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拱桥的计算

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第三章拱桥计算该看

第三章拱桥计算该看

2）拱轴系数的确定
（4）拱轴系数取值与拱上恒载分布的关系
矢跨比大，拱轴系数相应取大； 空腹拱的拱轴系数比实腹拱的小 ； 对于无支架施工的拱桥，裸拱 m 1 ,为了改善裸拱受力状态，设计时宜选较小 的拱轴系数；
矢跨比不变，高填土拱桥选小 m ，低填土拱桥选较大 m
3）拱轴线的水平倾角
y1
2、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱截面应力不均匀 的现象。在板拱情况下常常不计荷载横向分布，认为主 拱圈全宽均匀承担荷载。肋拱桥则需考虑横向分布的影 响。
3 内力叠加法与应力叠加法：应力叠加法考虑加载历史，认为 材料是在弹性限度内，内力叠加法按一次成形、一次加 载计算，不考虑应力累加历史。
如果考虑材料的塑性变形、收缩徐变引起的内力重分布， 则内力叠加法也有其合理性。

(ch k 1) 2

f
m 1
m 1 1
2

m 1
1 2(m 1) 2
k
y1/ 4

(ch 1) 2

m 1 1
2

1
f
m 1
m 1
2(m 1) 2
2）拱轴系数的确定
（1）实腹式拱桥拱轴系数的确定
g d 1hd 2d
gj
1hd
2
d
cos j
线外形与施工简便等因素。
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴 线的原则：尽可能减小主拱圈的弯矩，同时考虑拱轴线外形 与施工简便等因素。
实际工程中由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收缩等因 素的作用，不存在理想拱轴线（或者说压力线与拱轴线不可能 是吻合的）。
根据混凝土拱桥恒载比重大的特点，在实用中一般采用恒载 压力线作为拱轴线，恒载作用愈大，这种选择就愈显得合理。

§9.3拱桥的计算

§9.3拱桥的计算

y1ds ∫s EI (9.21) ys = ds EI f (chξk − 1) (6) y1 = m −1
dx l1 = = dξ = l 1 + tg 2ϕ dξ ds cos ϕ cos ϕ 2
l = 1 + η 2 sh 2 kξ dξ 2
f ys = ⋅ m −1
∫0 (chkξ − 1)
2
−1
(
)
(7 )
（2）若已知m，则y1由（6）求得，换言之，当跨径和矢 高确定后， y1仅随m而变化，故有不同的m可得到不同的 拱轴线形状。其线形特征可用1/4点纵坐标的大小表示：
y1 =
4
f ⎛ k ⎞ ⎜ ch − 1⎟ m − 1⎝ 2 ⎠
k chk + 1 m +1 Q ch = = 2 2 2
y1 ∴
4
f
=
m +1 −1 1 2 = m −1 2(m + 1) + 2
(8)
可见，随m 增大，拱轴线抬高
（3）一般的拱桥中，
g j > gd
故 m>1(悬连线拱的拱轴系数，宜采用2.814~1.167， 随跨径的增大或矢跨比的减小而减小)； 当m=1时，表示恒载压力均布，压力线为二次抛物 线，
9.3 拱桥的计算
拱桥计算包括成桥状态受力分析和强度、刚度、稳定验 算以及必要的动力分析，施工阶段结构受力分析和验算。
9.3.1 悬链线拱的拱轴方程及几何性质
（一）实腹式悬链线拱 采用恒载压力线（不计弹性压缩）作为拱轴线
M d = 0 Qd = 0
Hg
1、悬链线拱轴方程
Mx 对任意截面取矩： y1 = Hg
' 22

第4篇第3章 拱桥的计算

第4篇第3章 拱桥的计算

5
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.2. 考虑弹性压缩引起的内力 在恒载产生的压力作用下，拱沿轴线方向会产生弹性压 缩。由此将在超静定结构上产生内力。水平赘余力为：
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.3.恒载作用下拱圈各截面的总内力 符号规定
x
φj
Q N M
g x = g d + γ ⋅ y1
y1
m=
gj gd
g γ = (m − 1) d f
l1=l/2
y1
g j = gd + γ ⋅ f
1
第三章 拱桥的计算 3.2简单体系拱桥的计算
3.2.1. 悬链线拱的几何性质 z 实腹式悬链线拱的荷载分布 x z 拱轴系数 z 拱轴线方程
gx y1 x=ξl1 f gd
s
弹性中心
y1
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.1. 不考虑弹性压缩的恒载内力 实腹式悬链线拱的恒载内力
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.1. 不考虑弹性压缩的恒载内力 空腹式悬链线无铰拱的恒载内力： 直接根据静力平衡条 件写出：
g l2 H g = kg d f
( H g + ∆X 2 ) sin ϕ ± ∆X 2 sin ϕ
6
第三章 拱桥的计算 3.3 恒载作用下拱的内力计算
3.3.4. 计算实例
如图所示无铰拱， 计算跨径l=80m，主拱圈及拱上建筑恒载见图，主 拱圈截面面积A=5.0m2，截面惯性矩I=1.0m4，容重γ=25kN/m3 。试应用 “五点重合法”，
②
确定拱桥拱轴系数m 计算

拱桥设计计算

拱桥设计计算

目录等截面悬链线圬工拱桥上部构造设计 (1)一设计资料 (1)1.1总体布置 (1)1.2拱上建筑 (1)1.3主拱圈 (1)1.4设计荷载 (1)1.5采用规范 (1)二拱轴系数确定 (2)2.1五点重合法 (2)2.2拟定上部构造尺寸 (2)2.3 自重恒载计算 (4)2.4验算拱轴系数 (7)三主拱圈恒载内力计算 (8)四主拱圈活载内力计算 (10)五主拱圈温度内力计算 (13)六主拱圈强度验算 (14)6.1主拱圈截面受压强度验算 (14)6.2 主拱圈截面直接受剪强度验算 (16)七主拱圈整体强度-稳定性验算 (17)八裸拱强度及稳定性验算 (18)8.1 裸拱截面强度验算 (18)8.2 裸拱整体强度-稳定性验算 (19)九附录 (20)附录1 恒载内力计算结果 (20)附录2 内力影响线结果 (21)附录3 裸拱内力计算结果 (23)等截面悬链线圬工拱桥上部构造设计一设计资料1.1总体布置上部构造采用石砌板拱，净跨径l0=35m，净矢高f0=7m，净矢跨比f0l0=15。

桥面净空：净 7+2x0.75m 人行道，桥梁全宽 9m，主拱圈宽度 B=8.5m。

1.2拱上建筑拱顶侧墙为浆砌片石，实腹段拱腔填料为砂砾夹石灰炉渣黄土，平均重力密度为γ1= 19kN/m3。

桥面系按此重力密度和主拱圈宽度折算的厚度为ℎq=0.28m。

腹拱圈护拱为浆砌片石，包括侧墙平均重力密度为γ2=25kN/m3.腹拱圈为10号砂浆砌30号粗料石，腹拱墩为7.5号砂浆砌30号块石，两者重力密度均为γ3=25kN/m3。

实腹段拱腔填料为砂砾夹石灰炉渣黄土，包括侧墙、护拱、平均重力密度为γ4=19kN/m3。

1.3主拱圈材料为M10砂浆砌MU50块石，重力密度γ5=24kN/m3。

主拱圈设计温度差为±16℃；岩石地基，不考虑基础的非均匀沉降。

主拱圈材料轴心抗压强度设计值f cd=3.85MPa,直接抗剪强度设计值f vd=0.073MPa,弹性模量E m=7300MPa。

第三节拱桥计算

第三节拱桥计算

（1）不考虑弹性压缩旳恒载内力--实腹式拱
以为实腹式拱轴线与压力线完全重叠，拱圈
中只有轴力而无弯矩，按纯压拱计算：
恒载水平推力： H g
m 1 4k 2
gdl2 f
kg
gdl2 f
(0.128 ~ 0.18)
gdl2 f
拱脚竖向反力为半拱恒载重力：
Vg
l1 0
g x dx
m2 2 ln(m
3、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱 截面应力不均匀旳现象。在板拱情况下经常 不计荷载横向分布，以为主拱圈全宽均匀承 担荷载。 4、计算措施：手算和程序计算。
第三节 拱桥计算
一、拱轴线旳选择与拟定 二、拟定拱轴系数 三、主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算 四、主拱圈截面内力计算 五、主拱圈正截面强度验算 六、主拱圈稳定性验算 七、主拱圈裸拱强度和稳定性验算 八、主拱圈应力调整
第三节 拱桥计算 一、拱轴线旳选择与拟定 二、拟定拱轴系数 三、主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算 四、主拱圈截面内力计算 五、主拱圈正截面强度验算 六、主拱圈稳定性验算 七、主拱圈裸拱强度和稳定性验算 八、主拱圈应力调整
2.3.3 主拱圈弹性中心及弹性压缩系数计算
1 悬链线无铰拱旳弹性中心
采用恒载压力线作为拱轴线，在恒载作用下不 考虑拱圈变形旳影响时，拱圈各截面均只有轴向压 力，此时拱圈处于纯压状态。但是拱圈材料有弹性， 它在恒载产生旳轴向压力作用下会产生弹性压缩， 使拱轴长度缩短，这种现象称为拱旳弹性压缩。因 为无铰拱是超静定构造，弹性压缩引起拱轴旳缩短， 会在拱中产生内力，在设计中为了计算以便将恒载 压力分为两个部分，即：不考虑弹性压缩引起旳内 力与弹性压缩引起旳内力。两者相加，得到恒载作 用下旳总内力。

拱桥内力计算

拱桥内力计算
将上述系数代入式（1－1－60）后，即可得P＝1作用在B点时的赘余力，
X 1 , X 2 , X 3 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等
分。当P＝1从左拱脚以l为部长（ l=l/48）移到右拱脚时，即可利用 式（1－2－60），得出 X 1 , X 2 , X 3 影响线的竖坐标（如下图）。
dx 0 0 EA cos 1 H H1 ' y 2 ds 22 1 (1 ) s EI 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 1＋－1 H＝H1＋H H1 H1 1 ＝H1 1 1＋ H1
l
dx EA cos
H1
l
式中：
1
1
, ,
为系数，可查相应的表格得到；
为了计算变位，在计算MP时，可利 用对称性，将单位荷载分解为正对 称和反对称两组荷载，并设荷载作 用在右半拱。
M 1M P 1P ds s EI M 2M P 2 P ds s EI M M 3 P 3 P ds s EI
M Hg cos ＋X 2 cos
1 ( H g X 2 ) cos 1
1 ( H g X 2 )( y s y1 ) M 弯 矩： 1 Q 1 ( H g X 2 ) sin X 2 sin 1 剪 力：
（1－2－57）
其中：
dx l 1 d cos 2 cos 1 1 cos 1 tg 2 1 2 sh 2 k ds

M 12 l 11 ds s EI EI

l
0
1 2 sh 2 k d
l 1 EI 1
2kf l (m 1)

拱桥计算步骤

目录一、确定拱轴系数 ................................................. 错误！未定义书签。

1 拟定上部结构尺寸 ....................................... 错误！未定义书签。

2 腹拱墩计算 ................................................... 错误！未定义书签。

3 恒载计算........................................................ 错误！未定义书签。

4 验算拱轴系数 ............................................... 错误！未定义书签。

二、拱圈弹性中心及弹性系数 ............................. 错误！未定义书签。

三、主拱圈截面内力计算 ..................................... 错误！未定义书签。

四、拱的强度验算用的公路─Ⅱ汽车荷载效应.错误！未定义书签。

1 拱顶截面........................................................ 错误！未定义书签。

2 拱脚截面........................................................ 错误！未定义书签。

3 拱顶、拱脚截面汽车荷载效应汇总如下表错误！未定义书签。

五、拱的强度验算用的人群荷载效应................. 错误！未定义书签。

六、温度作用效应 ................................................. 错误！未定义书签。

七、拱的整体“强度-稳定”验算用的荷载效应错误！未定义书签。

八、拱脚截面直接抗剪强度验算用的荷载效应.错误！未定义书签。

拱桥的计算


gd o
y1
第三章 拱桥的计算
3.1.2. 空腹式悬链线拱 五点重合法
三铰拱的情形
M A 0 H g
Mj f
M B 0 H g
Ml 4 yl 4
yl 4
Ml 4
f Mj
B
A l1=l/4
Δy l1=l/4
Hg y1/4
f
y1 4 f
1
2m 1 2
3.1.1. 实腹式悬链线拱 实腹式悬链线拱轴系数的确定
φj
φj
d
hj h d /cosφj
d /cosφj
r1 r2 r
hd
d
x=ξl1
f
φj
l1=l/2
第三章 拱桥的计算
3.1.1. 实腹式悬链线拱 拱轴系数与悬链线线 形的关系
m gj
gj
gd
y1 4 f
1
2m 1 2
x
yl 4
Ml 4
f Mj
2
m

1 2

f yl
4

2
1
第三章 拱桥的计算
3.1.2. 空腹式悬链线拱 五点重合法 三铰拱的实际压力线与按五点重合法 确定的悬链线的差异
Δy B
压力线与拱轴线偏离在拱中产生 附加内力
A l1=l/4
l1=l/4
A Mp=ΔyHg B
Hg y1/4

d 2M dx2
x

gd Hg
1 (m 1)
y1 f

x=ξl1 dx=l1dξl1
d 2 y1
d 2

l12 gd Hg

拱桥计算


m m
m m
g d = hd γ 1 + γd
(9.10)
g j = hd γ 1 + hγ 2 +
d γ cosϕ j
(9.11)
式中：hd——拱顶填料厚度，一般为 30～50cm； d——拱圈厚度； γ——拱圈材料重力密度； γ1——拱顶填料及路面的平均重力密度；
φj——拱脚处拱轴线的水平倾角。 由几何关系有：
任意点的恒载集度gx可以表示为：
（9.5）
g x = g d + பைடு நூலகம்y1
式中：gd——拱顶恒载集度； γ——拱上材料重力密度。 令：
(9.6)
m=
式中：gj——拱脚处恒载集度。
gj gd y1 ⎤ f ⎥ ⎦
(9.7)
由前面两式可得： g x = g d ⎢1 + (m − 1)
⎡ ⎣
联立求解式（9.5） 、式(9.6)和式（9.7） ，并引入参数：
图 9.37 悬链线拱轴计算图式
拱顶截面的弯矩 M d = 0 ，由于对称性，剪力 Qd = 0 ，于是拱顶截面仅有恒载推力 H g 。对 任意截面取矩可得：
y1 =
Μx Ηg
（9.4）
式中：Mx——任意截面以右的全部横载对该截面的弯矩值； Hg——拱的恒载水平推力。 对 x 求二阶导得：
d 2 y1 1 d 2Μ x g x . = = dx 2 Ηg Η g dx 2
线与恒载压力线在拱顶、跨径四分之一点和拱脚五个点相重合（称为“五点重合法”)。计算 表明，采用悬链线拱轴对空腹拱主拱的受力是有利的。因此，悬链线是目前大、中跨径拱桥 采用最普遍的拱轴线形。 下面介绍悬链线拱轴方程及几何性质。 如图 9.37 所示为悬链线拱轴计算图式。设拱轴线即为恒载压力线，故在恒载作用下，

拱桥工程量计算

1 拱圈计算
拱桥工程量
净跨径L0 拱矢比（f0/L0)
f0
内半径r
5.00
0.25
1.25
3.13
2 拱上侧墙
①
1/2拱
②
1/3拱
净跨径L0
拱角x
参数l
侧墙体积
5.00
0.28
5.56
6.13
③
1/4拱
5.00
0.28
5.56
6.13
④
1/5拱
8.50
0.24
8.98
16.46
3 U型桥台
①
台身
涵长
桥台顶宽W 桥台底宽a1 拱角x
11.00
1.50
1.98
0.28
8.00
1.20
2.47
0.46
②
侧墙 桥台底宽a1 桥台顶宽W
拱角x
拱角y
1.98
1.50
0.28
0.21
侧墙底宽C1
襟边dd
基础侧边长A 基础厚度D
1.69
0.10
2.29
0.60
4 桥台护拱
护拱尖角至拱圈 顶部水平距离S’
外半径R
拱圈厚度d 0.35
外半径R 拱半内角φ0
3.48
0.93
拱角x 0.28
拱角y 0.21
拱轴长度S 6.12
拱角y 0.21 0.19 侧墙高H 4.35 基础宽度 1.89
桥台高h 1.90 4.88
桥台高h 1.90
基础体积 5.19372
台身体积V 40.00 74.08
侧墙边坡m' 4.00
1.50
3.70
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m gj gd
•拱顶恒载分布集度 g d
gd 1hd d （4-3-13）
•拱脚恒载分布集度 g j
gj
1hd
2h
d
cos j
（4-3-14）
h
f
d 2
d
2 cos j
（4-3-15）
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用逐次逼近法，具体做法如下：
抛物线，其方程变为：
y1 f 2
•由悬链线方程
y1
mf1,1(,chh2kd
拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重 1)拱可顶以填看料出厚，度当拱的跨度和失高确
定后，拱轴线各点的坐标取确d于j 拱 轴拱 拱系圈 脚数厚 处m度 拱。轴可线查的表水得平到倾。角
2、拱轴系数m值的确定
（1）实腹式拱m值的确定
x l1 则： dx l1d
d 2 y1
d 2
l12 Hg gd
1 (m 1)
y1 f
k 2 l12 gd (m 1) Hg f
（4-3-9）
则
d 2 y1
d 2
l12 gd Hg
k 2 y1
（4-3-10）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：
y1
f m 1
1 Hg
d 2M dx2
gx Hg
（4-3-3）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道 恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：
gx gd y1
g d 拱顶处恒载强度；
（4-3-4）
拱上材料的容重。
由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为：
(chk
1)
为悬链线方程。
双曲余弦函数
（4-3-11）
chk ek ek
2
•对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（4-3-11）
y1
f (chk
m 1
1)
得：
chk m
通常m为已知，则可以用下式计算k值：
k ch1m ln(m m2 1)
（4-3-12）
反双曲余弦函数对数表示
•当m=1时 g x=gd，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次
为了使悬链线与其恒载压力线重和， 一般采用“ 五点重和法”确定悬链线的 m值。即要求拱轴线在全拱（拱顶、两 1/4l点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重 和。其相应的拱轴系数确定如下
拱顶处弯矩M d=0；剪力Q d=0。
•对拱脚取矩，由 MA 0 有：
Hg
Mj f
•对l/4截面取矩，由 MB 0 有：
实际上由于活载、主拱圈弹力线作为设计拱轴线。
1、圆弧线（三铰拱在径向均布荷载作用下的合理拱轴线为圆弧线）
圆弧线拱，线形最简单，施工最方便，易为群众掌握。但圆弧拱轴线 一般与恒载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于15~20m 以下的小跨径拱桥。
（4-3-17）
H g y1/ 4 M1/ 4 0
拱轴线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：
当
1
2
时， y1
y1/ 4
；代
1 2
到悬链线方程
y1
f (chk m 1
1)
半元公式
chk m
y1/4 1 (ch k 1) f m 1 2
ch k chk 1 m 1
2
2
2
y1/ 4
m 1 1
2
1
f
m 1
2(m 1) 2
y1/ 4 随m的增大而减小（拱轴线
抬高，随m减小而增大（拱轴线 降底）。
（2）空腹式拱拱轴系数的确定
空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载 由两部分组成，即主拱圈承受由实腹段 自重的分布力和空腹部分通过腹孔墩传 下的集中力（如左图）。由于集中力的 存在，拱的压力线为在集中力作用点处 有转折的曲线。但实际设计拱桥时，由 于悬链线的受力情况较好，故多用悬链 线作为拱轴线。
实腹式悬链线拱轴计算图示
对拱脚截面取矩，有:
Hg
M
f
M 半拱恒载对拱脚的弯矩。
（4-3-1）
对任意截面取矩，有：
y1
Mx Hg
(4-3-2）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； M 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。
对式（3-3-2）两边对x取两次导数，可得：
恒载集度
d 2 y1 dx2
第三章 拱桥的设计
第二节 简单体系的计算
一、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线的 原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是与拱上各 种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪 力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料的抗压性能。
我们把在巳知荷载作用下拱截面上只有轴向压力的拱轴线称为合 理拱轴线。
g j gd f mg d
（4-3-5）
其中：
m gj gd
称为拱轴系数。 （4-3-6）
(m 1)gd / f
这样gx可变换为：g x
gd
y1
gd
1
(m
1)
y1 f
（4-3-8）
将上式代入式（4-3-3）
d 2 y1 dx2
1 Hg
d 2M dx2
gx Hg
，并引参数:
可得： 令
2、悬链线
实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬链 线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线。
2、悬链线
空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其恒 载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最普遍的还 是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、跨径的四分之一 点和拱脚与压力线重合。
3、抛物线（三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴线为抛物线）
在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于恒载 集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混凝土拱桥，或 钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往可以采用抛物线拱。其 拱轴线方程为：
y1
4f l2
x2
1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 M d=0 剪力Q d=0 恒载推力为Hg
a) 先假设m值
b) 查表得拱脚处的 cos j ；
c)根据计算出的 cos j
，代入（4-3-14）g j
1hd
2h
d cos j
计算出g j，连同（4-3-13） gd 1hd d 由
m gj gd
计算出m值。
d)比较假设值m，如两者相符，即假定的m为真实值；如两者相 差较大， 则以计算出的m作为假设值，重新计算，直到两者相 等。