·６０· 第六章 线性空间
§1 集合映射
一 授课内容：§1 集合映射
二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.
三 教学重点:集合映射的有关定义。
四 教学难点:集合映射的有关定义.
五 教学过程：
1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念
定义：(集合的交、并、差） 设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为
如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.
若都有 则称为单射.若 都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.
2.求和号与求积号
(1）求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.
设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:
， 。
当然也可以写成
， 。
（2）求和号的性质 ·６１· 容易证明,
,，.
事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质
一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质
二 教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.
三 教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.
五 教学过程:
1。线性空间的定义
(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：
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272365083@
1
主讲: 张小向
工程矩阵理论第一章线性空间与线性变换第一节线性空间的基本概念第二节基, 维数与坐标变换第三节子空间的和与交第四节线性映射第五节线性映射的矩阵第六节线性映射的值域与核第七节几何空间线性变换的例子第八节线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念§1.1 线性空间的基本概念
一
.
几个具体的例子
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
…
…
…
…
a
m
1
a
m
2
…
a
mn
1.
n
= {(
a
1
, …,
a
n
)
T
|
a
1
, …,
a
n
∈}.
(
特例
:
2
,
3).
2. [
x
] = {
a
0
+
a
1
x
+…+
a
n
x
n
|
a
1
, …,
a
n
∈}.
3. M
m
×
n
( ) =
诸
a
ij
∈.
第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念
6. V= {α
}.1. n.
2. [x].
3. M
m×n( ).
非空集合
两种运算系数域
八条规则共
同点4. { f(x) | f: →}.
5. += {x∈| x> 0}.
a⊕b= ab, ∀a, b∈+;
k⊗a= ak, ∀a∈+, ∀k∈.
α
+α
= α
, kα
= α
, ∀k∈.
第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念
二. 线性空间的定义与性质
定义1.1.1线性空间V(F).
V——非空集合
F——数域
加法
数乘1α
= α
(k+l)α
= kα
+ lαk(lα
)= (kl)α
k(α
+β
) = kα
+ kβ交换律
有零元素结合律
每个元素都有负元素第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念
定理1.1.1.
(1) 零向量唯一;
(2) 任一向量的负向量唯一;
(3) 0α
= θ
;
(4) kθ
= θ
;
(5) (−1)α
= −α
, (−k)α
= −(kα
);
(6) kα
= θ
⇒k= 0或α
= θ
.
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1 线性代数教学教案
第五章 线性空间与线性变换
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第五章 第一节 线性空间的定义与性质 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 线性空间与子空间的概念、线性空间的性质 教学难点 线性空间、子空间的判定
参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题
大纲要求 了解线性空间和子空间的概念；
了解线性空间的性质。
教 学 基 本 内 容
一、 线性空间的定义：
定义1：设V是一个非空集合，为实数域. 对于任意两个元素,V，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的和，记作. 对于中任一数与V中任一元素，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的数量乘积，记作.如果这两种运算满足以下八条运算规律(设,,;,V):
(i) 加法交换律：；
(ii) 加法结合律： ；
(iii) 在V中存在零元素0；对于任何V，都有是0；
(iv) 负元素：对于任何V，都有是的负元素V，使0；
(v) 1 ；
(vi) ；
(vii) ； 2 (viii) ；
那么，V就称为实数域上的线性空间.
二、线性空间的性质：
性质1 零元素是唯一的.
性质2 任一元素的负元素是唯一的（以后 将的负元素记作）.
性质3 ;;01000.
性质4 如果0，则0或0.
三、线性空间的子空间：
定义2：设V是实数域上线性空间，W是V的一个非空子集. 如果W关于V的加法和数乘运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间.
本文档是国防科技大学在学堂在线开设的工程应用数学基础（自主模式）课程章节及时长统计。第一讲线性空间的概念与性质
第一节什么是线性空间11’54’’
第二节例子7’35’’
第三节线性空间的性质6’55’’
第二讲线性表示及基与坐标
第一节线性表示13’34’’
第二节基于维数7’35’’
第三节向量的坐标20’12’’
第四节过渡矩阵10’45’’
第三讲子空间
第一节子空间定义4’38’’
第二节常见的子空间12’34’’
第三节基扩张定理6’10’’
第四节和空间与交空间28’53’’
第五节直和17’13’’第四讲线性变换
第一节线性变换的定义14’32’’
第二节线性变换的矩阵表示19’24’’
第三节零空间与值空间6’10’’
第五讲线性变换矩阵的相似化简
第一节线性变换在不同基偶下的矩阵22’16’’
第二节线性变换的不变子空间17’03’’
第三节线性变换的特征值与特征向量6’37’’
第四节线性变换的对角化8’51’’
第六讲内积空间
第一节内积的定义38’23’’
第二节向量的正交及Schmidt正交化22’51’’
第三节正交补空间18’26’’
第七讲正交变换与对称变换
第一节正交变换18’08’’第二节旋转变换与镜像变换19’39’’
第三节对称变换34’27’’
第八讲矩阵的相似对角化
第一节相似对角化的概念与性质26’53’’
第二节相似对角化的求解方法8’27’’
第三节相似对角化的应用11’22’’
第九讲Jordan标准形
第一节Jordan矩阵21’18’’
第二节行列式因子、不变因子与初等因子31’09’’
第三节Jordan标准形的求解6’59’’
第十讲方阵多项式与最小多项式
第一节方阵多项式31’52’’
第二节零化多项式27’23’’
第三节最小多项式32’19’’
第十一讲矩阵范数第一节向量范数34’53’’
第二节矩阵范数11’44’’
第三节诱导范数15’16’’
第四节常用的诱导范数10’45’’
第五节谱与谱半径9’04’’
第十二讲矩阵级数
