高等代数第6章线性空间

·６０· 第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容：§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义。

四 教学难点:集合映射的有关定义.

五 教学过程：

1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念

定义：(集合的交、并、差） 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。

定义:（集合的映射) 设、为集合。如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为

如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.

若都有 则称为单射.若 都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.

2.求和号与求积号

(1）求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.

设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:

， 。

当然也可以写成

， 。

（2）求和号的性质 ·６１· 容易证明,

,，.

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

分别先按行和列求和,再求总和即可。

§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.

三 教学重点：线性空间的定义与简单性质。

四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.

五 教学过程:

1。线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：

《高等代数》教案-6-第6章 线性变换

第 1 页 共 40 页 第六章 线性变换

Ⅰ.授课题目

§6.1 线性变换

§6.2 线性变换运算

§6.3 线性变换的矩阵

§6.4 不变子空间

§6.5 特征值与特征向量

§6.6 矩阵的相似对角化

§6.7 Hamilton-Cayley定理与最小多项式

§6.8 Jordan标准形

Ⅱ.教学目的与要求

1. 理解线性变换、线性变换的矩阵以及线性变换的矩阵等概念；

2. 掌握特征值与特征向量的定义、性质、和计算法；

3. 理解线性变换的值域与核的概念，掌握不变子空间的定义与性质；

4. 掌握相似矩阵的概念和性质，以及相似对角化方法；

5. 理解Jordan标准形、最小多项式的概念与性质.

Ⅲ.重点与难点

重点: 特征值与特征向量的性质与计算，矩阵的相似对角化；

难点: 相似对角化，不变子空间.

Ⅳ.教学内容

§6.1 线性变换

1. 线性变换

定义6.1 设V是数域P

上的线性空间，σ

是V的一个变换（即从V到V自身的映射），如果对

于V中的任意两个向量,αβ

和数域P

中的任意数k，都有

()()()

σαβσασβ+=+

，()()

kkσασα=

，

则称σ

是V的一个线性变换.

例6.1 设nn

AP×

∈

，对任意nPα∈

，定义

()

Aσαα=

，

则σ

是线性空间n

P

的一个线性变换.

例6.2 线性空间V的恒等变换（或称单位变换）ε

，即 《高等代数》教案-6-第6章 线性变换

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Vεααα=∈

，

以及零变换o，即

()()

0oVαα=∈

都是线性变换.

例6.3设V是数域P

上的线性空间，k是P

中某个固定的数，定义

()()

kVκααα=∈

，

则κ

是V的一个线性变换，称之为数乘变换或相似变换或位似. 显然，当1k=是它是恒等变换，当

0k=便是零变换.

例6.4 在线性空间[]

Px

中，定义

()()

()()[]

,fxfxfxPxδ′=∈

，1

习题5. 1

1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为

,,kababkaaabRkR其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

ABABBA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

4．在22P中，2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

习题

1．讨论22P中

1234111111,,,111111aaAAAAaa

的线性相关性.

2．在4R中，求向量1234在基,,,下的坐标.其中

12340100110011112111，=，=，=，3010

2212342347P110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000

4．已知3R的两组基

（Ⅰ）： 12311111=，=0，=0-11 （Ⅱ）：12312123=，=3，=443

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量.

5．已知P[x]4的两组基

习题5. 1

1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

2．全体正实数R+, 其加法与数乘定义为

,,kababkaaabRkRo其中

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

ABABBA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

4．在22P中，2222/0,,WAAAPWP判断是否是的子空间.

习题5.2

1．讨论22P中

1234111111,,,111111aaAAAAaa

的线性相关性.

2．在4R中，求向量1234在基,,,下的坐标.其中

12340100110011112111，=，=，=，3010

2212342347P110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000

4．已知3R的两组基

（Ⅰ）： 12311111=，=0，=0-11 （Ⅱ）：12312123=，=3，=443

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3） 已知向量123123,,,,,1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量.

5．已知P[x]4的两组基