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第二章随机信号分析OK2

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第二章 随机信号分析

第二章 随机信号分析

SCUT DT&P Labs
5
2.2 随机过程的一般表述

自相关函数 R (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。 R(t1 , t 2 ) E[x (t1 ) x (t 2 )]






x1 x2 f 2 (x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
自协方差B (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。

Ps () ＝
∞
-∞
R ( ) e -j d
∞

R ( ) ＝ (1/2) -∞ Ps () e j d (逆变换)
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SCUT DT&P Labs
17
课堂练习

例2.4.1 x (t) sin(0 t + )，求x (t)的功率谱密度函数。 思路：首先证明x (t) 是平稳随机过程，然后对自相关函 数R ( ) 进行傅立叶变换，求得功率谱密度函数Ps () 。 其步骤为： 1，求数学期望 E[x (t)] ＝0，自相关函数R (t1, t2) ＝ 0.5 cos0 ，因此数学期望与时间无关，相关函数仅与时间 间隔有关，因此x (t) 是平稳随机过程。 2，对R ( ) 进行傅立叶变换，求得Ps ()
P ( ) E[ Ps ( )] lim x E FT ( ) T
2 T
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SCUT DT&P Labs
16

可以证明：平稳随机过程的功率谱密度 等于该过程的自相关函数的富里叶变换。
P ( ) R( ) 表示富里叶变换 x

复习：富里叶变换。
2001 Copyright

随机信号分析第2章--随机信号

随机信号分析第2章--随机信号
18
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法

第2章随机信号分析

第2章随机信号分析

第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。

噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。

随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。

如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。

也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。

随机过程是所有样本函数的集合。

2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。

每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。

固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。

随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。

第二章 随机信号分析

第二章 随机信号分析

第二章 随机信号分析2.1 确知信号的频谱分析 一．付立叶变换任一信号有两种表示方法：时域表示法)(t f ：信号的大小随时间的变化。

频域表示法)(w F ：信号的振幅和相位随频率成分的变化。

两种表示法互相对应，记做：)()(w F t f ↔。

变换式为：dw e w F t f jwt ⎰∞∞-=)(21)(πe w F dt e tf w F w j jwt )()()()(θ--∞∞-==⎰|)(|w F 为模，表示幅度谱；)(w θ为幅角，表示相位谱。

二．付氏变换的性质若)()(w F t f i i ↔注：抽样函数xx Sa )(=四．功率谱密度和能量谱密度1．功率信号：时间无限的信号，具有无限的能量，但平均功率有限。

2．能量信号：时间有限的信号，信号能量有限，在全部时间内的平均功率为0。

3．信号的功率（能量）：电压（电流）f (t) 加在单位电阻上消耗的功率（或能量）。

信号的瞬时功率（能量）为)(2t f ，总功率（能量）为⎰∞∞-dt t f )(2。

4．能量信号的能量和能量谱密度⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-=-==dw w F dw w F w F dt t f E 22|)(|21)()(21)(ππ（实函数时，F(-w)=F *(w) ）定义：能量谱密度2|)(|)(w F w =ξ，能量⎰⎰∞∞-∞∞-==df f dw w E )()(21ξξπ5．无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 用f T (t)代表无限信号f (t)在(-T/2, T/2)上的截断函数，只要T 有限，f T (t)就有能量：⎰⎰∞∞-∞∞-==dw w F dt t f E T T 22|)(|21)(π当T ∞时，其平均功率为：dw Tw F dt t f TP T T TT T T 2222|)(|21)(1limlim⎰⎰∞∞-∞→-∞→==π定义：功率谱密度Tw F w S T T f 2|)(|)(lim∞→=平均功率⎰⎰∞∞-∞∞-==df f S dw w S P f f )()(21π5．无限周期信号的平均功率和功率谱密度 功率谱密度∑∞-∞=-=n T nf nw w Cw S )(||2)(2δπ， 平均功率∑∞-∞==n nCP 2||C n 为各个频率点的幅度，|C n |2为nw T 分量的平均功率五．信号通过线性系统1．系统的传递函数 以冲激函数δ(t)作为激励，通过系统后的响应h (t)为该系统的传递函数2．线性系统——满足叠加定理若激励f 1 (t)和f 2 (t)的响应分别是r 1 (t)和r 2 (t)，则激励af 1 (t)+bf 2 (t) 的响应是ar 1 (t)+br 2 (t)。

[自然科学]第2章随机信号分析

[自然科学]第2章随机信号分析
1 T2 lim T xt dt a a x f x dx T T 2 2 1 T2 2 2 2 x a f x dx lim x t a dt T T T 2 T 1 2 R lim xt xt dt R T T T 2
t 所有样本函数在时刻t 的函数值的平均，
E t xf x, t dx at

也称集平均，以区别时间平均的概念。
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.2 随机过程的一般表达
方差定义 2 t ：（偏离均值的程度）
Dt Et E t
f n x1 , xn ; t1 , t 2 ,t n
对于一维的情况来说，一维概率密度函数 与时间无关。即 f x 二维概率密度函数只与时间间隔 有关， 即 f x1 x2 ,
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.3 平稳随机过程
平稳随机过程的统计特性： (1) 均值（数学期望）
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.5 高斯过程
高斯过程又称正态随机过程，是一种普遍 存在又十分重要的随机过程。通信信道中的噪 声，通常是一种高斯过程。 先看一维分布的情况。 高斯过程在给定任一时刻上，则是一高斯随 机变量 ，其概率密度函数为：
f x x a 2 1 exp 2 2 2
a ~ 均值 常量 2 ~ 方差 exp ~ 以e为底的指数函数
第 二 章 随 机 信 号 分 析
§2.5 高斯过程
f x
1 2
a
x
高斯概率密度函数曲线
则 称服从高斯分布（也称正态分布）的 随机变量。

随机信号分析课件第2章

随机信号分析课件第2章

2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均

T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
h 0
则称 X(t) 在 t 点均方连续，记作 l.i.m X (t h) X (t )
若T中一切点都均方连续，则称 X(t) 在T上均方连续。
均方导数 定义6.7
设 {X(t),t∈T} 为二阶矩过程，若存在另一个随机过
程X’(t)，满足
X (t h ) X (t ) lim E[ X (t )]2 0 h 0 h

E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若

随机信号分析与应用第二章精品PPT课件

随机信号分析与应用第二章精品PPT课件

u 2T
u 2T
《随机信号分析》教学组
16
则 S X () T l i2 1 m T { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
0 d 2T
22 T T 1 2R X()ejd}u
T l i { m 2 1 T 2 2 T Td 2 2 T T 1 2R X ()ejd}u
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
7
令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 T l iE m [X X 2 ( T T , )2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 m T T T E [X 2 (t)d ] t 2 1 S X ()d
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x (t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x (t )绝对可积，即
x(t)dt
有限个断点
• x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
2
断点为有限
dt 值
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
3
则x (t ) 的傅里叶变换为：
T l i 2 m 1 T T T T TR X (t2 t1 )e j(t2 t1)d1 d t2t
《随机信号分析》教学组
15
设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
11
J
(t1,
(,
t2) u)

第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版

第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数

第二章信号分析基础随机信号与相关分析

第二章信号分析基础随机信号与相关分析

台湾 架设第一条电报线，成为中国自
出行 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ， 方式 转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。 (3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活
多姿多彩 。
[合作探究· 提认知]
电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
y(t ) B sin(0t y )
y x AB AB 则 Rxy ( ) cos(0 y x ) cos 0 ( ) 2 2 0
相关分析的工程应用
相关函数描述了两个信号或一个信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析 可以发现信号中许多有规律的东西。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
26信号的???dsdffsdttxtrxxtttx??????????????211lim0222或也是实偶函数是实偶函数故??xxsr功率谱沿频率轴的分布简称就是信号的功率谱密度所以功率围的面积为信号的平均曲线下面和频率轴所包??xxss功率谱与传递函数频率响应函数的关系输入自谱输入输出互谱???xxyxxyssssh???输出自谱??yxysssh2???互相关函数包含相位信息因此系统的频率响应函数既有幅频特性又有相频特性测量中噪声干扰的评定及相干函数的计算若测量中存在噪声干扰则被测信号xt和yt存在测量误差从而影响传递函数频率响应函数的测量

第二章 随机信号

第二章 随机信号

一维高斯分布（正态分布） 一维高斯分布（正态分布）是常见的一种重要的概 率分布。在各个时刻对应的随机变量均符合一维高 率分布。 斯分布的随机过程称为高斯随机过程。 斯分布的随机过程称为高斯随机过程。通信电路中 的多是噪声满足此条件。 的多是噪声满足此条件。若改噪声在系统的作用频 域内保持均匀的功率谱密度，则可近似看做白噪声， 域内保持均匀的功率谱密度，则可近似看做白噪声， 称为高斯白噪声。 称为高斯白噪声。
s(t)=A(t)cos[ωct+φ(t)+θ]
同相分量和正交分量： 同相分量和正交分量：
如图所示为s(t)的同相分量和异相分量的提取模型。 的同相分量和异相分量的提取模型。 如图所示为 的同相分量和异相分量的提取模型
本章小结
随机变量是指取值按照某种概率，具有不确定性的变量。 随机变量是指取值按照某种概率，具有不确定性的变量。随 机变量的重要统计特征有均值、方差、协方差、 机变量的重要统计特征有均值、方差、协方差、相关函数和 自相关函数。 自相关函数。 如果一个信号在各个时刻取值不是确定值而是服从某种概率 分配，则该信号称为随机信号（随机过程）。 ）。随机过程可以 分配，则该信号称为随机信号（随机过程）。随机过程可以 看做一些列随机变量的有机组合。 看做一些列随机变量的有机组合。 随机过程的均值、方差是关于时间的确定函数。随机过程的 随机过程的均值、方差是关于时间的确定函数。 自协方差和自相关函数是关于两个时间点的函数。 自协方差和自相关函数是关于两个时间点的函数。
2.1.3 随机变量的数字特征
1. 统计均值 随机变量在统计上的平均值
其中， 是离散变量的情况， 其中，对X是离散变量的情况，还有 是离散变量的情况
2. 方差 或
3. 标准差 4. 二维随机变量 的协方差 二维随机变量XY的协方差

随机信号分析第二章

随机信号分析第二章
2
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数

随机信号分析(2-4章)

随机信号分析(2-4章)

求： 解：
1 1 F ( , x ), F (1, x ), F ( ,1, x1 , x2 ) 2 2
1 0 cos , 1 2 2 t 时，X ( 1 ) 2 1 2 1 2 , 1 2 2
1 - 1 cos( t ), 2 t 1时，X（ 1 ） 2 2 1, 1 2
例3 求随机二进制信号的均值和自相关函数

半随机独立二进制（观察信号的起始时刻为每个时 隙的起点）

随机二进制信号（观察信号的起始时刻在一个时隙 均匀分布）

解：
E[ X (t0 )] 0 q 1 p p R X (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( R半随机 (t1 , t2 )) E E X [ X (t1 ) X (t2 ) / ]

一维分布函数
FX ( x1, n1 ) P{ X ( n1 ) x} 0, x 0 q,1 x 0 1, x 1

一维密度函数
f x ( x1, n1 ) q ( x) p ( x 1)

例2 利用投掷硬币的实验 定义R.S
cost X (t ) 2t 1 2 1 硬币出现反面而且概率 为 2 硬币出现正面而且概率 为

2 密度函数
F ( x, t ) x F ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) x1x 2 f X ( x, t ) F ( x, t )
2.1.3 随机过程的数字特征

第2章 随机信号分析基础

第2章 随机信号分析基础
若机变n 量= 。n0 为固定值， ζ为变量，则x(ζ, n0)}为一个随 若ζ = ζ0为固定值， n为变量，则x(ζ0, n)}为一个样
本序列。 若ζ = ζ0 ， n = n0 均为固定值，则x(ζ0, n0)}为一个
数。 若ζ和你n都是变量，则x(ζ, n)}是一个随机过程。
px (x1, x2, , xM ; n1 k, n2 k, , nM k)
8
第2章 随机信号分析基础
2.2.1 随机过程的基本统计量
宽平稳(WSS)随机过程
x (n) x
rx (n1, n2 ) rx (n1 n2 ) rx (k),
k n1 n2
互功率谱
k
Sxy () DTFT{rxy (k )}
复互功率谱
Sxy (z) Z{rxy (k)}
16
第2章 随机信号分析基础
2.4 随机信号通过线性系统
复功率谱
Sxy
(
z
)

H
*
(
1 z*
)
S
x
(
z)
Syx (z) H (z)Sx (z)
功率谱
S
y
(
z
)

H
N(z) D(z)


2 w
B(z) A( z )
B(1/ A(1/
z) z)
w2Q(z)Q(1/
z)
差分方程：
p
q
x(n) ak x(n k) bk w(n k)
k 1
k 0
20
第2章 随机信号分析基础
2.5 谱分解定理
例2.5.1

随机信号分析第二章

随机信号分析第二章

X (n) = A cos(ω0 n + Φ )
其中 A 和 ω 0 为常数， Φ 为 ( −π, π) 上均匀分布的随机变量。由于起始相位 Φ 是一个连续型的随机 变量，他的取值范围为 (−π, π) ，对于任意的样本值 ϕi ( −π < ϕi < π) ，对应一个确定的函数式，
xi (n, ϕi ) = A cos(ω0 n + ϕi )
量。 若固定 e = ei ， t = t j ，则 X (t j , ei ) 表示第 i 次试验中的第 j 次测量，它是随机过程的某一特 定的值，通常记为 xi (t j ) 。 当 e 和 t 均变化时，这时才是随机过程完整的概念，从以上的分析可以看出，随机过程是一组 样本函数的集合，或者也可以看成是一组随机变量的集合。因此,我们可以从另一个角度来对随机 过程来下一个定义。 定义 2：设有一个过程 X (t ) ，若对于每一个固定的时刻 t j ( j = 1,2, ") ， X (t j ) 是一个随机变 量，则称 X (t ) 为随机过程。 以上定义是把随机过程看成是一组随时间而变化的随机变量。 上述二种定义实质上是一致的，相互起补充作用，在作实际观测时，通常采用定义 1，据此定
⎧ −1 X (t ) = ⎨ ⎩1
N=200;
第n次投掷出现正面 第n次投掷出现反面
(n-1)T≤t<T
X(t)称为半二元传输信号，下面是生成半二元传输信号的 MATLAB 程序
ind=find(rand(N,1)>0.5); z(1:N)=1; z(ind)=-1; stairs(1:25,z(1:25)); axis([0 25 -1.5 1.5]); xlabel('时间-秒 （假定 T=1 秒）');

第二章随机信号分析

第二章随机信号分析

• 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
5
样本空间
S1 S2 Sn x 2(t) t x 1(t) t
ξ (t)
x n(t) t tk
• 样本函数的总体
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 6
2.1.1 随机过程
• 随机过程具有随机变量和时间函数的特 点。 • 在进行观测前是无法预知是空间中哪一 个样本。 • 全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t 变化的随机变量。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
13
2.2.1定义 定义
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
14
2.2.3平稳随机过程自相关 平稳随机过程自相关 函数的性质
• 平稳随机过程的自相关函数特别重要。
– 其统计特性，可通过自相关函数来描述； – 自相关函数与谱特性有着内在的联系。
• 设ξ(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关 函数 R (τ ) = E [ξ ( t )ξ ( t + τ )]
自协方差函数和自相关函数
B(t1 , t2 ) = E {x (t1 ) - a (t1 ) ] x (t2 ) - a (t2 ) ] [ [ }
=
蝌
- ?
ゥ
[ x1 - a (t1 )][ x2 - a (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
R(t1 , t2 ) = E [ (t1 )x (t2 ) ]= x
通信原理
第二章 随机信号分析 刘柏森
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 1

随机信号分析 第二章随机信号概论

随机信号分析 第二章随机信号概论
C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]

[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.

二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数

随机信号分析-随机信号

随机信号分析-随机信号
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2.4 多维高斯分布与高斯信号
93/90
2.4 多维高斯分布与高斯信号
例4：给定R.S.{X (t),t 0}, X (t) X0 Vt, t 0
其中（ V ）~ X0
N
r (u,
r c)
N
0 0
1 0
0
1
V ~ N (0,1) X 0 ~ N (0,1)
r 其中u
E[ X (t1) X *(t2 ) m(t1) X *(t2) X (t1)m*(t2) m(t1)m*(t2)] E[ X (t1) X *(t2 )] m(t1)E[ X *(t2)] E[ X (t1)]m*(t2) m(t1)m*(t2) E[ X (t1) X *(t2 )] m(t1)m*(t2) m(t1)m*(t2) m(t1)m*(t2) RX (t1,t2 ) m(t1)m*(t2 ) C.R.S.
2.1 定义与基本特性
38/90
2.2 典型信号举例
39/90
2.2 典型信号举例
（1）、若A-R.V. .-常数const
则该随机信号如下所示：
40/90
2.2 典型信号举例
（2）、为随机变量，A，为常数，则该随机
信号为：
41/90
2.2 典型信号举例
（3）、为R.V .，A, 为常数，则随机信号为：
2
1 1 2 1
e 1 2 1 2
x 1 12
2
2
x1 y
1 2
2
y
2
2 2
2
2
50/90
2.2 典型信号举例
f X1 (x1;t) f X2 (x2;t)
x1 f X (x1, x2;t1, t2 )dx1
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2013-7-10
第二章 随机信号分析
7
3.协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2) 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机 变量之间的关联程度时，常用协方差函数 B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。 协方差函数B(t1, t2)定义为： B(t1,t2)=E｛[X(t1)-a(t1)][X(t2)-a(t2)]｝
2013-7-10
第二章 随机信号分析
26
f(x)具有如下特性： • (1) f(x)对称于x=a这条直线。 a 1 • (2) f ( x)dx 1 且 f ( x)dx f ( x)dx



a
2
• (3) 当σ不变时，对于不同的a，表现为f(x) 的图形左右移动； • 当a不变时，对于不同σ的，表现为f(x)的图 形随σ的减小而变高和变窄。 • (4) 当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布 的密度函数。
2013-7-10
第二章 随机信号分析
17
（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S （2）R(τ)=R(-τ) （3）|R(τ)|≤R(0) （4）R(∞)=E2［ξ(t)］
［ξ(t)的平均功率］(2.4-1） ［τ的偶函数］ ［R(τ)的上界］ （2.4-2） （2.4-3)
［ξ(t)的直流功率］（2.4-4）
a(t ) E[ X (t )]
2 0
1 A cos( wc t ) d 2
A 2

2
0
(cos wct cos sin wct sin )d
2 2 A [cos wct (cos d sin wct sin d ] 0(常数） 0 0 2
这里利用了当τ→∞时，ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计 独立，且认为ξ(t)中不含周期分量。 （5）R(0)-R(∞)=σ2 ［方差，ξ(t)的交流功率］(2.4 - 5)
2013-7-10
第二章 随机信号分析
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3.2.4平稳过程的功率谱密度
• 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度 来表述的。 • 任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密 度为：
第二章 随机信号分析
• 2.1引言 • 2.2随机过程的一般描述 • 2.3平稳随机过程 • 2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 • 2.5高斯过程 • 2.6窄带随机过程 • 2.7正弦波加窄带随机过程 • 2.8随机过程通过线性系统
2013-7-10 第二章 随机信号分析 1
§2.1引言
F1 ( x1, t1 ) P{ (t1 ) x1}
• 叫做随机变量ξ(t1)的一维分布函数
2013-7-10 第二章 随机信号分析 5
同理，任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布函数为：
Fn ( x1, x2 , xn ; t1, t2 ,tn ) P { (t1 ) x1, (t2 ) x2 , (tn ) xn}
A2 A2 cos wc (t2 t1 ) 2 2

2
0
1 cos[wc (t2 t1 ) 2 ] d 2
A2 cos wc (t 2 t1 ) 0 2 A2 2 cosc ( )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 15
• X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与 时间间隔τ有关，所以X(t)为平稳过程。
• 平均功率S=R（0）= A2/2。
2013-7-10 第二章 随机信号分析 24
3.3 高斯随机过程
• 若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分 布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态 过程。重要性质： • （1）广义平稳的高斯过程也必是狭义平稳的； • （2）对于高斯过程在不同瞬间的值，互不相干 和相互独立是等价的； • （3）一高斯过程通过线性系统，其输出还是高 斯过程。
a(t ) E[ X (t )] xp( x; t )dx

2. 方差:表示随机过程X(t)在时刻t对于均值a(t) 的偏离程度，即均方值与均值平方之差
2 (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) E( X (t ))]2 } E[ X (t ) a(t )]2 [ x a(t )]2 p1 ( x; t )dx
• 随机过程定义： –设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试 验都有一条时间波形（称为样本函数或 实现），记作xi(t)，所有可能出现的结 果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就 构成一随机过程，记作ξ(t)。 • 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2013-7-10 第二章 随机信号分析 3
R(τ)


Pξ(ω)
jwr
p (w) R( )e

d
1 R( ) 2
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P (W )ejwrdW21
第二章 随机信号分析
[例] 求某随机相位正弦波 X(t)=Acos(ω0t+θ)的自相关函数、功率谱 密度和平均功率，其中A和ω0均为常数，θ是 在(0,2π)内均匀分布的随机变量。 • 解：先求X(t)的数学期望
a(t ) a
(t )
2
2
R(t1 , t 2 ) R( )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 11
2.3.2各态历经性与时间平均
• “各态历经”的含义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状 态。 • 各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例
各态历经过程的统计平均值mX：
Pf (w) lim
T
FT (W ) T
2
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第二章 随机信号分析
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f (t)
… O
… t
f T(t)
T － 2
O
T 2
t
图3-2 功率信号f(t)及其截短函数
2013-7-10 第二章 随机信号分析 20
• 确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度 是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有 类似的关系，即平稳随机过程的功率谱密度Pξ(ω) 与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系：
样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) t x1 (t) t
(t)
xn (t) t tk
• 样本函数的总体
2013-7-10 第二章 随机信号分析 4
2.2.1随机过程的统计特性
• 设ξ(t)表示一个随机过程， • 在任意给定的时刻t1∈T， 其取值ξ(t1)是一 个一维随机变量。 • 随机变量的统计特性可以用分布函数或概 率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1) 小于或等于某一数值x1的概率F1(x1, t1)
1 m X lim T T

T /2
T / 2
X i (t )dt
各态历经过程的自相关函数RX():
1 R X ( ) lim T T

T /2
T / 2
X i (t ) X i (t )dt
一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平 稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有 各态历经性。
2013-7-10 第二章 随机信号分析 12
• [例]某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其 中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的 随机变量。判断X(t)是否广义平稳，求X(t)的 自相关函数。
2013-7-10
第二章 随机信号分析
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• [解]： X(t)的数学期望为：
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3.3 高斯过程（正态随机过程）
定义： 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量， 其一维概率密度函数可表示为: 1 ( x a) 2
f ( x) 2 exp( 2
2
)
式中，a = E[X(t)] 为均值
2 = E[X(t) - a]2 为方差 为标准偏差
pn ( x1 , x2 ,...,xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) p( x1 , x2 ,...,xn ; t1 , t2 ,...tn )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 10
• 2、广义平稳随机过程 广义平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的 数字特征：它的均值、方差与时间无关；它 的自相关函数只与时间间隔τ有关。 广义平稳随机过程定义：
2013-7-10
第二章 随机信号分析
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• X(t)的自相关函数为：
R(t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
E[ A cos(wc t1 ) A cos(c t 2 )]
A2 E[coswc (t2 t1 ) cos[wc (t2 t1 ) 2 ] 2
a(t ) E[ X (t )]
A 2
2 0
1 A cos( wc t ) d 2

2
0
(cos wct cos sin wct sin )d
2 2 A [cos wct (cos d sin wct sin d ] 0(常数） 0 0 2
A2 A2 cos wc (t2 t1 ) 2 2

2
0
1 cos[wc (t2 t1 ) 2 ] d 2
A2 cos wc (t 2 t1 ) 0 2 A2 2 cosc ( )
2013-7-10 第二章 随机信号分析 23
• X(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与 时间间隔τ有关，所以X(t)为平稳过程。 • 根据平稳随机过程的自相关函数与功率谱 密度是一对傅里叶变换，则功率谱密度为 • P（ω）=FT（R（t1,t2）） =（πA2/2）［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］