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浅析电磁感应中焦耳热的来源作者：郑为双来源：《中学物理·高中》2013年第08期电磁感应中能量的转换问题一直是中学物理教学中的难点，面对不同类型电磁感应中焦耳热产生的机理，许多学生摸不着头脑、不知如何处理这类问题，本文通过几个典型事例分别从不同角度对电磁感应中焦耳热产生的原因阐述如下.1 动生电路中焦耳热的来源1.1 单根导体棒切割磁感线电路中焦耳热的来源例1 如图1所示，质量为m、电阻为r的导体杆与两水平平行导轨良好接触，并可以无摩擦地在导轨上滑动，导轨间距离为l，轨左端与电阻R连接，放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导线具有初速v0，求导体杆从开始到停下的过程中电阻R上产生的热量.[TP8GW195.TIF，BP#]分析导体棒在磁场中向右作切割磁感线运动时，如图2所示，从微观的角度看，导体棒中电子有斜向右下方的速度，根据左手定则电子所受的洛伦兹力斜向左下方，将洛伦兹力分解为沿导体棒方向力F1和垂直导体棒的力F2，其中在F1作用下导体两端形成一电场，当洛伦兹力和电场力平衡时有eE=evB，棒上产生的非静电场E=vB，棒两端的电动势为ε=El=Blv，当导体棒与电阻R连接对外供电时，非静电力做的功等于回路消耗的电能，另外水平向左的力F2对电子做负功，大量电子水平向左的合力宏观上就是安培力，也就是说安培力对棒做负功，由于洛伦兹力不做功，所以F1和F2做功的数值相等，安培力对棒做功的大小为W安=[SX（]1[]2[SX）]mv2，那么电路中的焦耳热为Q=W安，因此QR=[SX（]R[]R+r[SX）]Q=[SX（]Rmv2[]2（R+r）[SX）].再从宏观上说，安培力的功率为P安=F安v=BIl·v，电路的电功率P电=E·I=Blv·I，可见安培力功率等于电路的电功率，所以单根导体棒作切割磁感线运动且做负功时，电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功.1.2 双根导体棒切割磁感线例2 如图3，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计.整个装置处于垂直[TP8GW196.TIF，Y#]于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B.在t =0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动.已知d =1 m，m =0.5 kg，R=0.5 Ω，B=0.5 T，θ=30°，g取10 m/s2，不计两导棒间的相互作用力.若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v1=2 m/s的速度沿导轨向上运动，当t=2 s时，b的速度达到5.06 m/s，2 s内回路中产生的焦耳热为13.2 J，求该2 s内力F做的功.分析本题有两根导体棒作切割磁感线运动，电路中焦耳热的产生与哪些因数有关呢？为了从不同层面理解这一问题，假设a棒以一定速度v1向上匀速运动时，若b棒由静止释放后向下运动，由牛顿第二定律得mgsinθ-BId=ma，又I=[SX（]Bd（v1+v2）[]2R[SX）]，即有mgsinθ-[SX（]B2d2（v1+v2）[]2R[SX）]=ma，最终作匀速运动时加速度a=0，可得v1+v2=[SX（]2Rmgsinθ[]B2d2[SX）].代入数据得v1+v2=10 m/s.同理，若b棒由静止释放后向上运动，可得v1-v2=10 m/s.说明在两根棒都稳定时，两棒速度之和（之差）为定值，根据v1+v2或v1-v2值讨论可知两根棒在稳定时有：（1）若v1=2 m/s时，则b棒稳定时速度v2=8 m/s向下运动，此时安培力对两棒都做负功，都是将其他能量转化[KH-2][KG-2]TBA 0.8Lsinθ> GA0.6Lcosθ，则A方围绕支点O向前倾倒而落败.（2）若v1=10 m/s时，则b棒是静止的，此时安培力对a棒做负功，对b棒不做功，只有a棒将其他能量转化为电能.（3）若v1=12 m/s时，则b棒稳定时速度v2=2 m/s向上运动，此时安培力对a棒做负功，对b棒做正功，a棒将其他能量转化为电能，b棒将电能转化为机械能.根据上面几种情况可知，a棒的速度不同，安培力对两棒做功情况也不同，做功的数值也不同，从能量守恒的观点对系统有WF+Wa+Wb+WGG+WGb=ΔEka+ΔEkb，即可表达为WF+（Wa+Wb）=（ΔEka-WGa）+（ΔEkb-WGb）=ΔEa+ΔEb.从上式中可看出：拉力F所做的功，一部分转化为系统的机械能（ΔEa+ΔEb），另一部分通过安培力做功（Wa+Wb）转化为系统内产生的焦耳热，由上面数据分析可知，（Wa+Wb）为负值，所以焦耳热Q=-（Wa+Wb）.可见，对双棒作切割磁感线运动时，系统内产生的焦耳热等于克服一对安培力做功之和，而不是哪个安培力单独做功产生的.2 感生电路中焦耳热的来源例3 如图4所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路.线圈的半径为r1.在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图2所示.图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0.导线的电阻不计.求0～t1时间内，电阻R1上产生的热量.分析本题是一道典型的感生问题，从宏观上看，当磁场发生变化时，线圈中磁通量发生变化，根据法拉第电磁感应定律：E=n[SX（]ΔΦ[]Δt[S X）]=nπr22[SX（]B0[]t0[SX）]，可求得感应电动势，再利用欧姆定理和焦耳定律即可求出R1上产生的热量Q=I2R1t1=[SX（]2π2n2r42B20t1[]9Rt20[SX）].从微观上看，根据电子理论变化的磁场将会激发一种电场叫感生电场，感生电场不同于静电场，它是一种涡旋场，电场线是一圈一圈的闭合线，如图5所示，回路中磁通量的变化全是由磁场变化所引起的，设感生电场强度为E，法拉第电磁感应定律可表示为[DD（X]L[DD）][WTHX]E[WTBX]·d[WTHX]l[WTBX]=-[DD（X]S[DD）][SX（]B[]t[SX）]·d[WTHX]S[WTBX]，由已知可得E=[SX（]r22B0[]2r1t0[SX）]，即说明线圈虽然不在磁场中，但线圈所[HJ1.5mm]在处存在感生电场，正是在电场力驱动下线圈中电子定向移动形成电流，根据电动势定义可知ε=[SX（]eEl[]e[SX）]，图中导线长为2πr1，则圆形线圈上的感生电动势为ε=πr22[SX（]B0[]t0[SX）]，再根据欧姆定律和焦耳定律可求出电阻R1产生的热量.那么在感生电路中，焦耳热由变化磁场所产生的感生电场中的电势能转化而来，也可以说是由变化的磁场提供了能量.3 运动的磁场中焦耳热的来源例4 如图6所示，间距为L的光滑平行长直金属导轨置于水平面内，导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上.导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好.在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.开始时导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内.（1）略.（2）导体棒以恒定速度运动时，电路中消耗的电热功率是多大？分析当磁场向右运动时，导体棒中产生由a向b的电流，导体棒受到水平向右的安培力作用，从而使导体棒随着磁场向右运动，从微观的角度来看，导体棒中的电子一方面随着导体棒有向右的速度，另一方面在棒中有由b向a的速度，因此电子相对于磁场的速度如图7所示，它所受的洛伦兹力F可分解为F1和F2，如图7，其中所有电子∑F1宏观表现为安培力，安培力对棒做正功；F2是非静电力，对电子做正功，从而使导体棒两端产生电势差，其中安培力的功率为P安=Fv=BIlv，电路的热功率P热=EI=BlI（v1-v），这两者数值并不相等且都做正功，说明在这样的电路中安培力做功与电路中电能的产生没有直接关系，随着导体棒速度增大，导体棒加速度逐渐变小，当导体棒稳定时有BIl=f，可得P热=I2R=[SX（]f2R[]B2l2[SX）].从上面分析中可得，洛伦兹力F对导体棒做正功且功率为P=P安+P电=BIlv+BIl（v1-v）=BIlv1，导体棒对磁场的作用力F′对磁场做负功且功率为P′=F′v1conα=F1v1=BIlv1，这两个力功率数值相等，根据能量守恒定律，可知棒中产生的焦耳热来自于运动的磁场提供的能量.。
讨论电磁感应现象中回路的焦耳热与系统克服安培力做功的关系【摘要】在高中物理电磁感应现象中，如果回路中感应电流和电阻都为定值，则回路焦耳热的求解可直接由焦耳定律Q=I2Rt来求解，但对于两者中若有一项或两项为变量，则焦耳热的求解问题会变得比较复杂，将此问题转化为功能关系来求解往往是大多数同学采用的思路。
在求解此类问题时，同学们往往会直接用求解安培力做功来得到回路的焦耳热，究竟两者是不是完全等价呢，本文中通过几个典型模型来研究两者间的关系。
【关键词】安培力做功; 焦耳热模型一：匀强磁场中，一根导体棒切割磁感线时，回路产生的焦耳热与系统克服安培力做功比较如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。
有一导体棒ab，质量为m，导体棒的电阻与固定电阻R1和R2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为F。
导体棒切割磁感线产生电动势，导体棒相当于电源，设导体棒切割长度为L，总电阻为R，则回路的感应电动势ε=BLv，流过棒的电流，回路中总的热功率p1=εI=BLvI。
因为导体棒所受的安培力为变力，所以棒克服安培力做功的功率p2=Fv=BILv，对比可得p1= p2，即系统中只有一个安培力做功时，导体棒克服安培力做功的功率等于回路产生的焦耳热的热功率，而不是只等于导体棒的热功率。
模型二：若系统中有多个安培力做功，回路产生的焦耳热与系统克服安培力做功比较如图所示，足够长的水平光滑金属导轨宽度为L，导轨电阻不计。
两金属棒ab和bc的质量均为m，平行放置在金属导轨上，总电阻为如R。
整个装置处在方向竖直向下的匀强磁场中。
现给ab棒一个水平向右的初速度v0，则cd棒也向右运动。
ab棒切割磁感线产生电动势为ε1=BLv1，由楞次定律可知cd棒也向右切割磁感线，但速度比ab棒小，ε1=BLv2，（v1>v2），则回路中的感应电动势ε= BLv1- BLv2，回路中的热功率p1=εI=BL（v1-v2）I，流过两根棒的电流等大反向，磁场相同，所以两根棒的安培力等大方向，安培力对ab棒做负功，对cd棒做正功，系统克服安培力做功的功率p2=BILv1-BILv2= BIL（v1-v2），对比可得p1=p2。
电磁感应现象中的焦耳热的求解一、利用焦耳定律来求解根据电路结构特征，利用焦耳定律来计算电路中所产生的总热量.例1．（2011年高考浙江卷）如图1所示，在水平面上固定有长为L=2m、宽为d=1m的金属“U”型轨导，在“U”型导轨右侧l=0.5m范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化规律如图2所示。
在t=0时刻，质量为m=0.1kg的导体棒以v=1m/s的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.1，导轨与导体棒单位长度的电阻均为λ=0.1Ω/m，不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响（取g=10m/s2）。
（1）通过计算分析4s内导体棒的运动情况；（2）计算4s内回路中电流的大小，并判断电流方向；（3）计算4s内回路产生的焦耳热。
解析：（1）导体棒先在无磁场区域做匀减速运动，有，，。
代入数据解得：t=1s，x=0.5m，导体棒没有进入磁场区域。
导体棒在1s未已停止运动，以后一直保持静止，离左端位置仍为x=0.5m。
（2）前2s磁通量不变，回路电动势和电流分别为E=0，I=0。
后2s回路产生的电动势为。
回路的总长度为5m，因此回路的总电阻为，电流为。
根据楞次定律，在回路中的电流方向是顺时针方向。
（3）前2s电流为零，后2s有恒定电流，焦耳热为。
点评：通过焦耳定律来计算电路中的热量时，产生的感应电流应是恒定电流或者是正弦工式交变电流，否则的话，便很能计算。
二、利用克服安培力做功求解在电磁感应现象中，由于克服安培力所做的功将其他形式的能转化成电能，在电路中产生的热量等于克服安培力所做的功。
例2．（2010年高考上海卷）如图3所示，度L＝0.5 m的光滑金属框架MNPQ固定于水平面内，并处在磁感应强度大小B＝0.4T，方向竖直向下的匀强磁场中，框架的电阻非均匀分布．将质量m＝0.1kg，电阻可忽略的金属棒ab放置在框架上，并与框架接触良好。
以P为坐标原点，PQ方向为x轴正方向建立坐标．金属棒从x0＝1m处以v0＝2m/s的初速度，沿x轴负方向做a＝2m/s2的匀减速直线运动，运动中金属棒仅受安培力作用。
从一节公开课谈电磁感应中焦耳热的求解作者：王莉来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期电磁感应是中学物理的重要组成部分，它集力学、运动学、能量和电路知识与一体，综合性强，思维容量大，是中学阶段的教学重点，也是历年高考的热点.而电磁感应中安培力的做功与闭合回路中产生的焦耳热的求解更是学生学习的难点.苏北四市物理教学研讨会上一位老师开设了《电磁感应中的力与能量》公开课，重点介绍了电磁感应中焦耳热的求解，课上原例题：水平面上两根足够长的金属导轨MNPQ平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m、电阻为r的金属棒ab，整个装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向下，如图所示.金属棒ab始终与导轨接触良好且垂直，不计导轨电阻及一切摩擦.（1）开始时磁感强度为B0 ，且MabP构成边长为L的正方形.若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k，金属棒ab始终保持静止.求t=t1秒时电阻R上产生的焦耳热为多少？（2）现用一恒力F沿轨道方向拉金属棒ab，使之由静止沿导轨向右做直线运动.求：①金属棒ab达到的稳定速度v1为多大？②当金属棒ab沿导轨运动距离为s时获得稳定速度，此过程电阻R上产生焦耳热Q1为多大？（3）若当金属棒ab运动到某位置x0时撤去外力，并以P为坐标原点O，PQ方向为x轴正方向建立坐标系.让金属棒从x0处以v0的初速度沿x轴负方向做加速度大小为a的匀减速直线运动，运动中金属棒仅受安培力作用，且aMPb部分的总电阻随金属棒的位置而变化.所以当感应电流恒定值时，可以用焦耳定律直接求解焦耳热.若感应电流是变化的，一般不直接使用该公式，如果是按照正（余）弦规律变化的，也可以使用该公式，但是电流必须是有效值.2.利用能量守恒定律求解。
电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析教学案例近年来高考试题、各地模拟试题频频出现电磁感应中求解电热能即焦耳热的题型，其解题途径往往有两条：一是用公式Q=I 2Rt 求解；二是计算克服安培力做的功W 克安，运用W 克安＝Q 来间接计算。
学生在解题中常常因为不能很好的理解和应用而陷入迷茫，为了提高学生的甄别能力，避免解题时出错，本文将几种电磁感应问题中焦耳热的求解方法归类总结如下：一、用公式Q=I 2Rt 计算的三种情形1、用公式Q=I 2Rt 直接计算Q=I 2Rt 直接应用的前提是电流恒定或电流I 以方波规律变化，对于动生电动势E ＝BLV 一般指在匀强磁场中导体棒切割磁感线的速度V 不变；而对于感生电动势tn E ∆∆Φ=，则要求t∆∆Φ不变。
例1、如图所示，矩形金属线圈的质量为m ，电阻为R ，放在倾角为θ的光滑斜面上，其中ab 边长度为L ，且与斜面底边平行。
MN 、PQ 是斜面上与ab 平行的两水平虚线，间距为D 。
在t=0时刻加一变化的磁场，磁感应强度B 大小随时间t 的变化关系为B=B 0-Kt ，开始方向垂直斜面向上，Kt 1＜B 0＜Kt 2。
在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放，在t=t 1时刻ab 边进入磁场，t=t 2时刻ab 边穿出磁场，穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0。
（重力加速度为g ）求：（1）从t ＝0到t ＝t 1运动过程中线圈产生的热量Q ； （2）在t ＝t 1时刻，线圈中电流大小；（3）线圈的ab 边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W 。
解析：（1）求解的是均匀变化磁场引起的感生电流产生的焦耳热，在0到t 1时间内：＝LDK tB＝SE ∆∆感生是恒定不变的，感应电流大小R LDK ＝R E I ＝感生，所以在0到t 1时间内产生的焦耳热Q ＝I 2Rt 1＝1222t RK D L ， （2）在0到t 1时间内，矩形线圈做初速度为0加速度a ＝gsin θ的匀加速直线运动，t 1时刻，速度v 1＝gsin θt 1，t 1时刻，线圈中既有感生电动势，又有动生电动势，根据楞次定律和右手定则，两个电动势同向，所以E 2＝（B 0－Kt 1）Lv 1＋LDK ， E 2＝（B 0－Kt 1）L gsin θt 1＋LDK ， 所以 R＋LDKt Lg －Kt B ＝R E ＝I 11022sin )θ（ （3）t 2时刻，ab 边穿出磁场瞬间的速度为v 2，此时只有动生电动势 E 3＝（Kt 2－B 0）L v 2，I 3＝RE 3， 由于t 2时刻加速度为0，根据牛顿第二定律：mgsin θ －（Kt 2－B 0）I 3L ＝0， 考虑ab 边进入MN 到ab 边离开PQ 的过程中，利用动能定理： mgDsin θ－W 克安＝21mv 22－21mv 12 解得：W 克安＝mgDsin θ＋21mg 2sin 2θt 12－44022223(2sin L－B Kt R g m ）θ 2、用电流I 的有效值计算当导体棒垂直切割磁感线运动时，产生的动生电动势E ＝BLV ，公式中只要B 、L 、V 任意一个物理量按正弦（余弦）规律变化，回路中都会产生正弦（余弦）交流电，此时就可以用电流的有效值来计算焦耳热。
讨论电磁感应现象中回路的焦耳热与系统克服安培力做功的关系【摘要】在高中物理电磁感应现象中，如果回路中感应电流和电阻都为定值，则回路焦耳热的求解可直接由焦耳定律Q=I2Rt来求解，但对于两者中若有一项或两项为变量，则焦耳热的求解问题会变得比较复杂，将此问题转化为功能关系来求解往往是大多数同学采用的思路。
在求解此类问题时，同学们往往会直接用求解安培力做功来得到回路的焦耳热，究竟两者是不是完全等价呢，本文中通过几个典型模型来研究两者间的关系。
【关键词】安培力做功; 焦耳热模型一：匀强磁场中，一根导体棒切割磁感线时，回路产生的焦耳热与系统克服安培力做功比较如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。
有一导体棒ab，质量为m，导体棒的电阻与固定电阻R1和R2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为F。
导体棒切割磁感线产生电动势，导体棒相当于电源，设导体棒切割长度为L，总电阻为R，则回路的感应电动势ε=BLv，流过棒的电流，回路中总的热功率p1=εI=BLvI。
因为导体棒所受的安培力为变力，所以棒克服安培力做功的功率p2=Fv=BILv，对比可得p1= p2，即系统中只有一个安培力做功时，导体棒克服安培力做功的功率等于回路产生的焦耳热的热功率，而不是只等于导体棒的热功率。
模型二：若系统中有多个安培力做功，回路产生的焦耳热与系统克服安培力做功比较如图所示，足够长的水平光滑金属导轨宽度为L，导轨电阻不计。
两金属棒ab和bc的质量均为m，平行放置在金属导轨上，总电阻为如R。
整个装置处在方向竖直向下的匀强磁场中。
现给ab棒一个水平向右的初速度v0，则cd棒也向右运动。
ab棒切割磁感线产生电动势为ε1=BLv1，由楞次定律可知cd棒也向右切割磁感线，但速度比ab棒小，ε1=BLv2，（v1>v2），则回路中的感应电动势ε= BLv1- BLv2，回路中的热功率p1=εI=BL（v1-v2）I，流过两根棒的电流等大反向，磁场相同，所以两根棒的安培力等大方向，安培力对ab棒做负功，对cd棒做正功，系统克服安培力做功的功率p2=BILv1-BILv2= BIL（v1-v2），对比可得p1=p2。
电磁感应中的能量问题复习精要1. 产生和维持感应电流的存在的过程就是其它形式的能量转化为感应电流电能的过程。
导体在达到稳定状态之前，外力移动导体所做的功，一部分消耗于克服安培力做功，转化为产生感应电流的电能或最后再转化为焦耳热，另一部分用于增加导体的动能，即当导体达到稳定状态（作匀速运动时），外力所做的功，完全消耗于克服安培力做功，并转化为感应电流的电能或最后再转化为焦耳热2.在电磁感应现象中，能量是守恒的。
楞次定律与能量守恒定律是相符合的，认真分析电磁感应过程中的能量转化，熟练地应用能量转化与守恒定律是求解叫复杂的电磁感应问题常用的简便方法。
3.安培力做正功和克服安培力做功的区别：电磁感应的过程，同时总伴随着能量的转化和守恒，当外力克服安培力做功时，就有其它形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其它形式的能。
4.在较复杂的电磁感应现象中，经常涉及求解焦耳热的问题。
尤其是变化的安培力，不能直接由Q=I 2 Rt 解，用能量守恒的方法就可以不必追究变力、变电流做功的具体细节，只需弄清能量的转化途径，注意分清有多少种形式的能在相互转化，用能量的转化与守恒定律就可求解，而用能量的转化与守恒观点，只需从全过程考虑，不涉及电流的产生过程，计算简便。
这样用守恒定律求解的方法最大特点是省去许多细节，解题简捷、方便。
1．如图所示，足够长的两光滑导轨水平放置，两条导轨相距为d ，左端MN 用阻值不计的导线相连，金属棒ab 可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为r 0，金属棒ab 的电阻不计。
整个装置处于竖直向下的均匀磁场中，磁场的磁感应强度随时间均匀增加，B =kt ，其中k 为常数。
金属棒ab 在水平外力的作用下，以速度v 沿导轨向右做匀速运动，t =0时，金属棒ab 与MN 相距非常近．求：（1）当t =t o 时，水平外力的大小F ．（2）同学们在求t =t o 时刻闭合回路消耗的功率时，有两种不同的求法： 方法一：t =t o 时刻闭合回路消耗的功率P =F·v ．方法二：由Bld =F ，得 F I Bd= 2222F R P I R B d ==（其中R 为回路总电阻）这两种方法哪一种正确?请你做出判断，并简述理由．x2.如图所示，一根电阻为R=0.6Ω的导线弯成一个圆形线圈，圆半径r=1m ，圆形线圈质量m=1kg ，此线圈放在绝缘光滑的水平面上，在y 轴右侧有垂直于线圈平面B=0.5T 的匀强磁场。
电磁感应中“电-动-电”型导体棒的电势和焦耳热的求法电磁感应中的单棒问题分为“动-电-动”型和“电-动-电”型两种情况，其中“电-动-电”型由于涉及两个电源（原电源和动生电源），难度较大，导体两端的电势求解容易出错；焦耳热的产生是原电源和动生电源综合作用的结果，涉及力电磁三方面的相关知识，综合性强，不容易找到突破口。
本文试结合等效电路图画法和能量守恒定律破解这一难点。
请看典型题目：例1.电磁炮是利用电磁力对弹体加速的新型武器．某小组用图示装置模拟研究电磁炮的原理．间距为0.1 m 的水平长导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为0.5 T，左端所接电池的电动势为1.5 V、内阻为0.5 Ω.长为0.1 m、电阻为0.1 Ω的金属杆ab静置在导轨上．闭合开关S后，杆ab向右运动，在运动过程中受到的阻力恒为0.05 N，杆ab始终与导轨垂直且接触良好．导轨电阻不计，则杆ab()A．先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动B．能达到的最大速度为12 m/sC．两端的电压始终为0.25 VD．达到最大速度时，a、b两端的电压为1 V分析：闭合开关后，导体ab中先有由b到a的电流，然后受到向右的安培力而向右运动；由于向右运动，ab中产生动生电动势E‘=BLv,根据右手定则，可判断出b为动生电源的正极。
画出等效电路图如图所示，电路中的电流为I=E－BL v R＋r设电源的内阻为r ，杆ab 的电阻为R ，速度为v 时，有：F 安＝BIL ＝B E －BL v R ＋rL ，根据牛顿第二定律：F 安－f ＝ma ，分析可知，杆ab 做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零时，杆ab 做匀速运动，A 错误；当杆ab 匀速时有最大速度，此时F 安＝B E －BL v m R ＋r·L ＝f ，代入数据解得：v m ＝E BL －f （R ＋r ）B 2L 2＝18 m/s ，B 错误；杆ab 运动过程中，回路电流：I ＝E －BL v R ＋r，a 、b 两端电压：U ≠IR ab ,很多同学容易在此出错，U =IR ab +BLv 或U ＝E －E －BL v R ＋r r ，随着速度变大，a 、b 两端电压在变化，当ab 速度最大时，将v m ＝18 m/s 代入解得a 、b 两端此时的电压：U ＝1 V ，C 错误，D 正确．反思：可见，此类“电-动-电”类导体棒问题，画出等效电路图是解决问题避免出错的关键。
电磁感应中的“焦耳热”求解策略作者：王旭来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2011年第12期摘要：电磁感应是高中物理选修模块的内容，是高考的热点和难点，而“电磁感应”中的“焦耳热”问题，在历年高考的计算题中经常出现。
本文将以具体题目为例讨论电磁感应中的“焦耳热”问题的求解策略。
关键词：电磁感应；焦耳热；求解策略中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2011）12-044-02一、根据焦耳定律求解例1 如图所示，平行导轨竖直放置上端用导线连接一个电阻，阻值中间跨接的金属棒与导轨组成闭合回路，平行导轨间存在垂直导轨所在平面向里的磁场，t=0时，磁感应强度为，开始时磁感应强度随时间而变化，1秒后磁感应强度不变。
设从t=0开始金属棒从距导轨上端处自由释放并做自由落体运动，导轨间距为，金属棒与导轨接触良好，且不计摩擦，棒的质量为，导轨及金属棒电阻不计，g取1。
求：（1）第1秒内磁感应强度随时间变化规律；（2）1～2秒过程中电阻产生的热量是多少解析：（1）略（2）当时，且1～2秒过程中保持1T不变，末金属棒的速度，金属棒受到的安培力因为，故金属棒做匀速运动，即回路中产生的恒定的电流，且，∴点评：本题中第二问中回路产生的电流是导体棒平动切割恒定磁场产生的感应电流，而经计算分析可知导体棒是匀速运动，所以回路中的感应电流为恒定电流，故可以直接使用焦耳定律进行计算。
若遇到求解交流电所产生的焦耳热时要用电流的有效值进行计算，即用Q=I有求解。
二、运用动能定理或能量转化和守恒定律求解例2 如图(a)所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上。
在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度的大小随时间t变化的规律如图(b)所示。
t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab 从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上由静止释放。
电磁感应单杆模型中的焦耳热问题解答
焦耳热是电磁感应单杆模型中的一种物理现象，是由于单杆模型中电流的作用，产生的热量。
焦耳热的特点是：电流流过绕组时，在线圈的深部产生的热量是由于变压器的等效电阻及其局极阻次数的变化而受到限制的。
焦耳热的形成和发展受到时间和空间主导，由于传热机理耦合，从而影响变压器的稳定性。
为了降低电磁感应单杆模型中的焦耳热，有以下方法可以采取：
一是提高线圈的抗热强度，采用高素质的传热材料，增加线圈的厚量来减少传
热的作用，从而减少变压器的焦耳热。
二是减少电流，采用多道绕绕组电路结构，将流入绕组电流分解成若干较小的
流动，减小每一路绕组电流，较大程度减少焦耳热。
三是改变设计，采用多芯片结构变压器，以便改变变压器等效电阻和次数，使
热量分布更均匀，提高绝缘性能。
四是采用导热封装，在发热芯片表面封装一层传热封装材料，加速热量的传导
和散发，减少焦耳热的产生。
以上是关于电磁感应单杆模型中焦耳热的解决方法，综合运用以上方法可以有
效改善变压器的热性能，充分发挥变压器的使用价值。
电磁感应中的“焦耳热”问题有关“电磁感应”的题目，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。
“电磁感应”题中的“焦耳热”问题，又是高考题中常出现的问题。
所谓“焦耳热”，就是电流产生的热量，“电磁感应”中的“焦耳热”，是感应电流产生的热量。
“焦耳热”的求法通常有3种：一是直接法，根据公式Rt I Q 2=求解；二是间接法，应用动能定理2202121mv mv Q -=或能量守恒定律2222112121mv mgh Q mv mgh ++=+求解。
三是用功与功率的关系Pt Q =求解。
请看下面的例题。
例1.2006年高考上海卷第22题22．（14分）如图所示，将边长为a 、质量为m 、电阻为R 的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f 且线框不发生转动．求：（1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度V 2； (2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度V 1； （3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q ．【解析】（1）下落阶段匀速进入，则有mg=f+B 2a 2v 2R ，解得v 2=(mg-f)R B 2a2（2）由动能定理知，离开磁场的上升阶段：(mg+f)h=12 mv 12 ，下落阶段：(mg －f)h=12 mv 22由以上两式及第（1）问结果得：v 1=RB 2a 2(mg)2－f 2（3）分析线框在穿越磁场的过程，设刚进入磁场时速度为v 0，由功能关系有：12 mv 02 －12 mv 12 ＝(mg+f)(a+b)+Q 由题设知v 0=2v 1解得：Q=(mg+f)[3mR 22B 4a4 (mg －f)－a －b]【点评】，线框在（向上）穿越磁场的过程，重力和阻力都做负功，并且克服安培力做负功转化为焦耳热，由功能关系有： 12 mv 02 －12mv 12 ＝(mg+f)(a+b)+Q 解得：解得：Q=(mg+f)[3mR 22B 4a 4 (mg －f)－a －b]例2.2007年高考上海物理卷第23题23．（13分）如图（a ）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L 、导轨左端接有阻值为R 的电阻，质量为m 的导体棒垂直跨接在导轨上。
导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。
在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。
开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v 1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。
（1）求导体棒所达到的恒定速度v 2；（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？ （4）若t ＝0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v -t 关系如图（b ）所示，已知在时刻t 导体棒瞬时速度大小为v t ，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。
(b)【解析】（1）磁场以速度v 1匀速向右移动，相当于导体棒相对于磁场以速度v 1匀速向左移动，根据右手定则，导体棒中感应电流方向向下，根据左手定则，导体棒受安培力方向向右，导体棒开始向右运动（相对导轨），当安培力与阻力大小相等时，导体棒达到恒定速度2v ，此时，导体棒与磁场的相对运动速度为（v 1－v 2）。
所以，感应电动势为E ＝BL （v 1－v 2），感应电流为I ＝E /R ，安培力为F ＝BIL ＝B 2L 2（v 1－v 2）R ，速度恒定时有：B 2L 2（v 1－v 2）R ＝f ，可得：v 2＝v 1－fRB 2L2 。
（2）v 2＝v 1－fR B 2L 2 >0, f <B 2L 2v 1R。
（3）P 导体棒＝Fv 2＝f ⎝⎛⎭⎫v 1－fR B 2L 2 ，P 电路＝=R I 2R E 2＝B 2L 2（v 1－v 2）2R ＝f 2R B 2L 2 ，（4）因为B 2L 2（v 1－v 2）R －f ＝ma ，导体棒要做匀加速运动，必有v 1－v 2为常数，设为∆v ，a ＝v t ＋∆v t ，则B 2L 2（at －v t ）R －f ＝ma ，可解得：a ＝B 2L 2 v t ＋fRB 2L 2t －mR。
【点评】从本题我们得到，动生电动势公式BLv E =中的速度v ，在有磁场和导体棒相对运动的情况下，是二者的相对速度)(21v v -，而不是导体棒的运动速度2v 。
同样，安培力公式RvL B F 22=,也变成了R v v L B F )(2122-=，也是相对速度。
v t同理，由克服安培力做功产生的电功率也是P 电路＝=R I 2RE 2＝B 2L 2（v 1－v 2）2R ＝f 2RB 2L 2 ，也是相对速度。
例3.2006年高考江苏卷第19题 19．（17分）如图所示，顶角=45°的金属导轨 MON 固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。
一根与ON 垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度 v0 沿导轨 MON 向右滑动，导体棒的质量为 m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r.导体棒与导轨接触点a 和 b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。
t=0时，导体棒位于顶角O 处。
求：（1）t 时刻流过导体棒的电流强度 I 和电流方向。
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力 F 的表达式。
（3）导体棒在 O ～t 时间内产生的焦耳热 Q 。
（4）若在 to 时刻将外力 F 撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x 。
【解析】（1）0到t 时间内，导体棒的位移 t v x 0=，t 时刻，导体棒的有效长度 x x l ==045tan ，导体棒的感应电动势 0Blv E =， 回路总电阻 xr R )22(+=，电流强度为 rBv R EI )22(0+==， 电流方向a b →。
（2）rtv B BIl F )22(202+==。
（3）解法一t 时刻导体棒的电功率 '2R I P ==rtv B 2302)22(2+，其中tr v lr R 0'==为导体棒的电阻，t P ∝ rt v B t Pt P Q 22302__)22(22+===∴。
解法2. t 时刻导体棒的电功率 '2R I P ==rtv B 2302)22(2+，其中tr v lr R 0'==为导体棒的电阻，与时间成正比，所以平均电阻为2''__R R = 由于I 恒定， t rv R 0'=∝t ， 因此 2''2__2__R IR I P == rt v B R I t P Q 223022__)22(22'+===∴ （4）撤去外力后，设任意时刻t 导体棒的坐标为x ，速度为v ，取很短距离x ∆，在x x x ∆+~，由动能定理得22)(2121v v m mv x F ∆--=∆=v mv ∆（忽略高阶小量） 因为lrv l B BIl F )22(22+==所以v mv x rlv B ∆=∆+)22(2约去v ，求和，得∑∆+x l rB )22(2=∑∆v m 02)22(mv S rB =∆+扫过的面积：2))((00x x x x S -+=∆=222x x - （000t v x = 得20020)()22(2t v Br mv x ++=。
【点评】本题用公式Pt Q =或者Rt I Q 2=解。
注意：因为功率P 为变量，不能直接用公式Pt Q =，因为=P rtv B 2302)22(2+, 与时间成正比，所以有2__P P =,所以t P Q 2=，或者根据Rt I Q 2=，而I 不变，tr v lr R 0==, 与时间成正比，并且Q 的表达式中R 是一次方，所以2__R R =, 所以222R I R I Q ==。
例7. 2004年高考全国I 卷第24题24.（18分）图中a 1b 1c 1d 1和a 2b 2c 2d 2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感强度B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在平面（纸面）向里。
导轨的a 1b 1段与a 2b 2段是竖直的，距离为l 1；c 1d 1段与c 2d 2段也是竖直的，距离为l 2。
x 1y 1与x 2y 2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m 1、m 2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。
两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。
F 为作用于金属杆x 1y 1上竖直向上的恒力。
已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
【解析】（1）设x 1y 1与x 2y 2匀速向上运动的速度为v ，根据右手定则，x 1y 1与x 2y 2切割磁感线产生的感应电动势都向左，在回路中的方向相反，大小分别为v Bl E 11=和v Bl E 22=，因为12l l >，所以总电动势为v l l B E )(12-=，方向与x 2y 2产生的感应电动势相同，感应电流为Rvl l B R E I )(12-==, 方向为顺时针，如下图。
设x 1y 1与x 2y 2受到的安培力分别为1F 、2F ,根据左手定则判断安培力的方向为1F 向上、2F 向下，大小为1F ==1BIl R vl l l B 1122)(-、2F ==2BIl Rvl l l B 2122)(-，受力图如下图。
根据力的平衡，有：T g m F F +=+11T =22F g m +联立以上各式，解得：=v F －（m 1＋m 2）gB 2（l 2－l 1）2R ，所以作用于两杆的重力的功率的大小为P＝F －（m 1＋m 2）gB 2（l 2－l 1）2R （m 1＋m 2）g 。
（2）回路电阻上的热功率Rv l l B R E p 21222)(-==, 将以上v 式代入得=p [F －（m 1＋m 2）g B （l 2－l 1）]2R答案：P ＝F －（m 1＋m 2）gB 2（l 2－l 1）2R （m 1＋m 2）gp ＝[F －（m 1＋m 2）g B （l 2－l 1）]2R【点评】回路电阻上的热功率R v l l B R E p 21222)(-==就是焦耳热功率。
因为两杆都做匀速运动，动能不变化，根据能量守恒，外力F 的功率应该等于两杆的重力的功率的与回路电阻上的热功率之和，我们且检验一下： 外力F 的功率：==Fv P F F ⋅F －（m 1＋m 2）gB 2（l 2－l 1）2 ,两杆的重力的功率的与回路电阻上的热功率之和:=+E G P P F －（m 1＋m 2）gB 2（l 2－l 1）2R （m 1＋m 2）g+[F －（m 1＋m 2）g B （l 2－l 1）]2R=F －（m 1＋m 2）g B 2（l 2－l 1）2 R[(m 1+m 2)g+F-(m 1+m 2)g]= F －（m 1＋m 2）gB 2（l 2－l 1）2 F ⋅,果然如此。
