数列求通项公式方法大全

求数列通项公式的几种方法

1、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项.

2、运用等差（等比）数列的通项公式.

3、已知数列}{na前n项和nS，则2111nSSnSannn（注意：不能忘记讨论1n）

4、已知数列}{na前n项之积Tn，一般可求Tn-1，则an＝1－nnTT（注意：不能忘记讨论1n）.

5、已知)2)((1nnfaann，且{f(n)}成等差（比）数列，则求na可用累加法.

6、已知)2)((1nnfaann，求na用累乘法.

7、用递推公式构造数列：、递推公式为qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。

解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解

8、构造法:1、构造等差数列或等比数列 :｛1na｝｛1ns｝｛1na｝｛1ns｝

2、构造差式与和式：｛1nnaa｝｛1nnaa｝

求数列通项公式的十种方法

一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。

扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,

3 1

所以数列｛©｝的通项公式为an=(-n—)2\ 2 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2

｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2

｛qr｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数

an=-2(n + l), Tn-3Sn=4n.求数列｛bK｝的通项公式；

解：•/ afj = -2(n + I) /. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n

.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8

当 n>2^\,bf J =Tf J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分

I

练习：1.已知正项数列｛an｝,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a】,a3,a】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％.

解：T 105>訂+5/+6, ① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,

又 10$-产②-：+5②T+6(〃$2),②

由①—②得 10a = (a^—a„-i2) +6(a„—a„-x),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0

T 色+/_1>0 , 二 a:—乔产5 (77^2) •

当 ai=3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL\* 越，去不成等比数列Si^3；

当 ai—2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、 二2, • • @7二5/7 —3,

三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。

命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。

你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。 求数列通项公式方法大全

一、累加法

适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan

解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，

则111213333nnnnnaa，故

112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan 命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。

数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案

求数列通项公式的方法有很多种。这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。下面我们逐个讲解这些重要的方法。

递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。这种方法有两种类型。第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。

累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。+f(n)。因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。

累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。*f(n)。

以上是数列通项公式的三种求法。

2.改写每段话：

首先，我们来看等式左右两边的乘积。左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。需要注意的是，右边是相乘而不是相加。当右边是一个等比数列的前n-1项的乘积时，可以利用指数运算公式进行累加。另一种情况是这部分累乘的式子能够互相消掉，类似于等差数列的第三种情况。