数学归纳法 作业(Word版 含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

课时作业(十三)1．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n∈N ＋)，则当n ＝1时，f(n)为( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14答案 C解析 当n ＝1时，2n ＋1＝2×1＋1＝3，故f(1)＝1＋12＋13.故选C.2．用数学归纳法证明11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝nn ＋1(n∈N ＋)时，从“n＝k 到n＝k ＋1”时，等式左边需增添的项是( ) A.1k ＋1 B.1k ＋2C.1k （k ＋1）D.1（k ＋1）（k ＋2）答案 D解析 当n ＝k(k∈N ＋)时，等号左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1），当n ＝k ＋1时，等式左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2），所以当n ＝k 到n ＝k＋1时，等式左边需增添的项为1（k ＋1）（k ＋2）.故选D.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n∈N ＋)．试归纳猜想出S n 的表达式为( ) A.2nn ＋1B.2n －1n ＋1 C.2n ＋1n ＋2 D.2n n －1答案 A解析 因为a 1＝1，所以S 1＝1；又S 2＝4a 2＝a 1＋a 2， 所以3a 2＝1，所以a 2＝13，S 2＝43；又S 3＝9a 3＝S 2＋a 3，8a 3＝43，所以a 3＝16，所以S 3＝32＝64，由此可猜想S n ＝2nn ＋1(n∈N ＋)．4．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n∈N ＋)，在利用数学归纳法证明时，从n ＝k 到n＝k ＋1需添的项为( ) A.12k ＋1B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2答案 D5．设平面内有k 条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f(k)，则f(k ＋1)与f(k)的关系是( ) A ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋1 B ．f(k ＋1)＝f(k)＋k －1 C ．f(k ＋1)＝f(k)＋k D ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋2答案 C解析 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k ＝f(k ＋1)． 6．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a≠1，n ∈N *)”时，在验证当n ＝1成立时，左边计算所得的结果是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 左边n ＝1时，幂指数最大值为1＋1＝2，∴左边结果为1＋a ＋a 2.7．用数学归纳法证明n(n ＋1)(2n ＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n ＝k ＋1时命题成立，需将n ＝k ＋1时的原式表示成( ) A ．k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1) B ．6k(k ＋1)(2k ＋1) C ．k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)2D ．以上都不对答案 C8．记凸k 边形的内角和为f(k)，则凸k ＋1边形的内角和f(k ＋1)＝f(k)＋( ) A.π2 B ．π C.32π D ．2π答案 B解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k ＋1)＝f(k)＋π.故选B.9．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”时，第二步正确的证明方法是( )A ．假设n ＝k(k∈N *)时成立，证明n ＝k ＋1时命题成立 B ．假设n ＝k(k 是正奇数)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋3时命题也成立 D ．假设n ＝2k －1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋1时命题也成立 答案 D解析 由完全归纳法知，只有当n 的初始值取值成立，且n ＝k 成立，能推出n ＝k ＋1时也成立，才可证明结论成立，两者缺一不可．A ，B 选项都是错误的，因为n 是正奇数．C 选项当k ＝1时的起始值为3，所以也不正确，故选D. 10．某学生在证明等差数列前n 项和公式时，证法如下： (1)当n ＝1时，S 1＝a 1显然成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，公式成立，即 S k ＝ka 1＋k （k －1）d2.当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝(k ＋1)a 1＋k （k ＋1）2d＝(k ＋1)a 1＋（k ＋1）[（k ＋1）－1]2 d.∴当n ＝k ＋1时公式成立．∴由(1)(2)可知对n∈N *，公式成立． 以上证明错误的是( )A ．当n 取第一个值1时，证明才对B ．归纳假设写法不对C ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中未用归纳假设D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理有错误 答案 C解析 因为没有用上归纳假设，所以是错误的．11．若凸k 边形对角线条数为f(k)，则凸k ＋1边形对角线条数f(k ＋1)＝f(k)＋________． 答案 k －1解析 凸k ＋1边形A 1A 2A 3…A k ＋1的对角线条数由下列三部分相加而得．①凸k 边形A 1A 2A 3…A k 的对角线条数f(k)．②A 1A k 由原凸k 边形的边变为凸k ＋1边形的对角线．③顶点A k ＋1与另外k －2个顶点A 2、A 3、…、A k －1生成k －2条对角线．所以，f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝f(k)＋k －1.12．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，则n ＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝nf(n)(n∈N *，且n≥2)第一步要证明的式子是________． 答案 2＋f(1)＝2f(2)解析 n ＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)．13．用数学归纳法证明：(n ＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1左端需增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k 时，(k ＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝ 2k·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋2)·(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)＝2k ＋1·1·3·…·2k ·(2k＋1)．∴左端需增乘（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)．14．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，且k∈N *)时命题成立，即有 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 从而可知，当n ＝k ＋1时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数n 均成立． 15．用数学归纳法证明对于整数n≥0，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除．当n ＝k ＋1时， A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．1．对于不等式n 2＋n<n ＋1(n∈N ＋)，某学生用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时命题显然成立．(2)假设n ＝k(k∈N ＋，k ≥1)时原不等式成立，即k 2＋k<k ＋1，则n ＝k ＋1时，左边＝（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2<（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.即n ＝k ＋1时原不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式一切n∈N ＋都成立． 对上述证明过程，下列说法正确的是( ) A ．过程全部分正确 B ．n ＝1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 上述过程中，n ＝1的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设，因此证明过程错误，故选D.2．证明：凸n(n∈N *，n ≥4)边形的对角线的条数f(n)＝12n(n －3)．证明 (1)当n ＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．(2)假设当n ＝k(k∈N *，k ≥4)时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f(k)＝12k(k －3)(k≥4)．当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数为k －1.f(k ＋1)＝12k(k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对于n≥4，n ∈N *命题成立．点评 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少．3．已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解析11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n<1. 理由如下：因为f ′(x)＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， 所以a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.因为函数g(x)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立； ②假设当n ＝k(n∈N *)时结论成立， 即a k ≥2k－1，则当n ＝k ＋1时，由g(x)＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①，②知，对任意n∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n，所以11＋a n ≤12n .所以11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n<1.。

一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A．B．C． D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n a na b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥B ．n n T M >C ．n n T M <D ．n n T M ≤3．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A1 BC1D6．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B．C ．18D ．97．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,499．y=x 的最大值是 （ ） A ．1B ．2CD ．410．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( ) A ．3B ．1C．3D11．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n12．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．1D ．34二、填空题13．已知,,,,,(0,)x y z R αβγπ+∈∈，且222346,2x y z αβγπ++=++=，则sin sin sin xy xz yz αβγ++的最大值为________．14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．设x ，y ，z 均为实数，则22222x y z x y z +-++的最大值是________．16．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．17．函数3141y x x =++-的最大值为______________； 18．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________． 19．已知、、是三角形三个角的弧度数，则的最小值____．20．已知,(0,)x y ∈+∞3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数3()|3|(0)f x x a x a a =-++>．（1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为4，且1(0,0)am m nn +=>>≤24．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．25．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围．26．设函数()()222,f x x a x b a b R =-++∈.（1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n-⨯⨯⋯⨯<∈即得解.【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n a nb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n aa a a a n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴，∴<， 假设当n k =时，原式成立，即1121232k k-⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．A解析：A 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】()21122n n a x a x a x +++()()2222221212111nn aa a xx x ++++++=⨯= ，当且仅当12121nnx x x a a a ==== 时取等号. ∴1122n n a x a x a x +++ 的最大值是1故选：A 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.6．B解析：B【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.7．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +，当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221xx =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3ab c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．C解析：C 【解析】 由柯西不等式，得()1212111......n n x x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭2...⎫≥()2211...1n =+++=，当且仅当12...n x x x ===时取等号，故选C. 12．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ．考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．二、填空题13．【分析】如图所示：设则根据柯西不等式证明得到利用上面不等式得到得到答案【详解】如图所示：过作于设故当时根据柯西不等式：故当时等号成立即即即故当三点共线且时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等【分析】如图所示：设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，则sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=，根据柯西不等式证明222()a b a b x y x y++≥+，得到()22222346a h b h z ++++=，利用上面不等式得到)()6ABC m z a b ∆≥++≥，得到答案.【详解】如图所示：过O 作⊥OD AB 于D ，设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，AOB α∠=，AOC β∠=，BOC γ∠=.故sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=.当0x >，0y >时，根据柯西不等式：22222()a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++≥+⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故222()a b a b x y x y++≥+，当a b x y =时等号成立.222346x y z ++=，即()22222346a h b h z ++++=，即22224346a h b z +++=.即()())()222222611111111434443ABC h z a b a h b z h z a b ∆+++++=≥+≥++≥++，故2ABC S ∆≤OCD 三点共线，且3a b =，h z =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，将sin sin sin xy xz yz αβγ++表示成三角形面积是解题的关键.14．9【分析】首先根据题意利用代1法可得再借助柯西不等式即可得出结论【详解】是正数且当且仅当时取等号的最小值是9故答案为：9【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题属于基础题解析：9 【分析】首先根据题意，利用代“1”法，可得1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再借助柯西不等式，即可得出结论. 【详解】,,x y z 是正数，且1231x y z++=， 1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22323y z x y z x ≥ 2(111)=++ 9=，当且仅当3x =，6y =，9z =时取等号，23y zx ∴++的最小值是9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2 【分析】 首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++≤. 【详解】 由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-， 所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，≤，当且仅当202x y z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】 该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时【解析】的范围，再根据柯西不等式求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大， 由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ， ∴225x y +≤ 由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x y a b=时等号成立． ∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17．【解析】因为所以故函数的最大值为 解析：52【解析】 因为(()()2223141341150x x x x +-≤+++-=，所以52y ≤3141y x x =+-5218．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．考点：柯西不等式．19．【解析】试题分析：所以原式转化为根据基本不等式所以原式等号成立的条件是所以求原式的最小值转化为求的最小值令当时函数单调递减当函数单调递减所以当时函数取得最小值当时取得最小值最小值等于考点：1基本不等 解析：【解析】 试题分析：,所以，原式转化为,根据基本不等式，,所以原式,等号成立的条件是,所以求原式的最小值转化为求的最小值，,令，,,当时，,函数单调递减，当，,函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，当时，,取得最小值，最小值等于． 考点：1．基本不等式；2．导数研究函数的极值与最值．20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式 解析：10k >【解析】 试题分析：由柯西不等式得22(3)(13)()x y x y ≤++，所以310x y x y ≤+10k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)．（2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++， 因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0， 所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥； （2）由0,0x y >>，1x y +=， 得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤， 当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．利用零点分段法去绝对值,分三段解不等式即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为334a a +=，解得1a =，可得11m n+=， 利用柯西不等式即可求证.【详解】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．当3x ≤-时，136x x ---<，即226x --<，解得：4x >-，所以43x -<≤-； 当31x -<<时，136x x -++<，即46<，所以31x -<<；当1≥x 时，136x x -++<，即226x +<，解得2x <，所以12x ≤<．综上所述：不等式()6f x <的解集为()4,2-．（2）证明：因为333()|3|(3)3f x x a x a x a x a a a =-++≥--+=+，且0a >，所以()f x 的最小值为334a a +=．因为函数3()3g a a a =+为增函数，且()14g =，所以1a =． 从而11m n+=，因为0m >，0n >，所以由柯西不等式得()222112mn ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即25≥，≤（当且仅当15m =，54n =时等号成立） 【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：a 为正实数，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔<-或x a >； （2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x a x b -<-或x a x b ->-型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图像求解.24．[]1,2-.【分析】 由柯西不等式得()2222236a b c a b c ++++≥=，转化条件得()3f x ≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x =++-≥+-+=，即可得解.【详解】 由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c ++≤++++，所以()2222236a b c a b c ++++≥=，当且仅当121a b c ==即b =a c ==时，等号成立， 所以()222a b c f x ≥++恒成立()3f x ⇔≤，因为()12123f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()3f x ≤的解集为12x -≤≤，所以实数x 的取值范围[]1,2-.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.25．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】 因为()222222*********()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭ 所以25120a a -，解得1205a． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 26．（1）13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）【分析】（1）分别在0x ≤、01x <<和1x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可求得2228a b +=，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当1a =，0b =时，()1f x x x =-+，当0x ≤时，()122f x x =-≥，解得：12x ≤-； 当01x <<时，()112f x x x =-+=≥，解集为∅；当1x ≥时，()212f x x =-≥，解得：32x ≥； 综上所述：()2f x ≥的解集为13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （2）2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=（当且仅当()()2220x a x b -+≤时取等号），()()222212242a b a b ⎛⎫∴++=≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取等号），2a b ∴+≤即2+a b 的最大值为.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用柯西不等式求最值的问题，属于常考题型.。

§2 排序不等式学习目标：1.了解排序不等式，理解排序不等式的实质．(重点)2.能用排序不等式证明简单的问题．(难点)教材整理1 顺序和、乱序和、逆序和的概念 阅读教材P 32～P 34“练习”以上部分，完成下列问题．设实数a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3满足a 1≥a 2≥a 3，b 1≥b 2≥b 3，j 1，j 2，j 3是1,2,3的任一排列方式．通常称a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3为顺序和，a 1b j 1＋a 2b j 2＋a 3b j 3为乱序和，a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1为逆序和(倒序和)．填空：若m ≥n ≥p ≥q ，a ≥b ≥c ≥d ，则 (1)am ＋bn ＋cp ＋dq 是________和， (2)an ＋bq ＋ca ＋dp 是________和， (3)aq ＋bp ＋cn ＋dm 是________和， (4)aq ＋bm ＋cq ＋dn 是________和． [答案] (1)顺序 (2)乱序 (3)逆序 (4)乱序 教材整理2 排序不等式阅读教材P 32～P 34“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定理1设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc ，当且仅当a ＝b (或c ＝d )时取“＝”号．2．定理2(排序不等式)设有两个有序实数组a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ，则(顺序和)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥(乱序和)a 1b j 1＋a 2b j 2＋…＋a n b j n≥(逆序和)a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j1，j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝…＝a n(或b1＝b2＝…＝b n)时取“＝”号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则a1b j1＋a2b j2＋a3b j3中最大值是a1b1＋a2b2＋a3b3(其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列). ()(2)若a≥b，c≥d，则ac＋bd≥ad＋bc. ()[答案](1)√(2)√【例1(1)1bc≥1ca≥1ab；(2)a5b3c3＋b5c3a3＋c5c3b3≥1a＋1b＋1c.[精彩点拨]本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a≥b≥c，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．[自主解答](1)∵a≥b>0，于是1a≤1b，又c>0，∴1c>0，从而1bc≥1ca.同理，∵b≥c>0，于是1b≤1 c.∵a>0，∴1a>0，于是得1ca≥1ab.从而1bc≥1ca≥1ab.(2)由(1)知1bc≥1ca≥1ab，于是由“顺序和≥乱序和”得，a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3(∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3)≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c.利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序，构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组.1．已知0<a 1≤a 2≤…≤a n ，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .[证明] ∵0<a 1≤a 2≤…≤a n ， ∴a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥ (1)n， 由排序不等式知，乱序和不小于逆序和，得a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ， ∴a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .[精彩点拨] 解答此题需要假设a ≥b ≥c 推出a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a ，再利用排序不等式进行论证．[自主解答] 不妨设a ≥b ≥c ，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a .故由排序不等式，得a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，①a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，②(①＋②)÷2可得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≥a ＋b ＋c . 又∵a 3≥b 3≥c 3且1bc ≥1ac ≥1ab ，由排序不等式，得a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ac ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ，③ a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ，④ (③＋④)÷2可得a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ≥a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b .综上可知，a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证.2．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2.[证明] 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…a n 的一个排列，且满足b 1<b 2<…<b n . 由于b 1，b 2，…，b n 是互不相同的正整数，∴b 1≥1，b 2≥2，b 3≥3，…，b n ≥n . 又1>122>132>…>1n 2. 由排序不等式得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .1．设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，那么它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？[提示] a 1b n ＋a 2b n －2＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . 2．已知两组数a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5，b 1≤b 2≤b 3≤b 4≤b 5，其中a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5.那么a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别是多少？[提示] 由顺序和最大，知最大值为a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5＝304. 由逆序和最小，知最小值为a 1b 5＋a 2b 4＋a 3b 3＋a 4b 2＋a 5b 1＝212. 【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值． [精彩点拨] 由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，注意到b b ＋c ＋c b ＋c ＝1.设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ，a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ba＋b，上两式相加，则2⎝⎛⎭⎪⎫ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥3，即ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.当且仅当a＝b＝c时，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b取最小值32.构造两个有序数组―→利用排序不等式―→验证等号是否成立.3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值．[解]不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x.由排序不等式，乱序和≥逆序和得，x2y＋y2z＋z2x≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z，又x＋y＋z＝1，x2y＋y2z＋z2x≥1.当且仅当x＝y＝z＝13时，等号成立．故t＝x2y＋y2z＋z2x的最小值为1.1．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋y 3x ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N[解析] 由排序不等式，知M ≥N . [答案] B2．设a ，b ，c 为正数，P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q [解析] 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2>0， 由排序不等式得：a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . ∴P ≥Q . [答案] B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是______，最小值是__________．[解析] 由排序不等式，顺序和最大，逆序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. [答案] 32 284．设正数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为a 1′，a 2′，…，a n ′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为__________．[解析] 取两组数a 1，a 2，…，a n ；1a 1，1a 2，…，1a n ，其反序和为a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n＝n ，则由乱序和不小于反序和知a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n ，∴a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为n . [答案] n5．已知a ，b ，c 为正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c . [证明] 不妨设a ≥b ≥c >0， 则1c ≥1b ≥1a >0，ab ≥ac ≥bc >0. 由排序不等式，得ab c ＋ac b ＋bc a ≥ac ·1c ＋bc ·1b ＋ab ·1a ＝a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 故bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .。

数学归纳法的应用练习1用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )．A．假设n＝k时命题成立 B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立C．假设n＝k(k≥5)时命题成立 D．假设n＝k(k＞5)时命题成立21n+(n∈N＋)，某同学证明过程如下：(1)当n＝11+，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)1k+，则当n＝k＋1()11k==++．∴当n＝k＋1时，不等式也成立．在上述证明过程中( )．A．过程全部正确 B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1推理不正确3设n∈N＋，则2n与n的大小关系是( )．A．2n＞n B．2n＜n C．2n＝n D．不确定4平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为( )．A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)5用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为____________________．6设a为有理数，x＞－1．如果0＜a＜1，证明：(1＋x)a≤1＋ax，当且仅当x＝0时等号成立．7证明不等式：1<n++n∈N＋)．8已知：111123nSn=++++(n＞1，n∈N＋)．求证：212 nnS>+(n≥2，n∈N＋)．参考答案1 答案：C 由题意知n ≥5，n ∈N ＋，故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立．2 答案：D 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设．3 答案：A 2n ＝(1＋1)n ，根据贝努利不等式有(1＋1)n ≥1＋n ×1＝1＋n ，上式右边舍去1，得(1＋1)n ＞n ，即2n ＞n ．4 答案：B 第k ＋1条直线与前k 条直线都相交于不同的交点，此时应比原来增加k 个交点．5 答案：当n ＝1时，左边＝21＋1＝4＝12＋1＋2＝4＝右边，不等式成立．6 答案：证明：0＜a ＜1，令m a n =，1≤m ＜n ，其中m ，n 为正整数，则由平均值不等式， 得(1)(1)a m x x n+=+ ＝(111m n m x x x x x -(+)(+)⨯⨯(+)⨯个1=1+1m x n m mx n m x ax n n n(+)+(-)+≤==+， 当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立．7 答案：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立， 即111<2k++ 则当n＝k ＋1时，左边k +++= =． 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)、(2)得原不等式对n ∈N ＋成立．8 答案：证明：(1)当n ＝2时，2211125211234122S =+++=>+， 即n ＝2时命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即2111112322k k k S =++++>+． 当n ＝k ＋1时， +112111111232212k k k k S +=++++++++ 211111221222k k k k k +>+++++++ 211111222222k k k k k k +>++=++=++． 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)、(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，21+2n n S 成立．。

课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

数学归纳法练习1用数学归纳法证明“对一切n ∈N ＋,都有2n ＞n 2－2”这一命题，证明过程中应验证( ）．A ．n ＝1时命题成立B ．n ＝1，n ＝2时命题成立C ．n ＝3时命题成立D ．n ＝1，n ＝2,n ＝3时命题成立 2某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立,那么可推得（ )．A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题成立D ．当n ＝4时,该命题不成立3已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n （na －b ）＋c 对一切n ∈N ＋成立,则a ，b ，c 的值为（ ）．A ．12a =，14b c == B ．14a b c ===C ．a ＝0，14b c ==D ．不存在这样的a ，b ，c4猜想1＝1，1－4＝－（1＋2），1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为__________．5已知()111123f n n =++++ (n ∈N ＋)，用数学归纳法证明()22nn f ＞时,f (2k ＋1)－f (2k )等于__________．6设平面内有n 条直线（n ≥3）,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线的交点的个数，则f （4）＝______;当n ＞4时，f （n )＝______（用n 表示）．7证明：凸n 边形的内角和f （n )＝(n －2）·180°(n ≥3)．8设数列{a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．(1）求a 1，a 2；（2)猜想数列｛S n ｝的通项公式，并给出严格证明．参考答案1答案：D 假设n ＝k 时命题成立，即2k ＞k 2－2，当n ＝k ＋1时,2k ＋1＝2·2k ＞2·（k 2－2）．由2(k 2－2)≥（k ＋1）2－2⇔k 2－2k －3≥0⇔（k ＋1)(k －3)≥0⇔k ≥3．因此需验证n ＝1，2，3时命题成立．2 答案：D 依题意，n ＝4时,该命题成立，则n ＝5时,该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，却无法判断n ＝6时该命题成立还是不成立．故选D ．3答案：A ∵等式对任意n ∈N ＋都成立,∴当n ＝1，2,3时也成立．即2231=3(),1233(2),123333(3).a b c a b c a b c -+⎧⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩解得1,21.4a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩4 答案：1－4＋9－…＋(－1）n －1n 2＝(－1)n －1（1＋2＋3＋…＋n )5 答案：111121222k k k ++++++ ∵1111111(2)1232212222k k k k k k f =+++++++++++＋， 111(2)1232k k f =++++， ∴11111(2)(2)21222k k k k k f f +-=+++++＋． 6 答案：5 1(1)(2)2n n +- f (3)＝2，f （4）＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f （4）－f （3)＝3,f （5）－f (4)＝4，…，f (n ）－f (n －1)＝n －1． 累加，得()31()(3)341(3)2n f n f n n +(-)-=+++-=-， ∴1()=(1)(2)2f n n n ++． 7 答案：证明：（1）当n ＝3时，f （3）＝180°，(3－2)×180°＝180°,命题成立．(2)假设当n ＝k （k ∈N ＋,k ≥3）时，命题成立，即凸k 边形的内角和f （k ）＝(k －2)·180°．当边数为（k ＋1)时,如图，把（k ＋1)边形分割为一个k 边形和△A 1A k A k ＋1，因此凸(k ＋1）边形的内角和为凸k 边形内角和加上△A 1A k A k ＋1的内角和．∴f (k ＋1)＝f （k ）＋180°＝(k －2)·180°＋180°＝［(k ＋1)－2]·180°．∴当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1）(2)，得n ≥3时，凸n 边形的内角和为f （n )＝(n －2)·180°． 8 答案：分析：第（1）题中代入n ＝1和n ＝2即可求出．在第(2)题中先根据前n 项猜出通项,再利用数学归纳法给予证明．解：（1）当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0的一根为S 1－1＝a 1－1，代入，得(a 1－1）2－a 1(a 1－1)－a 1＝0,解得112a =． 当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为22112Sa -=-． 于是2222211=022a a a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得216a =． (2）由题设(S n －1)2－a n （S n －1）－a n ＝0，即22+1=0n n n n S S a S --．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式，得S n －1S n －2S n ＋1＝0．①由(1），得1112S a ==，212112263S a a =+=+=． 由①可得334S =．。

1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4解析：选C.当n ＝1时左边有2×1＋1＝3项，∴左边所得的代数式为1＋2＋3.2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n ·(n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选C.边数最少的凸n 边形是三角形．3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”时，从k 到k ＋1左边需增加的代数式为( )A ．2k －2B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：选D.等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”中，当n ＝k 时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)，当n ＝k ＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)，∴从k 到k ＋1左边需增加的代数式为2k ＋1.4．用数学归纳法证明：“当n 为奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，在归纳假设中，假设当n ＝k 时命题成立，那么下一步应证明n ＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2.∴n ＝k ＋2.答案：k ＋25．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程中的第二步n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2< k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析：选D.从k 到k ＋1的推理过程中未使用归纳假设，证明方法错误．6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3，且展开式中除k 3以外的各项和也能被3整除．7．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( )A.π2 B ．πC ．2πD.32π 解析：选B.n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π.8．某个命题：(1)当n ＝1时，命题成立(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时成立，可以推出n ＝k ＋2时也成立，则命题对________成立( )A ．正整数B ．正奇数C ．正偶数D ．都不是解析：选B.由题意知，k ＝1时，k ＋2＝3；k ＝3时，k ＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立，故选B.9．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.∵a 1＝13， 由S n ＝n (2n －1)a n ，得a 1＋a 2＝2(2×2－1)a 2，解得a 2＝115＝13×5， a 1＋a 2＋a 3＝3×(2×3－1)a 3，解得a 3＝135＝15×7， a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4(2×4－1)a 4，解得a 4＝163＝17×9. 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 10．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．解析：∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”，∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1.答案：1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－111．用数学归纳法证明12＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α＝1sin α·sin 2n ＋12α·cos 2n －12α(α≠n π，n ∈N)，在验证n ＝1等式成立时，左边计算所得的项是________．解析：由等式的特点知：当n ＝1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n －1)α，故左边计算所得的项是12＋cos α. 答案：12＋cos α 12．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋…＋n ·(3n ＋1)＝n (n ＋1)2(n ∈N ＋)．证明：(1)n ＝1时，左边＝1×(3×1＋1)＝4，右边＝1×(1＋1)2＝4，左边＝右边．(2)假设n ＝k (n ∈N ＋)时，命题成立，即：1×4＋2×7＋…＋k ·(3k ＋1)＝k ·(k ＋1)2当n ＝k ＋1时，左边＝1×4＋…＋k ·(3k ＋1)＋(k ＋1)·(3k ＋4)＝k ·(k ＋1)2＋(k ＋1)·(3k ＋4)＝(k ＋1)[k (k ＋1)＋3k ＋4]＝(k ＋1)·(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)·(k ＋2)2.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知：对n ∈N ＋，1×4＋2×7＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.13．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，试推测出a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：∵S 1＝a 1，∴a 1＝12(a 1＋1a 1)， 解得正数a 1＝1；∵a 1＋a 2＝S 2＝12(a 2＋1a 2)， ∴2＋a 2＝1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0， 解得a 2＝2－1；∵S 2＋a 3＝S 3，即2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)， ∴a 23＋22a 3－1＝0，解得a 3＝3－ 2. 观察a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－2， 猜想a n ＝n －n －1.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，由以上知猜想式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，猜想式成立， 即a k ＝k －k －1.由S k ＋a k ＋1＝S k ＋1，有12(a k ＋1a k )＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)， 即12(k －k －1＋1k －k －1)＋a k ＋1 ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)． 亦即2k ＋a k ＋1＝1a k ＋1，a 2k ＋1＋2k ·a k ＋1－1＝0， 解得正数a k ＋1＝k ＋1－k即当n ＝k ＋1时，猜想式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意自然数猜想式a n ＝n －n －1成立．。

3.2数学归纳法的应用课后篇巩固探究A组1.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)3<1+3xB.(1+x<1+xC.(1+x)-2<1-2xD.(1+x<1+x解析:由贝努利不等式可得D项正确.答案:D2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6答案:C3.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时有<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从n=k到n=k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析:证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设<k+1.答案:A4.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于.解析:f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.答案:+…+5.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为.答案:x+≥n+1(n为正整数)6.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.解析:对比n=k与n=k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.答案:7.用数学归纳法证明不等式1++…+<2(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即1++…+<2.则当n=k+1时,1++…+<2=2.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.8.导学号35664046已知数列{a n}满足:a1=,且a n=---(n≥2,n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…a n<2n!恒成立.(1)解将条件变为1----,因此数列-为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,因此得a n=-(n≥1,n∈N+).①(2)证明由①得a1a2…a n=---.为证明a1a2…a n<2n!,只要证明当n∈N+时,有--×…×-.②显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有--×…×-≥1-.③下面用数学归纳法证明③式:(ⅰ)当n=1时,显然③式成立,(ⅱ)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,③式成立,即--×…×-≥1-,则当n=k+1时,--×…×--≥--=1-≥1-.即当n=k+1时,③式也成立.故对一切n∈N+,③式都成立.利用③,得--×…×-≥1-=1---=1--.故原不等式成立.B组1.用数学归纳法证明+…+-(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为()A.1B.2C.3D.4解析:当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0为2.答案:B2.已知a1=1,a n+1>a n,且(a n+1-a n)2-2(a n+1+a n)+1=0,先计算a2,a3,再猜想a n等于()A.nB.n2C.n3D.答案:B<n(n∈N+,且n>1),第一步要证的不等式3.用数学归纳法证明1++…+-是.=1+,右边=2,故填1+<2.解析:当n=2时,左边=1+-答案:1+<24.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=a n+na n-1b,则M,N的大小关系为. 提示利用贝努利不等式令解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,则>1+n·,所以>1+n·,即(a+b)n>a n+na n-1b.当n=1时,M=N.故M≥N.答案:M≥N5.导学号35664047已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=-1,且a n>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3,并猜想{a n}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.(1)解当n=1时,由已知得a1=-1,即+2a1-2=0.∴a1=-1或a1=--1(舍去).当n=2时,由已知得a1+a2=-1,将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.∴a2=或a2=-(舍去).同理可得a3=.由a1,a2,a3,猜想a n=-(n∈N+).(2)证明①由(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.②假设当n=k(k>3,k∈N+)时,通项公式成立,即a k=-.则当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k=,将a k=-代入上式并整理得+2a k+1-2=0,解得a k+1=或a k+1=-(舍去).即当n=k+1时,通项公式也成立.由①②可知,对所有n∈N+,a n=-都成立.6.导学号35664048设数列{a n}满足a1=0,a n+1=c+1-c,n∈N+,其中c为实数. (1)证明:a n∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1];(2)设0<c<,证明:a n≥1-(3c)n-1,n∈N+.证明(1)必要性:∵a1=0,∴a2=1-c.∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1].充分性:设c∈[0,1],对n∈N+用数学归纳法证明a n∈[0,1].当n=1时,a1=0∈[0,1].假设a k∈[0,1](k∈N+,k≥1),则a k+1=c+1-c≤c+1-c=1,且a k+1=c+1-c≥1-c≥0,故a k+1∈[0,1].由数学归纳法,知a n∈[0,1]对所有的n∈N+成立.综上可得,a n∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1].(2)设0<c<,当n=1时,a1=0,结论成立.当n≥2时,∵a n=c-+1-c,∴1-a n=c(1--)=c(1-a n-1)(1+a n-1+-).∵0<c<,由(1)知a n-1∈[0,1],∴1+a n-1+-≤3,且1-a n-1≥0.∴1-a n≤3c(1-a n-1).∴1-a n≤3c(1-a n-1)≤(3c)2(1-a n-2)≤…≤(3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1.∴a n≥1-(3c)n-1(n∈N+).。

§3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法课后篇巩固探究A组1.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式为()A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4解析:当n=1时左边有2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.答案:C2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k≥1且为奇数)时命题为真,则还需证明()A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2(k+2)时命题成立解析:因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立,又k的下一个奇数是k+2,故选B.答案:B3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n 2+1)时,由n=k(k≥1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是()A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)[2(k+1)2+1]解析:当n=k(k≥1)时,左边为12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.答案:B4.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N+,n≥1)时,命题成立,即3(2+7k)能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除,即当k=n+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N+都成立.答案:D5.用数学归纳法证明:1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n,第一步应验证的等式是.解析:当n=1时,等式的左边为1-12=12,右边=12,所以左边=右边.答案:1-12=126.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为. 解析:由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.答案:f(n)+n-17.若s(n)=1+12+13+…+13n-1(n∈N+),则s(5)-s(4)=.解析:依题意,s(5)=1+12+13+…+114,s(4)=1+12+13+…+111,于是s(5)-s(4)=112+113+114.答案:112+113+1148.已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被36整除,结论成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,结论成立,即f(k)=(2k+7)×3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9=(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).因为3k-1-1(k∈N+,k≥2)是2的倍数,所以18(3k-1-1)能被36整除,即当n=k+1时,结论也成立.根据(1)和(2),可知对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)×3n+9能被36整除.9.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·n(n+1)2(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×1×(1+1)2=1,左边=右边,等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·k(k+1)2.则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k (k+1)·[(k +1)-k 2]=(-1)k ·(k+1)[(k+1)+1]2. 因此当n=k+1时,等式也成立,根据(1)(2)可知,对于任何n ∈N +等式成立.10.导学号35664042已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2+2a n =4S n .(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4的值,并猜想数列{a n }的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.解(1)当n=1时,a 12+2a 1=4S 1,即a 12+2a 1=4a 1,即a 12-2a 1=0,解得a 1=2(a 1=0舍去);当n=2时,a 22+2a 2=4S 2,即a 22+2a 2=4(2+a 2),即a 22-2a 2-8=0,解得a 2=4(a 2=-2舍去);当n=3时,a 32+2a 3=4S 3,即a 32+2a 3=4(2+4+a 3),即a 32-2a 3-24=0,解得a 3=6(a 3=-4舍去);当n=4时,a 42+2a 4=4S 4,即a 42+2a 4=4(2+4+6+a 4),即a 42-2a 4-48=0,解得a 4=8(a 4=-6舍去).由以上结果猜想数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N +).(2)下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N +).①当n=1时,a 1=2,由(1)知,结论成立.②假设当n=k (k ∈N +)时,结论成立,即a k =2k ,这时有a k 2+2a k =4S k ,即S k =k 2+k.则当n=k+1时,a k+12+2a k+1=4S k+1,即a k+12+2a k+1=4(S k +a k+1),所以a k+12-2a k+1=4k 2+4k ,解得a k+1=2k+2=2(k+1)(a k+1=-2k 舍去).故当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,结论对任意n ∈N +都成立.B 组1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1(n ∈N +)”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( )A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23 解析:当n=1时,左边为1+2+22+23. 答案:D2.设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为f (k ),则f (k+1)与f (k )的关系是( )A.f (k+1)=f (k )+k+1B.f (k+1)=f (k )+k-1C.f (k+1)=f (k )+kD.f (k+1)=f (k )+k+2解析:当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l ,则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k ),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点).又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f (k )+k=f (k+1).答案:C3.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n (na-b )+c 对一切n ∈N +都成立,则a ,b ,c 的值为( )A.a=12,b=c=14B.a=b=c=14C.a=0,b=c=14D.不存在这样的a ,b ,c解析:由于该等式对一切n ∈N +都成立,不妨取n=1,2,3,则有{1=3(a -b )+c ,1+2×3=9(2a -b )+c ,1+2×3+3×32=27(3a -b )+c ,解得a=12,b=c=14.答案:A4.在数列{a n }中,a 1=13,且S n =n (2n-1)a n (n ∈N +),通过求a 2,a 3,a 4,猜想a n 的表达式为 .解析:由a 1=13,S n =n (2n-1)a n 求得a 2=115=13×5,a 3=135=15×7,a 4=163=17×9. 猜想a n =1(2n -1)(2n+1)(n ∈N +).答案:a n =1(2n -1)(2n+1)(n ∈N +)5.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =3n-1+a n-1(n ≥2).(1)求a 2,a 3;(2)证明:a n =3n -1(n ∈N +). (1)解由a 1=1,得a 2=3+1=4,a 3=32+4=13.(2)证明①当n=1时,a 1=1=31-12.故命题成立.②假设当n=k (k ≥1)时命题成立,即a k =3k -12.那么当n=k+1时,a k+1=a k +3k =3k -12+3k=3k -1+2·3k 2=3k+1-12, 即当n=k+1时,命题也成立.由①②知,命题对n ∈N +都成立,即a n =3n -12(n ∈N +). 6.导学号35664043设a n =1+12+13+ (1)(n ∈N +),是否存在关于n 的整式g (n ),使得等式a 1+a 2+a 3+…+a n-1=g (n )·(a n -1)对大于1的一切自然数n 都成立?证明你的结论. 解假设g (n )存在,则当n=2时,a 1=g (2)(a 2-1),即1=g (2)(1+12-1),故g (2)=2.当n=3时,a 1+a 2=g (3)(a 3-1),即1+(1+12)=g (3)(1+12+13-1), 故g (3)=3.当n=4时,a 1+a 2+a 3=g (4)(a 4-1),即1+(1+12)+(1+12+13) =g (4)(1+12+13+14-1),故g (4)=4.由此猜想g (n )=n (n ≥2,n ∈N +).下面用数学归纳法证明当n ≥2,n ∈N +时,等式a 1+a 2+…+a n-1=n (a n -1)成立.(1)当n=2时,a 1=1,g (2)(a 2-1)=2×(1+12-1)=1,结论成立.(2)假设当n=k (k ∈N +,k ≥2)时结论成立,即a 1+a 2+…+a k-1=k (a k -1)成立.那么当n=k+1时,a 1+a 2+…+a k-1+a k =k (a k -1)+a k =(k+1)a k -k=(k+1)a k -(k+1)+1=(k+1)·(a k +1k+1-1)=(k+1)(a k+1-1),说明当n=k+1时,结论成立. 由(1)(2)可知,对一切大于1的自然数n ,存在g (n )=n ,使等式a 1+a 2+…+a n-1=g (n )(a n -1)成立.由Ruize收集整理。

一、选择题1．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．20212．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ） A ．3B ．6C ．9D ．273．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A1 BC1D5．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e e +的最大值为（ ） A．3BC．D．6．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．07．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．408．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( ) A．B ．4C ．12D ．69．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4710．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C ．33D ．311．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=（ ）A ．14B ．13C ．12D ．3412．设a 、b 、c 、x 、y 、z 是正数，且22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝，则＝( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++ (n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________. 14．函数2223y x x =--_______.15．若231x y z +=，则222x y z ++的最小值为__________ 16．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______．17．设向量(,)a b α=，(,)c d β=，其中a ，b ，c ，d R ∈，由不等式||||||⋅≤αβαβ恒成立，可以证明柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ≥+++（当且仅当k αβ=，即ad bc =时等号成立）．已知x ，y R +∈3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围为________________． 18．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________．19．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 20．若,,,(0,)a b c d ∈+∞，2222,a b c d a b c dx ++=++=，则x 的取值范围为_____．三、解答题21．已知函数()3f x k x =--，k ∈R ，且()30f x +≥的解集为[]1,1-. （1）求k 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且111123ka kb kc++=，求证：239a b c ++≥. 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++． （1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+． 23．已知函数()46f x x x =-+-． （1）求不等式()6f x ≥的解集； （2）设()f x 的最小值为m ，且()114,,0m a b c a b c++=>，证明：8a b c ++≥． 24．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 25．已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥.26．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b cb c a++=，求证：3a b c ++≤．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-，取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()122224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．2．A解析：A 【分析】利用条件构造柯西不等式22222221(3)()[1()1]492z x y z x y ++++≤++，即可求出结论.【详解】根据柯西不等式可得：222222219(23)()[1()1]994244x y x y z z ++≤+=⨯+++=33x y z ∴++≤，当且仅当43x y z ==，即414,,339x y z ===时，等号成立. 故选:A. 【点睛】本题考查应用柯西不等式求最值，属于基础题.3．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解． 【详解】由柯西不等式得，对任意实数11221212,,,,0x y x y x x y y +-≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ， 其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0， 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点． 对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数． 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放22x y +的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++()()222222112ac x y x y ≤++=++取等号条件：ay cx =； 令22OB x y d =+=，则212d d ≤+，得21d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.5．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11(11)([()(]e e e e ⨯+≤++, 即12132422e e +≤⨯=当且仅当12113e =即122e =,26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.6．B解析：B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．7．B解析：B 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.8．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x ≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．C解析：C 【解析】 由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ． 10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．C解析：C 【解析】 由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立，2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++=∴等号成立 111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++ 故答案选C12．C解析：C 【解析】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋, 当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立∵22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝∴()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋中等号成立，∴一定有：111222a b cx y z ==，∴12a b c x y z === 则12a b c x y z ++=++ 故选C二、填空题13．增加【分析】先写出当n=k 时左边的代数式再写出当n=k+1时左边的代数式相减即可得出结果注意分母及项数的变化【详解】假设n=k 时不等式成立即+…+则当n=k+1时不等式左边=+…+=+…+=+…+=解析：增加112122k k -++ 【分析】先写出当n=k 时左边的代数式，再写出当n=k+1时左边的代数式，相减即可得出结果，注意分母及项数的变化 【详解】假设n=k 时，不等式成立，即1112k k ++++…+113224k >， 则当n=k+1时，不等式左边=11(1)1(1)2k k ++++++…+1112212(1)k k k ++++=1123k k ++++…+11122122k k k ++++ =1112k k ++++…+1111221221⎛⎫++- ⎪+++⎝⎭k k k k=1112k k++++…+11122122k k k+-++.故答案为：增加11 2122 k k-++【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，解题的关键是随着项的变化代数式的变化，属于中档题. 14．【分析】拆解函数利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】∵当且仅当即时等号成立∴函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用属于基础题【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值．【详解】∵y==111++53x=时等号成立，∴函数y【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．15．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题解析：18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323x y z x y z，然后通过化简即可得出结果.【详解】根据柯西不等式可得222222212323x y z x y z，因为21x y+=，所以22218x y z，当且仅当23y zx时取等号，故答案为:18. 【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233aa ab b b a b a b a b ++++≥++，考查计算能力，是简单题.16．【分析】由二维柯西不等式即可得解【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x ＋4y)2当且仅当3y ＝4x 时等号成立∴25×10≥(3x ＋4y)2即∴(3x ＋4y)max ＝5故答案为：5【点睛】【分析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2，即34x y -≤+≤ ∴(3x ＋4y )max ＝.故答案为： 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题.17．【解析】因为所以所以因为恒成立所以故实数的取值范围为解析：)+∞【解析】因为()()()22222a bc d ac bd ++≥+，所以()()22213x y ≤++，所以≤x ，y R +∈恒成立，所以k >．故实数k 的取值范围为)+∞．18．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1 解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u vu vxy ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v++≥,当且仅当u=v=2，即2x =±，0y =或0x =，2y =±时，2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1.19．【解析】试题分析：因为所以得当且仅当即时有最小值考点：柯西不等式 解析：14449【解析】试题分析：因为1a b c R a b c +∈++=，，，，所以()()22221111114912344923a b c a b c ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++++≥++⋅+⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，得()22214414949a b c +++≥．当且仅当，即23187,,494949a b c ===时，()222149a b c +++有最小值14449． 考点：柯西不等式．20．【分析】根据题意两边同除d 用换元法重新构造变量再利用柯西不等式以及放缩法即可求出取值范围【详解】∵abcd 都是正数a2+b2+c2＝d2∴；又∵a+b+c ＝dx ∴x ＝设＝m ＝n ＝p 且m ＞0n ＞0p ＞ 解析：(3【分析】根据题意，两边同除d ，用换元法重新构造变量，再利用柯西不等式以及放缩法即可求出取值范围． 【详解】∵a ，b ，c ，d 都是正数，a 2+b 2+c 2＝d 2，∴2221a b c d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又∵a +b +c ＝dx ，∴x ＝a b c d d d++设a d＝m ，bd ＝n ，c d ＝p ，且m ＞0，n ＞0，p ＞0，则m 2+n 2+p 2＝1， x ＝m +n +p ；由柯西不等式得：3＝（12+12+12）•（m 2+n 2+p 2）≥（1•m +1•n +1•p ）2，∴m +n +p 2221m n p m n p ==⎧⎨++=⎩，即m ＝n ＝p ＝3时，取得最大值又∵m ＞0，n ＞0，p ＞0，∴（m +n +p ）2＝m 2+n 2+p 2+2mn +2mp +2np ＞m 2+n 2+p 2＝1， ∴m +n +p ＞1；综上，1＜m +n +p x 的取值范围是（1．故答案为（1． 【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了换元法以及不等式放缩法的应用问题，是综合性题目．三、解答题21．（1）1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）将3x +带入()3f x k x =--，由()30f x +≥可得x k ≤，然后绝对值不等式的解集确定k 的值； （2）结合（1）可得111123a b c++=，然后利用柯西不等式进行证明即可. 【详解】解：（1）因为()3f x k x =--， 所以()30f x +≥等价于x k ≤，由x k ≤有解，得0k ≥，且x k ≤解集为[],k k -. 因为()30f x +≥的解集为[]1,1-. 因此1k =.（2）证明：将（1）中所得1k =带入可知知：111123a b c++=， 因为a ，b ，c 为正实数， 所以由柯西不等式得：()21112323923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立.. 【点睛】本题的难点在于（2）的证明，证明时可利用柯西不等式，设1a ，2a ，3a ，，n a ，1b ，2b ，3b ，，n b 为实数，则有：()()()222222222123123112233n n n n aa a ab b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，当且仅当()01,2,3,,i b i n ==或存在一个数k 使得()1,2,3,,i i a kb i n ==时，等号成立.22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证. 【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----， 解得2x 或02x <或23x -， 综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112ab c =-=+时，上式取得等号． 又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++， 即824a b c --+． 即得证. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）(][),28,-∞⋃+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）根据绝对值不等式求出m ，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】（1）由()6f x ≥，得4,1026x x ≤⎧⎨-≥⎩或46,26x <<⎧⎨≥⎩或6,2106,x x ≥⎧⎨-≥⎩解得2x ≤或8x ≥，故所求不等式的解集为(][),28,-∞⋃+∞．（2）证明：因为()()46462f x x x x x =-+-≥---=， 所以2m =．因为,,0a b c >，所以()()211141112822a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当114a b ca b c==，即22c a b ===时，等号成立， 故8a b c ++≥． 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属于基础题. 24．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14.【分析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果. 【详解】 （1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当12x <-时，1351(2)2,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，15(2)22x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立，当2x >时，135(2)2,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M xx ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ （2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即111423a b c++=. 又因为2 212111119934993234334 a b c a b ca b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c++的最小值14，当且仅当34a=，38b=，14c=时取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.25．（1）()(),04,-∞+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分0x<，03x<≤，3x>三类解不等式，再求并集即可；（2）根据三角不等式得3M=，再利用三维形式的柯西不等式证明即可.【详解】∵f（x）＝|x|+|x﹣3|，∴当x＜0时，()5xf xx＞等价于|x|+|x﹣3|＞﹣5，该不等式恒成立；当0＜x≤3时，()5xf xx＞等价于3＞5，该不等式不成立；当x＞3时，()5xf xx＞等价于3235xx⎧⎨-⎩＞＞，解得x＞4，∴不等式()5|xf xx＞的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）．（2）证明：∵f（x）＝|x|+|x﹣3|≥|x﹣（x﹣3）|＝3，当且仅当0≤x≤3时取等号，∴M＝3，a+2b+2c＝3，由柯西不等式，可得9＝（a+2b+2c）2≤（12+22+22）（a2+b2+c2）＝9（a2+b2+c2），当且仅当111366a b c===，，时等号成立，∴2221a b c++≥．【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，利用柯西不等式证明不等式，考查数学运算能力，是中档题.26．见解析【分析】利用柯西不等式证明出()()2222a b cb c a a b cb c a⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c++≤.【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()22a b c ≥=++， 所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.。