第六章_线性空间

第六章 线 性 空 间

例6.1 设线性空间V的两组基分别为12,,,n；12,,,n.

(1) 证明：任给1,2,,in，则存在1,2,,ijn使111,,,,,,iijin为V的一组基.

(2) 若3n，对于任意1,2,3i，是否存在,1,2,3,jkjk，使,,ijk为V的一组基？说明理由.

解 (1) 令111,,,,,iiinVL，则dim1iVn，因此12,,,n中必存在向量不在iV中，所以存在1,2,,ijn使ijiV，则111,,,,,,iijin线性无关，构成V的一组基.

(2) 对于任意1,2,3i，则存在,1,2,3,jkjk，使得,,ijk为V的一组基.

我们采用反证的方法说明：对于i，假设123,,中每两个向量与i合并均不构成V的一组基，则12,iL，13,iL，23,iL，那么

121323,,,0iLLL，

所以0i，矛盾.

例6.2 设V是n维线性空间，12,,WWW均为V的子空间，并且

21WW，12WWWW，21WWWW.

证明：21WW.

证 由题目假设，则必有

21dim()dim()WWWW,)dim()dim(12WWWW；

那么

11dim()dim()WWWW22dim()dim()WWWW.

由维数公式，则12dim()dim()dim()dim()WWWW，因此)dim()dim(21WW.

但21WW，则1W的基也必然构成2W的基，所以21WW.

例6.3 （s个子空间的维数公式）设V为线性空间，且12,,,sVVV均是V的有限维子空间. 证明：

11121dimdimdim()sssiiiikiiikVVVV

证 由维数公式，则有

211212dim()dim()dim()dim()VVVVVV，

312312123dim()dim()dim()dim()VVVVVVVVV，

22111111dimdim()dimdimsssskskkkkkVVVVV，

11111dimdim()dimdimsssskskkkkkVVVVV.

将上述各式左右两边分别相加，即得

12111dimdimdimsissikiiikiiVVVV,

所以)(式成立.

例6.4 设12,,,sVVV为线性空间V的有限维子空间，证明：下述结论等价：

1）111()0,1,2,,iiisVVVVVis；

2）1212dim()dimdimdimssVVVVVV.

证 1)2) 对s作归纳. 2s时，由维数公式得到

121212dim()dimdimdim()VVVVVV12dimdimVV.

假设1s时成立(3)s. 下证s时也成立.

12dim()sVVV

121121dimdim()dim()ssssVVVVVVVV

121dimdim(),ssVVVV

而当1,2,,1is时，均有 1111()iiisVVVVV111(){0}iiisVVVVV；

那么由归纳假设，则可以得到

1212dim()dimdimdimssVVVVVV.

2)1)当1,2,,1is时，均有

111dim()iiisVVVVV

1111dim()dim()dim0siiisiiVVVVVV

所以111(){0}iiisVVVVV.

例6.5 设V为n维线性空间，1V为其非平凡子空间. 证明：存在不只一个V的子空间W，使WVV1.

证 设s,,,21为1V的一组基)(ns，由基扩充定理，则可将其扩充为V的一组基s,,,21nss,,,,21. 令1W),,(1nsL，由于1V),,(1sL，那么11WVV.

由于1V,1W均为V的非平凡子空间，则存在V1，使得11V，11W，那么121,,,,s线性无关（否则1可由s,,,21线性表出，矛盾），将此组扩充成V的一组基s,,,21sn,,,,21，取2W),,,(21snL，则21WVV，由于11W,21W，所以有21WW.

提示 仍利用基扩充定理,则

121(,,,)(,,)ssnVLL.

易知向量组12111,,,,,,ssn与向量组121,,,,,,ssn等价，则向量组12111,,,,,,ssn也线性无关，所以也有

12111(,,,)(,,)ssnVLL.

但是111(,,)ssnL. 问题 设V为n维线性空间，1V是V的非零子空间，若存在唯一的子空间2V，使得21VVV，证明：VV1.

补1 1)证明:在[]nPx中，多项式

)())(()(111niiiaxaxaxaxf,ni,,2,1

是一组基,其中naaa,,,21是互不相同的数;

2)在1)中, 取naaa,,,21是全体n次单位根, 求由基1,,,1nxx到基nfff,,,21的的过渡矩阵.

证 1)记)())(()(21naxaxaxxF,则

)()()(xfaxxFfiii.

nxPxg][)(,设

0111)(bxbxbxgnn,

记iidag)(),2,1(ni,则

)()(')(')()()(11xfaFdaFaxxFdxgiiiniiiini.

设0)()()(2211xfkxfkxfknn,1ax令代入,则

0)()(112afafn,

因此0)(111afk,但0)(11af,则01k,同理02nkk,所以多项式组nfff,,,21线性无关,则构成一组基.

2)当naaa,,,121为全体n次单位根时,1)(nxxF则,由综合除法,则

121111nnnxxxaxxf

1221222221nnnnnxfaaxaxxxa

12211nnnnnnnnnnxxaxaaaxxf

则基1,,,1nxx到基nfff,,,21的的过渡矩阵

1111112222112nnnnnnnaaaaaa.

说明 1)也可根据dim[]nPxn,且nfff,,,21线性无关来证.

补2 设n,,,21是n维线性空间V的一组基，A是一sn矩阵，且

1212,,,,,,snA.

证明：12dim,,,()sLRA

证1 设12,,,sAAAA，即A由s个n维列向量构成，记rAR)(，不妨设部分组12,,,rAAA为组12,,,sAAA的一极大无关组，那么

11111,,,,,,,,,,nrnrsnsAAA.

设011rrkk，即

1111,,,,0nrnrkAkA，

则有

111,,0nrrkAkA，

但n,,,21为V的一组基，则011rrAkAk，因此01rkk，所以r,,,21线性无关.

当1,,jrs时，可设1rjiiiAcA，那么

111111,,,,,,rrrjnjniiiniiiiiiAcAcAc，

说明部分组r,,,21是s,,,21的一个极大线性无关组，因此r,,,21为生成空间12,,,sL一组基，所以12dim,,,()sLRA.

证2 设rAR)(，则存在n阶可逆矩阵P和s阶可逆矩阵Q使000rEAPQ，那么

12120,,,,,,()00rsnEPQ

令1212,,,,,,nnP，由于矩阵P可逆，则12,,,n也是V的一组基.

由()，则121210,,,,,,,,,0,,000rsnrEQQ，因此向量组12,,,s与1,,r等价，从而r,,,21的秩为r，所以

12dim,,,()sLRA.

证3 任给V，则可设1122nnxxx，记12,,,nXxxx，则有12,,,nX，建立映射:,()nVPX，则是V到nP的同构映射. 记12,,,sAAAA，由题设，则(),1,2,,iiAis，由于同构映射保持对应向量组的线性相关性，因此1212,,,,,,ssRRAAA，所以

12dim,,,()sLRA.

补3 设),,,(21nxxxf为一实二次型,秩nf)(,符号差sf)(,记1||2tns.证明：存在nR的一个t维子空间1V，使

0)~,,~,~(,)~,,~,~(21121nnxxxfVxxx.

证 对于实二次型),,,(21nxxxf，存在非退化线性替换CYX，其中C为实可逆矩阵，使得

),,,(21nxxxf222222111(1)(1)ttntstsyyyyyy.

其中1或1.

令tiYinii,,2,1,1,其中0,,0,1,0,,0i（第i分量为1的单位列向