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§6距离的计算●三维目标1．知识与技能(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．2．过程与方法(1)通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．3．情感、态度与价值观学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．引导学生探索空间距离的计算公式和计算方法，在探索中，深化学生对空间距离求法的认识，通过具体例子，让学生感知求空间距离时，综合法的“难”和向量法的“易”，体会向量法在研究空间问题中的作用．三、教学建议1．引导学生自主发现问题、分析问题并解决问题，比如，为什么引入空间距离？怎样求空间距离？用向量法去求的优越性是什么？教学中，要以问题为主线，引导学生体验探索全过程，在这个过程中，形成并深化对空间距离求法的认识．2．在教学中，要渗透符号化、模型化、运算化和程序化的思想．3．教学中，应把立体几何问题作为学习向量法的载体，以向量法作为主要教学目标．●教学流程设置情境引入课题――→探索空间距离的定义――→探索空间距离的计算公式――→应用通过例子，深化对空间距离的认识――→比较比较综合法的“难”，向量法的“易”――→尝试通过练习进行反馈矫正――→小结提炼思想方法：数形结合、化归转化，形成整体认识1．如图，已知向量s 是直线l 的方向向量，点P 在直线l 上，点A 是空间中一点，则向量P A →在s 上的投影是什么？其几何意义是什么？【提示】 向量P A →在s 上的投影为P A →·s |s |.作AA ′⊥l 于A ′，则投影P A →·s|s |的几何意义是有向线段P A ′的数量．2．如何利用P A →在s 上的投影求点A 到直线l 的距离？ 【提示】 由勾股定理得， d ＝P A 2－P A ′2.∴d ＝|P A →|2－|P A →·s |s ||2.利用向量求点A 到直线l 的距离步骤： (1)找到直线l 的方向向量s ； (2)在直线l 上任取一点P ； (3)计算点P 到点A 的距离|P A →|； (4)计算P A →在向量s 上的投影P A →·s 0； (5)计算点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2.如图，已知向量n 是平面π的法向量，点P 在平面π内，点A 是空间中一点，试用向量P A →在n 上的投影表示点A 到平面π的距离．【提示】 d ＝|P A →·n|n ||.利用向量求点A 到平面π的距离步骤： (1)找到平面π的法向量n ； (2)在平面π内任取一点P ； (3)计算P A →在向量n 上的投影P A →·n 0； (4)计算点A到平面π的距离d＝|PA→·n 0|.11111分别是AB ，CC 1的中点，求点D 1到直线GF 的距离．【思路探究】 建系⇒求D 1、F 、G 坐标⇒GF →、GD 1→的坐标⇒求GD 1→在GF →上的投影⇒利用公式求解【自主解答】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，F (1,1,0)，G (0,2,1)， 于是有GF →＝(1，－1，－1)， GD 1→＝(0，－2,1)，所以GF →·GD 1→|GF →|＝2－13＝13，|GD 1→|＝5，所以点D 1到直线GF 的距离d ＝|GD 1→|2－|GD 1→·GF →|GF →||2＝5－13＝423.用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：1．点P 可以在直线l 上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点． 2．直线l 的方向向量可任意选取．3．点到直线的距离公式中s 0是单位向量，在求得直线l 的方向向量s 后，要将其单位化．已知ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP →＝34AB →＋12AD→＋23AE →，则P 到AB 的距离为( ) A.56 B ．18112 C.10306 D ．56【解析】 建立如图所示空间直角坐标系，则 AP →＝34(1,0,0)＋12(0,1,0)＋23(0,0,1)＝(34，12，23)．又∵AB →＝(1,0,0)，∴AP →在AB →上的投影为AP →·AB →|AB →|＝34，∴点P 到AB 的距离为|AP →|2－|AP →·AB →|AB →||2＝56.【答案】 A图2－6－1如图2－6－1直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．【思路探究】 建坐标系确定向量A 1B →的坐标形式找出平面A 1BC 的 一个法向量为n 代入d ＝ |A 1B 1→·n |n ||求解【自主解答】 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0，1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)∴A 1B →＝(－1,1，－3)，A 1C →＝(－1,0，－3)，B 1A 1→＝(1，－1,0)． 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0n ·A 1C →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0－x －3z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝0z ＝1即n ＝(－3，0,1)，所以，点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32.1．本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出表示这个距离的线段有很大的困难，利用向量方法求解较为容易．2．求点到平面的距离的步骤可简化为： (1)求平面的法向量；(2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．图2－6－2如图2－6－2所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，求点A 1到平面AD 1C 的距离．【解】 以D 为原点建立空间直角坐标系，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，设平面AD 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎨⎧n ·AD 1→＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴n ＝(1,1,1)，∴d ＝|AA 1→·n ||n |＝13＝33.图2－6－3如图2－6－3所示，在已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD ，且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点．求A 1B 1与平面ABE 的距离．【思路探究】 求A 1B 1与平面ABE 的距离，因为直线A 1B 1平行于平面ABE ，所以直线A1B 1上任意一点到平面ABE 的距离相等，所以A 1B 1与平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离，从而转化为点到平面的距离求解．【自主解答】 如图所示，以D 为原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，E (0，3，1)， 过C 作AB 的垂线交AB 于F ， 易得BF ＝3，∴B (1,23，0)，∴AB →＝(0,23，0)，BE →＝(－1，－3，1)． 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BE →＝0得⎩⎨⎧23y ＝0，－x －3y ＋z ＝0，∴y ＝0，x ＝z ，不妨取n ＝(1,0,1)． ∵直线A 1B 1∥平面ABE ，∴直线A 1B 1到平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离． ∵AA 1→＝(0,0,2)，∴A 1B 1到平面ABE 的距离为|AA 1→·n |n ||＝22＝ 2.求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．【解】 证明：(1)以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)，FP →＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)，DE →＝(0,1,1)， ∴DE →＝12FP →＋12FB →.∴DE →∥平面PFB ．又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB ．(2)∵DE ∥平面PFB ，∴E 到平面PFB 的距离等于D 到平面PFB 的距离．设平面PFB的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FB →＝0，n ·FP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，FD →＝(－1,0,0)．∴D 到平面PFB 的距离为d ＝|FD →·n ||n |＝26＝63.利用向量求点到平面的距离的常见错误在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝4，AB ＝2，以AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ，求点N 到平面ACM 的距离．【错因分析】 (1)不知条件AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于N 点如何使用． (2)不知道转化，求点N 的坐标，增加了运算量．(3)求点到平面的距离公式d ＝|P A →·n 0|中n0是单位法向量而不是法向量．【防范措施】 (1)认真分析图形性质；(2)进行合理转化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各个量的几何意义．【正解】 分别以AB 、AD 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，M (0,2,2)，∴A C →＝(2,4,0)，AM →＝(0,2,2)，设平面ACM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥A C →，n⊥AM →，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝0，2y ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(2，－1,1)． 由已知得，AN ⊥NC ，在Rt △P AC 中，P A 2＝PN ·PC ，所以PN ＝83，则NC ＝PC －PN ＝103，NC PC ＝59. 所以所求距离为点P 到平面ACM 距离的59，又点P 到平面ACM 的距离为|A P →·n n |＝263.所以点N 到平面ACM 的距离为10627.空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离.1．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为n ＝(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( ) A.322 B ．22 C.102D ． 2【解析】 P A →＝(－2,0，－1)，|P A →|＝5，P A →·n |n |＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·n|n ||2＝5－12＝322. 【答案】 A图2－6－42．如图2－6－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12 B ．24 C.22 D ．32【解析】 建立如图所示坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， O (12，12，1)， 则DA 1→＝(1,0,1)， A 1O →＝(－12，12，0)，由题意知DA 1→为平面ABC 1D 1的法向量，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为 d ＝|DA 1→·A 1O →||DA 1→|＝122＝24.【答案】 B3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，则点B 1到平面A 1BC 1的距离为________．【解析】 如图所示建立空间直角坐标系， 则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)， A 1C 1→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)， BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1→＝(0,6,0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝(1，23，43)．∴d ＝|A 1B 1→·n ||n |＝122929.【答案】 1229294．已知棱长为1的正方体AC 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点． (1)求证：E 、F 、D 、B 共面； (2)求点A 1到平面的DBEF 的距离．【解】 如图，建立空间直角坐标系D －xyz .则知A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D (0,0,0)，E (12，1,1)，F (0，12，1)．(1)证明：由BD →＝(－1，－1,0)，EF →＝(－12，－12，0)，得EF →＝12B D →，E F →∥BD →，∴EF ∥DB ，∴E 、F 、D 、B 共面．(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面DBEF 的法向量． 由n ⊥DB →，n ⊥DF →，DB →＝(1,1,0)，DF →＝(0，12，1)得⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝x ＋y ＝0，n ·DF →＝12y ＋z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝－12y . 令y ＝1，得n ＝(－1,1，－12)，又DA 1→＝(1,0,1)，则A 1到平面DBEF 的距离d ＝|n ·DA 1→||n |＝1.一、选择题1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与对角线BC 1所在直线间的距离是( )A.62a B ．a C.2aD ．a 2【解析】 如图建立空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )． ∴A 1B →＝(0，a ，－a )，|A 1B →|＝2a ， BC 1→＝(－a,0，a )，|BC 1→|＝2a . 点A 1到BC 1的距离d ＝ 错误!2) ＝2a 2－a 22＝62a .【答案】 A 2.图2－6－5如图2－6－5已知ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，点C 1到平面AB 1D 的距离为( )A.24a B ．28a C.324a D ．22a 【解析】 ∵ABB 1A 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1， ∴A 1B ⊥面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量，由于C 1D ＝CD ，所以C 1到平面AB 1D 的距离等于C 到平面AB 1D 的距离， 设点C 到平面AB 1D 的距离为d ，则d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·(A 1A →＋AB →)|2a＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a ＝|0＋a ×a ×cos 60°|2a＝24a . 【答案】 A3．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，EF ∩BD ＝G .则三棱锥B 1－EFD 1的体积V 等于( )A.66 B ．1633 C.163D ．16 【解析】 以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B 1(22，22，4)，D 1(0,0,4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，∴D 1E →＝(22，2，－4)，D 1F →＝(2，22，－4)，D 1B 1→＝(22，22，0)，∴cos<D 1E →，D 1F →>＝D 1E →·D 1F→|D 1E |·|D 1F |＝2426·26＝1213， ∴sin<D 1E →，D 1F →>＝513，所以S △D 1EF ＝12|D E →|·|DF |·sin<D E →，D F →>＝12×26×26×513＝5，又∵平面D 1EF 的法向量为n ＝(1,1，342)，∴点B 1到平面D 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝165，∴VB 1－EFD 1＝13·S △EFD 1·d ＝13×5×165＝163.【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )．则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)． ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝(－4，95，125)，∴|BD →|＝16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A.2a B ．3a C.23a D ．33a【解析】 由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．明显，A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，BA →＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n |n ||＝a 3＝33a .【答案】 D 二、填空题6．若平面α∥平面β，直线l α，且平面α与β之间的距离为d ，下面给出了四个命题： ①β内有且仅有一条直线与l 的距离等于d ； ②β内所有直线与l 的距离等于d ； ③β内无数条直线与l 的距离等于d ； ④β内所有的直线与α的距离都等于D ．其中正确的命题的序号为________． 【解析】 由面面平行的性质可知③④正确． 【答案】 ③④7．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·A B →＝0，n ·A C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z y ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． 又A D →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|A D →·n|n ||＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2|＝4917＝491717.【答案】4917178．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．【解析】 如图建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)， ∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0，n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.【答案】233三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是AD 1的中点，求点E 到直线BD 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系．设EF ⊥BD ，F 为垂足，由于F 的位置未确定，设DF →＝λDB →(λ∈R )，则F (λ，λ，0)．∵DE →＝(12，0，12)，∴EF →＝DF →－DE →＝(λ－12，λ，－12)．∵EF →⊥DB →，DB →＝(1,1,0)， ∴EF →·DB →＝0，即(λ－12)＋λ＝0.∴λ＝14.∴EF →＝(－14，14，－12)．∴|EF →|＝64，故点E 到直线BD 的距离为64.10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，试求点F 到平面A 1D 1E 的距离．【解】 取AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．如图，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，F (12，1,0)，D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1. ∴n ＝(1,0,2)． 又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.11．如图2－6－6已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD－A 1B 1C 1D 1的高．图2－6－6【解】 设正四棱柱的高为h . (1)证明：连AO 1， ∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴∠AB 1A 1是AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角， ∴∠AB 1A 1＝α.∵在等腰△AB 1D 1中，AO 1⊥B 1D 1. 又A 1C 1⊥B 1D 1，∴∠AO 1A 1是二面角A －B 1D 1－A 1的一个平面角， ∴∠AO 1A 1＝β.在Rt △AB 1A 1中，tan α＝AA 1A 1B 1＝h ；在Rt △AO 1A 1中，tan β＝AA 1A 1O 1＝2h .∴tan β＝2tan α.(2)如图建立空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )，则AB 1→＝(1,0，－h )，AD 1→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)．设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(u ，v ，w )． ∵n ⊥AB 1→，n ⊥AD 1→， ∴n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧u ·1＋v ·0＋w ·(－h )＝0，u ·0＋v ·1＋w ·(－h )＝0， 得u ＝h w ，v ＝h w ，∴n ＝(h w ，h w ，w )． 令w ＝1，得n ＝(h ，h,1)． 由点C 到平面AB 1D 1的距离为 d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得高h ＝2.(教师用书独具)在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M ，N ，R 分别为OA ，BC ，AD 的中点，求：直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离．【思路探究】 由题意得到MN ∥平面OCD ，平面MNR ∥平面OCD ，将线面距离、面面距离转化为点到面的距离求解．【自主解答】 因为M ，R 分别为AO ，AD 的中点，所以MR ∥OD ．在正方形ABCD 中，N ，R 分别为BC ，AD 的中点，所以NR ∥CD ．又MR ∩NR ＝R ，所以平面MNR ∥平面OCD ．又MN 平面MNR ，所以MN ∥平面OCD ．所以直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离都等于点N 到平面OCD 的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,2)，C (2,2,0)，D (0，2,0)，N (2,1,0)．所以NC →＝(0,1,0)，OD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－2,0,0)．设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·OD →＝2y －2z ＝0，n ·CD →＝－2x ＝0，，令z ＝1，得n ＝(0,1,1)．所以点N 到平面OCD 的距离d ＝|NC →·n |n ||＝22.所以直线MN 与平面OCD 的距离，平面MNR 与平面OCD 的距离都等于22.求线面距离或面面距离前，应先判断线面或面面的位置关系，只有直线(平面)与平面平行时，才能将线面(面面)距离转化为点到面的距离求解．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，EB 1＝1，D 、F 、G 分别为CC 1、B 1C 1、A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ；(2)求证：平面EGF ∥平面ABD ；(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．【解】(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1(a,0,0)，则C 1(0,2,0)，F (0,1,0)，E (0,0,1)，A (a,0,4)，B (0,0,4)，D (0,2,2，)，G (a 2，1,0)． ∴B 1D →＝(0,2,2)，A B →＝(－a,0,0)，B D →＝(0,2，－2)，∴B 1D →·A B →＝0＋0＋0＝0，B 1D →·B D →＝0＋4－4＝0.∴B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ．又AB ∩BD ＝B ，∴B 1D ⊥平面ABD ．(2)证明：∵A B →＝(－a,0,0)，B D →＝(0,2，－2)， G F →＝(－a 2，0,0)，E F →＝(0,1，－1)． ∴GF ∥AB ，EF ∥BD ．又GF ∩EF ＝F ，AB ∩BD ＝B ，∴平面EGF ∥平面ABD ．(3)由(1)、(2)知DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段．设B 1H →＝λB 1D →＝(0,2λ，2λ)，则E H →＝(0,2λ，2λ－1)，E F →＝(0,1，－1)． ∵E H →与E F →共线，∴2λ1＝2λ－1－1，即λ＝14， ∴B 1H →＝(0，12，12)，∴H D →＝(0，32，32)， ∴|H D →|＝322. 因此，平面EGF 与平面ABD 的距离为322.。
