高中数学人教B版必修二学案：2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
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1 2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
[学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.
[预习导引]
1.直线的方程的概念
一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.
2.直线的斜率
(1)通常把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),为直线l上任意两点,且x1≠x2,则直线l的斜率为k＝y1－y2x1－x2.
3.直线的倾斜角
(1)x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)由斜率k的定义可知
①当k＝0时,直线平行于x轴或与x轴重合；
②当k>0时,直线的倾斜角为锐角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；
③当k<0时,直线的倾斜角为钝角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；
④垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.
要点一 直线的倾斜角
例1 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
2 D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,倾斜角为α－135°
答案 D
解析 根据题意,画出图形,如图所示：
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,
不合题意.通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
跟踪演练1 一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( )
A.α B.180°－α
C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α
答案 D
解析 如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°－α.故选D.
要点二 直线的斜率
例2 已知直线l过P(－2,－1),且与以A(－4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.
解
3 根据题中的条件可画出图形,如图所示,
又可得直线PA的斜率kPA＝－32,
直线PB的斜率kPB＝43,
结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为43，＋∞,
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角,故斜率的变化范围是－∞，－32.
综上可知,直线l的斜率的取值范围是
－∞，－32∪43，＋∞.
规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决.
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解.
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
跟踪演练2 已知两点A(－3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解
如图所示,由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1,kPB＝2－03－1＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1,或k≥1.
(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
要点三 斜率公式的应用
4 例3 已知实数x,y满足y＝－2x＋8,且2≤x≤3,求yx的最大值和最小值.
解
如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x＋y＝8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).
由于yx的几何意义是直线OP的斜率,
且kOA＝2,kOB＝23,
所以可求得yx的最大值为2,最小值为23.
规律方法 若所求最值或范围的式子可化为y2－y1x2－x1的形式,则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解.
跟踪演练3 已知实数x,y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1),试求y＋3x＋2的最大值和最小值.
解
由y＋3x＋2的几何意义可知,它表示经过定点P(－2,－3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,2),B(－1,4).
则kPA＝2－－31－－2＝53,kPB＝4－－3－1－－2＝7.
∴53≤k≤7,
∴y＋3x＋2的最大值为7,最小值为53.
5
1.下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是(
)
A.① B.①②
C.①③ D.②④
答案 A
解析 结合直线l的倾斜角的概念可知①可以,选A.
2.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为( )
A.33 B.3
C.1 D.22
答案 A
解析 由题意可知,k＝tan 30°＝33.
3.若过两点A(2,3),B(y,4)的直线的倾斜角为45°,则y的值为( )
A.－32 B.32
C.－3 D.3
答案 D
解析 tan 45°＝kAB＝4－3y－2,即4－3y－2＝1,所以y＝3.
4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是( )
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°<α<180°
答案 C
6 解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.
5.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3之间的大小关系为________.
答案 k1 解析 设l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°, 所以tan α2>tan α3>0,tan α1<0,故k1 1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度. 2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度,两者紧密相连,如下表： 直线情况 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 0 k>0 不存在 k<0 k的增 减情况 k随α的增大 而增大 k随α的增大 而增大 3.运用两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)求直线斜率k＝y2－y1x2－x1应注意的问题： (1)斜率公式与P1,P2两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1,y2－y1中x2与y2对应,x1与y1对应). (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在.
