高等代数第六章 线性空间

·６０· 第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容：§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义。

四 教学难点:集合映射的有关定义.

五 教学过程：

1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念

定义：(集合的交、并、差） 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。

定义:（集合的映射) 设、为集合。如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为

如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.

若都有 则称为单射.若 都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.

2.求和号与求积号

(1）求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.

设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:

， 。

当然也可以写成

， 。

（2）求和号的性质 ·６１· 容易证明,

,，.

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

分别先按行和列求和,再求总和即可。

§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.

三 教学重点：线性空间的定义与简单性质。

四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.

五 教学过程:

1。线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：

习题5. 1

1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为

,,kababkaaabRkR其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

ABABBA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

4．在22P中，2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

习题

1．讨论22P中

1234111111,,,111111aaAAAAaa

的线性相关性.

2．在4R中，求向量1234在基,,,下的坐标.其中

12340100110011112111，=，=，=，3010

2212342347P110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000

4．已知3R的两组基

（Ⅰ）： 12311111=，=0，=0-11 （Ⅱ）：12312123=，=3，=443

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量.

5．已知P[x]4的两组基

习题5. 1

1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为

,,kababkaaabRkRo其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

ABABBA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

4．在22P中，2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

习题5.2

1．讨论22P中

1234111111,,,111111aaAAAAaa

的线性相关性.

2．在4R中，求向量1234在基,,,下的坐标.其中

12340100110011112111，=，=，=，3010

2212342347P110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000

4．已知3R的两组基

（Ⅰ）： 12311111=，=0，=0-11 （Ⅱ）：12312123=，=3，=443

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量.

5．已知P[x]4的两组基

第六章习题解答

习题6.1

1、设2VR，判断下面V到V的映射哪些是V的线性变换，哪些不是？

（1）,()xxyVfyy；（2）,()xxyVfyy；

（3）2,()xyVfyxy；

（4）0,()xVfy，0V是一个固定的非零向量。

（5）0,()xVfy，0V是一个固定的非零向量。

解：（1）是。因为1122(,),(,),xyxykF，有

1212121122121212()()()xxxxyyxyxyffffyyyyyy

11111111()()kxkxkyxyfkfkkfkykyy

（2）是。因为1122(,),(,),xyxykF，有

1212121122121212()()()()xxxxyyxyxyffffyyyyyy11111111()()kxkxkyxyfkfkkfkykyy

（3）不是。因为

12121212122()xxyyffyyxxyy

而 121211221212224()()yyyyffxyxyxxyy

所以()()()fff

（4）不是。因为0()fkk，而000()()kfkkkk 所以()()fkkf

（5）不是。因为0()f，而00002()()ff