八年级数学上册 11.3.2 多边形及其内角和教案

人教版初中数学课标版八年级上册第十一章 11.3.2 多边形及其内角和教案1、2、采用多媒体辅助教学，给课堂带来生机，通过几何画板等工具，突出重点、突破难点，发展学生思维，提高学生能力。

一、教学过程（一）知识引入1.教师操作课件，复习三角形、长方形、正方形的内角和。

2.播放ＦＬＡＳＨ视频，激发学生学习兴趣。

3.引入问题：今天我们就来学习多边形的内角和问题。

（板书课题）（二）探索新知1.启发：长方形、正方形的内角和是360°。

那么任意四边形的内角和都是360°吗？2.指导学生画图，先自行探究。

教师巡视。

3.学生交流结果，教师引导，操作课件演示。

（展台）①拼图法，②度量法，③辅助线法。

（注意几何画板的辅助教学）4.由四边形到六边形层层引入，归纳出结论。

多边形的边数图形从一个顶点出发所引的对角线条数及分割成的三角形个数多边形的内角和3 11×180º＝180º2×180º＝360º4 1 23×180º＝540º5 2 34×180º＝720º6 3 4 。

( n - 2)×180ºn n-3 n-2结论：多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)·180°（三）另辟蹊径1.探索多边形的内角和关键是：把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得。

你还有其它分法吗？和同学们交流一下吧!2.学生讨论后回答，教师操作几何画板演示。

3.小结：这几种方法都是从一个顶点出发和各顶点相连，把四边形的问题转化为三角形的问题。

注重“转化思想”。

（四）知识应用１、教师演示课件，请学生读题，启发思考：你能自己独立完成这道题目吗？２、教师请学生分析解题，师生共评。

（五）选择挑战1、演示课件，展示“海宝”2、学生选号抢答，教师点评。

注重“方程思想”。

11．3.2 多边形的内角和1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入 多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．提出问题： (1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？(3)你会求这个多边形的内角和吗？ 导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？ 你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂． 二、合作探究 探究点一：多边形的内角和 【类型一】利用内角和求边数 一个多边形的内角和为540°，则它是( ) A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形 解析：熟记多边形的内角和公式(n －2)·180°.设它是n 边形，根据题意得(n －2)·180＝540，解得n ＝5.故选B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A ．1620°B ．1800°C ．1980°D ．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( ) A ．450° B ．540° C ．630° D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x 为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x ＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A ．五边形B ．四边形C ．三角形D ．不能确定解析：设这个多边形的边数为n ，则依题意可得(n －2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．三、板书设计多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n －2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.3.正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n，外角的度数为360°n.本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．。

人教版八年级上册11.3.2多边形的内角和课程设计一、背景介绍本课程是人教版初中数学八年级上册第11章《平面图形的初步认识》中的第3节“多边形的内角和”中的第2个知识点。

在前面的课程中，学生已经学会了什么是多边形、多边形的分类以及计算多边形的周长等基本概念和知识。

在这一节课中，学生将学习计算任意多边形的内角和的方法。

二、教学目标知识目标1.能够理解多边形的内角和公式及其推导过程；2.能够根据多边形的边数和类型计算其内角和；3.能够用所学知识解决实际问题。

技能目标1.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力；2.培养学生的计算能力和解决实际问题的能力；3.提高学生的数学素养和综合应用能力。

情感目标1.培养学生对数学的兴趣和热爱；2.培养学生的自学能力和自信心；3.培养学生的团队合作精神和集体荣誉感。

三、教学重点和难点教学重点1.理解多边形的内角和公式及其推导过程；2.能够根据多边形的边数和类型计算其内角和。

教学难点1.能够用所学知识解决实际问题；2.能够提高学生的数学素养和综合应用能力。

四、教学方法本节课程采用课堂讲解和示范演练相结合的方法。

首先教师讲解内角和公式的推导过程和应用方法，然后通过几个例题演示如何计算内角和，最后让学生在小组中自行解决实际问题并进行展示和讨论。

五、教学内容和步骤教学内容本课程的主要内容包括以下几个部分：1.多边形的内角和公式及其推导过程；2.根据不同的多边形类型计算内角和的方法；3.实际问题的解决及其应用。

教学步骤步骤1：导入教师通过引入实际问题，引起学生的兴趣和注意，提出本节课程的主要内容和目标。

步骤2：知识讲解教师通过示例和实例，讲解多边形的内角和公式及其推导过程，并介绍不同类型多边形内角和的计算方法。

步骤3：演示练习教师通过几个例题，演示如何计算内角和，帮助学生理解公式和计算方法。

步骤4：小组讨论学生分组进行实际问题的解决，并在小组中展示和讨论结果，加深对所学知识的理解和应用。

11.3.2 多边形的内角和【知识与技能】1.掌握多边形的内角和定理、外角和定理.2.运用多边形的内角和、外角和定理进行证明或计算.【过程与方法】通过证明四边形内角和定理的方法启示，求五边形、六边形的内角和，从而求n边形的内角和，依此推出多边形的外角和定理.最后运用这两个定理进行简单的证明或计算.【情感态度】通过本节课的学习，使同学们掌握“由特殊到一般”及“化未知为已知”的科学学习方法提高学习的兴趣和效率.【教学重点】多边形的内角和定理、外角和定理.【教学难点】探求多边形的内角和定理、外角和定理及这两个定理的灵活运用.一、情境导入，初步认识问题1 从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将五边形分为个三角形，五边形的内角和等于180°× .从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将六边形分为个三角形，六边形的内角和等于180°× .……从n（n≥3且为整数）边形的一个顶点出发，可以引条对角线；它们将n边形分为个三角形，n边形的内角和等于180°× .问题2 如图，∠1，∠2，∠3，…，∠n是n边形ABCD…的外角，求∠1+∠2+∠3+…∠n.【教学说明】对问题1，全班同学独立完成，5分钟后请学生上黑板写出各自的答案，然后引导同学们得出多边形的内角和定理.对问题2，可作如下提示：∠1+∠1′=？，∠2+∠2′=？，∠3+∠3′=？，……，∠n+∠n ′=？，∠1′+∠2′+∠3′+…∠n ′=？教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考 n 边形的内角和、外角和分别是多少？【归纳结论】n 边形的内角和等于（n-2）×180°.多边形的外角和等于360°.三、运用新知，深化理解1.一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形2.如图，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后左转40°，再沿直线前进10米后又左转40°，……照这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 米.3.已知一个多边形，它的外角和等于内角和的41，求这个多边形的边数. 4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数.（提示：连AE，得五边形ABCDE）5.一个多边形，除去一个内角α，其余各角之和为2750°，求∠α的度数和这个多边形的边数.6.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？7.一个正多边形至多有几个锐角，为什么？【教学说明】本环节可由教师根据实际教学进行选择性讲解.【答案】1.C 解析：设该多边形为正n边形，则有45°×n=360°,解得n=8.2.90 解析：依题意知小明所走的路线是一个正n边形，则每个外角都是40°，则有40°×n=360°，解得n=9,所以小明一共走了10×9=90米.3.解：多边形的外角和为360°,所以该多边形的内角和为360°×4=1440°.由多边形内角和定理得（n-2）×180°=1440°解得n=10,即这个多边形的边数为10.4.解：如图，连结AE.在△AHE中，∠HAE+∠HEA+∠AHE=180°，在△FGH中，∠G+∠F+∠FHG=180°，又∠AHE=∠FHG∴∠HAE+∠HEA=∠F+∠G则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠HAE+∠HEA=∠BAE+∠B+∠C+∠D+∠DEA即为五边形的内角和∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）×180°=540°5.解：设这个多边形边数为n，因为2750°=15×180°+50°，所以n-2=16，50°+α=180°∴∠α=130°，n=18.6.解：5243°=29×180°+23°由（n-2）×180°=29×180°得n=31180°-23°=157°所以他计算的是31边形的内角和，其中一定有一个内角是157°.7.解：一个正多边形至多有3个锐角，理由是因为正多边形的外角和为360°，所以外角中至多3个钝角.四、师生互动，课堂小结1.n边形的内角和等于（n-2）×180°.2.多边形的外角和等于360°.3.多边形内角和定理证明的思想方法是将多边形的内角和问题转化为三角形内角和的问题.除教材介绍的方法外，还可以用下面的方法：（1）如图（1），点P在多边形内部，辅助线将n边形分成n个三角形，再减去一个周角，即n×180°-360°=（n-2）×180°.（2）如图（2），点P在多边形边上，辅助线将n边形分成（n-1）个三角形，再减去以P为顶点的一个平角即为多边形的内角和，故多边形内角和为（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.（3）如图（3），点P在n边形的外部，辅助线将n边形分成了（n-1）个三角形，再减去外面那个三角形的内角和即为多边形的内角和，故n边形的内角和为：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.4.多边形的内角和与边数有关，外角和与边数无关，多边形每增加一边，它的内角和增加180°，而外角和不变.1.布置作业：从教材“习题11.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.。

八年级数学上册 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和教案（新版）新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第11.3节介绍了多边形及其内角和，11.3.2节主要讲解多边形的内角和。

本节内容是学生在学习了平面几何基本概念和三角形内角和的基础上，进一步探究多边形的内角和。

通过本节内容的学习，使学生掌握多边形的内角和定理，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平面几何的基本概念，对三角形的内角和有了一定的了解。

但多边形的内角和可能对学生来说较为抽象，因此，在教学过程中，需要引导学生从已知知识出发，逐步探究多边形的内角和。

三. 教学目标1.让学生理解多边形的内角和定理。

2.培养学生用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.重点：掌握多边形的内角和定理。

2.难点：如何推导出多边形的内角和定理。

五. 教学方法采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等，让学生在探究中学习，培养学生的动手操作能力和思维能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.教学素材（如多边形的图片）。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些多边形的图片，如正方形、矩形、三角形等，引导学生观察这些多边形的特点。

提问：你们知道这些多边形有多少个内角吗？让学生回顾三角形内角和的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解多边形的内角和定理。

通过PPT展示多边形内角和定理的证明过程，引导学生理解并掌握定理。

同时，让学生思考如何运用定理解决实际问题。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个多边形，并计算其内角和。

学生可以利用纸张和直尺在课堂上进行实际操作，增强对多边形内角和定理的理解。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目可以包括计算多边形内角和、运用内角和定理解决实际问题等。

教师在旁边辅导，解答学生的疑问。

第十一章 三角形多边形及其内角和11.3.2 多边形的内角和... ._____条对角线,它们将四边形分成_______度.你能用以前学过的知识证明的内角和为180°.边上任取一点E ，连接AE,DE ，证法3：如图，在四边形ABCD 内部取一点E ，连接AE,BE,CE,DE ， 把四边形分成四个三角形，证法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.方法总结:这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.（2）从五边形的一个顶点出发可以引______条对角线,它们将五边形分成_______个三角形,那么五边形的内角和等于多少度？（3）从n边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？那么n边形的内角和等于多少度？多边形的边数图形分割出的三角形个数多边形的内角和456……………………n要点归纳：n边形的内角和等于____________________. 转化的思想在数学学习中经常用到，分割点与多边形的位置关系：顶点，边上，内部，外部例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.要点归纳：如果四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也____________. 【变式题】如图，在四边形ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，若BE ∥DF ，求证：△DCF 为直角三角形．方法总结:由四边形的一组对角互补，知另外一组对角也互补，再结合角平分线、平行线的性质，运用整体思想即可求解.例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 针对训练1. 若一个多边形的内角和等于720o，则这个多边形的边数是________. 2.五边形的内角和为 ,十边形的内角和为 . 3.下列度数中,不可能是某个多边形的内角和的是( )A.180oB.270oC.2700 oD.720° 探究点2：多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？教学备注 3.探究点2新知讲授（见幻灯片20-28）问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？解：五边形外角和=5个平角－五边形内角和问题4：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n 边形的外角和又是多少呢？要点归纳：n边形的外角和等于360°.与边数无关.问题5：回想正多边形的性质，正多边形的每个内角是_______度,每个外角是______.典例精析例3 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数. 例4如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数.针对训练1.若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.2.已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.二、课堂小结多边形的内角和定理(n-2) ×180 °(n ≥_______的整数）多边形的外角和定理多边形的外角和等于_________.特别注意：与边数无关.正多边形内角=_______，外角=________. 教学备注4.课堂小结（见幻灯片34）1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等．( )2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_____米．4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540 °C.720 °D.810 °5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540 °C.720 °D.900 °6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.拓展提升7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.当堂检测温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下教学备注5.当堂检测（见幻灯片29-33）。

教学设计教师活动1：思考：我们学过的三角形、正方形、长方形的内角和是多少呢？任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你可以推理证明吗？活动意图说明：回顾旧知为学习新知做好准备. 环节二：新知探究教师活动2：任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？还有其他的方法吗？类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格.一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n －3)条对角线，它们将n边形分为（n －2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n －2).【尝试验证】用把一个多边形分成几个三角形的其他分法来验证是否能得出多边形的内角和公式？学生活动2：学生思考，得出答案，可以将四边形分成三角形学生思考，老师展示其他方法学生试着填表，并总结活动意图说明：通过从特殊到一般的探索过程，让学生体会数与形之间的联系，感受其中的推理过程和思考方法．环节三：典例精析教师活动3：例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么学生活动3：另一组对角有什么关系？试说明理由.例2.如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？学生分小组讨论并完成作答，教师鼓励学生采用不同方法进行解答并给予肯定．活动意图说明：典型例题进一步巩固新知，提高学生对公式的应用能力．环节四：新知讲解教师活动4：在 n 边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 n 边形的外角和.思考：n 边形的外角和又是多少呢？n 边形外角和=n 个平角和－ n 边形的内角和=n×180°-(n－2)×180°=360°归纳：n 边形的外角和等于360°.正n 边形的每一个外角都等于360°n 学生活动4：有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。

并请一位同学汇报结果。

外角和始终为定值，与边数无关如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是(n−2)×180°n每个外角的度数是360°nA.13B.14C.15D.13或152.一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.不能作为正多边形的内角的度数的是( )A.120B.130C.135°D.1444.一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，那么这个多边形是____边形;5.小华从A点出发向前直走50m后,向左转18°，继续向前走50m，再左转18°,他以同样走法回到A点时，共走_______m;6.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为_______.选做题：7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.8.一个正多边形的一个外角比一个内角小90°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【综合拓展类作业】9.如图，在五边形ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．。

11.3.2多边形的内角和●置疑导入清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，从A点出发，按顺时针方向跑步．【问题1】小明每从一条小路转到下一条小路，身体转过的角是哪些角？【问题2】他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？【问题3】在右图中，你能求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数吗？【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题及提问设疑，调动学生的学习兴趣和注意力．建议：教师要充分调动学生学习的积极性，把生活中的问题转化为数学问题．●类比导入【问题1】三角形的内角和等于多少度？长方形的内角和等于多少度？正方形的内角和等于多少度？【问题2】长方形和正方形是特殊的四边形，其内角和是360°，任意四边形的内角和等于多少度？【问题3】你是怎样得到的？你能找到几种方法？分割成2个三角形180°×2＝360°分割成3个三角形180°×3－180°＝360°分割成3个三角形180°×3－180°＝360°分割成4个三角形180°×4－360°＝360°【问题4】对比观察这些分法有什么异同点．【问题5】选一种你喜欢的上述分割的方法，求出五边形、六边形、七边形的内角和．【问题6】n边形的内角和怎样表示呢？【教学与建议】教学：从四边形入手，利用三角形的内角和是180°转化探索多边形的内角和．建议：分组探究，教师及时了解学生探索的情况．命题角度1利用多边形的内角和公式计算根据多边形内角和公式(n－2)×180°可求角度，建立方程可求边数．【例1】一个六边形的内角和为(A)A．720°B．540°C．360°D．450°【例2】一个n边形的内角和是1 800°，则n＝__12__．命题角度2利用多边形的外角和计算多边形的外角和恒为360°.【例3】已知正多边形的一个外角等于30°，那么这个正多边形的边数为(D)A．11 B．10 C．9 D．12【例4】正十边形的每个外角度数是__36°__．【例5】正八边形的每个外角都等于__45__度．命题角度3多边形的内角和、外角和的应用从物体形状中抽象得到多边形，应用多边形内角和公式、外角和性质解决实际问题．【例6】如图，小华从点A出发，沿直线前进12 m后向左转24°，再沿直线前进12 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是(C)A.144 m B．120 mC．180 m D．240 m命题角度4多边形的内角和与外角和的综合运用先设此多边形的边数为n，再根据多边形的内角和以及外角和建立关于边数的方程．【例7】正多边形的一个外角是36°，则这个正多边形的内角和是__1__440°__．【例8】若一个正多边形的一个内角是与其相邻外角的4倍，则这个正多边形的边数是__10__．命题角度5常见的星形角度的求和问题求星形角度的和时，一般要构造多边形，把问题变为求多边形的内角和运算.【例9】如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝__720°__．（例9题图）（例10题图）【例10】如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝__540°__.高效课堂教学设计1．通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式．2．学会运用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算．▲重点多边形的内角和公式及外角和．▲难点多边形内角和公式的推导及其运用．◆活动1新课导入1．我们知道三角形的内角和为__180°__．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为__360°__，同样长方形的内角和也是360°.3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？多边形的内角和又是多少呢？◆活动2探究新知1．教材P21思考及P22例1上面的内容．提出问题：(1)我们知道三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°，那么任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？(2)如何证明四边形的内角和等于360°？(3)通过类比，你能推出五边形、六边形的内角和吗？(4)从n边形的一个顶点出发，可以作几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？(5)如何推导多边形的内角和？多边形的内角和与边数有什么关系？学生完成并交流展示．2．教材P22例2.提出问题：(1)在六边形的每个顶点处有几个外角？它们之间有什么关系？每个外角与它相邻的内角之间有什么关系？(2)你能求出六边形的外角和吗？六边形的外角和与它的边数有什么关系？(3)如果把六边形改为七边形、八边形等，你能求出它们的外角和吗？学生完成并交流展示．3．教材P23思考．提出问题：(1)在一个多边形中，任何一个外角与它相邻的内角有什么关系？(2)多边形的内角和与外角和有什么关系？(3)三角形的外角和是360°，多边形的外角和也是360°吗？(4)n(n≥3)边形的外角和与它的边数有没有关系？(5)你能用其他方法解释一下多边形的外角和为什么等于360°吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．多边形的内角和等于__(n－2)×180°__．2．多边形的外角和等于__360°__．提出问题：你还能用其他方法推导多边形的内角和公式吗？试试看．强调：n边形的外角和为一定值，与它的边数无关．◆活动4例题与练习例1 已知一个多边形的内角和与外角和之比为7∶2，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n ，由题意，得（n －2）×180°360°＝72 ，解得n ＝9，即这个多边形的边数为9. 例2 在四边形ABCD 中，∠A ＝140°，∠D ＝80°.(1)如图①，若∠ABC 的平分线BE 交DC 于点E ，且BE ∥AD ，试求出∠C 的度数；(2)如图②，若∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点E ，试求出∠BEC 的度数．解：(1)∵BE ∥AD ，∴∠A ＋∠ABE ＝180°，即140°＋∠ABE ＝180°，∴∠ABE ＝40°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝80°.由∠A ＋∠ABC ＋∠C ＋∠D ＝360°，得∠C ＝360°－140°－80°－80°＝60°；(2)由已知，得∠EBC ＝12 ∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵∠A ＋∠ABC ＋∠BCD ＋∠D ＝360°，∴140°＋2∠EBC ＋2∠ECB ＋80°＝360°，∴∠EBC ＋∠ECB ＝70°，∴∠BEC ＝110°.练习1．教材P 24 练习第1，2，3题．2．若一个多边形的每个内角均为120°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线的条数为(B )A ．2B ．3C ．4D ．53．在四边形ABCD 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D ＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是__120°__．4．如图，小明从点A 出发，沿直线前进8 m 后左转40°，再沿直线前进8 m ，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A 时．(1)整个行走路线是什么图形？(2)一共走了多少米？解：(1)因为形成的图形的每条边都相等，每个内角都相等，所以行走路线是正多边形．这个正多边形的边数为360÷40＝9，所以行走路线是正九边形；(2)8×9＝72(m).◆活动5 课堂小结1．多边形的内角和公式．2．多边形的外角和．1．作业布置(1)教材P 24～25 习题11.3第2，3，4，5，6题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

八年级数学上册 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第11.3节介绍了多边形及其内角和的概念。

本节内容主要包括多边形的内角和公式的推导和应用。

学生通过本节内容的学习，能理解多边形的内角和与边数的关系，掌握多边形内角和的计算方法，为后续学习图形的镶嵌和圆的知识打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形的内角和定理，具备了一定的几何知识基础。

但是，多边形的内角和概念对于他们来说比较抽象，需要通过实例和动手操作来更好地理解和掌握。

此外，学生对于公式的推导和证明可能存在困难，需要教师耐心引导和解释。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能理解多边形的内角和的概念，掌握多边形内角和的计算方法，能运用内角和公式解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、推理等过程，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生体会数学与生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重点：多边形的内角和的概念及其计算方法。

2.难点：多边形内角和公式的推导和证明。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法。

教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

学生通过合作学习，共同解决问题，培养团队协作能力。

教师引导学生发现规律，总结归纳，从而掌握知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作多媒体课件，包括多边形的内角和图片、公式推导过程等。

2.教学素材：准备一些多边形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。

3.练习题：准备一些有关多边形内角和的应用题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些多边形的图片，引导学生观察和思考：这些多边形有什么共同特点？它们的内角和是多少？从而引出本节课的主题——多边形的内角和。

2.呈现（10分钟）教师简要介绍多边形的内角和的概念，然后通过PPT展示多边形内角和的计算方法。

第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和一、教学目标1.掌握多边形的内角和公式及外角和．2.运用多边形的内角和公式及外角和解决问题．二、教学重点及难点重点：多边形内角和公式及外角和公式.难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形．三、教学用具电脑、多媒体、课件、直尺四、相关资源《多边形外角和》动画、《多边形的内角和与外角和》微课五、教学过程（一）情境导入在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这么一个问题：某个多边形所有的角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？（四边形）小敏同学仅用几秒钟就解决了问题，你能吗？设计意图：这样一开始就利用抢答赛问题来提问设疑，学生很容易发问：这个多边形是几边形呢？从而可调动学生的学习兴趣和注意力，创设了恰当的教学情境．（二）探究新知1．（1）长方形、正方形的内角和等于多少度？任意一个四边形的内角和又是多少呢？（360°，360°）（2）你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？证明：连接AC，∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝（∠BAC＋∠BCA＋∠B）＋（∠DAC＋∠DCA＋∠D），＝180°＋180°＝360°．设计意图：感受对角线在探究四边形内角和中的作用，体会化归思想．2．四边形从一个顶点出发能引几条对角线？它们把四边形分割成几个三角形？五边形、六边形、……、n边形呢？（1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，它们将四边形分为2个三角形，四边形的内角和等于180°×2＝360°．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条2对角线，它们将五边形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，它们将六边形分为4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，它们将n边形分为（n－2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n－2）．多边形的内角和计算公式：多边形的内角和等于（n－2）×180°．设计意图：经历从四边形、五边形、六边形内角和到一般多边形内角和的探究过程，得出多边形内角和公式，体会从特殊到一般的探究问题的方法；把多边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用．3．把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？有新的分法，能得出多边形内角和公式吗？方法1：如图，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA，OB，OC，OD，OE，则得五个三角形．∴五边形的内角和为5×180°－360°＝（5－2）×180°＝540°．方法2：如图，在边AB上取一点O，连OE，OD，OC，则可得（5－1）个三角形．∴五边形的内角和为（5－1）×180°－180°＝（5－2）×180°．如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形的内角和公式：（n－2）×180°．设计意图：尝试用不同的方法分割多边形，把多边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用，进一步加深对多边形内角和公式推理过程的理解．（三）例题解析【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系呢？解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°．如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形的内角和公式，利用公式解决具体问题．【例2】在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少呢？如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值．分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EF A＝180°，∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EF A ＝6×180°．又∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EF A＝(6－2)×180°,∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－(6－2)×180°＝360°．这就是说，六边形的外角和为360°．如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，又因为n边形的内角和为（n－2）×180°所以，n边形的外角和为：n·180°－（n－2）·180°＝360°．多边形的外角和等于360°．我们也可以这样理解多边形外角和等于360°．如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．设计意图：经历求六边形的外角和再到一般n边形的外角和的探究过程，得出n边形的外角和360°，有效地锻炼了学生分析问题和解决问题的能力．（四）课堂练习1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）．A．4 B．5 C．6 D．72．若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是（）．A．900°B．540°C．1 080°D．360°3．若一个多边形增加一条边，那么它的内角和（）．A．增加180°B．增加360°C．减少360°D．不变．4．多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是（）．A．10 B．11 C．12 D．13学生独立完成．答案：1．C．2．C．3．A．4．C．设计意图：为学生提供演练机会，加强对多边形内角和公式及外角和的理解及掌握．六、课堂小结（1）多边形的内角和公式（n－2）×180°．（2）多边形的外角和等于360°．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，回顾探究多边形内角和公式及外角和的过程，强调从特殊到一般的探究问题的方法．七、板书设计11.3.2 多边形的内角和多边形的内角和公式（n－2）×180°多边形的外角和等于360°。