数列通项公式求法大全

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数列通项公式求法大全(共4页)

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数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例1．①已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式.

②已知数列na的前n项和nS满足21nSnn，求数列na的通项公式.

③ 已知等比数列na的首项11a，公比10q，设数列nb的通项为21nnnaab，求数列nb的通项公式。

三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

四、累加（乘）法

对于形如)(1nfaann型或形如nnanfa)(1型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列na中，31a，naann1，求通项na。

例5. 在数列na中，11a，nnnaa21（*Nn），求通项na。

五、取倒（对）数法 a、rnnpaa1这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1，再利用待定系数法求解

b、数列有形如0),,(11nnnnaaaaf的关系，可在等式两边同乘以,11nnaa先求出.,1nnaa再求得

c、)()()(1nhanganfannn解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann1。

例6.．设数列}{na满足,21a),N(31naaannn求.na

例7 设正项数列na满足11a，212nnaa（n≥2）.求数列na的通项公式.

变式:

1.已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－

求数列｛an｝的通项公式；

2、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{na}满足2,11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。

5、若数列｛an｝中，a1=1，a1n=22nnaa n∈N，求通项an．

六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算. 七、待定系数法：

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如a1n=p an+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a1n+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=1pq，从而得等比数列{an+k}。

例9、数列{an}满足a1=1，an=21a1n+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。

练习、1数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。

2、已知数列na满足11a，且132nnaa，求na．

2、递推式为11nnnqpaa（p、q为常数）时，可同除1nq，得111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而化归为qpaann1（p、q为常数）型．

、例10．已知数列na满足11a，123nnnaa )2(n，求na．

3、形如banpaann1)001(，a、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。

例11:设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.

4、形如21nnapaanbnc)001(，a、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()nnaxnyncpaxnync，与已知递推式比较，解出yx,,z.从而转化为2naxnync是公比为p的等比数列。

例12:设数列na：2114,321,(2)nnaaann，求na.

八：不动点法，形如 hraqpaannn1

解法：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x时,则01nax是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x、2x时，则12nnaxax是等比数列。

例15：已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.

九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

例16 已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

数列通项公式方法大全

1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。

变式：已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

（3）累乘法例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。

解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn

求数列通项公式的十种方法[1]

第 1 页共 14 页求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna

例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数

2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；

解： 22(1)4231anadSnnnn

23435TSnnnnn……2分当1,35811nTb时

当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分

练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)

求数列的通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法

一．SA法

)2(1)(n

11nSSSSnnn

注意具体可分为两种方法

1.改写相减，消去Sn

2.Sn-Sn-1直接替换掉an,求出Sn ,再求出an

例1. 已知各项均为正数的数列{na}的前n项和为nS满足1S＞1且6nS=(1)(2)nnaa n∈N 求{na}的通项公式。

的通项公式和，求数列项和为的前，数列项和为的前：已知数列例}{}{2}{22}{12nnnnnnnbabTnbnnSna

的通项公式求各项均为正数，满足：已知数列例}{,21}{2nnnnnaSaaa

的通项公式并求数列试确定常数最大值为的且项和的前：已知数列练习}{,.8),(21}{12nnnnakSNkknnSna

nnnnnaSannS求）已知（求）已知（：练习,2232,732122

二．累加累乘法（也可用迭代法求解）

用“累加”形如二用“累乘”形如一)()(),()(11nfaanfaannnn

的通项公式求满足：已知数列例}{,1,21}{1211nnnnannaaaa

的通项公式求项和前中，：已知数列例}{,32,1}{21nnnaanSnaa

的通项公式求，满足：已知数列练习nnnnanannaaa),1(23133}{111

的通项公式求数列满足：已知数列练习}{a,aa,5a}{a2n2)1(311nnnnn

三．差商法

实质是已知数列的前n项和或前n项积，求数列的通项公式

的通项公式求数列满足：已知数列例}{),(4444}{113221nnnnaNnnaaaaa

}{,2,1}{223211nnnanaaaanNnaa求时都有且对所有中，：已知数列例

四．构造法”“)(1nfpaann

，只能用此法。若构造等比数列再累加求通项两边同除）和三，构造二，构造一qpxqaqpqpaayxnaqknpaapqaqpaannnnnnnnnnn},{2. ,p1. 10,()(}{)(}1{)(1n11111

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