第六章线性空间

第六章 线性空间

§1. 集合与映射

一、集合

有关集合与子集的概念，集合的交、并运算等相对来说比较熟悉，下面仅补

充集合的笛卡尔积的定义。

定义1.1.6 设BA,是两个非空集合，称下面集合

},|),{(BbAaba

为BA,的笛卡尔积，记作BA，即

},|),{(BbAabaBA。

设BAdcba),(),,(，称),(ba与),(dc相等（记作),(),(dcba），如果

dbca,。

注 一般ABBA。

二、映射

定义2.1.6 所谓是集合M到集合M的一个映射，就是是一个对应法则，

使得M中的每一个元素a，都与M中唯一的一个元素a对应，即aa，称a为

a在之下的像，a为a在之下的原像。以后为方便，记aaMM)(,:。

注 对于一个映射来说，元素的像必须唯一，但元素的原像可以不唯一。

定义3.1.6 集合M到自身的映射称为M的一个变换。

例1.1.6判别下列法则是否为映射？

（１）P为数域，nnPM （数域P上n阶矩阵集合），令

AA:

1，MA和

naEa:

2，Pa，

则

1是M到P的映射，

2是P到M的映射。

（2）P为数域，][xPM，令：)()(xfxf（)(xf的一阶微商），

][)(xPxf，则是M的一个变换。

（3）R为实数集，Ra，令：)1(aaa，)1(12bb，则不是映

射，因为1的像不唯一（1都是）。

（4）设M为任一集合，记aa

M:1，Ma，则称

M1为的M恒等映射（变

换）。

定义4.1.6 设MM:，MS，记}|)({)(MaaS，称)(S为

S在之下的像集合；MS，记})(|{)(1SaMaS，称)(1S为

S在之下的原像集合，特别记)(})({11aa。

例2.1.6 设为MM的一个一一映射，试求?))((1a?))((1a

例3.1.6 设为MM的一个满映射，判断下列两个命题是否成立？

（1）设S，MS，则SS))((1；

（2）设'S，MS'，则'))'((1SS？

解（1） 应为SS))((1；（2）成立。

定义5.1.6 设MM:，MM: 为映射，令))((:aa，

Ma，

则MM:为映射，称为与的乘法（合成或复合），记作。

例如在上例1.1.6（1）中，aEa:

21；EAA:

12。

性质1.1.6 设MM:，MM:，MM:，则

（1）)()(；

（2）MM11。

注意 一般，如在上例1（1）中，

1221。

定义6.1.6 设MM:，

（1）baMba,,，若有)()(ba，则称是单射（或1-1映射）；

（2）若Ma，Ma，使得)(a=a，则称是满射（或映上的）；

（3）一个既单又满的映射称之为双射（一一对应或1—1对应）。

定义7 设MM:，若存在MM:，使得

M1，

M1，则称

是可逆映射，是的逆映射。

注 一个可逆映射的逆映射是唯一的，记可逆映射的逆映射为1。

性质2.1.6 设MM:，则

（1）是单射的充要条件是Mba,，若)()(ba，则ba；

（2）是满射的充要条件是MM)(；

（3）是双射的充要条件是是可逆映射。

性质3.1.6 设MM:，MM: 均为可逆映射，则

（1）1也是可逆映射且11)(；

（2）也是可逆映射且111)(。

例4.1.6 在上例1.1.6（1）中，

1是满射但不是单射，

2是单射但不是满射；

例1.1.6（2）中，是满射但不是单射；例1.1.6（4）中，

M1是可逆映射其逆映射

是自身。

§2 线性空间的定义与性质

一、引例

例1.2.6

2V（或

3V）表示平面（或空间）上从原点出发所有向量所成的集合，

向量间有加法运算""，实数与向量有数乘运算""；加法""和数乘""满足以下八

条性质：

（1）；

（2）)()(；

（3）OO；

（4）O)(；

（5）kkk)(；

（6）lklk)(；

（7）)()(kllk；

（8）1。

以上

2,,,,VRlk（或

3V）。

例2.2.6 P是数域，nmP表示P上所有nm矩阵所成之集，对于矩阵的加法

运算""和数乘运算""，具有以下八条性质：

（1）ABBA；

（2）)()(CBACBA；

（3）AAOOA；

（4）OAA)(；

（5）kBkABAk)(；

（6）lAkAAlk)(；

（7）AkllAk)()(；

（8）AA1。

以上nmPCBAPlk,,,,。

例3.2.6 P是数域，][xP表示P上所有一元多项式所成之集，对于多项式的加

法运算""和数与多项式的乘法运算""，具有以下八条性质：

（1）)()()()(xfxgxgxf；

（2）))()(()()())()((xhxgxfxhxgxf；

（3）)()()(xfxfOOxf；

（4）Oxfxf))(()(；

（5）)()())()((xkgxkfxgxfk；

（6）)()()()(xlfxkfxflk；

（7）)()())((xfklxlfk；

（8）)()(1xfxf。

以上][)(),(),(,,xPxhxgxfPlk。

注 以上三个例子所涉及的对象虽然均不相同（例1.2.6是向量，例2.2.6是矩

阵，例3.2.6是多项式），但它们有以下共同点：

（1）都有一个集合和一个数域；

（2）集合的元素间有一个加法运算""，数域中的数与集合的元素间有一个

数乘运算""；

（3）""与""满足相同的八条性质。

这就引出了下面的线性空间的概念。

二、线性空间的概念

定义1.2.6 设V是一个非空集合，P是数域，如果

1 在V的元素间定义了一个所谓的加法运算""，即V,，在V中有唯

一的一个元素 与它们对应，称为,的和，记作；

2 在P的数与V的元素间定义了一个所谓的数乘运算""，即VPk,，

在V中有唯一的一个元素与它们对应，称为,k的乘积（简称数乘），记作k；

3 加法运算""与数乘运算""适合下列八条运算规则：

（1）加法交换律：；

（2）加法结合律：)()(；

（3）存在零向量：存在VO，使得OO；

（4）存在负向量：存在V，使得O；

（5）kkk)(；

（6）lklk)(；

（7）)()(kllk；

（8）1。

以上VPlk,,,,，

则称V是数域P上线性空间（向量空间），V中的元素都称为向量。

注1.2.6 设V是数域P上线性空间，则V的加法""就是VVV的映射，数

乘运算""就是VVP的映射。

由定义1.2.6知，上述例3.2.61.2.61中的集合都是线性空间，其中例2.2.6和

例3.2.6所对应的线性空间我们分别称之为矩阵空间和多项式空间。

下面再举几个例子。

例4.2.6 P是数域，},,2,1,|),,,{(

21niPaaaaP

inn，则nP关于n维

向量的加法和数乘是一个P上的线性空间，有时候我们也称nP为向量空间。

例5.2.6P是数域，n为正整数，})((0)(|][)({][nxforxfxPxfxP

n，

则

nxP][关于多项式的加法运算和数乘运算P上的线性空间。

例6.2.6 设ba,是两实数且ba，记],[baC{)(|)(xfxf是],[ba上连续实函

数}，则},[baC关于函数的加法和实数与函数的乘法构成实数域R上的一个线性空

间。

例7.2.6 下列的V对于数的加法和乘法作成P的线性空间吗？

（1）RVRP,；

（2）RVQP,；

（3）RVCP,。

由以上问题，可以得出以下结论。

例8.2.6 设PP,均为数域且PP，则P是P的线性空间；特别地，P是自身

上的线性空间。

例9.2.6 考虑2RV，规定：

),(),(),(dcbadcba，)0,0(),(bak，

显然，,满足线性空间定义1.2.6中的)7()1(，但不满足条件（8），即

),(),(1baba，因此),,(V不是线性空间，这也说明线性空间定义1.2.6中的条

件（8）是独立的。

三、性质

命题 设V是数域P上线性空间，VPk,,,，则

1．V的零向量O是唯一的；

2．的负向量是唯一的，以后记的负向量为；

3．记)(，则；

4．O0；OkO；)1(；

5．若Ok，则0k或O。

证明2 设,均为的负向量，于是O。因此，

OO)()(。

4．因为00)00(00O，两边同加上0，得O0。

kOkOOOkkOOkO)(，两边同加上kO，得OkO。

因为O0)11(1)1()1(，所以)1(。