数列求通项公式方法大全

数列求通项公式方法大全

1.等差数列求通项公式

等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相同的数列。设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d。其中，n为该数列的第n项。

2.等比数列求通项公式

等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相同的数列。设等比数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)。其中，n为该数列的第n项。

3.斐波那契数列求通项公式

斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，则其通项公式为an=a1*f1+n*f2，其中，f1和f2分别为斐波那契数列的第一项和第二项。

4.调和数列求通项公式

调和数列是指数列中每一项都是它前一项加上一个固定常数的倒数。设调和数列的首项为a1，差值为d，则其通项公式为an=1/(a1+(n-1)d)。

5.等差几何数列求通项公式

等差几何数列是指数列中相邻两项之间既有等差关系又有等比关系的数列。设等差几何数列的首项为a1，公差为d，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)+d*(q^(n-1)-1)/(q-1)。

6.垂直数列求通项公式

垂直数列是指数列中每一项之间的垂直差别相等，且相邻两项之间的垂直和恒定的数列。设垂直数列的首项为a1，公差为d，垂直和为S，则其通项公式为an=(2a1+(n-1)d)*S/(2+S(n-1))。

7.几何平均数列求通项公式

几何平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的几何平均数的数列。设几何平均数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^((n-1)/2)。

8.调和平均数列求通项公式

调和平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的调和平均数的数列。设调和平均数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=2/(1/a1+(n-1)d)。

9.阿贝尔数列求通项公式

阿贝尔数列是指数列中，对于任意正整数k，从第k项开始，其连续k项的和为常数的数列。设阿贝尔数列的首项为a1，常数为C，则其通项公式为an=(n-1)*C/n+a1，其中，n为该数列的第n项。

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。 例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。

变式：已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

（3）累乘法 例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。

解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn