数列通项公式的求法(最全)

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。 例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

第 1 页 共 14 页 求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna

例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数

2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；

解： 22(1)4231anadSnnnn

23435TSnnnnn……2分 当1,35811nTb时

当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分

练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)

求数列通项公式的11种办法办法

总述：一．运用递推关系式求数列通项的11种办法：

累加法.

累乘法.

待定系数法.

阶差法（逐差法）.

迭代法.

对数变换法.

倒数变换法.

换元法（目标是去递推关系式中消失的根号）.

数学归纳法（罕用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）.

特点根法

二．四种根本数列：等差数列.等比数列.等和数列.等积数列及其广义情势.等差数列.等比数列的求通项公式的办法是：累加和累乘,这二种办法是求数列通项公式的最根本办法.

三 ．求数列通项的办法的根本思绪是：把所求数列经由过程变形,代换转化为等级差数列或等比数列.

四．求数列通项的根本办法是：累加法和累乘法. 五．数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数.

一.累加法

1．实用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最根本的二个办法之一.

2．若1()nnaafn(2)n,

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

双方分离相加得 111()nnkaafn

例1 已知数列{}na知足11211nnaana，,求数列{}na的通项公式.

解：由121nnaan得121nnaan则

所以数列{}na的通项公式为2nan.

例2 已知数列{}na知足112313nnnaaa，,求数列{}na的通项公式.

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn