2019-2020学年人教B版必修二 直线的倾斜角与斜率直线的方程 教案

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

基础知识整合

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：x轴□01正向与直线□02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为□030°.

②倾斜角的范围为□040°≤α<180°.

(2)直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的□05正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝□06tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝□07y2－y1x2－x1.

2．直线方程的几种形式

直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系

θ 0° 0°

k 0 k>0 不存在 k<0

牢记口诀：

“斜率变化分两段，90°是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．

1．已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝( )

A．3 B．－3

C．5 D．－1

答案 A

解析 ∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为m－41－2＝4－m.又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A.

2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( )

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

答案 D

解析 由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.

3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )

A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 答案 D

解析 直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.

4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )

A．1 B．－1

C．－2或－1 D．－2或1

答案 D

解析 当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，直线在x轴上的截距为2＋aa，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝2＋aa，得a＝－2或a＝1.

5．(2019·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )

A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0

C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0

答案 A

解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab<0且－cb>0，故ab>0，bc<0.

6．(2019·海淀区模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )

A．－1＜k＜15 B．k＞1或k＜12

C．k＞15或k＜1 D．k＞12或k＜－1

答案 D

解析 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．

核心考向突破

考向一 直线的倾斜角与斜率

例1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

A.0，π4 B.3π4，π

C.0，π4∪π2，π D.π4，π2∪3π4，π

答案 B

解析 依题意，直线的斜率k＝－1a2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是3π4，π. (2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析 如图，∵kAP＝1－02－1＝1，

kBP＝3－00－1＝－3，

∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．

触类旁通

即时训练 1.(2019·南昌模拟)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是( )

A.π6，π3 B.π4，π3

C.π4，π2 D.π4，2π3

答案 B

解析 直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.

2．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )

A.－∞，－52∪43，＋∞

B.－43，52

C.－52，43

D.－∞，－43∪52，＋∞

答案 B

解析 易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，kPA＝－52，kPB＝43，因为直线ax＋y＋2＝0的斜率为－a，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a＜43，解得－43＜a＜52，故选B. 考向二 求直线的方程

例2 根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．

解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0

从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13，

故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

(3)直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为A0，－54，所求直线过A0，－54，且斜率k＝－34，所求直线方程为y＝－34x－54，即3x＋4y＋5＝0.

触类旁通

根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.

即时训练 3.已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

解 (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.

(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，

则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.

BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知直线BC的斜率k1＝－12，

则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

由(2)知点D的坐标为(0,2)．

可求出直线的点斜式方程为y－2＝2(x－0)，

即2x－y＋2＝0.

考向三 直线方程的应用

角度1 直线方程与不等式的结合

例3 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．

解 解法一：设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1.

因为l过点P(3,2)，所以3a＋2b＝1.

因为1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，

所以S△ABO＝12ab≥12.

当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号．

此时直线l的方程是x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.

解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，

可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，

则A3－2k，0，B(0,2－3k)，

S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋－9k＋4－k

≥1212＋2 －9k4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立．

所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

角度2 直线方程与函数的结合

例4 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解 如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，

∴直线EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．

易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，

在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，

PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，

则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．

又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－23m. ∴S＝(100－m)80－20＋23m

＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．

∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝5∶1.

所以当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．

触类旁通

直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．

与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等来解决.

即时训练 4.已知直线l过点M(1,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：

(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；

(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．

解 (1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)．

设直线l的方程为xa＋yb＝1，则1a＋1b＝1，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋1b

＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，

当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

(2)设直线l的斜率为k，则k<0，

直线l的方程为y－1＝k(x－1)，

则A1－1k，0，B(0,1－k)，

所以|MA|2＋|MB|2＝1－1＋1k2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4，

当且仅当k2＝1k2，即k＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.