四川省武胜县万善初级中学人教版八年级数学上册课件：1132多边形的内角和(共17张PPT)

E 5
4
D
F
6 A1
3
C 2 B
= 360 °
将六边形换成n边形（n 是不小于3的任意整数）
结论：六边形的外角和等于360°.
可以得到同样的结果吗？
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n 边形的外角和．
n边形外角和 = n边形内外角总和 - n边形内角和 = n×180 °- (n-2) × 180° = 360 °
练习 4 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍,则这个多边形是( C )
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.八边形
解析：设所求正 n 边形边数为 n ,由题意得
n 2 180 360 2 解得 n 6 .
则这个多边形是六边形.故选 C.
练习 5 一个多边形的内角和是其外角和的 4 倍，则这个
多边形的边数是__1_0____.
解析：设这个多边形的边数为 n ，则该多边形的内角和
为 (n 2)180 ，依题意得： (n 2)180 360 4 ， 解得： n 10 ，这个多边形的边数是 10. 故答案为：10.
练习 6（1）根据图中的相关数据，求出 x 的值：
. （2）一个多边形内角和的度数比外角和的度数的 4 倍多 180 度， 求多边形的边数.
多边形的外角和等于_3_6_0_°__
谢谢观看
A B
D
•
E C
类比上面的方法，你能推导出五边形和六边形的内角和各 是多少吗？
五边形内角和为180°×3 = 540°
六边形内角和为180°×4 = 720°
边数 三角形 四边形 五边形 六边形 ······ n 边形
图形
从多边形的一顶点 引出的对角线条数

四边形的内角和为360０
思路：多边形问题转化为三角形
问题来解决．
试一试 • 完成下表
多边形边数 ３ ４ ５ ６
从一个顶点引对 角线的条数
0
1
2
3
分成的三角形 个数
1
2
34
多边形的内角 和
1800 3600 54007200
n
n-3 n-2
(n-2) ×1800
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，
• 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么 另一组对角有什么关系？
A
B
D
C
解：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∴∠B+∠D=360°-180°=180° 所以加一组对角也互补。
例2 在六边形的每个顶点各取一个外角，这些外 角和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等 于多少？
（1）多边形的内角和随着边数的增加
而 增 加 ，边数增加一条时， 它的内角和增加 180 度 .
（2）七边形的内角和等于 900 度（. 7－2）×180
（3）一个多边形的内角和等于720 ° 那么这个多边形是 六 边形.
（4）如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角 也互补 .
想一想：
除了上述我们利用对角线， 将一个多边形分割成几个三 角形外，还有其它的分割方 法吗?
C
• 多边形的对角线:连接
多边形不相邻的两个顶点
的线段叫做多边形的对角线.
A1 E
D
• 在图1中,画出任意一边所在 的直线,整个多边形都在直 线的同侧,这样的多边形叫
做凸多边形.
• 图2中,多边形ABCD不在 CD所在直线的同侧,就不是

A
B
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一 组对角也互补。
情境引入 合作探究
【学习任务四】探究多边形的外角和.
B 1 A5
2 C3
E
4 D
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个
多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的
和叫做这个多边形的外角和.
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？你会推理证明吗？
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
几何推理
几何推理
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
几何推理
缩放法
情境引入 合作探究
情境引入 合作探究
动手 思考：多边形的外角和与边数有关吗？
操作
特
一
殊
般
猜想 任意多边形的外角和都等于360°
具
抽体ຫໍສະໝຸດ 象情境引入 合作探究
由简单到复杂 由特殊到一般
猜想：n边形的外角和等于360°
= 3×180°
D = 540°
n边形内角和：
（n-1）·180°- 180°
= （n-1-1）·180°
= （n-2）·180°
情境引入 合作探究
E
A
B
C
五边形内角和：
5×180°- 360 °
= 5×180°- 2×180°
=（5-2）×180°
D
=
540 ° n边形内角和：
n·180°- 2×180°
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导

120°
x°
A
x°
A
B
x°
B
x +x 90 140 360 x +2x 90
x 65
150 +120 540 x 30
E
120°
D
80°
75°
A
1 x°
B
C
1+80 120 75 360
1 85 x 180 85 95
一个多边形的内角和是1620°，它是 十一 边形.
形 n(n 3)
2
共有
A1
条对角线.
An
A1
An
A2
A2
A4
A4
A3
A3
研究多边形的问题通过添加对角线，都可以转化为三角 形.你能利用三角形内角和定理，证明任意四边形ABCD的内 角和等于 360°吗？
已知：四边形ABCD ， 求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
D
2 A
1
4C 3
方法1 证明：连接AC， ∠BAD+∠B+ ∠BCD+∠D =∠1+∠2+ ∠B+∠3+ ∠4+∠D
F
6
A
1
因为六边形的任何一个外角加上与它相邻的内 4 D 角都等于 180° ，因此六边形的6个外角加上它
3 们相邻的内角，所得的总和等于 6180 .
C
2
B
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边
走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在 方法3 如图，在BC边上取一点O ，连接OA，OD， 把四边形分成三个三角形.
多边形的外角和为 360°，不随边数的改变

（RJ）人教版八年级数学上册
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
（难点）
导入新课
情景引入
法国的建筑事务所将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的 想象力结合，创造了这个“ 蜜蜂馆”.
每一个内角等于__1_2_0_°_．
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左 转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…， 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的 路程一共是_1_5_0_____米．
4.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540 °
C.720 °
每个外角的度数是 360 .
n
练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正六____边形 . (2)已知正多八边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
______边形.
典例精析
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6.
典例精析
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．

学习了本节课你有哪些 收获？
随堂练习
求下列图形中x的值：
140 0
x0
x0
(1)
120 0 80 0
75 0
x0
(3)
150 0 120 0
(2)
2x0
x0
D
E
x0
150 0
60 0
C
135 0
A
B
(4)
AB∥CD
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月12日星期四2021/8/122021/8/122021/8/12 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/122021/8/12August 12, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/12
…
5边形
对角线条数： 2 三角形个数： 3
内角和：540°
6边形
3
4 720°
7边形
4
5 900°
n边形
？
？ ？
结论:
n边形的内角和公式： （n-2）×180°
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 11:28:35 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021

想一想：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有
什么关系？试说明理由.
解： 如图，四边形ABCD中， ∠A+ ∠C =180°.
A
D B
因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °， C
所以 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
n边形的外角和等于360°.
在n边形的每个顶点处各多取边一形个的外外角角，这些外角的和叫做n边形
的外角和． n边形外角和
和为定值，与
1A
边数无关
B
n
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °－(n－2) × 180° =360 °
2
C3
E
4 D
二 多边形的外角和
知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质， 你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？
n-2
（n-2）×180°
一 多边形的内角和
多边形的内角和公式 n边形内角和等于（n-2) ×180 °. 其他分割方法欣赏
把一个多边形分成几个三 角形，还有其他分法吗？ 运用这些分法，能得出多 边形的内角和公式吗？
P
P 练一练：（1）12边形的内角和等于 1800 °. （2）如果一个多边形的内角和等于1440 °，那么这是 十边形.
A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变
一 多边形的内角和
知道了多边形的内角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道 正多边形的每个内角是多少度吗？为什么？
因为正多边形的每个内角相等，所以用内角和除以内角的个数 （n）即可得到正多边形每个内角的度数.

11.3 多边形及其内角和 （第1课时）
创设情境，导入新知
问题 你能从图中想象出几个由一些线段围成的图 形吗？
创设情境，导入新知
多边形的定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 形叫做多边形.
创设情境，导入新知
观察 你能说出这两
凸四边形
C
D B
创设情境，导入新知
归纳总结，梳理新知
=360°-（∠A + ∠C） =360°- 180° =180°．
探究 你能利用三角形内角和定理证明你的结论
（如探+ （1图究）∠，边十D从你A边C六能数形+边利∠的形用D内C的三角A一角和+个形∠为D顶内）图点角，出和度形发定．，理可证以明作你的_从引_结__论多 出_条边 的形 对的 角一 线个 条顶 数点
F A
E
B
D
C
归纳总结，获得新知
思考 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系 吗？能证明你发现的结论吗？
从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角 线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2） 个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形 的内角和等于（n -2）×180°．
从四边形的一个顶点出发，
四边形分为
个三角形，
5 -3 = 2 五边形 探究 你能利用三角形内角和定理证明你的结论
五边形的内角和等于
∵ ∠A +∠B +∠C +∠D
解：如图，四边形ABCD 中，
6 -3 = 3 六边形 （3）在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到
回忆 长方形、正方形的内角和等于______.

巩固练习
2. 根据多边形的内角和完成下列题目.
(1) 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( C ) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 (2) 若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是( C ) A．900° B．540° C．1080° D．360° (3) 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和( A ) A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变
注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边 其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
探究新知
考点探究2 利用多边形内角和公式求角度或边数 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°， 并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内
角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n–2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8–2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C， ∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数， 再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的 角度和，进一步求得∠P的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.
探究新知
问题5：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五
边形和六边形内角和吗?
E
A
A
F
B
D
B
E
C