高速铁路提篮拱桥拱脚应力分析

的应力值, 为设计提供依据是必要的。
图 1 提篮拱桥示意图
2 计算模型
考虑圣文南原则, 取计算模型的加载长度为 14 m ; 有效分析长度为 9. 8 m , 如图 2 所示。 计算模型由 端横梁、箱梁、横隔梁、拱座、拱肋、支座承台和支座承 压钢板 7 个部分组成。这 7 个部分应用了三种材料, 它 们的物理性能为:
由插值函数获得位移场近似解的精度取决于多项 式包含的项数、阶次及与单元结点的对应关系。基本单 元每个结点有三个自由度, 为了保证插值函数与单元 结点自由度相当, 设其项数等于结点自由度; 在选各项 阶次时, 注意对各个坐标轴的机会均等。 通常, 取 8 结 点立方体的试函数为[ 3 ]:
u = a1+ a2Ν+ a3Γ+ a4Φ+ a5ΝΓ+ a6ΓΦ+ a7ΝΦ+ a8ΝΓΦ v = b1+ b2Ν+ b3Γ+ b4Φ+ b5ΝΓ+ b6ΓΦ+ b7ΝΦ+ b8ΝΓΦ
第 1 期
裴若娟等: 高速铁路提篮拱桥拱脚应力分析
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2. 2 8 结点六面体等参单元
显而易见, 沿着网格结点把计算模型划分为六面 体单元比划分为其他形状要方便。分析中, 计算模型被 划分为 4852 个 8 结点六面体等参单元。这种等参单元 可以看成, 自然坐标系 ΝΓΦ中的 8 结点立方体单元 (图 13)“映射”到整体坐标系 XYZ 中发生了畸变的“影 像”[1] (图 14)。按照等参概念, 称立方体单元为基本单 元, 六面体单元为实际单元。 其中, 基本单元 8 个结点 的自然坐标为:
·A 3 钢 : E g = 2. 1×105 M Pa, G g = 8. 1×104 M Pa, Po isso r= 0. 3 ·40# 钢筋混凝土: E c= 3. 4×104 M Pa, G c= 1. 46×104 M Pa, Po isso r= 0. 167 ·50# 钢管混凝土: E c= 4. 26×104 M Pa, G c= 1. 83×104 M Pa, Po isso r= 0. 167 2. 1 网格的划分 本分析采用 Sup er SA P 软件。划分网格是建立计
[J ]=
N 1, Ν N 2, Ν … N 8, Ν N 1, Γ N 2, Γ … N 8, Γ N 1, Φ N 2, Φ … N 8, Φ
x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 … … … x 8 y 8 z 8
这样, 各个形函数对于结构坐标的导数表示为:
N i, x
N i, Ν
N i, y = [J ]- 1 N i, Γ
自由度, 即约去了 9 个位移不协调模式。 事实上, 不作
凝聚处理, 在总刚度方程中保存内部自由度也可获得
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铁 道 工 程 学 报
2002 年 3 月
相同的计算结果。 但是, 凝聚的好处是, 在组集结构刚 度矩阵时, 能使结构刚度矩阵降阶和带宽变窄[4]。 此 外, (6) 式还表明, 凝聚单元的刚度比普通单元的刚度 ‘柔软’; 因此, 计算时比用协调单元的收敛得更快。 目 前, 这种单元的应用是广泛而成功的。Sup er SA P 软件 的 8 结点六面体等参单元就是这种非协调单元。
程就是应用软件所提供的“拷贝”,“镜像”,“粘贴”,“移
动”等功能, 把各种网格截面连接成模型的过程。
图 8 拱肋截面网格 图 10 支座承台底面网格
图 3 端横梁截面网格
图 4 箱梁截面网格 图 5 横隔梁截面网格
图 11 模型顶面网格
图 6 拱座顶面网格 图 7 拱座底面网格
图 12 模型底面网格
(Ν7Γ7Φ7) = (1, 1, 1) , (Ν8Γ8Φ8) = (- 1, 1, 1)。
图 13 基本单元 图 14 实际单元
受力后, 弹性结构内部各点位移是坐标的复杂函 数。一般, 要准确建立这种复杂关系是困难的。但是对 每个单元, 则可以用较为简单的函数来描述其内部位 移的变化规律, 而不致于造成太大的误差。由于多项式 的微积分运算较为简单, 通常用作单元位移模式的试 函数。 当单元内任意点位移用其结点位移的某种形式 的插值表示时, 则称试函数为位移插值函数。为了保证 试函数的收敛性, 它们必须满足三个准则[2]:
2. 3 六面体等参单元的位移2应变方程
采用六面体单元对实体结构进行有限元分析时, 需要根据位移2应变方程求出单元的应变, 从而求出单 元刚度矩阵。 六面体单元内任意点的位移, 用它在 X、 Y、Z 三个方向的位移分量 u、v、w 来表示。该点的应变 用 Εx , Εy , Εz , Χxy , Χyz , Χzx 六个分量表示。描述位移与应变 的微分关系矩阵方程表示, 即
(1) 单元内, 位移插值函数必须连续, 相邻单元边 界位移协调。即变形时相邻单元既不重叠也不分离。完 全满足该准则的称为协调单元。只满足位移连续, 不满 足边界变形协调的成为非协调元。
(2) 位移插值函数必须包括刚体位移。即多项式有 常数项。
(3) 位移插值函数必须包括能描述单元常应变状 态的项。 即有一阶项。
为了提高计算精度, E. W ilson 提出在位移插值函
数中引进附加自由度[4]。附加自由度是单元内部的, 它
们可以精确地表示纯弯曲。 改进后的位移插值函数表
示为:
8
∑ u = N iu i+ (1- Ν2) u 9+ (1- Γ2) u 10+ (1- Φ2) u 11 i= 1
8
∑ v = N iv i+ (1- Ν2) v 9+ (1- Γ2) v 10+ (1- Φ2) v 11 i= 1
2002 年 3 月 第 1 期 (总 73)
铁 道 工 程 学 报 JOU RNAL O F RA ILW A Y EN IN EER IN G SO C IET Y
文章编号: 1006- 2106 (2002) 01- 0023- 07
M a rch 2002 N o. 1 (Ser. 73)
高速铁路提篮拱桥拱脚应力分析
廓线, 传力途径, 各个截面的形心位置, 端横梁与箱梁、
横隔梁、拱座、支座承台和支座承压钢板相互的几何关
系及将来要显示应力的区域来划分。 在应力复杂区域
网格划分稠密, 反之稀疏。 图 3～ 图 12 网格划分示意 图依次表示: 端横梁截面, 箱梁截面, 横隔梁截面, 拱座
顶底面, 拱肋截面, 支座承台顶底面。事实上, 建模的过
Ξ 收稿日期 2001- 08- 12 裴若娟 教授 女 1950 年出生 3 3 铁道部研究开发基金项目
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铁 道 工 程 学 报
2002 年 3 月
图 2 拱脚模型
算模型的重要环节之一, 凡不符合 Sup er SA P 规定的
划分都将导致建模失败。正确的划分方法是: 根据模型
网格线必须贯通的原则, 在结构坐标环境, 考虑结构轮
w = c1+ c2Ν+ c3Γ+ c4Φ+ c5ΝΓ+ c6ΓΦ+ c7ΝΦ+ c8ΝΓΦ
(1)
以单元 8 个结点的三个位移 u i、v i、w i 代入 (1) 式, 可得到 a1～ a8、b1～ b8 和 c1～ c8 即得到 (2) 式, 这是基 本单元的位移插值函数。 同理, 自然坐标系中, 单元内
i= 1
i= 1
i= 1
8
8
8
∑ ∑ ∑ x = N ix i, y = N iy i, z = N iz i (3)
i= 1
i= 1
i= 1
N i=
1 8
(1+
ΝiΝ)
(1+
ΓiΓ)
(1+
ΦiΦ)
(4)
上式的 Νi、Γi、Φi 表示某单元 i 结点的自然坐标 ( i = 1, 2, …8)。 Ν、Γ、Φ表示该单元内任意点的坐标。
(Ν1Γ1Φ1) = (- 1, - 1, - 1) , ( Ν2Γ2Φ2 ) = (1, - 1, - 1) , (Ν3Γ3Φ3) = (1, 1, - 1) ,
(Ν4Γ4Φ4) = (- 1, 1, - 1) , ( Ν5Γ5Φ5 ) = (- 1, - 1, 1) , (Ν6Γ6Φ6) = (1, - 1, 1) ,
=
de
fe
(5)
其 中, d r 是单元边界自由度, d e 是单元内部自由
度。 d e 由 (5) 式的下分块解出,
d e = - k ee - 1 ( k er d r - f e )
将上式代入 (5) 式的上分块, 得 (6) 式:
( [ k rr ]- [ k re ] [ k ee ]- 1 [ k er ]) {d r}
= {f r}- [ k re ] [ k ee ]- 1{f e}
(6)
其中, f r 是内部荷载, {f e}是外部荷载。 {d r}的系数
( [ k rr ]- [ k re ] [ k ee ]- 1 [ k er ]) 称为凝聚单元刚度矩阵, 上
述的计算过程称为凝聚。经过凝聚,, z
N i, Φ
如是, 就可以把计算转换自然坐标系下进行。 逆矩阵
[J ]- 1由下式求得
[J ]- 1=
1 J
[J ]3
其中, J 是[J ]的行列式, [J ]3 是[J ]的伴随矩阵。
2. 4 六面体等参单元刚度矩阵
Εx
u,x
Εy
v,y
Εz
w ,z
Ε=
=
(7)
Χx y
u,y+ v,x
任意点坐标可由结点坐标的某种插值形式表示。 由于
实际计算中需用整体坐标系的位移插值函数, 据等参