1132多边形的内角和与外角和

11.3 多边形及其内角和基础闯关全练知识点一多边形及其相关概念1．下列图形中，不是多边形的是( )A. B. C. D.2．（2019湖北武汉研口期中）若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是( )A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形知识点二多边形的分类及正多边形3．一个正多边形的周长是100，边长为10，则该正多边形的边数为.知识点三多边形的内角和4．（2018云南中考）一个五边形的内角和为( )A.540°B.450°C.360°D.180°5．（2018江苏南通中考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( )A.4B.5 C．6 D．7知识点四多边形的外角和6．若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数），则其外角和的度数( ) A．增加B．减少C．不变D．不能确定7．（2018山西中考）图11-3 -1①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图11-3-1②是从图11-3-1①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=____ 度．能力提升全练1．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )A.360°B.540°C.720°D.900°2．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )A. B. C. D.3．如图11-3 -2，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的和等于210°，则∠BOD的度数为( )A.30°B.35°C.40°D.45°三年模拟全练一、选择题1．（2019内蒙古巴彦淖尔期末，5．★★☆）一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是( )A.60°B.90°C.180°D.360°2．（2019湖北荆门沙洋期中．5．★★☆）一个多边形的内角和为540°，则它的对角线共有( )A.3条B.5条C.6条D.12条3．（2019山东济宁微山期中．5．★★☆）一个正多边形的一个内角是它相邻外角的5倍，则这个正多边形的边数是( )A．12 B．10 C．8 D.6二、填空题4．（2019吉林白城期中，9．★★☆）如图11-3 -3，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .5．（2018山东滨州期末，18，★★★）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2 520°．则原多边形的边数为.三、解答题6．（2019四川绵阳期中，23．★★☆）如图11-3 -4，在六边形ABCDEF中，AF∥CD,AB∥DE，且∠BAF= 100°，∠BCD=120°，求∠ABC和∠D的度数．五年中考全练一、选择题1．（2018贵州铜仁中考．7．★☆☆）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )A.8 B．9 C．10 D．112．（2018山东济宁中考，8，★★☆）如图11-3 -5，在五边形ABCDE中，∠A+ ∠B+ ∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )A.50°B.55°C.60°D.65°二、填空题3．（2018上海中考．16，★★☆）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．4．（2018湖南邵阳中考，14，★★☆）如图11-3 -6所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C= 110°，它的一个外角∠ADE= 60°，则∠B的大小是.5．（2018山东聊城中考，14．★★★）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是.三、解答题6．（2016河北中考．22，★：★☆）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．(1)甲同学说：“θ能取360°，”而乙同学说：“θ也能取630°．”甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由：(2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.核心素养全练1．(1)如图11-3-7①②，试探究∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系：(2)请你用文字语言描述(1)中的关系；(3)用你发现的结论解决下列问题：如图11-3-7③，AE、DE分别平分四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA，∠B+ ∠C=240°，求∠E的度数．2．（独家原创试题）李华学习了人教版八上第十一章第3节“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，人教版八上课本第29页第11题如下：如图11-3 -8．△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G．求证：(1) ∠BGC= 180°-21（∠ABC+∠ACB ）； (2)∠BCC= 90°+21∠A ．李华发现这个题目其实是解决“三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系”这个问题，他把这个问题改编如下：问题1：若将△ABC 改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图11-3 -9①，在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B 的数量关系，并说明理由；问题2：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 呢？如图11-3 -9②所示，请你利用上述结论探究∠P 与∠A+ ∠B+ ∠E+ ∠F 的数量关系，并说明理由.11.3 多边形及其内角和1.C A 中的图形是四边形，是多边形；B 中的图形是五边形，是多边形：C 中的图形不是多边形；D 中的图形是五边形，是多边形．2.C 设这个多边形的边数为n ．∵该多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，∴n-3=4．解得n=7．即这个多边形是七边形，故选C ．3．答案10解析∵正多边形的周长是100，边长为10， ∴该正多边形的边数为10100=10，故答案为10. 4.A 180°×(5-2)=540°，故选A ．5.C 设这个多边形的边数为n ．则（n-2）×180°=7200，解得n=6，故选C ．6．C 因为多边形的外角和为360°，所以外角和的度数是不变的．故选C ．7．答案360解析由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5= 360°．故答案为360.1.D 如图①，将长方形纸片沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和之和为180°+180°=360°；如图②，将长方形纸片从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和之和为180°+360°=540°：如图③，将长方形纸片沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和之翮为360°+360°=720°；如图④将长方形纸片沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，两个多边形的内角和之和为180°+540°= 720°．故选D．2.B设新多边形的边数是n，则(n-2)·180°= 720°，解得n=6．故选B．3.A∵∠1、∠2、∠3、∠4相邻的外角的和为210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°，∵五边形OAGFE的内角和为(5-2) ×180°= 540°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD= 540°,∴∠BOD= 540°-510°= 30°，故选A．一、选择题1.C由多边形的内角和公式可知，一个多边形边数增加1．则这个多边形内角和增加180°；由任意多边形的外角和是360°可知，外角和增加0°，则内角和与外角和增加的度数之和是180°．故选C．1 2.B设该多边形的边数为n，∴（n-2）·180°=540°，解得n=5，∴这个多边形共有2×5×( 5-3)=5条对角线．故选B．3.A设这个正多边形的每个外角为x°，由题意得x+5x= 180．解得x= 30,360°÷30°= 12.故选A．二、填空题4．答案540°解析如图．∵∠6+∠7=∠8+∠9．∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=( 5-2) ×180°= 540°，故答案为540°．5．答案15或16或17解析设新多边形的边数是n，则（n-2）·180°=2 520°，解得n=16．∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，也可以多1或少1，∴原多边形的边数是15或16或17.三、解答题6．解析连接AD，∵AF∥CD，AB∥DE，∴∠FAD= ∠ADC,∠BAD= ∠ADE,∴∠BAF= ∠CDE= 100°．∵∠ABC+∠DCB+∠BAD+∠ADC=360°,∠FAB= ∠FAD+∠BAD= ∠ADC+∠BAD= 100°.∴∠ABC=360°-120°-100°=140°.一、选择题1．A 多边形的外角和是360°，设这个多边形的边数为n ，根据题意得180°·（n-2）=3×360°，解得n=8．故选A ．2．C ∵在五边形ABCDE 中，∠4+∠B+∠E=300°，五边形的内角和为( 5-2)×180°=540°，∴∠EDC+∠BCD=240°．又∵DP 、CP 分别平分∠EDC 、∠BCD ，∴∠PDC+∠PCD=120°．∴∠P= 180°-(∠PDC+∠PCD)= 180°-120°=60°.故选C.二、填空题3．答案540解析以多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形，所以该多边形的内角和是3×180°=540°．故答案为540.4．答案40°解析 ∵∠ADE= 60°，∴∠ADC=120°，∵AD ⊥AB,∴∠DAB= 90°．∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°．故答案为40°．5．答案540°或360°或180°解析一个正方形截掉一个角后，所得新多边形的边数可能增加1，可能不变，也可能减少1．边数增加1时，新多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°；边数不变时，新多边形的内角和是(4-2)×180°=360°；边数减少1时，新多边形的内角和是( 4-1-2) x180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°，三、解答题6．解析(1)甲对，乙不对，∵θ= 360°，∴（n-2）×180= 360.解得n=4．∵θ= 630°，∴（n-2）×180= 630，解得n=211． ∵n 为整数，∴θ不能取630°．(2)依题意，得（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2．1．解析(1)∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6= 360°,∴∠3+∠4= 360°-(∠5+∠6),∵∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,∴∠1+∠2=360°-(∠5+∠6),∴∠1+∠2=∠3+∠4．(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．(3)∵∠B+∠C=240°,∴∠MDA+∠NAD= 240°,∵AE.DE 分别平分∠NAD 、∠MDA,∴∠DAE=21∠NAD,∠ADE=21∠MDA, ∴∠ADE+∠DAE=21（∠MDA+∠NAD ）=21×240°= 120°, ∴∠E= 180°-( ∠ADE+∠DAE)= 180°-120°= 60°.2．解析问题1：∠P=21（∠A+∠B ） 理由：∵DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD,∴∠PDC=21∠ADC,∠PCD=21∠BCD, ∴∠P=180°-∠PDC- ∠PCD= 180°-21∠ADC-21∠BCD=180°-21(∠ADC+ ∠BCD)=180°-21（360° - ∠A-∠B ）=21(∠A+∠B) 问题2：∠P=÷(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°．理由：六边形ABCDEF 的内角和为(6-2)×180°=720°,∵DP 、CP 分别平分∠EDC 和∠BCD,∴PDC=21∠EDC,∠PCD= 21∠BCD, ∴∠P= 180°-∠PDC- ∠PCD= 180°-21∠EDC-21∠BCD=180°-21(∠EDC+ ∠BCD)= 180°-21（720°-∠A-∠B-∠E-∠F ） =21（∠A+∠B+∠E+∠F ）-180°．。

多边形的内角和与外角和多边形是一种有多个直角或不是直角的边的几何图形。

它由一系列线段组成，这些线段的端点称为顶点。

在一个多边形中，内角和与外角和是两个重要的概念。

一、内角和内角是多边形内部两条边所形成的角，可以通过计算多边形的内角和来了解多边形的性质。

多边形的内角和可以通过以下公式来计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。

可以看出，内角和与多边形的边数呈线性关系，边数越多，内角和也会增加。

例如，对于三角形（三边形），它有3个内角，内角和为180°。

对于四边形（四边形），它有4个内角，内角和为360°。

同理，五边形（五边形）的内角和为540°，六边形（六边形）的内角和为720°。

二、外角和外角是多边形内部一条边与其相邻边的延长线之间所形成的角。

多边形的外角和可以通过以下公式来计算：外角和 = 360°不论多边形的边数是多少，其外角和总是等于360°。

这是因为多边形的各个外角之间构成了一个完整的圆周角。

三、内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在一定的关系。

根据数学原理，多边形内角和与外角和相差180°。

证明如下：设多边形的边数为n，每个内角为a°，每个外角为b°。

多边形的内角和为 (n - 2) × 180°，外角和为360°。

根据角度的差值关系，可以得到：(n - 2) × 180° = n × a° - n × b°化简得到：360° = n × (a° - b°)因此，a° - b° = 180°，即内角和与外角和相差180°。

这个关系在解决一些几何问题时非常有用。

通过计算内角和和外角和，我们可以推导出多边形的各种性质和特点。

多边形的内角和与外角和多边形是几何学中的一个基本概念，它是由多条线段连接而成的封闭图形。

在这篇文章中，我们将探讨多边形的内角和与外角和的关系。

【引言】多边形的内角和与外角和是几何学中的一个基本定理，它是研究多边形性质的重要基础。

了解内角和与外角和的关系，可以帮助我们更好地理解多边形的形状和特性。

【多边形的内角和】多边形的内角和是指多边形内部各个角度的和。

对于 n 边形来说，它的内角和可以用以下公式表示：内角和 = (n-2) * 180°。

这个公式的推导可以通过将多边形分解成 n-2 个三角形，再计算每个三角形的角度和得出。

【多边形的外角和】多边形的外角是指多边形内部的一条边与其邻近两条边所成的角。

对于任意多边形来说，它的外角和总是等于360°。

这个定理可以通过多边形的逆时针顺序求和得出。

将每一个外角相加，总和一定等于完整的一圈360°。

【内角和与外角和的关系】多边形的内角和与外角和存在着一定的关系。

考虑一个 n 边形，它共有 n 个内角和 n 个外角。

每个内角和对应一个外角，它们的差值总是等于180°，即：内角和 - 外角和 = 180°。

举例来说，对于三角形来说，它的内角和是180°，外角和是360°，二者之差为180°，符合上述的关系。

同样地，四边形的内角和是360°，外角和也是360°，差值为0°。

这一关系同样适用于五边形、六边形以及更多边形。

【应用举例】1. 设想一个六边形，已知其中一个内角为120°，我们可以计算出该六边形的内角和为 (6-2) * 180° = 720°。

同时，根据内角和与外角和的关系，我们可以推断出该六边形的外角和为 720° - 120° = 600°。

2. 推广到任意 n 边形，我们可以利用内角和与外角和的关系来解决各种几何问题。

知识点多边形的内角和与外角性质知识点：多边形的内角和与外角性质多边形是几何学中的基本概念之一，它由若干条直线段首尾相连而成，形成一个封闭的图形。

根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等等。

在多边形中，我们关注的一个重要性质就是多边形的内角和与外角性质。

一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形中所有内角的度数之和。

对于n边形，其内角和可以通过以下公式计算：内角和 = (n-2) × 180°以三角形为例，三角形是由三条边组成的多边形。

根据内角和性质，三角形的内角和恒为180°。

即三角形的三个内角的度数之和始终等于180°。

对于四边形，四边形是由四条边组成的多边形。

根据内角和性质，四边形的内角和恒为360°。

即四边形的四个内角的度数之和始终等于360°。

同样地，我们可以推广到多边形的情况。

对于任意n边形，其内角和恒为(n-2) × 180°。

多边形的每个内角的度数之和始终等于(n-2) ×180°。

二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边和其相邻的一条边所组成的角。

相邻边是指连接同一个顶点的两条边。

对于n边形，每个外角的度数可以通过以下公式计算：每个外角的度数 = 360° / n以正多边形为例，正多边形是指边长和内角都相等的多边形。

对于正n边形，每个内角的度数为(180° × (n-2)) / n，每个外角的度数为360°/ n。

可以发现，正多边形的每个内角和每个外角的度数之和均为180°。

三、内角和与外角的关系多边形的内角和与外角有着特殊的关系。

对于任意n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = 360°这个关系可以通过推导得到。

由于多边形的每个外角的度数为360°/ n，n个外角的度数之和为360°。

多边形的内角和定理与外角和定理多边形是几何学中的基本概念之一，它有着丰富的性质和定理。

其中包括内角和定理与外角和定理，它们对于理解多边形的性质和计算其角度非常重要。

本文将详细介绍多边形的内角和定理与外角和定理，并讨论其应用。

一、多边形的内角和定理内角是指多边形内部的角度，内角和定理描述了多边形内角的和与多边形的边数之间的关系。

对于n边形（n≥3），其内角和可以用以下公式表示：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n是多边形的边数。

这个公式的直观解释是，将多边形分割成n-2个三角形，而每个三角形的内角和是180°，所以将它们相加即可得到多边形的内角和。

举个例子，对于三角形来说，它是一个3边形，根据公式可知，其内角和 = (3 - 2) × 180° = 180°，这符合我们对三角形的认识。

同样，对于四边形，它是一个4边形，根据公式可知，其内角和 = (4 - 2) × 180°= 360°，这也符合我们对四边形的认识。

除了上述公式之外，内角和定理还有一个重要的推论，即每个内角的平均值。

对于n边形来说，每个内角的平均值可以通过以下公式计算：每个内角的平均值 = 内角和 / n这个公式的意义在于，它告诉我们每个内角的平均值与多边形的内角和和边数有关。

通过计算平均值，我们可以更好地了解多边形内角的分布情况。

二、多边形的外角和定理外角是指一个多边形的某个顶点与其相邻两条边所组成的角度，外角和定理描述了多边形外角的和与360°之间的关系。

对于n边形（n≥3），其外角和等于360°。

这个定理的证明可以通过以下推理：对于任意一个多边形，我们可以通过从一个顶点出发，沿着多边形的边逐个计算外角，并将它们相加。

当我们绕着多边形的所有顶点一圈后，会回到起点，此时所有外角的和为360°。

举个例子，对于三角形来说，它是一个3边形，根据外角和定理可知，其外角和等于360°，这说明三角形的外角和为一个圆周。