2019-2020人教B版数学必修2 第2章 2.2 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

2.2 直线的方程

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

学

习 目 标 核 心

素

养

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)

2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)

3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)

4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点) 1.通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．

2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养.

1．直线方程的概念

如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．

思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？

[提示] 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．

2．直线的斜率及斜率公式

(1)斜率的定义

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.

(2)斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．

(3)斜率的几何意义

用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度．

3．直线的倾斜角

(1)倾斜角的定义

①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．

思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？

[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．

1．如图所示，直线l的倾斜角为(

)

A．30° B．60° C．120° D．以上都不对

C [根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.]

2．直线l过点M(－3，2)，N(－2，3)，则l的斜率为( )

A．62 B．1

C．63 D．6

B [根据题意，l的斜率为3－2－2－－3＝1.]

3．斜率不存在的直线一定是( )

A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于坐标轴的直线

B [只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]

4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．

2或29 [∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kBC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.]

直线的倾斜角

【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°

D [根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]

求直线的倾斜角的方法及两点注意

1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.

1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°

A．α B．180°－α

C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α

D [如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]

直线的斜率

【例2】 已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．

(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

[思路探究] (1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tan α求解；

(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．

[解] (1)由斜率公式得

kAB＝1－11－－1＝0，kBC＝3＋1－12－1＝3.

kAC＝3＋1－12－－1＝33.

倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.

又∵tan 0°＝0，

∴AB的倾斜角为0°.

tan 60°＝3，

∴BC的倾斜角为60°.

tan 30°＝33，

∴AC的倾斜角为30°.

(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为33，3.

1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k＝tan α(α≠90°)解决．

2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式

k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．

3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解．

2．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

[解] 如图所示，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1.

(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.

(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

斜率公式的应用

[探究问题]

1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？

[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2.

2．你能证明A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？

[提示] 能．因为A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)，

所以kAB＝3－－51－－3＝2，kBC＝11－35－1＝2，

所以kAB＝kBC，且直线AB，BC有公共点B，

所以A，B，C这三点在同一条直线上．

【例3】 已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．

(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?

(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？

[思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式．

[解] (1)kMN＝m－1－1m＋1－2m＝1，解得m＝32.

(2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.

1．本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围．

[解] 由题意知

 m－1－1m＋1－2m＞0m－1≠1，解得1＜m＜2.

2．若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”，其他条件不变，结果如何？

[解] (1)由题意知m－1－2mm＋1－3m＝1，解得m＝2.

(2)由题意知m＋1＝3m，得m＝12.

直线斜率的计算方法

1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．

2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝y2－y1x2－x1(其中x1≠x2)进行计算．

1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)求直线倾斜角的方法．

(2)求直线斜率的方法．

(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系．

3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( )

(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( )

(3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( )

(4)斜率公式与两点的顺序无关． ( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．

(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．

(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.

(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．

2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )

A．－32 B．32 C．－1 D．1

C [kAB＝y＋34－2＝tan 45°＝1，即y＋32＝1，∴y＝－1.]

3．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．

k1

所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1

4．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．

[解] 由题意可知kAB＝5－13－1＝2，kAC＝7－1a－1＝6a－1，kAD＝b－1－1－1＝b－1－2，

所以k＝2＝6a－1＝b－1－2，解得a＝4，b＝－3，

所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.