程210ax bx ++=的一个复数根，则（）A ．14a =，12b =B ．14a =，12b =-C ．14a =-，12b =D ．14a =-，12b =-【答案】B【分析】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出答案.【详解】根据一元二次方程复数根成共轭复数形式出现，则另一个复数根为13i -，根据两根之积得()()113i 13i 4a+-==，则14a =，根据两根之和有214b ba=-=-，解得12b =-，故选：B.3．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m m n α∥∥，则n α∥C ．若,m n αβ⊥∥，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ∥，则m n ∥【答案】D【分析】根据线面之间的位置关系判定即可.【详解】对于A 项，,m n 可能相交，如图所示正方体中，若,m n 分别为直线AB BC 、，α为平面1111D C B A ，此时符合条件，但结论不成立，故A 错误；对于B 项，有n ⊂α的可能，如图所示正方体中，若,m n 分别为直线11AB A B 、，α为平面1111D C B A ，此时符合条件，但结论不成立，故B 错误；对于C 项，如图所示正方体中，若,m n 分别为直线111AA B C 、，α为平面1111D C B A ，β为平面ABCD ，此时符合条件，但结论不成立，故C 错误；对于D 项，因为αβ∥，,m m αβ⊥⇒⊥又n β⊥，所以m n ∥，故D 正确；故选：D4．某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有（）A ．24B ．32C ．36D ．48【答案】C【分析】分1,1,3三组，1,2,2三组讨论，并利用排列组合公式即可得到答案.【详解】如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有：213233C C A 种，如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有：223233C C A 种，由加法原理可得：不同分配方法数为213223233233C C A C C A 36+=种.故选：C5．著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他心中记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的32次方根仍是一个整数，这个32次方根是多少？（）真数常用对数真数常用对数20.3090.9530.4810 1.0040.6011 1.0450.7012 1.0860.7813 1.1170.8514 1.1580.90151.18A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】设这个数为x ，则可得32x N =，利用对数运算并结合已知图表可求得lg 0.60x =，即可求得x 的值，即得答案.【详解】设所求这个数为x ，则32x N =，N 为20位整数，则321lg lg ,lg lg 32x N x N =∴=，因为20191010N <<，故19lg 20N <<，所以10.5938lg 0.62532N <<，由表可知lg 0.60x =，即4x =，故这个32次方根是4，故选：B6．已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且()12f x x =，()21f x x =，那么关于x 的方程()()2320f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦的不同实根的个数是（）A ．6个B ．4个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】首先利用导数得到函数单调性，再作出图象，而由方程可知()()12,f x x f x x ==，再利用图象即可得到根的个数.【详解】()232f x x ax b '=++，令()0f x '=得12,x x x x ==，不妨令12x x <，故()f x 在()()12,,x x -∞+∞,上单调递增，在()12,x x 上单调递减，方程()()23[]20f x af x b ++=可得()()12,f x x f x x ==，而()12f x x =，()21f x x =，由()f x 的单调性并作出图象可知直线12,y x y x ==分别过点2112(,()),(,())x f x x f x ，与函数()f x 图象均有两个交点，故方程()()23[]20f x af x b ++=的根的个数是4个.故选：B.二、解答题7．已知()()()ln 1R f x x ax a =-+∈(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，()e ln 1xb b x f x +++≥恒成立，求b 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2))2e ,∞-⎡+⎣【分析】（1）求得()()11ax a f x x --'=-，分0a =、0a >和a<0，三种情况讨论，结合()f x '的符号，即可求解.（2）解法1：转化为()e ln 1ln 10xb b x ++--≥恒成立，设()()e ln 1ln 1x g x b b x =++--，求得()1e 1x g x b x ='--，得到()g x '存在唯一的实数()1,t ∈+∞，使得1e 01tb t -=-，得出函数()g x 的单调性与最小值()()12ln 111g t t t t =---+-，进而转化为()1e 1t b t =-在(]1,2t ∈时的取值范围，设()()1e 1t h t t =-，利用导数求得其最小值，即可求解；解法2：由题意转化为()()ln e ln ln 11x bx b x x +++≥-+-，构造函数()e t h t t =+，转化为证明()ln ln 1b x x ≥--，设()()ln 1g x x x =--，利用导数求得单调性与最值，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数()()ln 1f x x ax =-+的定义域为{1}x x >∣，可得()()1111ax a f x a x x --=+=--'.当0a =时，()101f x x -'=>，()f x 在()1,+∞单调递增；当0a >时，()()11011a a x ax a a f x x x -⎛⎫- ⎪--⎭-'⎝==>-，()f x 在()1,+∞单调递增；当a<0时，令()0f x '=，得11x a=-，故()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当0a ≥时，()f x 在()1,+∞单调递增；当a<0时，()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）解法1：只要证明()e ln 1ln 1xb b x ++≥-恒成立即可，即证明()e ln 1ln 10xb b x ++--≥恒成立即可，设()()e ln 1ln 1xg x b b x =++--，其中0b >，函数()g x 的定义域为{1}x x >∣且()1e 1xg x b x ='--，令()1e 1xx b x ϕ=--，可得()21e 0(1)x x b x ϕ'=+>-，所以()g x 为单调递增函数，可得存在唯一的实数()1,t ∈+∞，使得1e 01tb t -=-，即()ln e ln 1b t t +=--当()1,x t ∈时，()0g x '<，当(),x t ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 的最小值为()()()1ln ln 112ln 111tg t be b t t t t =+--+=---+-，又由()()2111011g t t t '=---<--，所以()g t 在()1,+∞是减函数，且()20g =.要使()0g t ≥恒成立，只需(]1,2t ∈即可，即求()1e 1t b t =-在(]1,2t ∈时的取值范围.，设()()(]1,1,2e 1t h t t t =∈-，可得()2e [e (1)0]t t t h t t '=--⋅<，所以()h t 在定义域内为减函数，故()()22e h t h -≥=.所以b 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.解法2：只要证明()e ln 1ln 1xb b x x x +++≥-+恒成立即可，即证明()()ln eln ln 11x bx b x x +++≥-+-构造函数()e th t t =+，易知()h t 为增函数，原式等价于证明()()()ln ln 1h x b h x +≥-即证明()ln ln 1x b x +≥-，得()ln ln 1b x x ≥--.设()()ln 1g x x x =--，则()12111-'=-=--x g x x x ，所以()g x 在()1,2单调递增，在()2,+∞上单调递减.()max ln ()22b g x g ≥==-，所以b 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．8．已知双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中点F 为右焦点，过点F 作垂直于x 轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点A ，过点F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为M ，若6AF =，23MF =.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点M 作AF 的平行线l ，在直线l 上任取一点P ，连接PA 与双曲线相交于点B ，求证点P 到直线BF 的距离是定值.【答案】(1)221412x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点(),0F c 到渐近线的距离为23，列出方程求得b ，再由26bAF a==，求得2a =，即可求得双曲线的方程；（2）设点()00,B x y ，得到直线BF 的方程()000440y x x y y ---=，设直线l 的方程为x m =，点(),3M m m ，根据FM l ⊥，取得1m =，得到直线l 的方程为1x =，设()1,P t ，根据,,P B A 共线，求得()00361,64y P x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】（1）解：由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得焦点(),0F c ，其中一条渐近线方程为b y x a=，则点(),0F c 到渐近线的距离为2223()bc d b a ==+-，解得23b =，又由2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得26b AF a ==，解得2a =，故双曲线的标准方程为221412x y -=.（2）解：由双曲线221412x y -=，可得()()4,0,4,6F A ，设点()00,B x y ，则直线BF 的方程为()0044=--y y x x ，即()000440y x x y y ---=，由题意，设直线l 的方程为x m =，由点M 在直线l 上，可设点(),3M m m ，又由FM l ⊥，可得3343m m =--，解得1m =，即直线l 的方程为1x =，设()1,P t ，由点,,P B A 共线，可得AP AB k k =，即006634y t x --=--，得()003664y t x -=-+-，即点()00361,64y P x ⎛⎫--+⎪-⎝⎭，则点P 到直线BF 的距离为()()()()00000022220000036644666132143412y y x y x x d x y x x x +-----+-====-+-+--.即点P 到直线BF 的距离为定值.9．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAB 为边长为2的等边三角形，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，1CD =，底面梯形的两条对角线AC 和BD 互相垂直，垂足为O ，2SO =，点M 为棱SB上的任意一点.(1)求证：AC DM ⊥；(2)是否存在点M 使得二面角M AD C --的余弦值为7618，若存在求出点M 的位置；若不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点M 为靠近B 的三等分点【分析】（1）由222SA SO OA =+，证得SO AO ⊥，得到SO AC ⊥，又由AC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AC ⊥平面SBD ，进而证得AC DM ⊥.（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，设棱SB 上存在一点M ，设[],0,1SM SB λλ=∈，得到20,2,222DM λλ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，分别求得平面ADM 和平面ACD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得λ的值，即可求解.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为等腰梯形，且AC BD ⊥，所以OAB 为等腰直角三角形，因为2AB =，所以2OA OB ==，因为2,2SA SO ==，所以222SA SO OA =+，所以SO AO ⊥，即SO AC ⊥，又因为BD ⊂平面SBD ，SO ⊂平面SBD ，且BD SO O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ，因为DM ⊂平面SBD ，所以AC DM ⊥.（2）解：如图所示，以O 为原点，,,OA OB OS 分别为,,x y z ，轴建立空间直角坐标系，由（1）知22OA OB OS OD ====，故()()()()20,0,0,2,0,0,0,2,0,0,,0,0,0,22O AB D S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故()()220,,2,2,0,2,0,2,2,2,,022DS AS SB AD ⎛⎫⎛⎫==-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭假设在棱SB 上存在一点M 满足题意，设,[0,1)SM SB λλ=∈.所以20,2,222DM DS SM DS SB λλλ⎛⎫=+=+=+-⎪ ⎪⎝⎭设平面ADM 的法向量为(),,m x y z = ，则()2202222202m AD x y m DM y z λλ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪⋅=++-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ，易令2y =，可得121,1x z λλ+=-=-，所以121,2,1m λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭又由平面ACD 的一个法向量为()0,0,1n =设二面角M AD C --为θ，可知二面角为锐二面角则212761cos cos ,181251m n m n m nλλθλλ+⋅-====+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理得2127618966λλλ+=-+，即21534160λλ-+=，解得23λ=或85λ=（舍去），所以，存在点M 为靠近B 的三等分点.10．“十三五”时期，在党中央､国务院坚强领导下，全民健身国家战略深入实施，全民健身公共服务水平显著提升，全民健身场地设施逐步增多，人民群众通过健身促进健康的热情日益高涨，经常参加体育锻炼人数和参加锻炼的时间都在明显增加.某城市为了调查该市市民积极参加体育锻炼的情况，从市民中随机抽取了50人，结果是他们参加锻炼的时间都在区间[50,100]内，锻炼时间的频率分布直方图如下：(1)如果锻炼时间的中位数的估计值大于或者等于平均数的估计值，则说明该城市市民积极参加锻炼的意识很强，否则说明该城市市民积极参加锻炼的意识不强，请你根据直方图对他们积极参加锻炼的意识强与不强做出判断；(2)假如根据调查统计结果规定：锻炼时间在[80,100]的市民为优秀层次，时间在[50,80)的为非优秀层次，（ⅰ）从被调查的50人中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取5人，求这5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率；（ⅱ）用频率作为概率，现从该城市所有市民中随机抽取3人，这3人中锻炼时间为优秀层次的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(1)该市市民积极参加体育钗炼的意识很强(2)（ⅰ）3142；（ⅱ）分布列见解析，()95E X =【分析】（1）分别利用频率分布直方图估计中位数和平均数，即可得答案；（2）（ⅰ）由题可得10人中，优秀6人，非优秀4人，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的情况有优秀5人，优秀4人非优秀1人，优秀3人非优秀2人三种情况，即可得概率；（ⅱ）由题可知33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）锻炼时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对应的值，设为x ，0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯< .0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，则x 在[)80,90之间.()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟.又锻炼时长平均数估计值为:0.0110550.0110650.0210750.0310850.03109581⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市市民积极参加体育钗炼的意识很强.（2）（ⅰ）由题可得10人中，优秀6人，非优秀4人，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的情况有优秀5人，优秀4人非优秀1人，优秀3人非优秀2人三种情况，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率5413266464510C C C C C 31C 42P +⋅+⋅==；（ⅱ）根据频率，不难得到从该城市市民中随机抽取一人，锻炼时间为优秀层次的概率为35，人数X服从二项分布33,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，故X 的分布列为X0123P8125361255412527125数学期望()39355E X =⨯=.11．如下图，已知有()24n n ≥个正数排成n 行n 列：其中每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，且所有的公比相等，已知121a =，142a =，428a =.(1)求34a 和44a 的值；(2)求1122nn S a a a =+++ （用含n 的式子表达）.【答案】(1)348a =，4416a =；(2)()11212n S n -=-+.【分析】（1）设第n 行的公差为n d ，公比为q ，根据12a ，14a 及等差数列的通项公式求解1d ，根据12a ，42a 及等比数列的通项公式求出q ，再由等差数列的通项公式求出14a ，最后由等比数列的通项公式求34a 和44a 的值；（2）先根据等差数列的通项公式求出1k a ，再根据等比数列的通项公式求出kk a ，最后由错位相减法求和.【详解】（1）设第n 行的公差为n d ，公比为q ，因为121a =，142a =，428a =，所以141212114222a a d --===-，342128a q a ==,解得2q =.所以223414228a a q ==⨯=，44348216a a q ==⨯=.（2）()()11211121222k a a k d k k =+-=+-=，11211222k k k kk k a a q k k ---==⋅=⋅()1,2,,k n =L ，所以210121122121222322nk n nn k S a a a k n ---==+++=⋅=⋅+⋅+⋅++⋅∑ ，012121222322n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅ ，作差可得()111012111221222222221122n n n n n S S S n n n ---------=-=++++-⋅=-⋅=--- ，所以()11212n S n -=-+.12．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π3A =，22cos cos 3222C B b c b c ++=+，设B x =，ABC 的周长为y .(1)当π4x =时，求y 的值；(2)求函数()y f x =的解析式及最大值.【答案】(1)32236++(2)()π43sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2π03x <<；最大值为63【分析】（1）根据题意，由正弦定理得()2sin sin sin sin 2sin 23R B C C B R A +==，求得2R =，进而求得,,a b c 的长，得到三角形的周长；（2）由B x =，根据正弦定理得到243sin 23,06ππ3y x x ⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由22cos cos 3222C B b cb c ++=+，可得1cos 1cos 3222C B b cb c +++⋅+⋅=+，即cos cos 23b C c B ⋅+⋅=，设三角形ABC 的外接圆半径是R ，由正弦定理得()2sin cos sin cos 2sin()2sin 23R B C C B R B C R A +=+==，因为3sin 2A =，所以2R =，又62sin sin 344C ππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭又由43262224a b c ===+，解得23,22,62a b c ===+，所以三角形ABC 的周长为22232632236y =+++=++.（2）解：由B x =，且π3A =，可得π2ππ33C x x =--=-，可得2π4sin ,4sin()3b xc x ==-，所以()2314sin 4sin 234sin 4(cos sin )233π22y f x x x x x x ⎛⎫==+-+=+++ ⎪⎝⎭ππ26sin 23cos 43sin 23,063x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ππ25(0,)(,)366ππ6x x ∈+∈，所以当ππ62x +=，即π3x =时，()y f x =取到最大值63.三、填空题13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，在双曲线左支上取一点M ，若直线MF 与以双曲线实轴为直径的圆相切于N ，若向量2MN NF =，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】132【分析】连接ON ，取双曲线的左焦点为1F ，连接1MF ，过1F 作MF 的垂线，垂足为G ，可得FNO △相似于1FGF ，且相似比为1:2，结合双曲线的定义可得1MF ，在直角1F MG △中，由勾股定理得出,a b 的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解.【详解】连接ON ，取双曲线的左焦点为1F ，连接1MF ，过1F 作MF 的垂线，垂足为G ，直线MF 与圆222x y a +=相切,,ON MF ON a ∴⊥=，,OF c NF b =∴= ，O 为1F F 的中点，1//F G ON ，FNO ∴ 相似于1FGF ，且相似比为1:2，故12,F G a NG b ==.22,,,3MN NF MN b MG b MF b =∴=∴==.在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>中，由双曲线定义知12MF MF a -=，132MF b a ∴=-.11,//,ON MF F G ON F MG ⊥∴ △为直角三角形，22211||F G MG MF ∴+=，即222(2)(32)a b b a +=-，解得23b a =，故双曲线的离心率为21312b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故答案为:132.14．已知函数()y f x =定义域为R 且满足①()2y f x =+为偶函数；②任意2,2x y ≥≥都有()()()1f x y f x f y +-=+成立；③[)1212,2,,x x x x ∀∈+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-，请给出满足上述三个性质的一个函数为__________.【答案】()122f x x =-（答案不唯一）【分析】由三个条件依次分析出函数具有对称性、单调性等性质，可从熟悉的函数中找到符合条件的函数.【详解】由性质①()2y f x =+为偶函数知，函数()y f x =关于直线2x =对称；由性质②任意2,2x y ≥≥都有()()()1f x y f x f y +-=+成立，可设()f x kx b =+，待定系数可得当2x ≥时，()1f x kx =-；由性质成立③[)1212,2,,x x x x ∀∈+∞≠，都有()()1212f x f x x x ->-可知函数()y f x =在[)2,+∞上单调递增，因此可写出满足上述三个性质的一个函数为()122f x x =-.故答案为：()122f x x =-（答案不唯一）15．若33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=__________.【答案】8【分析】令1,2x y =-=，可得答案.【详解】注意到()()()()3232248112122a b c d a b c d -+-+=⋅-+⋅-⨯+⋅-⨯+⋅.又33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=()3101628⎡⎤⨯-+⨯=⎣⎦.故答案为：816．已知2286160x y x y +--+=，则yx的最小值为__________.【答案】0【分析】设yk x=，根据圆心到直线的距离小于等于半径列式可求出结果.【详解】由2286160x y x y +--+=可得圆心为(4,3)，半径为3，设yk x=，即0kx y -=，依题意得2|43|31k k -≤+，解得2407k ≤≤，所以yx的最小值为0.故答案为：0.四、多选题17．已知正方形ABCD 的边长为2，点,M N 分别是线段,CD BC 上的动点，若满足AC x AM y AN =+，则下列说法正确的是（）A ．当1x =时，则1y =B ．当23x y ==时，点,M N 分别是线段,CD BC 的中点C ．当23x y ==时，0AC MN ⋅= D ．当22111CM CN +=时，x y +的最小值为8227+【答案】BCD【分析】建立平面直角坐标系，设出,M N 的坐标，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项作答.【详解】以点A 为坐标原点，,AB AD 分别为x 轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，设(,2),(2,)M a N b ，02,02a b ≤≤≤≤，(,2),(2,)AM a AN b == ，由AC x AM y AN =+ ，得(2,2)(2,2)ax y x by ++=，则2222ax y x by +=⎧⎨+=⎩，对于A ，当1x =时，得220a y by +=⎧⎨=⎩，不能得1y =，如取0b =，11,2a y ==，满足条件，A 错误；对于B ，当23x y ==时，得1a b ==，此时点,M N 分别是线段,CD BC 的中点，B 正确；选项C ，由选项B 知，(1,2),(2,1)M N ，(1,1)MN =-，而(2,2)AC = ，212(1)0AC MN ⋅=⨯+⨯-= ，C 正确；选项D ，当22111CM CN+=时，显然2a ≠且2b ≠，此时0xy ≠，否则2a =或2b =，矛盾，即有22111(2)(2)a b +=--，而2222y a x x b y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因此22224(1)(1)x y x y x y +=+-+-，整理得2224(1),0,0x y x y x y +=+->>，而22222()()()22x y x y x y x y ++-++=≥，于是22()24(1)x y x y ++≥-，当且仅当x y =时取等号，整理得27()16()80x y x y +-++≥，令AC 交MN 于E ，显然E 与C 不重合，AE AC xAM y AN λλλ==+，01λ<<，由,,M E N 共线，得1x y λλ+=，即11x y λ+=>，解得8227x y ++≥，即，x y +的最小值为8227+，D 正确.故选：BCD18．如图所示，已知()0,0O ，()2,0A ，()11,1B ，作以1B 为直角顶点的等腰直角1OAB ，作点A 和点1B 的中点1C ，继续作以1C 为直角顶点的等腰直角121,B B C ，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以1122,,,,B C B C 为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是（）A ．所作的等腰直角三角形的边长构成公比为12的等比数列B ．第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为39,14B ⎛⎫⎪⎝⎭C ．点4C 的纵坐标为511512D ．若记第n 个等腰直角三角形的面积为n S ，则14lim 3ni n i S →∞==∑【答案】ABD【分析】由题意分析逐项判断即可.【详解】由图易知，所作的等腰直角三角形的边长构成公比为12的等比数列，故选项A 正确；选项B ，()()12311,1,11,1,11,14B B B ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，故选项B 正确；选项C ，点1C 的纵坐标为112-，点2C 的纵坐标为3112-，点3C 的纵坐标为5112-，点4C 的纵坐标为7112-，点5C 的纵坐标为9112-，故选项C 错误；选项D ，121111111141441,,lim lim 1lim lim 114416434314nni n n n n n ni S S S -→∞→∞→∞→∞=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===++++==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭∑ ，故选项D 正确.故选：ABD.五、单选题19．已知函数()ππ3cos cos (0)44f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数恰有3个零点，则正整数ω的取值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB【分析】化简()72sin 12f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意，结合正弦函数的图象，得到，734212ωππππ≤+<，求得ω的范围，结合选项，即可求解.【详解】由函数()3cos cos 3cos sin 4444f x x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭72sin 2sin 4312x x πππωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得777,1212212x ππωππω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有3个零点，结合正弦函数的图象可知，734212ωππππ≤+<，解出293966ω≤<，所以正整数ω的取值可以是5或6.故选：AB.六、多选题20．我们可以用统计图表表示数据，对获得数据进行统计分析.据《中国统计年鉴（2022）》可知，2016~2021年我国人口年龄分布情况（百分比）如表所示.（已知少儿抚养比()014%100%1564~=⨯~岁人数岁人数，老年抚养比()65%100%1564=⨯~岁及以上人数岁人数，总抚养比（%）=少儿抚养比（%）+老年抚养比（%））根据图表，下列说法正确的有（）A ．从2016年到2021年期间，0~14岁人口比重在逐年上升B ．从2016年到2021年期间，15~64岁人口比重在逐年下降C ．2021赡养老人的压力比2020年更重D ．2021年总抚养比大于2020年总抚养比【答案】BCD【分析】根据图表，逐项分析每个选项中的数据，可得答案.【详解】对于A ，由图表可知2018年到2019年间以及2020年到2021年间0~14岁人口比重在降低，A 错误；对于B ，从2016年到2021年期间，15~64岁人口比重在逐年下降，正确；对于C ，2021年65岁以及以上老年人抚养比为14.220.8%68.3≈，2020年65岁以及以上老年人抚养比为13.520.7%68.6≈，故2021赡养老人的压力比2020年更重，C 正确；对于D ，2021年总抚养比为14.217.546.4%68.3+≈，2020年总抚养比为13.517.945.8%68.6+≈，故2021年总抚养比大于2020年总抚养比，D 正确，故选：BCD七、单选题21．已知矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，沿着对角线AC 将ACD 折起，使得点D 不在平面ABC 内，当AD BC ⊥时，求该四面体ABCD 的内切球和外接球的表面积比值为（）A ．18935-B ．19935-C ．211235-D ．241235-【答案】C【分析】根据题意分析可得四面体的外接球的球心为AC 的中点O ，再利用等体积法求内切球的半径，进而可得结果.【详解】取AC 中点O ，由矩形的性质可知OA OB OC OD ===，即O 为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径1522R AC ==；因为,AD BC AD DC ⊥⊥，BC DC C = ，,BC DC ⊂平面BCD ，可得AD ⊥平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，则AD DC ⊥，且,AD BC BC AB ⊥⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，则BC BD ⊥，故该四面体ABCD 的四个面都是直角三角形，设四面体的内切球的半径为r ，因为内切球与四面体的四个面都相切，故r 满足13V rS =四面体表，则1112122133211113223r ⨯⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得32332423r -==+；因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为22222223324π211234π552S r r S R R ⎛⎫-⎪-⎝⎭====⎛⎫ ⎪⎝⎭内外.故选：C.22．我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数()2222,31313(0,0)f x y x x y y x xy y x y =-++-++-+>>的最小值（）A ．2B ．3C ．6D ．23【答案】A【分析】构造合适的三棱锥模型-P ABC ，其中1,,PA PB x PC y ===，，利用余弦定理证明(),f x y 即为底面周长，最后将其展开即可得到最小值.【详解】根据函数(),f x y 的表达式可知，构造三棱锥-P ABC ，其中1,,PA PB x PC y ===，且30,30,30APB BPC APC ∠∠∠=== ，由余弦定理可得，2231,31AB x x AC y y =-+=-+，223BC x xy y =-+，(),f x y 的最小值即为AB AC BC ++的最小值，将三棱锥-P ABC 按照PA 展开可得展开图，且90,2APA AA ∠'='= ，故(),f x y 的最小值为2.故选：A.。

1、 如图A 、B 、C 、D 为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来,则不同的修筑方案共有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种2、 一圆周上有9个点,以这9个点为顶点作三个三角形,当这三个三角形的边互不相交时,我们把它称为一种构图．则满足这样条件的构图共有 ( )A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种3、从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？4、从10,,4,3,2,1 这10个自然数中，每次取出不同的两个，使它们乘积是6的倍数，则不同的取法有__________种。

排列组合问题-思维方法5、设4321,,,x x x x 为自然数1，2，3，4的一个全排列，且满足643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有 个.6、 某年数学竞赛邀请了一位来自X 星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题：然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），这样所有题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n 种，则n 的值为（ ）A. 512B. 511C. 1024D. 10237、（2010理14）以集合{},,,U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1),U ∅都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有_________种不同的选法8、如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都只能向上或者向右走一格. 如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有_____对.（用数字作答）9、将前12个正整数构成的集合{}1,2,,12M =中的元素分成1234,,,M M M M 四个三元子集，使得每个三元子集中的三个数都满足：其中一个数等于另外两数之和，试求不同的分法种数.10、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．10、如图，用四种不同颜色给图中的,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种 DAC BA、288种B、264种C、240种D、168种。

智才艺州攀枝花市创界学校高二数学文科培优训练题二时量：120分钟总分值是：150分一、选择题：〔本大题一一共10个小题，每一小题5分，一共50分〕221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，那么m =(A)A ．14-B ．4-C ．4D ．14【解析】代m =14-入双曲线方程知:双曲线实轴长为2,虚轴长为4,应选A.2．中心在原点,准线方程为x=±4,离心率为21的椭圆方程为(A)A ．13422=+y x B.14322=+y x C.42x ＋y 2=1D.x 2＋42y =1【解析】由2a c =4，12c a =，所以2222,1,3a c b a c ===-=,应选A.3．假设抛物线28y x =的焦点与椭圆22212x y a +=〔0a >〕的右焦点重合，那么a 的值是〔D 〕 A ．3B．6D【解析】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以椭圆22212x y a +=的右焦点为(2,0)，那么224a -=，应选D.4．圆心在抛物线x y 42=上动圆，过点〔0，1〕且恒与定直线L 相切，那么直线L 的方程为〔C 〕A ．x=1B.x=161C.y=-1D.y=-161【解析】由点〔0，1〕为抛物线x y 42=的焦点，由抛物线的定义知直线L 即为抛物线的准线，应选C.5．双曲线22221(00)x y a b a b－＝＞，＞的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF的面积为O 为原点)，那么两条渐近线的夹角为〔C 〕 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【解析】易知点A 〔2,a abc c ±〕,又OAF S ∆211222A OF y ab ===,故3b a =,应选C. 6.〕抛物线C ：842+-=x x y 作C 关于原点对称的曲线C 1，然后把1C 的图象沿着向量m ＝〔b a ,〕平移后就可得到抛物线2x y -=的图象，那么b a ,之值分别是〔〕 A ．2，3B.3，2C.2，4D.3，3【解析】曲线C 1的方程为248y x x =---，然后把1C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位，就可得到抛物线2x y -=，应选C.2=14y 上的点到直线–4x+y+2=0的间隔的最小值是〔B 〕A.17 B．17C．17D ．0 【解析】由间隔公式知:d ===≥应选B ． 8．设11(,)A x y 9(4,),5B 22(,)C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，那么是“128x x +=〞的〔A 〕A.充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】由椭圆的焦半径公式知:|AF |=5－45x 1,|BF |=5–45×4,|CF |=5–45x 2,所以,AF ,BF CF 成等差数列2BF AF CF ⇔=+⇔x 1＋x 2=8,应选A.9.椭圆22a x +22by =1(a>b>0)上两点A ，B 与中心O 的连线互相垂直，那么21OA +21OB的值是(D) A ．221ba + B.221b a C.2222b a b a + D.2222ba b a + 【解析】恒成立问题特殊化,分别取A ，B 两点为(a,0)(0,b)即可知选D10.假设直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支点交于不同两点,那么k 的取值范围为(D)A.(,33-B.(0,3C.(3-D.(,1)3-- 【解析】画出图形,考察四个选项,A 、B 、C 三项明显错误.结合判别式,D 项确实正确.二．填空题〔本大题一一共5个小题，每一小题4分，一共20分〕11．假设圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，那么它的焦点坐标是)7,0(±． 【解析】由曲线为焦点在y 轴上的双曲线，其中C 2=(k ＋5)－(k －2)=7,故它的焦点坐标是)7,0(±．116922=-y x 的右焦点为F ，定点A 〔6，2〕，点P在双曲线右支上挪动，那么PF PA 53+的最小值为215【解析】设P 到双曲线准线的间隔为d ,由双曲线的第二定义知：PF PA 53+=PF d +≥215.28y x =的准线与x 轴交于点Q,假设过点Q 的直线l 与抛物线有公一共点,那么直线l 的斜率的取值范围为[-1,1]【解析】抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q(-2,0),设过点Q 的直线l :y -0=k (x +2),将直线方程代入28y x =整理得:222(48)k x k x +-240k +=,因为直线l 与抛物线有公一共点,所以2222(48)440k k k ∆=--⋅≥.解得:-1≤k ≤1.14．椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的间隔的乘积为m ，那么当m 取最大值时，点P 的坐标是()0,3-或者().0,3【解析】222PF PF PF PF a ⎛⎫+≤= ⎪ ⎪⎝⎭左右左右,等号当且仅当PF PF =左右时成立,此时点P 的坐标是()0,3-或者().0,3①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，那么动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，假设1()2OP OA OB =+,那么动为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有一样的焦点. ③④【解析】①与双曲线的定义不符,②由1()2OP OA OB =+知P 为弦AB 的中点,所以CP ⊥AB ,点P 的轨迹为以CA 为直径的圆(去掉点A),其它易知. 三、解答题16．等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，它截2y x =得到的弦长AB ，求双曲线方程.解：设等轴双曲线方程为阶段222y x a -=， ……………………………………………〔2分〕 将2y x =代入等轴双曲线222y x a -=，得223,x a =即x =，……………〔6分〕 由双曲线的对称性知：AB ==2……………………………………〔8分〕解得294a =，……………………………〔10分〕∴双曲线方程为2294x y -=…………〔12分〕17.〔总分值是12分〕抛物线),0p (px 2y 2>= 过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，O为坐标原点,求证:OB OA ⋅为定值;解:假设直线l 垂直于x 轴,那么)p ,2p (A ,)p ,2p(B - .=⋅OB OA .p 43p )2p (222-=- 假设直线l 不垂直于x 轴,设其方程为)2px (k y -=,)y ,x (A 11 )y ,x (B 22 .由0k 4p x )k 2(p x k px2y )2p x (k y 222222=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=2212122(2), 4k p x x p x x k ++=⋅=.OB OA ⋅1212x x y y =+＝12x x 212()()22p p k x x +--4k p )x x (k 2p x x )k 1(22212212++-+=22222222p 434k p kp )k 2(k 2p 4p )k 1(-=++⋅-+=综上,OB OA ⋅2p 43-=为定值.18．焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.〔Ⅰ〕求双曲线C 的方程；〔Ⅱ〕假设Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程.解:〔Ⅰ〕设双曲线C 的渐近线方程为y=k x ，即k x －y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±=〔2分〕故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ，又∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(∴222,a =∴21a =，∴双曲线C 的方程为122=-y x ………〔4分〕〔Ⅱ〕假设Q 在双曲线的右支上，那么延长QF 2到T ，使|QT|=|OF 1|,假设Q 在双曲线的左支上，那么在QF 2上取一点T ，使|QT|=|QF 1|根据双曲线的定义|TF 2|=2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ①………〔8分〕由于点N 是线段F 1T 的中点，设N 〔x ，y 〕，T 〔T T y x ,〕那么⎩⎨⎧=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x y y x x T T T T 222,222即 代入①并整理得点N 的轨迹方程为)22(122≠=+x y x …………〔12分〕 19．两定点M 〔－2，0〕，N 〔2，0〕，动点P 在y 轴上的射影是H ，假设PH PH ⋅和PN PM ⋅分别是公比为2的等比数列的第三项，第四项. 〔I 〕求动点P 的轨迹方程C ；〔II 〕过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同点A 、B ，R 为AB 的中点，定点Q 〔0，－2〕，求直线R Q 的横截距的取值范围．〔〕解：〔1〕设(,),(0,),P x y H y 则(,0),PH x =-(2,),PM x y =---(2,)PN x y =--∴2PH PH x ⋅=，224PM PN x y ⋅=-+ …………………………………………〔2分〕 ∴22224,x x y =-+P 点轨迹方程为)0(422≠=-x x y …………………〔5分〕〔2〕将(2)y k x =-代入224y x -=整理得:222(1)480k y ky k ---=,因为直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同点A 、B ，记11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么12200121212<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+>∆≠-k y y y y k ……………〔7分〕 那么AB 中点R 为)12,12(222--k kk k 可得直线QR 方程为x k k k y 2212-+=+……………〔9分〕令0=y 得45)211(220+--=k x ,其中)122(<<k …………………………〔12分〕∴022x <<…………………〔14分〕20．椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

高二数学人教版选择性必修第一册全册考试复习必刷检测卷（培优版）全解全析1．C 由题意，22()33OM MP OM MN O OM ON OM P =+=+=+-=23ON +13OM =23×12(OB +OC )+13×12OA =111633a b c++故选：C 2．A解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，设(),,1E x y 则[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以()1,,1EA x y =---，(),1,1EC x y =---，所以()()22221111111222EA EC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以211024x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，211024y ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1,12EA EC ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，故选：A3．C如图所示，由圆221:(4)(1)4C x y -+-=，可得圆心1(4,1)C ，半径为12r =，圆222:(4)1C x y +-=，可得圆心2(0,4)C ，半径为21r =，可得圆心距125C C ==，所以12||||52PM PN r r +≥--=，当12,,,,M N C C P 共线时，取得最小值，故||||PM PN +的最小值为2.故选：C.4．A由点P 是直线290x y +-=上的任一点，所以设()92P m m -,，因为圆22:4O x y +=的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，所以OA PA ⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆C 上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是92,22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且半径的平方是()222924m m r -+=，所以圆C 的方程是()22229292224m m m m x y -+-⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由224x y +=，两式相减，可得()9240m x my -+-=，即公共弦AB 所在的直线方程是()9240m x my -+-=，即()() 2940m y x x -+-=，由20940y x x -=⎧⎨-=⎩，解得48,99x y ==，所以直线AB 恒过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭.故选： A.5．D 【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 错误；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 错误；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 错误；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确.故选： D.6．A 【详解】作图，由题意得(),0A a -、(),0B a 、(),0F c -，设()0,E m ，由//PF OE 得MF AF OEAO=，则()m a c MF a-=①，又由//OE MF ，得12OE BO MF BF=，则()2m a c MF a +=②，由①②得1()2a c a c -=+，即3a c =，则13c e a ==，故选：A.7．A 【详解】设动点(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有的一点，所以两圆相切.圆()2214x y ++=的圆心坐标为()1,0-，半径为2，圆C ：()()22220y x r r +=->的圆心坐标为()20,，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，23r +=，得1r =，当两圆内切时，23r -=，0r >，得=5r ．故选：A.8．B设双曲线的渐近线OA 的倾斜角为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan a θ=，在等腰三角形2AOF 中，根据正弦定理可得：2sin sin 2OA OF θθ=，得2cos cOA θ=，所以122221tan 152sin 2224AF F c a SOA OF a θθ+=⨯⨯⨯⨯===，解得2a =或12，又1e <<e 1a >，从而2a =，所以双曲的方程为2214xy -=，故选：B ．【点睛】本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与a 的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出a 的值；题目也可以用渐近线方程直接求解9．AB对于A ：向量,a b 同向时，a b a b -≠+，故A 错误；对于B ：需要强调0b ≠r r，故B 错误；对于C ：因为2231+-=，则由共面定理知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对于D ：{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确；故选：AB 10．BCD对于A 中，当直线过原点时，此时直线在坐标轴上的截距相等，但不能用方程1x ya a+=表示，所以A 不正确；对于B 中，由圆224x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，半径为2r =，则圆心C到直线:0l x y -=的距离为1d =，所以圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离都等于1，所以B 正确；对于C 中，由圆22120C :x y x ++=，可得圆心坐标为1(1,0)C -，半径为11r =，由圆222480C :x y x y m +--+=，可得圆心坐标为2(2,4)C，半径为2r =可得圆心距125C C =，要使得圆1C 与2C 恰有三条公切线，则15=且200m ->，解得4m =，所以C 正确；对于D 中，设(,)P m n ，可得142m n+=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，两圆的方程作差，可得直线AB 的方程为1mx ny +=，消去n 可得()2102y m x y -+-=，令0,2102yx y -=-=，解得11,42x y ==，即直线AB 经过定点11(,42，所以D 正确.故选：BCD 11．AD 【详解】设,AB n →→的夹角为()0πθθ≤≤，由题意得11cos 3||||||AB nAB n AB n n ABθ→→→→→→→→⋅⋅==⋅=-⋅，∴sin 3θ=，①当双曲线的焦点在x 轴上时，其渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，∴点(0)2，到渐近线的距离为sin ||n d θ→==⋅，整理得2218b a =，∴c e a ==②当双曲线的焦点在y 轴上时，其渐近线方程为ay x b=±，即0ax by ±=，∴点(0)2，到渐近线的距离为42sin 3||n d θ→==⋅=，整理得228b a =，∴3c e a ==，综上双曲线的离心率为324或3.故选：AD.12．BCD 【详解】12OF F P c O O ===，12PF PF ∴⊥124cos 5F QF ∠=,设1||4,||5PQ m FQ m ==则1||3PF m =又11||||||4PQ FQ PF a ++=，12m =3m ∴=12|||PF PF ∴==12||2F F ∴=，即1,c e ==A 不正确；当点M 在y 轴上时三角形12MF F 面积的最大，此时1211222S F F OM ==⨯=,所以B 正确；因为12|||PF PF ==所以22124PF PF +=，故C 正确；圆228:9G x y +=，13r b =<=，圆在椭圆内部，所以点M 在椭圆内部，所以D 正确.故选：BCD 13．32解：由题意，翻折后1AD AB BC CD ====，BD =在翻折后的图形中，取BD 的中点O ，连接,AO CO ，则2AO CO ==则,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以2AOC π∠=，即AO CO ⊥，所以1AC =，又因AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥，则22||BP BP =211()22BA BC BD =-+21()2CA BD =+221||||4CA BD CA BD =++⋅94=，所以32BP =.故答案为：32.14．[)4,+∞解：设|34||349|z x y a x y =-++--=，故|34||349|x y a x y -++--可以看作点(,)P x y 到直线:340m x y a -+=与直线:3490l x y --=距离之和的5倍，|34||349|x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与点P 在圆上的位置无关，如图所示：可知直线m 平移时，P 点与直线m ，l 的距离之和均为m ，l 的距离，即此时圆在两直线内部，当直线m 与圆()()22321x y -+-=1，化简得|1|5a +=，解得4a =或6a =-（舍去），4a ∴≥，即[)4,a ∈+∞．故答案为：[)4,+∞．15．①③④解：(4,0)A ，(0,2)B ，∴过A 、B 的直线方程为142xy+=，即240x y +-=，圆22(5)(5)16x y -+-=的圆心坐标为(5,5)，圆心到直线240x y +-=的距离4d ，∴点P 到直线AB 的距离的范围为44]+，5<，∴41<，4105+<，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故①正确，②错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足PBA ∠最小或最大(P 点位于1P 时PBA ∠最小，位于2P 时PBA ∠最大），此时||BC ==||PB ∴==，故③④正确．故选：①③④．16【详解】由22CBF CF B ∠∠=，设2CB CF m ==，由双曲线的定义得122CF CF a -=，所以12BF a =，24BF a =，又因为过1F 的直线与by x a=-垂直，所以112tan F C a k BF F b=∠=，则12cos bBF F c∠=，在12BF F △中，由余弦定理得222222121212124416cos 28BF BF F F a c a b BF F BF BF ac c+-+-∠===⋅，令1a =，则2220b b --=，解得1b =所以c =则e =，17．（1）证明：把直线l 的方程改写成：()()72100x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3，4).圆C 的方程可写成()()221225x y -+-=，所以圆C 的圆心为(1，2)，半径为5.因为定点(3，4)到圆心(1，2)5=<，即点(3，4)在圆内，所以过点(3，4)的直线l 总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交（2）设直线l 与圆交于A 、B 两点.当直线l 过定点M (3，4)且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB|最短.因为2AB =此时1114231AB CMk k =-=-=---，所以直线AB 的方程为()413y x -=--，即70x y +-=.故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为l 的方程为70x y +-=.18．（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB Ì平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，PD ⊂Q 平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，AB PA A ⋂=，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连接PO 、CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥.因为AC CD =，所以CO AD ⊥.以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由题意得()0,1,0A 、,1,02B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、)C 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，所以()0,1,1PA =-，)1PC =-uu u r，1PB ⎫=-⎪⎪⎝⎭uu r .设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230x y z z +-=⎪⎪-=⎩，令2x =，则23z =3y =，所以(3,3n =.所以，3114cos ,38192n PA n PA n PA⋅<>==-=-⨯⋅，则直线PA 与平面PBC 11419．（1）圆222x y r +=与直线380x -=相切，∴圆心O 到直线的距离为22841(3)d r -==+-，∴圆O 的方程为：2216x y +=．若直线l 的斜率不存在，直线l 为2x =-，此时直线l 截圆所得弦长为43若直线l 的斜率存在，设直线l 为：()62y k x =+，则有2226431621k ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪+⎭⎝⎭，解得：612k =此时直线l 为26100x +-=，则所求的直线l 为2x =-或26100x +-=．（2）证明：由题意知，()40M ，，设直线MA ：()14y k x =-，与圆方程联立得：()122416y k x x y ⎧=⋅-⎨+=⎩，消去y 得：()()2222111181610k x k x k +-+-=，()21211611M A k x x k -∴=+，()2121411A k x k -∴=+，12181A k y k -=+，因为123k k ⋅=-，用13k -换掉1k 得到B 点坐标，21213649B k x k -∴=+，121249B k y k =+，则()1122111222111221124891434136491AB k k k k k k k k k k k +++==----++，∴直线AB 的方程为21112221118444131k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪+-+⎝⎭，整理得：()121423k y x k =--，则直线AB 恒过定点为()20，．20．（1）由题意知22222191,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由于A ，B 为椭圆C 上的点，所以2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得()()()()1212121243x x x x y y y y +-+-=-，所以()()120121*********x x x y y k x x y y y +-==-=--+.又00k y x =，故134k k =-，为定值.21．（1）抛物线C 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）存在直线1)y x =+或1)3y x =-+．【详解】（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p +=,解得4p =,所以28y x =，即准线方程为2x =-.（2）显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <.所以k <且0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=,121=x x .直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--,又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2y D x ---,因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x y x -+-=--.整理得121222y y k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得3k =±.经检验,3k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+．22．（1）2214x y +=；（2）是，()T .（1）由△12F PF3450x y -+=相切.∴121221PF F S c b b ⎧=⋅⋅=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得1b =，c =2a =，则椭圆C 的方程是2214x y +=.（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.法一：当直线l 斜率不存在时，以PQ 为直径的圆的方程为：223x y +=，恒过定点()0.当直线l 斜率存在时，设()1y k x =-，()0k ≠.由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222148440k x k x k +-+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+.又M 是椭圆C 的右顶点，则()2,0M .由题意知：直线AM 为()1122y y x x =--，故11(0,22y x P --.直线BM 为：()2222y y x x =--，故2220,2y Q x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.若以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立.又1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，∴21201222022y y PN QN x x x ⋅=+⋅=--恒成立.又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k ---=-++=-⨯+=+++()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫--=--=-++=-+= ⎪+++⎝⎭.∴()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+，解得0x =故以PQ 为直径的圆过x轴上的定点()0.法二：设1x my =+，代入2214x y +=得()224230m y my ++-=.12224m y y m +=-+，12234y y m =-+直线AM ：()1122y y x x =--，令0x =得11112221y y y x my --==+-，即1120,1y P my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，同理得2220,1y Q my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭设以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0T t ，有PT QT ⊥，即0PT QT ⋅=，则()21221212401y y t m y y m y y +=-++，将12y y +、12y y 代入得230t -=，t =()T .。

一、选择题1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A ．AB CD BC DA +=+ B ．AC BD BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+D ．AB DA AC DB +=+2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3π，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ） A ．23 B ．23C 72D 723．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A ．0B ．12C ．1D 34．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A 3B 2C ．2D ．35．若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π6．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形7．在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ）A ．2CP a b =+B ．CP a b =-C ．12CP a b =- D ．1233CP a b =+ 8．已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－43B ．－65C ．45D ．959．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．4-B ．3-C ．12D ．3410．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+11．若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．以上答案均错12．已知函数()sin f x x x =，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π13．已知sin α=，则44sin cos αα-的值为 A ．35B ．15-C ．15D ．3514．设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．7915．设0002012tan15cos 22,,21tan 15a b c ===+，则有（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．已知|a|=1，()b=13，，()b a a -⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_______________. 17．函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________.18．已知函数()cos()5f x x π=-的对称轴方程为__________．19．设向量(2,1)a =，(1,1)b =-，若a b -与ma b +垂直，则m 的值为_____ 20．设向量()sin ,2m θ=，()1,cos n θ=-，且m n ⊥，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________． 21．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________． 22．已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为3π，则|2|a b -=__________．23．若将函数sin y x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为________________.24．设G 是ABC ∆的重心（即三条中线的交点），AB a =，AC b =，试用a 、b 表示AG =________.25．已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+=____________ .三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若2cos 0S A =．（1）求cos A ；（2）若3a b c =-=，求,b c 的值．27．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin 5B C +=，求ABC ∆的面积. 28．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长.29．已知向量()1,3a =，(1,3b =-. （1）若a λb +与a b λ-垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+，求实数n 的取值范围； （3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈，求x c的最大值.30．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(sin ,sin sin )A B C =-m ，n =(3,)a b b c +，且m n ⊥．（1）求角C 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．D8．D9．B10．A11．A12．A13．A14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质两个向量的数量积的定义求得向量与向量的夹角的余弦值可得向量与向量的夹角的值【详解】由题意可得即为向量与向量的夹角）求得故答案为【点睛】本题主要考查向量的模17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就18．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》19．【解析】与垂直20．【解析】分析：先根据向量垂直得再根据两角差正切公式求解详解：因为所以因此点睛：向量平行：向量垂直：向量加减：21．【解析】由题意得22．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为23．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象而所以可得故答案为24．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【详解】=-，DC BC BD=-，DC AC AD∴AC AD BC BD-=-，∴AC BD BC AD+=+．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．B解析：B【解析】不妨设(1,0)a =，13(,22b =，(,)c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以22(2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．3．C解析：C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】 解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础4．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=-⨯+⨯=-， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．5．A解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．B解析：B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．解析：D 【解析】 【分析】利用向量三角形法则得到：1212++3333CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】利用向量三角形法则得到：221212++()++333333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==故选：D 【点睛】本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.8．D解析：D 【解析】 ∵tanθ＝2，∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝95. 本题选择D 选项.点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值. 【详解】依题意可知1tan 2α=-，11sin cos tan 1231sin sin tan 112αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题. 10．A解析：A 【解析】 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．考点：三角函数的性质. 11．A 解析：A 【解析】 【分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为()0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状. 【详解】()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形本题正确选项：A 【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.12．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈， 即ππ6m k =+，k Z ∈， 又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.13．A解析：A 【解析】44sin cos αα-()()2222sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1α=-35=-，故选A.点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.14．A解析：A 【解析】 试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.考点：三角函数15．A解析：A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >=sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质两个向量的数量积的定义求得向量与向量的夹角的余弦值可得向量与向量的夹角的值【详解】由题意可得即为向量与向量的夹角）求得故答案为【点睛】本题主要考查向量的模解析：3π【解析】 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义，求得向量a 与向量b 的夹角的余弦值,可得向量a 与向量b 的夹角的值. 【详解】由题意可得()1,132,0a b b a a ==+=-⋅=，即2a b a ⋅=,12cos 1(θθ∴⨯⨯=为向量a 与向量b 的夹角），求得1cos ,23πθθ=∴=，故答案为3π.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就.【解析】 【分析】先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】()1111sin cos sin cos cos 53352222f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()x x x ϕ==+，其中tan ϕ==，因此，函数()y f x =，.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.18．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》 解析：ππ,5x k k z =+∈【解析】 分析：令=,5x k k z ππ-∈，解出即可.详解：函数()cos 5f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为=,5x k k z ππ-∈，,5x k k z ππ=+∈故答案为：ππ,5x k k z =+∈. 点睛：考查了余弦函数的图像的性质》19．【解析】与垂直 解析：14【解析】a b -与ma b +垂直1()()0(1,2)(21,1)0212204a b ma b m m m m m ⇒-⋅+=⇒⋅+-=⇒++-=⇒=20．【解析】分析：先根据向量垂直得再根据两角差正切公式求解详解：因为所以因此点睛：向量平行：向量垂直：向量加减：解析：13【解析】分析：先根据向量垂直得sin 2cos 0θθ-= ，再根据两角差正切公式求解.详解：因为m n ⊥ ，所以=0m n ⋅,sin 2cos 0tan 2,θθθ-==，因此tan 1211tan().41tan 123πθθθ---===++点睛：向量平行：1221//a y b x y x ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b x x y y ±=±±21．【解析】由题意得 解析：223-【解析】由题意得()1122sin sin ,[,],cos 1.3293ππαααπα-==∈∴=--=- 22．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为 解析：3【解析】 【分析】 【详解】由已知得到向量a ，b 的数量积为1cos 32a b π⋅==，所以222|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为3.23．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象而所以可得故答案为 解析：【解析】32cos cos 2333y sinx x sinx xsin sin x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，将函数的图象向右平移()0ϕϕ> 个单位长度后，得到()2233y sin x sin x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，而sin y x x =-2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，33ππϕ-=- ，可得23ϕπ=，故答案为23π. 24．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关解析：1133a b +. 【解析】 【分析】延长AG 交BC 于点D ，利用重心的性质得出23AG AD =以及中线向量 ()12AD AB AC =+可求出AG 的表达式. 【详解】 延长AG 交BC 于点D ，则点D 为线段BC 的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC a b =+=+，则1122AD a b =+， G 为ABC ∆的重心，因此，221111332233AG AD a b a b ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭， 故答案为1133a b +. 【点睛】本题考查向量的基底分解，解题的关键就是三角形重心的性质和中线向量的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三解析：3 【解析】 【分析】由题意首先展开三角函数式，然后结合同角三角函数基本关系转化为tan α的式子，最后求解三角函数式的值即可. 【详解】由题意可得：22222(sin cos )sin 2sin cos cos cos 2cos sin ααααααααα+++=-22tan 2tan 11tan ααα++=-1114114++=-3=.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题，三角函数齐次式的计算，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26． （1）12-；（2）52b c =⎧⎨=⎩ 【解析】【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得A 的大小，进而求得cos A 的值.（2）结合（1）用A 的余弦定理，化简得出10bc =，结合3b c -=可求出,b c 点的值.【试题解析】（1）由1sin 2S bc A =有sin cos 0bc A A =，得tan A = 由0A π<<可得23A π=，故21cos cos32A π==-． （2）由余弦定理有：22222cos3a b c bc π=+-，得2239b c bc ++=，即()2339b c bc -+=，可得10bc =，由510b c bc -=⎧⎨=⎩，解得：52b c =⎧⎨=⎩．27．（1）(,1]2-；（2. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)123x π-<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )10+=+B C b c ，结合sin sin 5B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(2-．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c ．又sin sin B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．28．（12）7. 【解析】试题分析：（I ）在ABD ∆中，利用外角的性质，得()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠即可计算结果；（II ）由正弦定理，计算得3BD =，在ABC ∆中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I ）在ADC ∆中，∵1cos 7ADC ∠=，∴sin ADC ∠=∴()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠=（II ）在ABD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin AB BADBD ADB⋅∠==∠在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 49AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅= ∴7AC =考点：正弦定理与余弦定理．29．（1）1λ=±（2）2n ≤-或2n ≥（3）3【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标运算即可得解；（2）由向量模的运算可得2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，再结合判别式()22430n n ∆=--≤求解即可；（3）由向量模的运算可得2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭，再分别讨论当0x =时，当0x ≠时，求解即可. 【详解】解：（1）由向量()1,3a =，(1,3b =-. 则2a b ==由a b λ+与a b λ-垂直，得()()0a b a b λλ+⋅-=， 即2220a b λ-=，从而2440λ-=，解得1λ=±；（2）由ma nb a b +≥+，将222222m a mna b n b a b +⋅+≥+， 即2244412m mn n ++≥，从而2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立， 于是()22430n n ∆=--≤，解得2n ≤-或2n ≥；（3）当0x =时，0x c=；当0x ≠时，2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭22111444432y y y x x x ==⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当12y x =-时，||||x c 有最大值综上可得||||x c有最大值3. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属中档题.30．（1）6C π=；（2）【解析】 【分析】（1）根据()sin ()(sin sin )0m n a A b c B C ⋅=-++-=和正弦定理余弦定理求得6C π=.(2)先利用正弦定理求出R=1,b -化成2sin()6A π-，再利用三角函数的图像和性质求解. 【详解】（1）因为m n ⊥，所以()sin ()(sin sin )0m n aA b cBC ⋅=-++-=，由正弦定理化角为边可得2220a b c +-=， 即222a b c +-=，由余弦定理可得cos C =，又0C π<<，所以6C π=．（2）由（1）可得56A Bπ+=，设ABC 的外接圆的半径为R ，因为6C π=，1c =，所以122sin sin30c R C ===︒， 则52sin 2sin 2sin )2sin()]6b R A R B R A B R A A π-=-=-=--= 2sin()2sin()66R A A ππ-=-，因为ABC 为锐角三角形，所以025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即32A ππ<<，所以663A πππ<-<，所以1sin()262A π<-<，所以12sin()6A π<-<b -的取值范围为．【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值.。