初二数学第九章第4课时

矩形、菱形、正方形（第4课时）
你能说出上述命题的逆命题吗？请判断它们的真假． ②你能把（2）改为真命题并证明吗？ 定理： 板书：
四边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
得出：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（学生证明）． 学生归纳命题，得出定理．
例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．
求证：四边形AFCE 是菱形．
小组合作、探索交流，代表回答． 证明：∵AD ∥BC ， ∴∠1＝∠2．
∵EF 垂直平分AC ，
∴OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ．
∴△AOE ≌△COF ．
∴OE ＝OF ．
通过例题的证明，进一步巩固了学生对矩形的性质的理解，提高了学生分析问题解决问题的能力．
A
D
B
C
E
F
O
1
2
∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF ⊥AC ， ∴□AFCE 是菱形．
例2 已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，AE 是角平分线，交CD 于F ，EG ⊥AB ，G 是垂足，四边
形CEGF 是菱形吗？为什么？
独立思考，完成过程、探索交流． 通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯和有条理的表达能力．
A
D
B C
E
F
G。

第九章反比例函数班级： 姓名 .【知识要点】1、 反比例函数：一般的，形如 （ ，且 ）的函数叫做反比例函数. 其函数关系式的变式有① ；② ；③ .2、 反比例函数的图象是 ，它既是 对称图形，又是对称图形3、 反比例函数的性质（请在所给的坐标系内画出草图）：⑴当k >0，图象在象限，每一象限内，y 随x 的增大而 ； ⑵当k <0，图象在 象限，每一象限内，y 随x 的增大而 .4、比例系数k 的几何意义：过 图象上的任意一点作的垂线与 所构成的矩形的面积都等于k .5、k 越 ，反比例函数的图象离坐标轴越远，k 越 ，反比例函数的图象离坐标轴越近（用“大”、“小”填空）.【典型例题】【例1】下列函数中，y 是x 反比例函数的是 （ ）A 、2x y =B 、12y x =+C 、12y x=- D 、2xy =- 【例2】已知反比例函数的图像经过点（2，－3），则它的图象一定也经过 （ ）A 、(－2，－3)B 、(3，－2)C 、(－1，－6)D 、（6，1）【例3】已知矩形的面积为8，那么它的长y 与宽x 之间的关系用图象大致可表示为 ( )【例4】受力面积S （m 2）一定，所受的压强p （Pa ）与压力F （N ）的函数关系式为Fp S=（S ≠0），这个函数的图象是 （ ）【例5】在同一直角坐标平面内，如果直线y x =与双曲线2m y x -=没有交点，那么m 的取值范围是( )A 、m ＞2B 、m ＜2C 、m ＞－2D 、m ＜－2【例6】已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在反比例函数4y x-=的图象上，若x 1<x 2,则（ ） A 、y 1<y 2 B 、y 1=y 2 C 、y 1>y 2 D 、大小无法确定【例7】若反比例函数y =(2m －1)22mx - 的图象在第二、四象限，则函数的关系式为_______. 【例8】已知反比例函数32m y x -=，当x <0时，y 随x 的增大而减小，则正整数．．．m =_____. 【例9】如图是三个反比例函数1k y x =，2k y x=， 3k y x=在x 轴上方的图象，由此观察得到1k 、2k 、3k 的大小关系为 （用“＜”连接）.【例10】如图，一次函数y ax b =+的图像与反比例函数k y x =的图像相交于A 、B 两点， (1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x(3)求△AOB 的面积；【例11】如图：已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数)0(≠=m xm y 的图象在第一象限交于C 点，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若1===OD OB OA⑴求点A 、B 、D 的坐标； ⑵求一次函数与反比例函数的关系式；O yx。

八年级数学下册探索勾股定理（第4课时）教案（新版）新人教版八年级数学下册探索勾股定理（第4课时）教案（新版）新人教版探索毕达哥拉斯定理（第4课时）课题:探索勾股定理（第4课时）教学目标知识与能力：1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

过程与方法：1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。

3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。

1.情感态度价值观：通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。

重点：1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

教学重、难点法与经验。

难点：1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2．利用数形结合的方法验证勾股定理。

2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方学生活动经验的基础：学生在初中一年级学习了一些基本几何图形面积计算的方法，为学习情境分析奠定了一定的基础（无词的证明定理）。

课前准备多媒体方法，如填挖法，但使用面积法和填挖法解决问题的意识和能力不够。

因此，教师可能也需要有意识的指导；在之前的学习过程中，学生们经历了一些拼图和图案设计的实践活动，例如制作七巧板，这是本课程的活动（拼图教学过程第一个环节中验证方法的收集）和课前教师的独立探究活动“勾股定理证明方法总结”交流和展示研究成果以下是勾股定理的证明方法学生收集的定理：学生活动要求每个学习小组从互联网或书籍中找到并理解尽可能多的验证毕达哥拉斯定理的方法，并填写研究报告：第一类：以赵爽的“弦图”为代表，使用剪切、剪切、，几何图形的拼接和补充，以证明代数表达式之间的同一关系。

分式方程教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 教学重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 教学难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 教学方法：引导启发、合作探究、讲练结合 认知难点和突破方法：解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分式方程化成整式方程，所以教学时应注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法。

至于解分式方程时产生增根的原因只让学生了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法.要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边统称最简公分母.要让学生掌握解分式方程的一般步骤：导学过程：一、复习预习1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x 2．完成本章引言的问题，小组议一议:方程v v -=+206020100的特征，然后概括出分式方程的概念________________________________。

3.分式方程与整式方程的区别是__________________________________。

二、应用举例1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？322x x =-， 734=+y x ， x x 321=-， 1)1(-=-xx x ， 23x x=-π， 10512=-+x x ， 21=-x x ， 1312=++x xx 2、探究：如何解方程v v -=+206020100 (1)、小组内讨论交流解法；（2）、在教师的引导下，师生共同探析。

方程两边同时乘以（20+v ）（20-v ）得100（20-v ）=60（20+v ）解得：v=5检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边【此步应强调，学生容易漏掉此步。

八年级第九章知识点第九章知识点回顾八年级学习中的第九章节，是我们学习旅程中的一个重要里程碑。

这一章节主要涵盖了多个学科的知识点，包括数学、科学、地理和历史等。

在这篇文章中，我们将回顾这些重要的知识点，并探讨它们对我们的学习和生活的意义。

一、数学知识点在数学知识点方面，第九章主要包括了代数方程的求解、函数图像的绘制和统计学的基本概念等内容。

代数方程的求解是数学学习中的一个重要内容，通过学习代数方程的求解方法，我们能够掌握解方程的基本技巧，并且能够将数学知识应用到实际生活中解决问题。

此外，函数图像的绘制能够让我们更直观地了解函数的性质和变化规律，对于我们进一步深入学习数学课程起到了重要的推动作用。

二、科学知识点科学知识点方面的内容主要包括了声音的传播、光的反射和折射以及电学方面的知识。

通过学习声音的传播规律，我们了解到声音是如何在不同介质中传播的，进而深入了解声音的特性和应用。

光的反射和折射的知识帮助我们理解光传播的规律，以及为什么我们能够看到物体。

电学方面的知识则介绍了电流、电压、电阻等基本概念，让我们了解了电路的基本原理和使用。

三、地理知识点地理知识点方面的内容主要包括了气候和环境的关系、人口与城市化问题以及地理信息系统等。

通过学习气候和环境的关系，我们能够更好地了解气候对人类生活和经济发展的影响，从而促使我们更多地关注环境保护问题。

同时，人口与城市化问题也是一个重要的研究方向，通过学习相关知识，我们能够更好地了解城市化对人口分布和社会发展的影响。

地理信息系统的应用则能够帮助我们更好地理解地理现象和问题，并为我们提供更多的发现和研究的机会。

四、历史知识点历史知识点方面的内容主要包括了古代文明的发展、历史上的重要事件和人物等。

通过学习古代文明的发展，我们能够更深入地了解不同文明之间的交流和影响，从而拓宽我们的历史视野。

历史上的重要事件和人物的学习也帮助我们认识到历史对于现实的影响，以及历史中的英雄人物如何影响着我们的生活。

第九章中心对称图形-平行四边形单元复习课【知识梳理】9.1 图形的旋转1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角．2.图形旋转的性质:（1）旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等．3.练习:(1)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A． B．2 C．3 D．2(2)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．(3)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△BA1D．（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．(4).如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB ′C ′（如图2）． （1）探究DB ′与EC ′的数量关系，并给予证明； （2）当DB ′∥AE 时，试求旋转角α的度数．9.2 中心对称与中心对称图形1.一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．这个点叫做对称中心．2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．3.把一个图形绕 旋转 ，如果旋转后的图形能够与 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是 。

第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程第十章 ⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）119～121页 （理）124～126页1. 方程x 2＋y 2－6x ＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________． 答案：(3，0) 3解析：(x －3)2＋y 2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.2. 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．答案：(x －1)2＋(y －2)2＝25解析：设P(x ，y)是所求圆上任意一点．∵ A、B 是直径的端点，∴ PA →²PB →＝0.又PA →＝(－3－x ，－1－y)，PB →＝(5－x ，5－y)．由PA →²PB →＝0 (－3－x)²(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0 x 2－2x ＋y 2－4y －20＝0 (x －1)2＋(y －2)2＝25.3. (必修2P 111练习8改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) 解析：由(4m)2＋4－4³5m＞0得m ＜14或m ＞1.4. (必修2P 102习题1(3)改编)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．答案：x 2＋(y －2)2＝1解析：设圆的方程为x 2＋(y －b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.5. (必修2P 112习题8改编)点(1，1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4内，则实数a 的取值范围是________．答案：(－1，1)解析：∵ 点(1，1)在圆的内部，∴ (1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴ －1＜a ＜1.1. 圆的标准方程(1) 以(a ，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2．(2) 特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r ． 2. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1) 当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 22(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；(3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 3. 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；(2) 根据条件列出关于a ，b ，r 的方程组或关于D ，E ，F 的方程组； (3) 求出a ，b ，r 或D ，E ，F 的值，从而确定圆的方程． 4. 点与圆的位置关系点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系：(1) 若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2．(2) 若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2．(3) 若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2<r 2．[备课札记]题型1 圆的方程例1 已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1) 求实数m 的取值范围； (2) 求该圆半径r 的取值范围； (3) 求圆心的轨迹方程．解：(1) 方程表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F>0，即有4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0 －17<m<1.(2) 半径r ＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫m －372＋167≤477 0<r ≤477. (3) 设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1，消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.由于－17<m<1， 所以207<x<4.故圆心的轨迹方程为y ＝4(x －3)2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫207<x<4.变式训练已知t∈R ，圆C ：x 2＋y 2－2tx －2t 2y ＋4t －4＝0.(1) 若圆C 的圆心在直线x －y ＋2＝0上，求圆C 的方程；(2) 圆C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．解：(1) 配方得(x －t)2＋(y －t 2)2＝t 4＋t 2－4t ＋4，其圆心C(t ，t 2)．依题意t －t 2＋2＝0 t ＝－1或2.即x 2＋y 2＋2x －2y －8＝0或x 2＋y 2－4x －8y ＋4＝0为所求方程．(2) 整理圆C 的方程为(x 2＋y 2－4)＋(－2x ＋4)t ＋(－2y)²t 2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，－2x ＋4＝0，－2y ＝0⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0. 故圆C 过定点(2，0)．题型2 求圆的方程 例2 求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．解：(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2. ∵ 圆心在y ＝0上，故b ＝0.∴ 圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2. ∵ 该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解之得a ＝－1，r 2＝20. ∴ 所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵ 圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ 圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上．∵ k AB ＝4－21－3＝－1，故l 的斜率为1，又AB 的中点为(2，3)，故AB 的垂直平分线l 的方程为y －3＝x －2即x －y ＋1＝0.又知圆心在直线y ＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴ 半径r ＝|AC|＝（1＋1）2＋42＝20.故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y2＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d ＝|PC|＝（2＋1）2＋42＝25>r.∴ 点P 在圆外．备选变式（教师专享）已知圆C 的圆心与点P(－2，1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ＝6，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则圆心C(a ，b)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋2＝－1，b ＋12＝a －22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.故C(0，－1)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝||－4－115＝3.∵AB ＝6，∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝18，∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.例3 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f(x)＝x 2＋2x ＋b(x∈R )与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1) 求实数b 的取值范围； (2) 求圆C 的方程；(3) 圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论．解：(1) 令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2) 设所求圆的一般方程为x 2＋ y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ，令x ＝0，得y 2＋ Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1，所以圆C 的方程为x 2＋ y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3) 圆C 必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C 的方程，得左边＝ 02＋ 12＋2³0－(b ＋1)³1＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C 必过定点(－2，1)．备选变式（教师专享）已知直线l 1、l 2分别与抛物线x 2＝4y 相切于点A 、B ，且A 、B 两点的横坐标分别为a 、b(a 、b∈R )．(1) 求直线l 1、l 2的方程；(2) 若l 1、l 2与x 轴分别交于P 、Q ，且l 1、l 2交于点R ，经过P 、Q 、R 三点作圆C. ① 当a ＝4，b ＝－2时，求圆C 的方程；② 当a ，b 变化时，圆C 是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1) A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 24，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b 24，记f(x)＝x 24，f ′(x)＝x 2，则l 1的方程为y －a 24＝a 2(x －a)，即y ＝a 2x －a 24；同理得l 2的方程为y ＝b 2x －b24.(2) 由题意a≠b 且a 、b 不为零，联立方程组可求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，ab .∴经过P 、Q 、R 三点的圆C 的方程为 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 2＋(y －1)(y －ab)＝0， 当a ＝4，b ＝－2时，圆C 的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －8＝0， 显然当a≠b 且a 、b 不为零时，圆C 过定点F(0，1)． 题型3 圆与方程(轨迹)例4 如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于 2.求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么．解：设直线 MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P ＝{M||MN|＝2|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M 的坐标为 (x ，y)，则x 2＋y 2－1＝2（x －2）2＋y 2，整理得(x －4)2＋y 2＝7. 它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为7. 备选变式（教师专享）如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1(－2，0)，O 2(2，0)．由已知PM ＝2PN ，得PM 2＝2PN 2.因为两圆的半径均为1，所以PO 21 －1 ＝ 2(PO 22 －1)．设P(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33,所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33(或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)． 题型4 与圆有关的最值问题例5 P(x ，y)在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，试求x 2＋y 2的最小值．解：由C(1，1)得OC ＝2，则OP min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.变式训练已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________，最小值为________．答案：5＋ 5 5－ 5解析：令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b与圆相切时，b 取得最值．由|2³2＋1－b|5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.1. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．答案：x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝43解析：由题可知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b)，半径为r ，则rsin π3＝1，rcos π3＝|b|，解得r ＝23，|b|＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝43.2. 过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．答案：x ＋y －2＝0解析：当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴ 直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.3. 已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案：5解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，垂足分别为E 、F ，则四边形OEMF 为矩形，则有d 21＋d 22＝3.由平面几何知识知|AC|＝24－d 21，|BD|＝24－d 22，∴ S 四边形ABCD ＝12|AC|²|BD|＝24－d 21²4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5，即四边形ABCD 面积的最大值为5.4. 若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为________．答案：1解析：圆C 的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4.所以ab ＝14(4ab)≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14³⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．5. 如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使得CD ＝BC ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．解：设动点P(x ，y)，由题意可知P 是△ABD 的重心．由A(－1，0)，B(1，0)，令动点C(x 0，y 0)，则D(2x 0－1，2y 0)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2，y 0≠0，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y≠0)．6. 已知圆M 过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ′、PB′是圆M 的两条切线，A ′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．解：(1) 设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S ＝S △PA ′M ＋S △PB ′M ＝12|A ′M||PA ′|＋12|B ′M||PB ′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA ′|＝|PB′|，所以S ＝2|PA ′|，而|PA′|＝|PM|2－|A′M|2＝|PM|2－4，即S ＝2|PM|2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S ＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.1. 圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析：圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33. 所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 2. 若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．解：∵方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，∴a ≠0.∴方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0可以写成x 2＋y 2－4（a －1）a x ＋4ay ＝0.∵D 2＋E 2－4F ＝16（a 2－2a ＋2）a 2>0恒成立， ∴a ≠0时，方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆． 设圆的半径为r ，则r 2＝4（a 2－2a ＋2）a 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋1， ∴当1a ＝12即，a ＝2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则P 点斜坐标为(x ，y)．(1) 若P 点斜坐标为(2，－2)，求P 到O 的距离|PO|；(2) 求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 解：(1) ∵P 点斜坐标为(2，－2)， ∴OP →＝2e 1－2e 2. ∴|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1²e 2＝8－8³cos60°＝4. ∴|OP →|＝2，即|OP|＝2.(2) 设圆上动点M 的斜坐标为(x ，y)，则OM →＝x e 1＋y e 2.∴(x e 1＋y e 2)2＝1. ∴x 2＋y 2＋2xy e 1²e 2＝1.∴x 2＋y 2＋xy ＝1.故所求方程为x 2＋y 2＋xy ＝1.4. 已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程．解：设圆P 的圆心为P(a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为2r.故2|b|＝2r ，得r 2＝2b 2，又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，得2b 2－a 2＝1.又因为P(a ，b)到直线x －2y ＝0的距离为55，得d ＝|a －2b|5＝55，即有a －2b ＝±1，综上所述得⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1a －2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.于是r 2＝2b 2＝2.所求圆的方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，或(x －1)2＋(y －1)2＝2.5. 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：(1) 设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，∵ 直线与圆相切，∴ |－b|22＋12＝3，得b ＝±35，∴ 所求直线方程为y ＝－2x±3 5. (2) (解法1)假设存在这样的点B(t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得，t ＝－5(舍去)，或t ＝－95.下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数． 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，∴ PB 2PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝ 1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925， 从而PB PA ＝35为常数．(解法2)假设存在这样的点B(t ，0)，使得PB PA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，∴ (x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得，x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C上任一点P ，都有PB PA 为常数35.1. 利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2. 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为定点(a ，b)与圆上的动点(x ，y)的斜率的最值问题；(2) 形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．请使用课时训练（A）第4课时（见活页）.[备课札记]。

9.4矩形、菱形、正方形（4）一、教学目标：知识目标：掌握四边形是菱形的条件，经历探索四边形是菱形的条件，在活动中发展学生的探究意识和有条理地表达能力能力目标：培养学的逻辑推理能力。

培养学生有条理地表达能力情意目标：1．通过实际生活的例证，加深对菱形的的认识，并以此激发学生的探索精神.2．通过对菱形判定条件的探索学习，体会它的内在美和应用美.二、教学重点和难点：重点：探索四边形是菱形的判定方法.难点：培养学生有条理地表达能力三、教学方法：引导与自主探索相结合四、教学过程：四、板书设计：9.4矩形、菱形、正方形（4）菱形的判定方法：例题学生板演区1、例1、例22、五、教后感：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

八年级数学上第九章知识点第九章知识点：平面坐标系和平面图形数学作为一门抽象而严谨的学科，常常让学生觉得枯燥乏味。

然而，在我们的日常生活中，数学无处不在。

无论是购物还是旅行，甚至是绘画和音乐，数学都在默默地发挥作用。

而在数学的八年级课程中，平面坐标系和平面图形是一个必不可少的章节。

今天，我们将一起来探索这个有趣的知识点。

一、平面坐标系平面坐标系是二维平面上用来表示点的工具。

我们可以使用两个数值（横坐标和纵坐标）来确定平面上的一个点的位置。

这个点通常被称为有序数对或者是一个向量。

使用平面坐标系，我们可以轻松地表示和计算物体的位置、距离和方向。

通过选择一个合适的参考点，通常被称为原点，我们可以定义一个平面坐标系。

在平面坐标系中，我们可以通过横坐标和纵坐标的数值来表示一个点在平面上的位置。

二、平面图形平面图形是指在平面上的几何形状。

在八年级的数学课程中，我们将学习一些常见的平面图形，如线段、直线、射线、角、三角形、四边形、多边形等。

对于不同的平面图形，我们可以通过测量和计算其边长、面积和周长等属性来研究它们。

这些属性可以帮助我们更好地理解和描述平面图形的性质和特征。

关于平面图形，还有一些基本的定理和概念需要我们掌握。

比如，三角形的内角和定理告诉我们，三角形的内角和等于180度。

这个定理是许多几何推理和计算的基础。

我们还要学习到一些用于解决平面图形问题的常用方法，如相似性、对称性和平移等。

在平面图形的学习中，我们将深入研究几何形状的性质和关系，并通过解决一些实际问题来应用平面图形的知识和技能。

这将提高我们的空间思维能力和逻辑推理能力，帮助我们在生活中更好地应用数学知识。

三、应用实例1. 平面坐标系的应用平面坐标系在现实生活中有着广泛的应用。

举个例子，当我们使用地图导航时，导航软件会根据我们当前的位置和目标位置在地图上绘制一条最优路线。

这就是通过平面坐标系来计算和表示路线的方法。

2. 平面图形的应用平面图形也在我们的日常生活中有着广泛的应用。

八年级下数学第九章知识点八年级下学期的数学课程中，第九章涉及了许多重要的知识点。

在这一章中，我们将学习到平面中的直线和角的相关概念。

这些知识不仅在我们的日常生活中有很多应用，而且在解决实际问题和理解几何形状时也非常重要。

首先，我们来讨论平面中直线的概念。

直线是由无数个点组成，这些点位于同一条直线上，并延伸到无穷远。

直线的特点是它没有起点和终点，它是无限延伸的。

我们可以用两个点来确定一条直线，这两个点称为直线上的两个定点。

当我们要用直线表示两个点时，我们可以使用线段表示，其中起始点和终点由定义确定。

在研究直线的过程中，我们还引入了直线的斜率的概念。

直线的斜率可以告诉我们直线的倾斜程度。

斜率等于直线上任意两点的纵坐标的差除以横坐标的差。

斜率可以是正的、负的或零。

正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，而零斜率表示直线水平。

另一个重要的概念是角。

角是由两条射线或线段围成的形状。

角的单位是度或弧度。

我们通常用一个小圆弧在角的顶点上标记角的大小。

角的大小受两个射线或线段之间的夹角决定。

角可以是锐角（小于90度）、直角（等于90度）、钝角（大于90度）和平角（等于180度）。

在了解了角的概念后，我们可以进一步讨论角的类型。

在数学中，我们将角分为两类：对顶角和同位角。

对顶角是由两条互相垂直的直线所围成的角，这两条直线被称为对称轴。

同位角是由两条平行线所围成的角，这两条直线上对应的两个角具有相同的度数。

除了直线和角的概念，第九章还涉及到了平行和垂直直线的相关知识。

两条直线称为平行直线当且仅当它们在同一平面中且永远不会相交。

同样，两条直线称为垂直直线当且仅当它们交叉成直角。

平行和垂直直线在解决实际问题中非常有用，特别是在设计和建筑领域。

最后，我们将学习如何使用这些概念来解决各种几何问题。

通过理解直线和角的特性，我们可以确定一些形状的性质、计算它们的面积和周长，并解决实际问题。

这些技能对于我们日常生活中的测量和计算非常重要，也为我们今后学习高级数学打下了坚实的基础。