【步步高】高中数学 第一章 1.1.4投影与直观图基础过关训练 新人教B必修2

1.1.4 投影与直观图1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点)2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(重点)3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图.(重点)4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)[基础·初探]教材整理1 投影的概念阅读教材P16～P17“倒数第5段”与P19～P20“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.1.投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.(2)投影线：光线.(3)投影面：留下影子的屏幕.2.投影的分类(1)中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.(2)平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形的平行投影一定是矩形.( )(2)平行四边形的平行投影可能是正方形.( )(3)两条相交直线的平行投影可能平行.( )(4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.( )【解析】利用平行投影的概念和性质进行判断.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2 斜二测画法阅读教材P17“倒数第5段”以下～P18以上内容，完成下列问题.1.直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段.(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.( )(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.( )(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变.( )(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()【解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小组合作型]如图1­1­45，点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把可能的序号都填上)图1­1­45【精彩点拨】利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断.【自主解答】其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影.③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影.【答案】②③画投影图的关键及常用方法1.关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影.2.常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法.[再练一题]1.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________.图1­1­46①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形.【解析】①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE ＝1，取D ′D 的中点G ，则四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的投影是四边形AGD ′E ，由AE ∥D ′G ，且AE ＝D ′G ，∴四边形AGD ′E 是平行四边形.但AE ＝1，D ′E ＝5，故四边形AGD ′E 不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确.【答案】 ①③按图1­1­47的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图.图1­1­47【精彩点拨】 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.【自主解答】 画法：(1)在图①中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图②中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(3)在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图③).1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.[再练一题]2.用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图1­1­48所示.图1­1­48【解】 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图②).①(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .②(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.【精彩点拨】 画轴→画底面→画顶点→成图【自主解答】 画法：(1)画轴：① ②画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD .(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”[再练一题]3.用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.【解析】 (1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长.(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示.[探究共研型]探究1 断△ABC 的形状？图1­1­49【提示】 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形.探究2 若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？【提示】 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.探究3 若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？【提示】 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S .如图1­1­50，某四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B ′＝∠C ′＝45°，求原四边形的面积.图1­1­50【精彩点拨】 可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积.【自主解答】 取B ′C ′所在直线为x ′轴，因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′为y ′轴，过D ′点作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于点E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形，所以E ′C ′＝ 2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图：在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2，在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2，过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的实际图形.四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2，所以四边形ABCD的面积S ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.1.还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段.平行于x ′轴的线段长度不变，平行于y ′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.2.求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解.3.原图的面积S 与直观图的面积S ′之间的关系为S ＝22S ′.[再练一题]4.如图1­1­51，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )图1­1­51 A.24a 2 B.22a 2 C.a 2 D.2a 2【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积.所以S＝a·22a＝22a2.【答案】 B1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A.直角三角形的直观图仍是直角三角形B.梯形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.【答案】 D2.如图1­1­52所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )图1­1­52A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形【解析】因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.【答案】 D3.如图1­1­53所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.图1­1­53【解析】 画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.【答案】 224.如图1­1­54所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________.图1­1­54【解析】 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6. 【答案】 65.画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图.【解】 (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图.。

第6课时 1.1.4 投影与直观图课时目标了解投影、中心投影和平行投影的相关概念．C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形答案：D解析：由斜二测画法的规则，可知平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 答案：D解析：根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A ′B ′C ′所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′垂直A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2. 5．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )答案：C解析：在A 、B 、D 中，三角形ABC 的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C 不全等．6．如图所示的正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32) cmD ．(2＋23) cm答案：B解析：直观图中，O ′B ′＝2，原图形中OC ＝AB ＝22＋12＝3，OA ＝BC ＝1.∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.二、填空题(每个5分，共15分)7.的直观图，那么△′轴，可知∠BAC所以仅为直角三角形而非等腰直角三角形．′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，________．为直角三角形，显然，AC＝1，腰AD＝CB＝2，下底________．所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为可得其高为22－1＝2×(1＋3)×一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形DC⊥BC，求原平面图形的面积．.ADCE是矩形，能力提升C′D′是边长为1的正方形，二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．A与O重合，在x轴上取点，连接DE并延长至点B，使′的原图形(也可以过点C，如图所示．为平行四边形，∵AD＝2，AC＝2，∴用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)中，以AD所在的直线为x，BC分别交于M，N两点，如图①所示．。

1.1.4 投影与直观图[学习目标] 1.了解中心投影与平行投影.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.3.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.[知识链接]1.三角形的面积S ＝12ah (其中a 为底边长，h 为底边上的高).2.梯形的面积S ＝12(a ＋b )h (其中a 、b 为两底长，h 为高).[预习导引] 1.平行投影已知图形F ，直线l 与平面α相交.过F 上任意一点M 作直线MM ′平行于l ，交平面α于点M ′，则点M ′叫做点M 在平面α内关于直线l 的平行投影(或象).如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F ′，则F ′叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影. 2.平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段； (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； (4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 3.中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.4.水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.(3)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线，再借助于所作的平行线确定端点在直观图中的位置.要点一 中心投影与平行投影 例1 下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线； ③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故3种说法都正确.规律方法 1.考察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.2.平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变，一般情况下投影也会改变.3.中心投影与人的视觉效果一致，解题时可结合生活实际作出判断.跟踪演练1 如图所示，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2 m ，桌面距离地面1 m ，若灯泡距离地面3 m ，则地面上阴影部分的面积为________(忽略桌脚).答案 0.81π m 2解析 设地面阴影圆的半径为x ，则有0.6x ＝23，∴x ＝0.9，∴阴影圆的面积为S ＝πx 2＝0.81πm 2.要点二 画水平放置的平面图形的直观图例2 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.跟踪演练2 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴.(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ＝2 cm ，在y ′轴上取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示.要点三 由直观图还原平面图形例3 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )A.24a 2B.22a 2C.a 2D.2a 2答案 B 解析由直观图还原出原图，如图，所以S ＝a ·22a ＝22a 2. 规律方法 由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置.跟踪演练3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O ′A ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为( )A.2B. 2C.2 2D.4答案 D解析 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的， 不一样的是两个梯形的高原梯形的高OC 是直观图中O ′C ′长度的2倍，O ′C ′的长度是直观图中梯形的高的2倍 由此知原梯形的高OC 的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形O ′A ′B ′C ′面积的22倍，梯形O ′A ′B ′C ′的面积为2，所以原梯形的面积是4.要点四空间几何体的直观图例4 画一个正五棱柱的直观图(尺寸自定)解(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的高.(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”跟踪演练4 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).(2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图(2).1.一条直线在平面上的正投影是( )A.直线B.点C.线段D.直线或点答案 D解析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线.2.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是( )A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形答案 B3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形答案 D解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.答案 6解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝1 2OA·OB＝6.1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为S直S原＝24.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.。

1．下列关于直观图画法的说法不正确的是( )．A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x 轴，且长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y 轴，且长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可等于135°D ．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同2．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法中正确的是( )．A ．内心的平行投影还是内心B ．重心的平行投影还是重心C ．垂心的平行投影还是垂心D ．外心的平行投影还是外心3．下晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的影子( )．A ．变长B ．变短C ．先变长后变短D ．先变短后变长4．对于一条底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( )．A ．2倍B ．2倍C ．2倍D ．12倍 5．若线段AB 平行于投射面，O 是AB 上一点，且AO ∶OB ＝m ∶n ，则点O 的平行投影O ′分线段AB 的平行投影A ′B ′的长度之比是______．6．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1 m 的竹竿影长0.9 m ，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙，如图所示．他测得留在地面部分的影子长2.7 m ，留在墙壁部分的影高1.2 m ，则树的高度为(太阳光线可看作为平行光线)______．7．如图所示，在水平放置的平面α内有一边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，其中对角线A ′C ′处于水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．8．小迪身高1.6 m，一天晚上放学回家，走到两路灯之间，她发现自己的身影的顶部正好在A 路灯的底部，她又向前走了5 m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10 m．(两路灯的高度是一样的)求：(1)路灯的高度；(2)当小迪走到B路灯下，她在A路灯下的身影有多长？9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB高1．6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC，如图所示．求：(1)当遮阳篷AC的宽度在什么范围内，太阳光线能直接射入室内？(2)当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线不能直接射入室内？(精确到0.01米)参考答案1. 答案：B2. 答案：C3. 答案：D4. 答案：B解析：底边上的高变为原来的2倍． 5. 答案：m ∶n6. 答案：4.2 m解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高， ∴ 1.210.9CD CE CE ==，CE ＝1.08 m ，树影长BE ＝2.7＋1.08＝3.78 m ，树高1 4.2m 0.9AB BE ==. 7. 解：四边形ABCD 的图形如图所示．∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ．∵DA ＝2D ′A ′＝2，AC A C =''=∴·ABCD S AC AD ==四边形8. 解：如图所示，设A 、B 为两路灯，小迪从MN 移到PQ ，并设C 、D 分别为A 、B 路灯的底部．由题目已知得MN ＝PQ ＝1.6 m ，NQ ＝5 m ，CD ＝10 m.(1)设CN ＝x ，则QD ＝5－x ，路灯高BD 为h .∵△CMN ∽△CBD ， 即 1.610CN MN x CD BD h=⇒=.① 又∵△PQD ∽△ACD ， 即1.6510PQ QD x AC CD h -=⇒=② 由①②式得x ＝2.5 m ，h ＝6.4 m ，即路灯高为6.4 m.(2)当小迪移到BD所在线上(设为DH)时，连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长．∵1.66.410DH DE DE DEH CEAAC CE DE∆∆⇒=⇒=+∽，解得10m3DE=，即影长为10m3.9.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝1.6 m，则AC2＝BC2－AB2，BC＝2AC，∴AC2＝4AC2－1.62，∴AC0.92(m)．当0≤A C≤0.92米时，太阳光线可直接射入室内．。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1.1.4 投影与直观图1在原来的图形中,两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段()A.平行且相等B.平行不相等C.相等不平行D.既不平行也不相等2晚上放学后,小华走路回家,在经过一盏路灯时,他发现自己的身影()A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长3如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形4如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的():平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,在y轴上或平行于y轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,因此由直观图还原成原图形为选项C.5如图,水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的这个正方形的直观图中,则顶点B'到x'轴的距离为()A. B.1 C. D.2,由斜二测画法可知,在新坐标系x'O'y'中,B'C'=1,∠x'C'B'=45°,过B'作x'轴的垂线,垂足为D,在Rt△B'DC'中,B'D=B'C'sin 45°=1×.6如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为()A.6 cmB.8 cmC.(2+3)cmD.(2+2)cm,原图形为OABC,且OA=O'A'=1 cm,OB=2O'B'=2 cm,于是OC=AB==3(cm),故OABC的周长为2(1+3)=8(cm).7如图是水平放置的△ABC的斜二测直观图,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度是.,∠A'C'B'=45°,则在原图形中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,则斜边AB=5,故斜边上的中线长为.8给出下列说法:①正方形的直观图是一个平行四边形,其相邻两边长的比为1∶2,有一内角为45°;②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高为原三角形高的一半的三角形;③水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形;④水平放置的平面图形的直观图是平面图形.写出其中正确说法的序号.①,若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴,则结论正确;但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴,由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行,则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变,纵减半”的规则;对于②,水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高比原三角形高的一半还要短的三角形;对于③,只要坐标系选取的恰当,水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形.9如图为水平放置的△ABC的直观图,A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,若D是△ABC中BC边的中点,则AB,AD,AC三条线段中最长的是,最短的是.AB10画出一个正三棱台的直观图(尺寸:上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高2 cm).画轴.以底面△ABC的垂心O为原点,OC所在直线为y轴,平行于AB的直线为x轴,建立平面直角坐标系,以上底面△A'B'C'的垂心O'与O的连线为z轴,建立空间坐标系.(2)画下底面.在xOy平面上画△ABC的直观图,在y轴上量取OC= cm,OD= cm.过点D作AB∥x轴,且AB=2 cm,以点D为中点,则△ABC为下底面三角形的直观图.(3)画上底面.在z轴上截取OO'=2 cm,过点O'作x'轴∥x轴,y'轴∥y轴,在y'轴上量取O'C'= cm,O'D'= cm,过点D'作A'B'∥x'轴,A'B'=1 cm,且以点D'为中点,则△A'B'C'为上底面三角形的直观图.(4)连线成图.连接AA',BB',CC',并擦去辅助线,则三棱台ABC-A'B'C'即为所要画的正三棱台的直观图.11一水平放置的边长为2的正方形A'B'C'D'(如图),其中对角线A'C'位于水平位置.已知该正方形是某个平行四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出原平行四边形,并求其面积.ABCD如图.因为A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形,所以在四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥CB.又DA=2D'A'=4,AC=A'C'=2,BC=2B'C'=4,所以S四边形ABCD=AC·AD=8.★12如图,四边形OABC是上底长为2,下底长为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',求在直观图中梯形的高.O'A'B'C',如图,原图形中梯形的高CD=2,在直观图中C'D'=1,且∠C'D'A'=45°,作C'E'垂直x'轴于点E',则C'E'即为直观图中梯形的高,故C'E'=C'D'sin 45°=.★13某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成60°角,房屋向南的窗户AB的高为1.6 m,现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC,如图.求:(1)当遮阳篷AC的取值在什么范围时,太阳光线可直接射入室内?(2)当遮阳篷AC的取值在什么范围时,太阳光线不能直接射入室内?(精确到0.01 m)AB,则得到Rt△ABC,若能直接射入室内,则遮阳篷的取值小于或等于Rt△ABC中AC的值;若不能,则遮阳篷的取值大于Rt△ABC中AC的值.(1)在Rt△ABC中,∠ACB=60°,AB=1.6 m,则AC2=BC2-AB2.∵BC=2AC,∴AC2=4AC2-1.62.∴AC=≈0.92(m).当0≤AC≤0.92 m时,太阳光线可直接射入室内.(2)当AC>0.92 m时,太阳光线不能直接射入室内.。

1．1．4 投影与直观图对应学生用书P11知识点一平行投影与中心投影1．下列说法正确的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．正方形的平行投影一定是矩形C．正方形的平行投影一定是菱形D．梯形的平行投影一定是梯形或线段答案 D解析矩形的平行投影可能是矩形，也可能是线段；正方形的平行投影可能是线段，也可能是正方形；梯形的平行投影一定是梯形或线段．2．下列命题：①空间图形在平行投影和中心投影后有不同的图形；②正方形的直观图可能是平行四边形；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行直线有可能变成相交直线；④互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由平行投影、中心投影的概念与性质知，命题①②③正确；命题④中假设这两条直线为共面垂直，则当投射线平行于这两条直线所确定的平面时，得到的直观图是一条直线，故④错误．知识点二斜二测画法解(1)如图①，画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．(2)以点O′为EF的中点，在y′轴上截取EF＝1．5 cm，以点E为CD的中点画CD∥O′x′，并使CD＝3 cm；再以点F为AB的中点画AB∥O′x′，并使AB＝3 cm．连接AD，BC．(3)过点A，B，C，D分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长为4 cm的线段AA′，BB′，CC′，DD′．(4)顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并擦去作为辅助线的坐标轴及点E，F，就得到正四棱柱的直观图，如图②所示．知识点三与直观图有关的问题4．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案 C解析本题主要考查由直观图还原为原图，将斜二测画法逆用，即与x′O′y′坐标轴平行的线在xOy 系中与坐标轴垂直，且AB ＝2A′B′，AC ＝A′C′．如图．故选C ．5．已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( )A ．34a 2 B ．38a 2 C ．68a 2 D ．616a 2 答案 D解析 本题考查水平放置的平面图形的直观图，因此要正确作出直观图，如图．则有A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝12·32a ＝34a ，∠B′O′C′＝45°，∴S △A′B′C′＝12A′B′·O′C′·sin45°＝12a×34a×22＝616a 2，故选D ．对应学生用书P11一、选择题1．当图形中的直线或线段不平行于投影线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是( )A ．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比答案 B解析根据平行投影的意义可知，平行直线的平行投影是平行或重合的直线，故选B．2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形答案 C解析如图，原图中∠BAC>90°，故选C．3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心答案 B解析三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行投影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心．4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)是( )答案 A解析 过△DMN 三个顶点D ，M ，N 分别在投影面ADD 1A 1上作正投影即得．故选A ． 5．已知两个圆锥底面重合在一起(底面平行于水平面)，若其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2．5 cmD ．5 cm 答案 D解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，因为在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，所以仍为5 cm ．二、填空题6．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．答案 52解析 原图是AC ＝3，BC ＝4的直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52．7．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案22解析 点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d ，而O′A′＝12OA ＝1，∠C′O′A′＝45°(或135°)，所以d ＝22O′A′＝22． 8．在等腰梯形ABCD 中，上底边CD ＝1，AD ＝CB ＝2，下底边AB ＝3，按平行于上、下底边取x 轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________．答案22解析 等腰梯形ABCD 的高为1，而直观图A′B′C′D′仍为梯形，其高为12sin45°＝24，故面积为12×(1＋3)×24＝22．三、解答题9．用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．解 解法一：(1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°． 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm ， 在y′轴上截取O′A′＝12OA ＝ 3 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示． 解法二：(1)如图③所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°． 在x′轴上截取O′A′＝OA ，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC ＝1 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图④所示．10．水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，其中对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是一个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形，并求出其面积．解四边形ABCD的真实图形如图．因为A′C′在水平位置，且四边形A′B′C′D′ 为正方形，所以四边形ABCD中，DA⊥AC，BC⊥AC．由DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，得S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。

1.1.4 投影与直观图1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点)2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(重点)3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图.(重点)4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)[基础·初探]教材整理1 投影的概念阅读教材P16～P17“倒数第5段”与P19～P20“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.1.投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.(2)投影线：光线.(3)投影面：留下影子的屏幕.2.投影的分类(1)中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.(2)平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形的平行投影一定是矩形.( )(2)平行四边形的平行投影可能是正方形.( )(3)两条相交直线的平行投影可能平行.( )(4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.( )【解析】利用平行投影的概念和性质进行判断.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2 斜二测画法阅读教材P17“倒数第5段”以下～P18以上内容，完成下列问题.1.直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段.(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.( )(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.( )(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变.( )(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()【解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小组合作型]中心投影与平行投影如图1­1­45，点E，F分别是正方体的面ADD 1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把可能的序号都填上)图1­1­45【精彩点拨】利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断.【自主解答】其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影.③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影.【答案】②③画投影图的关键及常用方法1.关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影.2.常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法.[再练一题]1.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________.图1­1­46①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形.【解析】①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE ＝1，取D ′D 的中点G ，则四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的投影是四边形AGD ′E ，由AE ∥D ′G ，且AE ＝D ′G ，∴四边形AGD ′E 是平行四边形.但AE ＝1，D ′E ＝5，故四边形AGD ′E 不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确.【答案】 ①③画平面图形的直观图按图1­1­47的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图.图1­1­47【精彩点拨】 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.【自主解答】 画法：(1)在图①中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图②中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(3)在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图③).1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.[再练一题]2.用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图1­1­48所示.图1­1­48 【解】 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图②).①(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .②(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.画空间几何体的直观图画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.【精彩点拨】 画轴→画底面→画顶点→成图【自主解答】 画法：(1)画轴：① ②画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD .(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”[再练一题]3.用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.【解析】 (1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长.(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示.[探究共研型]直观图的还原和计算问题探究1 如图1­1­49，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？图1­1­49【提示】 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形.探究2 若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？【提示】 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.探究3 若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？【提示】 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S . 如图1­1­50，某四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B ′＝∠C ′＝45°，求原四边形的面积.图1­1­50 【精彩点拨】 可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积.【自主解答】 取B ′C ′所在直线为x ′轴，因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′为y ′轴，过D ′点作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于点E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形，所以E ′C ′＝ 2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图：在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2，在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2，过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的实际图形.四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2，所以四边形ABCD的面积S ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.1.还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段.平行于x ′轴的线段长度不变，平行于y ′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.2.求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解.3.原图的面积S 与直观图的面积S ′之间的关系为S ＝22S ′.[再练一题]4.如图1­1­51，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )图1­1­51A.24a 2 B.22a 2 C.a 2 D.2a 2【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积.所以S＝a·22a＝22a2.【答案】 B1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A.直角三角形的直观图仍是直角三角形B.梯形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.【答案】 D2.如图1­1­52所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )图1­1­52A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形【解析】因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.【答案】 D3.如图1­1­53所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.图1­1­53【解析】 画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.【答案】 224.如图1­1­54所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________.图1­1­54【解析】 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6. 【答案】 65.画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图.【解】 (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图.。

1.1.4投影与直观图1．平行投影(1)投影①定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．②投射线：光线．③投射面：留下影子的屏幕．(2)平行投影当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影．(3)平行投影的性质①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y 轴的边长为1.5 cm.]2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC 是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形B[由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．②⑤[线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[思路探究]按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．[解]画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．①(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.②(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[思路探究]画轴→画底面→画顶点→成图[解]画法：(1)画轴：①②画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．1．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形．2．若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？ [提示] 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.3．若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？[提示] 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S .【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．[思路探究]由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．菱形[如图所示，在原图形OABC中，应有OA BC，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]1．由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．2．若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝2 4S.1．本节课的重点是了解中心投影与平行投影，难点是画几何体的直观图．2．本节课掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法．(2)画出空间几何体的直观图．(3)直观图的还原与计算．3．本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°. ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形D[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．22[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为2 2.]4．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．[解](1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝12AO＝34cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．。

1．1.4 投影与直观图学习目标 1.了解中心投影、平行投影的概念，会画几何体的投影.2.理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图．知识点一平行投影思考太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有所改变，你能观察出没有发生变化的是什么吗？梳理平行投影的定义及性质(1)定义：已知图形F，直线l与平面α相交．过F上任意一点M作直线MM′________于l，交平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的________________(或象)．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的________________．(2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：①直线或线段的平行投影仍是________或________．②平行直线的平行投影是________或________的直线．③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________．④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________．⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．知识点二直观图与斜二测画法思考1 边长为2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？思考2 正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？梳理直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的________________．(2)斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________、________或________的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系________．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中____________，平行于y轴的线段，长度为________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的____________，就得到了空间图形的直观图．知识点三中心投影思考不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？灯泡照射物体形成的投影是平行投影吗？梳理中心投影的概念一个________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．类型一平行投影与中心投影例1 (1)①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．反思与感悟常见图形的平行投影跟踪训练1 (1)已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC的关系是( )A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对(2)下列命题中，不正确的是( )①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影可能是矩形；③锐角三角形的平行投影一定不是直角或钝角三角形．A．①② B．①③C．②③ D．①②③类型二直观图的画法例2 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练2 (1)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定)．类型三直观图的还原与计算命题角度1 由直观图还原平面图形例3 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置．跟踪训练3 如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例4 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练 4 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2D ．2 21．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是( )A ．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B ．平行直线的平行投影仍是平行的直线C ．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D ．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( ) A ．16 B ．64 C ．16或64D ．无法确定3．利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )4.如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．5．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．3．中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致．若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似．答案精析问题导学 知识点一思考 框边的平行性没有改变，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变． 梳理 (1)平行 平行投影 平行投影 (2)①直线 线段 ②平行 重合 ③平行 等长 ④全等 ⑤等于 知识点二思考1 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝12AD .思考2 没有都画成正方形． 梳理 (1)平面图形 (2)①90° 90° ②45°(或135°) 90° ③x ′轴 y ′轴 z ′轴 相同 ④保持长度不变 原来的12⑤坐标轴 知识点三思考 灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的；手电筒发出的光是一束平行光线．不是． 梳理 点光源 题型探究例1 D [由平行投影和中心投影的定义知，平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故①正确；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，故②正确；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式，故③正确．故选D.] (2)①③解析 ①四边形BFD ′E 的四个顶点在底面ABCD 内的投影分别是B ，C ，D ，A ，所以投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE ＝1，取D ′D 的中点G ，连接AG ，则四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的投影是四边形AGD ′E ，由AE ∥D ′G ，且AE ＝D ′G ，知四边形AGD ′E是平行四边形，但AE ＝1，D ′E ＝5，所以四边形AGD ′E 不是菱形，即②不正确；对于③，由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形，从而③正确．跟踪训练1 (1)B [根据题意画出图形如图．由图易得AB A ′B ′＝OB OB ′＝BC B ′C ′＝OC OC ′＝ACA ′C ′，则△ABC ∽△A ′B ′C ′.](2)B [正方形的平行投影可以是矩形或平行四边形或菱形，故①错；平行四边形的平行投影可以是矩形、菱形、正方形，故②正确；锐角三角形的平行投影可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形或线段，故③错．故选B.]例2 解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)． (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．跟踪训练2 (1)解 ①如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．②画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．(2)解 ①画轴．如图(1)，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°. ②画底面．以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD . ③画顶点．在Oz 轴上截取OS ，使OS 等于已知正四棱锥的高．④画棱．连接SA ，SB ，SC ，SD ，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S －ABCD 的直观图，如图(2)所示．例3 解 ①画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′； ②过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′； ③连接AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．跟踪训练3 菱形解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝22＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．例4 解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2. 在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5. 跟踪训练4 C [直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C.]当堂训练1．B 2.C 3.C4．10解析 在原图中，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，∠AOB ＝90°，∴AB ＝62＋82＝10.5．解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC .连接D ′C ，B ′C ′.(3)擦去坐标轴及B ′E ′，E ′C ′，则所求四边形OBCD 的直观图如图③所示．。

【成才之路】2015-2016学年高中数学投影与直观图课时作业新人教B版必修2一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点[答案] D[解析]梯形的平行投影是梯形或线段，∴B不对；平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交直线投射成相交直线或一条直线，把线段中点投射成投影的中点，∴C错，D对，矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形，∴A错．2．下列图形中采用中心投影画法的是( )[答案] A[解析]由中心投影与平行投影的图形特征及性质可知选A.3．夜晚，人在路灯下的影子是________投影，人在月光下的影子是________投影．( ) A．平行中心B．中心中心C．平行平行D．中心平行[答案] D[解析]路灯的光是从一点发出的，故影子是中心投影；而月光可以近似看作平行的，月光下的影子是平行投影．4．(2015·某某市重点中学高一期末测试)利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是( )A．正三角形的直观图仍然是正三角形B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形C ．正方形的直观图是正方形D ．圆的直观图是圆 [答案] B[解析] 平行四边形的直观图一定是平行四边形．5．水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A ′B ′C ′D ′，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．2[答案] B[解析] 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，∠D ′A ′B ′＝45°，A ′B ′＝4，A ′D ′＝12×2＝1，∴D ′E ＝1×sin45°＝22， ∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝A ′B ′·D ′E ＝4×22＝2 2. 6．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( ) ①角的水平放置的直观图一定是角． ②相等的角在直观图中仍相等． ③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对，而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．二、填空题7.如图所示的是水平放置的三角形ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D ′是A ′C ′的中点，且∠A ′C ′B ′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．[答案] 2[解析]△ABC 为直角三角形，由D 为AC 中点，∴BD ＝AD ＝CD .∴与BD 的长相等的线段有两条．8．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐示系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．[答案]22[解析] 画出该正方形的直观图，则易得点B ′到x ′轴的距离等于点A ′到x ′轴的距离d ，则O ′A ′＝12OA ＝1，∠C ′O ′A ′＝45°，所以d ＝22O ′A ′＝22. 三、解答题9.如图所示，有一灯O ，在它前面有一物体AB ，灯所发出的光使物体AB 在离灯O 为10 m 的墙上形成了一个放大了3倍的影子A ′B ′，试求灯与物体之间的距离．[解析] 如图所示，作OH ⊥AB 于H ，延长OH 交A ′B ′于H ′，则OH 即为所求． 由平面几何及光线沿直线传播知，△AOB ∽△OA ′B ′， ∴AB A ′B ′＝OH OH ′，∵AB A ′B ′＝13，且OH ′＝10 m. ∴OH ＝103 m ，即灯与物体AB 之间的距离为103m.一、选择题1．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m ，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm [答案] C[解析] 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是( )A ．53B ．15C ．10D ．83[答案] B[解析] 设皮球的半径为R ，由题意得：DC ＝2R ，DE ＝103，∠CED ＝60°，解得DC ＝DE sin60°＝15.3．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为a cm(a >0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是( )A ．8a cmB ．6a cmC ．(2a ＋22a ) cmD ．4a cm[答案] A[解析] 由斜二测画法的规则可知，在原图形中OB ＝22a ，OA ＝a ，且OA ⊥OB ，∴AB ＝3a ， ∴OABC 的周长为2(a ＋3a )＝8a cm.4．已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的面积是( )A.34a 2B.38a 2 C.68a 2D.616a 2 [答案]D[解析] 如图为△ABC 及其直观图A ′B ′C ′.则有A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝12·32a ＝34a ，∠B ′O ′C ′＝45°，∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·O ′C ′·sin45°＝12a ×34a ×22＝616a 2，故选D.二、填空题5．如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是____________．[答案] 5[解析] 原图形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直于底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，∴S四边形ABCD＝5.6．(2015·某某商河弘德中学高一月考)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．[答案]52[解析] 原图中AC ＝3，BC ＝4，且△ABC 为直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52. 三、解答题7．如图所示的平行四边形A ′B ′C ′D ′是一个平面图形的直观图，且∠D ′A ′B ′＝45°，请画出它的实际图形．[解析]①在直观图A ′B ′C ′中建立坐标系x ′A ′y ′，再建立一个直角坐标系xOy ，如图所示．②在x 轴上截取线段AB ＝A ′B ′，在y 轴上截取线段AD ，使AD ＝2A ′D ′.③过B 作BC ∥AD ，过D 作DC ∥AB ，使BC 与DC 交于点C ，则四边形ABCD 为四边形A′B′C′D′的实际图形．8．小昆和小鹏两人站成一列，背着墙，面朝太阳，小昆靠近墙，在太阳光照射下，小昆的头部影子正好落在墙角处．如果小昆身高为1.6 m，离墙距离为3 m，小鹏的身高1.5 m，离墙的距离为5 m，则小鹏的身影是否在小昆的脚下，请通过计算说明．[解析]如图设小鹏的影长为x m，根据太阳光平行的特征有x1.5＝31.6，x≈2.81,2.81 m＋3 m＝5.81 m>5 m，所以小鹏的身影会在小昆的脚下．。

1.1.4投影与直观图使用说明及学法指导1、先看教材P.16—P.21，然后开始做导学案2、针对预习、自学及合作探究找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑3、带“*”号的C层可以不做【学习目标】1、平行投影的性质和斜二测画法。

2、正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。

【自主学习】1、平行投影（1）、点的平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任一点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，则叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影（或像）.（2）、图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F’，则叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做，l叫做。

（3）、平行投影的性质：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：1)．；2)．；3)．；4)．；5)．。

2、中心投影：。

理解：平行投影与中心投影的本质区别在于：。

3、空间图形的直观图（1）、概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.（2）、斜二测画法：国家规定的统一的画直观图的一种方法，它的步骤是？并画出一个正方体在图中标出x、y、z轴感受一下！！斜二测画法注意点：斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成或，长度画成原长度的（仍表示原长度）4、水平放置的平面图形的直观图的画法依照课本的例1来进一步的感受题型1. 考查基本概念例（1）、当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（）（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段（B）平行直线的平行投影仍是平行的直线（C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等（D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比（2）、有下列说法：①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。

1.1.4 投影与直观图课时跟踪检测[A组基础过关]1．有下列说法：①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的说法有( )A．1个B．2个C．3个D．0个解析：由平行投影和中心投影的概念知，以上三种说法都正确，故选C．答案：C2．下列叙述中正确的个数是( )①相等的角，在直观图中仍然相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：从原图到直观图只能保证平行的仍然平行，故只有③正确，正确命题的个数只有1个，故选B．答案：B3．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则直角梯形DC边的长度是( )A． 5 B．2 2C．2 5 D． 3解析：将直角梯形还原如图所示，其中AD＝A′D′＝2，BC＝B′C′＝4，AB＝2A′B′＝2，取OC的中点E，连接DE.则DE⊥OC，∴DC＝DE2＋EC2＝4＋4＝2 2.答案：B4．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．梯形的直观图可能不是梯形C．正方形的直观图为平行四边形D．正三角形的直观图一定是等腰三角形解析：根据斜二测画法画水平放置的平面图形时的画法原则可得，等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，梯形的直观图还是梯形，正方形的直观图是平行四边形，正三角形的直观图可以是一个钝角三角形，故选C．答案：C5．已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，若平行四边形中有一条边为4，则此正方形的面积是( )A．16或36 B．36或64C．16或64 D．36解析：若水平的边为4，则正方形的边长为4，面积为16.若斜边为4，则正方形的边长为8，面积为64，故选C．答案：C6．在一张不透明的胶纸上有一个小孔，在这张胶纸前有一高为2 cm的线光源，且离胶纸的距离为4 m，则在胶纸后面的墙上将会有一个长为________ cm的光斑(已知墙离胶纸的距离为8 m)．解析：本题中小孔成像是物理的光学中研究的问题，在数学中可将其视为中心投影，其实质是考查三角形的相似关系．答案：47.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．解析：由题可知△ABC 是直角三角形，如图所示，其中C 为直角，∴AC ＝A ′C ′＝3，BC ＝2B ′C ′＝4， 取AB 边的中点D ，连接CD ，∴AB 边上的中线CD ＝12AB ＝12 AC 2＋BC 2＝52.答案：528．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．解：画法：(1)画底面．如图①.画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，以点O ′为中心，在x ′轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ，在y ′轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm ，分别过点M 和N 作y ′轴的平行线，过点P 和Q 作x ′轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(2)画z ′轴．使z ′轴与x ′轴的夹角为90°.(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图②.[B 组 技能提升]1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)是( )解析：过△DMN三个顶点D，M，N分别在投影面ADD1A1上作正投影即得．故选A．答案：A2．下列说法中正确的是( )A．正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°B．水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形C．不等边三角形的水平放置的直观图是不等边三角形D．水平放置的平面图形的直观图是平面图形解析：对于A，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“‘二测’——横不变，纵减半”的规则，因而答案不正确；对于B，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于C，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：D3.如图是水平放置的三角形的直观图，D是△ABC的BC边的中点，AD∥y′轴，那么AB，AD，AC三条线段的长度关系是________．解析：∵AD∥y′轴，根据斜二测画法规则，则在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，则有AB，AC等长．答案：AB＝AC＞AD4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形的面积为________．解析：将直观图还原，如图所示是平行四边形OABC，由直观图可知OA ＝O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，∴O ′D ′＝22，∴OD ＝42， ∴S OABC ＝OA ·OD ＝6×42＝24 2. 答案：24 25．如图，画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．解：按斜二测画法画图．(1)画轴：画O ′x ′，O ′y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在x ′轴上取点B ′，使O ′B ′＝OB ＝4；在y ′轴上取C ′， 使O ′C ′＝12OC ＝1，在x ′O ′y ′中，对应取A ′，使A ′⎝⎛⎭⎪⎫3，－12. (3)成图：顺次连接C ′，B ′，A ′，O ′，所得四边形O ′A ′B ′C ′就是四边形OABC 的直观图．6．如图所示，A ′B ′C ′D ′是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，已知A ′B ′C ′D ′是一个直角梯形，A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′⊥C ′D ′且B ′C ′与y ′轴平行，又A ′B ′＝6，D ′C ′＝4，A ′D ′＝2，试求梯形A ′B ′C ′D ′的原图形ABCD 的面积．解：由斜二测画法的规则知梯形A ′B ′C ′D ′的原图形ABCD 为梯形且BC ⊥AB .∴AB ＝A ′B ′＝6，DC ＝D ′C ′＝4，BC ＝2B ′C ′＝22A ′D ′＝42，∴S 四边形ABCD ＝12×(6＋4)×42＝20 2.。

1.1.4 投影与直观图1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( B )(A)①② (B)①(C)③④ (D)①②③④解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是( B )(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍垂直(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点解析:斜二测画法保平行,保相交,保平行线段的比,但不保垂直.选B.3.如图所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是( C )解析:由直观图知,平面图形中靠右侧一边与y轴平行,满足这一特征的只有C.4.△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( D )(A)AB (B)AD (C)BC (D)AC解析:由于直观图中,∠x′O′y′=45°,所以∠A′B′C′=45°,故∠ABC=90°,所以AC最长.故选D.5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,O′B′=3,则△AOB的周长为( A )(A)12 (B)10 (C)8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5, 所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.6.如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为.解析:由于平行性不变,O′A′∥B′C′,故在原图形中,OA BC,所以四边形OABC为平行四边形,且对角线OB⊥OA,对角线OB=2,则AB==3.所以原图形的周长为l=3×2+1×2=8.答案:8 cm7.已知正三角形AOB的边长为a,如图所示,把它放在平面直角坐标系中,则它的水平放置的平面直观图的面积为( B )(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:在直观图△A′B′O′中,O′A′=a,O′A′边上的高为××a=a,故△A′B′O′的面积为S=×a×a=a2.8.如图所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为( A )(A)(B)1 (C)(D)2解析:由斜二测画法规则画出直观图如图所示,作B′E⊥x′轴于点E,在Rt△B′EC′中,B′C′=1,∠B′C′E=45°,B′E=B′C′sin 45°=1×=.9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为.解析:由图形知,原图形是一个直角梯形,上底BC=1,下底OA=×2+1=1+,高h=OC=2,故S=×(1+1+)×2=2+.答案:2+10.如图,画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.解:画法:如图.(1)在等腰梯形ABCD中,以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy,并画相应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点,过E′作D′C′平行于x′轴,并使D′C′=DC,连接A′D′,B′C′,所得梯形A′B′C′D′即为水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.11.已知△ABC的面积为a2,它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形,根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形,并计算△A′B′C′的面积.解:(1)取B′C′所在的直线为x′轴,过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴,建立坐标系x′O′y′;(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点.在△A′B′C′中,设它的边长为x,因为O′A′=x,∠A′M′O′=45°,所以O′A′=O′M′=x,故A′M′=x;(3)在直角坐标系xOy中,在x轴上O点左右两侧,取到点O距离为的点B,C,在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M,过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA=x,连接AB,AC,则△ABC为△A′B′C′的原图形,由S△ABC=a2,得x×x=a2,所以x=a,故△A′B′C′的面积为a2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。