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第二章 信号分析基础

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第2章 信号分析基础 题库-答案

第2章 信号分析基础 题库-答案

（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）

(3)第2章 信号分析基础

(3)第2章 信号分析基础

2.3 非周期信号与连续频谱
•
图2-5 非周期信号
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3.1傅立叶变换
• 当周期T趋于无穷大时，相邻谱线的间隔 趋 近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱 。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小， 不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系 。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密 度的概念。令
• 对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得 的信号功率相等。
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3 非周期信号与连续频谱 • 非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两种，其频谱
各有独自的特点：周期信号的频谱具有离散性，各谐波分 量的频率具有一个公约数——基频。但几个简谐具有离散 频谱的信号不一定是周期信号。只有各简谐成分的频率比 是有理数，它们才能在某个时间间隔后周而复始，合成的 信号才是周期信号。若各简谐信号的频率比不是有理数， 合成信号就不是周期信号，而是准周期信号。因此准周期 信号具有离散频谱，例如多个独立激振源激励起某对象的 振动往往是这类信号对于瞬态信号，不能直接用傅立叶级 数展开，而必须应用傅立叶变换的数学方法进行分解。
第2章 信号分析基础
2.1 信号的分类与描述
• 2.1 信号的分类与描述
• 2.1.1 信号的分类
• 信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。以信 号所具有的时间函数特性分类，信号主要分为确定性信号 与随机信号、连续信号与离散信号等。
• 1. 确定性信号与随机信号
• 确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信 号。确定性信号根据它的波形是否有规律地重复又可进一 步分为周期信号和非周期信号两种。
•
（2-21） F( j) lim Fn T 1 / T

第二章信号分析基础(频谱)

第二章信号分析基础(频谱)

（1）
A0 a0
An
an bn
2
2
bn n arctg an
周期信号的频谱分析
西安工业大学机电学院
复指数形式： 将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
e j e j cos 2
则：

e j e j sin 2j
带入并合并同类项
a0 an jbn jn0t an jbn jn0t f (t ) [ e e ] 2 n 1 2 2 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t e e 2 n 1 2 2 n 1 an jbn jn0t e Cn e jn0t 2 n n
则：c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质 c.对称性
西安工业大学机电学院
若 x(t) ←→ X(f)，则 X(t) ←→ x(-f)
证明： 以－t替换t: 以f换t: 所以：
x(t )
∴当T0→∞时，Δω→0 上式变为：
T / 2
0
T0 / 2
f (t )e jn0t dt ]e jn0t
f (t )
＋

1 ＋ [ f (t )e jt dt ]e jt d 2
1 ＋ jt F e d 2
西安工业大学机电学院


X ( f )e j 2ft df X ( f )e j 2ft df
x(t )


x( f ) X (t )e j 2ft dt

工程测试技术 第2章 信号分析基础-3

工程测试技术 第2章 信号分析基础-3

第二章、信号分析基础
Page 2 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 25 华中科技大学机械学院
吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 26 华中科技大学机械学院
N=1
2.5 信号的频域分析
Page 27 华中科技大学机械学院
用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
Page 9 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析

【复习笔记】信号分析基础

【复习笔记】信号分析基础

第二章 信号分析基础1、信号分析中常用函数包括：δ函数、sinc(t)函数、复指数函数e st① δ函数具有“抽样（乘积）、筛选（积分）、卷积”特性，其拉氏变换和傅氏变换的值均为1。

② 卷积特性的表达式为)()()()()(t f d t f t t f =-=*⎰+∞∞-ττδτδ，τ为两信号之间的时差。

③ sinc(t)函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数，分别对应其用处：闸门（或抽样）、低通滤波、采样信号复原时sinc(t)函数叠加构成非采样点波形。

④ 复指数函数e st 中出现的“负频率”是与负指数相关联的，是数学运算的结果，并无确切的物理含义。

2、一个信号不能够在时域或频域都是有限的。

3、信号的时域统计分析：均值x μ、均方值ψ2x 、方差σ2x 。

三者具有如下关系：2x2x 2x μσψ+= 式中，ψ2x （又称平均功率，平均能量的一种表达）表达了信号的强度； σ2x 描述了信号的波动量； μ2x 描述了信号的静态量。

4、各态历经过程：此过程中的任一个样本函数x(t)都经历了过程的各种状态，从它的一个样本函数x(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。

5、相关函数的性质：① 自相关函数R x (τ)是τ的偶函数，满足：)()(ττ-=x x R R 。

② 互相关函数R xy (τ)是τ的非奇非偶函数，满足：)()(ττ-=yx xy R R 。

③ 当τ=0时，自相关函数具有最大值。

对于功率信号，若均值μx =0，则在τ=0点处，有ψ2x =σ2x =R x (τ)。

④ 周期信号的R x (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。

⑤ 两周期信号（同频）的R xy (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。

⑥ 两个不同频的周期信号互不相关，其互相关函数R xy (τ)=0。

⑦ 随机信号的R x (τ)将随|τ|值增大而很快趋于0。

有限带宽白噪声信号的R x (τ)是一个sinc(τ)型函数，即可说明。

第二章信号分析基础

第二章信号分析基础
50Hz正弦波信号波形
第二章信号分析基础
机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。 例如，下图是某钢厂减速机上测得的振动信号波形(测点3)，可以近似的 看作为周期信号:
某钢厂减速机振动测点布置图
第二章信号分析基础
测点３振动信号波形
第二信号分析基础
非周期信号是不会重复出现的信号。例如，锤子的敲击力；承载缆 绳断裂时应力变化；热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，这些信号 都属于瞬变非周期信号，并且可用数学关系式描述。例如，下图是单自 由度振动模型在脉冲力作用下的响应。
单自由度振动模型脉冲响应信号波形
第二章信号分析基础
准周期信号是周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成 的，但各周期信号的频率相互间不是公倍关系，其合成信号不满足周期 条件，例如 是两个正弦信号的合成，其频率比不是有理数，不成谐波关 系。下面是其信号波形：
准周期信号sin(t)+sin(1.41t)波形
信号的分类描述
第二章信号分析基础
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： x ( t ) = x ( t + nT )
式中，T——周期，T=2π/ω0；ω0——基频；n=0,±1, …。 例如，下面是一个50Hz正弦波信号10sin(2*3.14*50*t)的波形，信号
周期为：1/50=0.02秒:
第二章信号分析基础
离散时间信号
2.1.5 物理可实现信号
物理可实现信号又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t) = 0， 即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。
第二章信号分析基础
在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反 映了物理上的因果律．实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉 冲作用于一个物理系统之后所输出的信号．例如，切削过程，可以把机 床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点 或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系 统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。

信号分析基础


t0
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连
续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r
t
t
0
s ht d
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶 变换将时间变量变换为频率变量去进行分析， 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析 法。频域是最常用的一种变换域。
③两信号错开一个时间间隔0处相关程 度有可能最高，它反映两信号x(t)、y（t) 之间主传输通道的滞后时间。
五、相关分析应用
1、影像相关原理
影像相关是利用互相 关函数，评价两块影 像的相似性以确定同 名点 。
示意图
目 标 区
同名点
互相 关函 数
搜 索 区
相似程 度
影像匹配---同名点寻找
2、电子相关
个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时
间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的
函数值。 lim f (t ) lim f (t )
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成 分的正弦波之和。
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
R( ) lim 1
T
x(t)x(t )dt
T 2T T
lim 1
T
x(t )x(t)dt
T 2T T
lim
T
1 2T
T T
x(t)x(t )dt
lim 1
T
x(t)x(t )dt R( )

第二章 信号分析基础

n1
cos n0t
bn sin n0t
x(t) a0
2


n 1
An sin(n 0t n )

x(t) cne jn0t n
(n 0, 1, 2, ....)
an
AnT2
ห้องสมุดไป่ตู้
T
2 T 2
axn(t2) cobsnn20tdt
bntgT2n T2T2abnnx(t) sin n0tdt
截断信号等都属连续时间信号。
（2）离散时间信号
离散时间信号是在所讨论的时间区间内，在特定的不 连续的瞬时所给出函数值。
当我们间隔取值时，函数的图形是分离的：
xs (t) x(t)
Ts 0
Ts
t
所以称为离散时间信号又称为时域离散信号或时间序列。 离散时间信号可分为两种情况：
时间离散而幅值连续时，称为采样信号；
70
0 0
3 0 5 0
70
三 信号的时域统计分析
（1）．均值
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值，
用μx表示。
x

Ex(t) lim 1
T T
T 0
x(t)dt

x

1 T
T
x(t)dt
0

x

1 N
N 1
xi
i 1
均值表达了信号变化的中心趋势， 或称之为直流分量。
an2 bn2
n
cn
arctg cnI cnR
2
an
cn

T1 T
T
2 T
2
T

工程测试技术基础 第二部分 信号分析基础

a)能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称
为能量信号，满足条件：
x2 (t)dt
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
瞬态信号
2.1 信号的分类与描述
b)功率信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值．此时，
研究信号的平均功率更为合适。
T
lim

数学期望，称为相关性，表征了x、y之间其的中一关个联可程以度测。量的量
cxy xy x y
E[(xx )( y的 的y )变变] 化化来。表示另一个量
E[(xx )2 ]E[( y y )2 ]1/ 2
y
y
y
y
x
x
xy 1
xy 1
x
0 xy 1
b) sinc 函数
sin c(t) sin t , or, sint , ( t )
t
t
性质：
波形
偶函数；
闸门(或抽样)函数；
滤波函数；
内插函数。
2.1 信号的分类与描述
c) 复指数函数
est et e jt
t
et cost et sint ; s j
瞬态信号
瞬态信号:持续时间有限的信号，如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)
2.1 信号的分类与描述
c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化 不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
2.1 信号的分类与描述 2 能量信号与功率信号
（3）卷积特性

f (t) * (t) f ( ) (t )d f (t)

第2章 信号分析基础


以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称 为频域分析。 频域分析法(frequency-domain description)：
– 对于连续系统和信号来说，常采用傅里叶变换和拉普拉斯变换； – 对于离散系统和信号则采用Z变换。
Signal Analysis
2.1 信号的分类及其基本参数


Signal Analysis
例1 计算：
2.1 信号的分类及其基本参数
(1) cost δ(t);
(3)
(2) (t-1)δ(t)；

5
5
(t 2t 1) (t ); (4)
2

5
5
(t 2 2t 1) (t 6)dt
解： (1) costδ(t)=δ(t)， 因为cos0=1。 (2) (t-1)δ(t)=-δ(t)， 因为(t-1)|t=0=-1。



2
1 T P lim 2T | f (t ) |2 dt T T 2
若信号f (t)的能量有界，即E <∞ ,则称其为能 量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。
若信号f (t)的功率有界，即P <∞ ,则称为功率有限 信号，简称功率信号，此时E = ∞。
能量信号 信号 功率信号
本课程讨论电信号---简称“信号”
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Signal Analysis
2.1 信号的分类及其基本参数
一、信号的描述 (description of signal) —— 时域描述
f(t)
1
0 f t t e
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第二章 信号分析基础
（一）填空题
1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来
传输的。

这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。

2、 信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为
独立变量。

3、 周期信号的频谱具有三个特
点： ， ， 。

55页
4、 非周期信号包括 准周期 信号和 瞬变非周期 信号。

5、 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。

6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 偶 对称，虚频谱（相频谱）总是 奇
对称。

7、信号x(t)的均值μx 表示信号的 直流 分量，方差2x σ描述信号的 波动量 。

7、 当延时τ＝0时，信号的自相关函数R x (0)= 2x ψ ，且为R x (τ)的 有效 值。

9、 周期信号的自相关函数是 同频率 周期信号，但不具备原信号的 相位 信
息。

10、 为了识别信号类型，常用的信号分析方法有 时域分析 、和 频域分析 。

11、为了获得测试信号的频谱，常用的信号分析方法有 相关分析 、 和 功率谱分析
12、 设某一信号的自相关函数为)cos(ωτA ，则该信号的均方值为2
x ψ= A ，
均方根值为x rms
（二）判断对错题（用√或×表示）
1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。

（ √ ）
2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。

（ × ）
3、 非周期信号的频谱一定是连续的。

（ × ）
4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。

（ × ）
5、 随机信号的频域描述为功率谱。

（ √ ）
6、 互相关函数是偶实函数。

（ × ）
（三）单项选择题
1、下列信号中功率信号是（ B ）。

A.指数衰减信号
B.正弦信号、
C.三角脉冲信号
D.矩形脉冲信号
2、周期信号x(t) = sin(t/3)的周期为（ B ）。

A. 2π/3
B. 6π
C. π/3
D. 2π
3、下列信号中周期函数信号是（ C ）。

A.指数衰减信号
B.随机信号
C.余弦信号、
D.三角脉冲信号
4、设信号的自相关函数为脉冲函数，则自功率谱密度函数必为（ D ）。

A. 脉冲函数
B. 有延时的脉冲函数
C. 零
D. 常数
5、两个非同频率的周期信号的相关函数为（ A ）。

A. 0
B. 1
C. π
D. 周期信号
6、概率密度函数提供的信号的信息是（ C ）。

A. 沿频率轴分布
B. 沿时域分布
C. 沿幅值域分布
D. 沿强度分布
7、不能用确定的数学公式表达的信号是（ C ）。

A ．复杂周期信号
B ．瞬态信号
C ．随机信号 D.非周期信号
8、已知函数x(t)的傅里叶变换为X(f)，则函数y(t)=2x(3t)的傅里叶变换为（ B ）。

A ． )3(
2f X B ．)3(32f X C ． )(32f X D ． 2X(f)
（四）简答和计算题
1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。

2、 求正弦信号)sin()(0ϕω+=t x t x 的均值x μ，均方值2x ψ，和概率密度函数p(x)。

3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。

4、 求被截断的余弦函数⎩⎨⎧≥<=T t T t t
t x ||0||cos )(0ω的傅立叶变换。

5、 求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x at ω的频谱。

6、已知信号)42cos(4)(0π
π-=t f t x ，试计算并绘图表示
（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。

7、 已知信号)si n ()c o s()(2221110ϕωϕω++++=t A t A A t x ，求信号的自相关函数
)(τx R ，并画出自功率谱)(ωx S （双边幅值谱）。

8、 求频率相同的单位方波和正弦波的互相关函数。

9、 相关滤波器的基本原理是什么？举例说明其工程应用。

10、 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成
分。

11、 某一系统的输入信号为x(t)，若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数)
(τx R 和输入—输出的互相关函数)(τxy R 之间的关系为)()(T R R x x +=ττ，试说明该系统起什么作用？。