五年级奥数讲义：棋盘中的数学(含答案)

最新小学奥数棋盘中的数学（一）
第十讲棋盘中的数学（一）习题
2012-08-04 16:40 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理
第十讲棋盘中的数学（一）习题解答2012-08-04 16:39 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理
第十一讲棋盘中的数学（二）
第十一讲棋盘中的数学（二）习题
第十一讲棋盘中的数学（二）习题解答
第十二讲棋盘中的数学（三）
第十二讲棋盘中的数学（三）习题
第十二讲棋盘中的数学（三）习题解答
第十三讲棋盘中的数学（四）2012-08-04 16:30 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理
第十三讲棋盘中的数学（四）习题
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第十三讲棋盘中的数学（四）习题解答
第十四讲典型试题分析
第十四讲典型试题分析习题
第十四讲典型试题分析习题解答。

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3。

第五讲 棋盘中的数学问题（二）（2012年7月）一、知识要点1．学习二人对弈游戏中的基本思考方法：逆推法．2．掌握数学游戏中失败点和胜利点之间的关系，并能准用语言准确描述“必胜策略”．3. 棋盘中的计数问题．4. 用构造法解决存在性问题，掌握构造的一般技巧和基本规律；学习染色问题的基本思想，可以借助这一思想解决一些和棋盘表格相关的构造论证类题目； 掌握染色问题的技巧：双色染色，多色染色。

以及间隔染色，行列染色，区域染色． 二、典型例题例1. 如图是一个4阶的幻方。

一次操作是指对一行（或者一列）的四个方格中的每一个数加上或者减去相同的自然数，那么是否可以经过有限步的操作使得图1中的4阶幻方变为图2中的形式。

能则给出一种操作，不能则说明理由。

图1 图2例2．将2011个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走思考：将2010个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走例3．仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：2）在一个5×5的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：3）如果是10×10的方格，那么有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略:例4．仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）、一个4×4的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；2）、一个2010×2010的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；3）、如果是一个2010×2011的方格，那么是否存在使得所有灯全部变亮的方法；如果有至少按多少次；如果没有，请说明理由；例5．某影院有31排,每排101个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? .例6.能否用1T 字纸片,拼成一个8 8的正方形棋盘?例7. 仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.2）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,右上图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?例8．如图，一个4×4方格表内填有1―16这16个自然数，现在从填有1的方格出发，每一步可以走到相邻的方格中（有一条公共边的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有2的方格，那么所走到的全部方格中，填的数之和最大可能是多少？例9.甲、乙两人轮流在国际象棋的棋盘上摆放棋子“象”，使得互相之间不会被吃（不考虑象的颜色）。

棋盘中的数学————封闭图形中的植树问题清水塘小学江滨校区张凌云教学内容：人教版小学数学第八册第八单元《数学广角》P120例3内容分析1．教学主要内容理解封闭图形的植树问题中棵数（点数）与间隔数（段数）之间的关系2．教材编写特点：植树问题是“奥数”中的经典问题，新教材将其编入《数学广角》单元，目的让学生是通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用。

培养学生在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含于不同的情形中的规律，找出解决问题的有效方法的能力。

让学生经历抽取出数学模型的过程。

本单元共有3个例题，例1、例2教学了一条线段中的植树问题（在线段的两端都栽、两端都不栽或只栽一端的情况下，棵数与间隔数的关系），例3是借助围棋盘来探讨封闭曲线中的植树问题。

3．教学内容的数学核心思想：将“复杂的问题简单化”、“一一对应”是本课的数学核心思想。

教学目标：知识与技能：让学生用多种方法解决围棋盘中的数学问题，展示方法的多样化；并引导学生解决封闭图形中的植树问题，理解封闭图形的植树问题中点数与段数之间的关系。

过程与方法：让学生经历提问、猜想、验证、得出结论等数学探索的过程，初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决较复杂问题的有效方法的能力，同时能将这种规律应用到解决类似的问题之中。

情感、态度、价值观：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，使学生感受到数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。

（课堂实录）教学过程：一、谜语引入猜谜：黑白两对手，不在格中走。

有眼看不见，无眼难活久。

（打一棋类名称）谈话：同学们喜欢下棋吗？下过围棋吗？围棋是一项培养思维能力的活动，围棋的棋盘里还蕴含了有趣的数学问题。

今天我们一起来探究围棋棋盘中的数学问题。

（板书：棋盘中的数学）二、复习铺垫1、出示围棋棋盘图：围棋盘最外边是正方形，棋子下在两条线交叉的地方（动画演示两颗棋子）问：棋盘最外层的边长为54厘米,每相邻两颗棋子间的距离3厘米,一条边可以摆多少颗棋子?生:54÷3＋1﹦19（个）段数师：为什么要加1？生：这就是一个植树问题，是属于两端都要栽的情况。

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种． 所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 3】 图中可数出的三角形的个数为 ．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】填空【解析】 这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答CDBA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学竞赛 【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个． 所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．AB424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第7题 【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----，12345----。

棋子的奥数题及答案参考
棋子的奥数题及答案参考
棋子：(中等难度)
有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

棋子答案：
解：首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的.3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

2011-2012学暑期五年级讲义(2012年7月)第四讲棋盘中的数学问题（一）所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．一、知识要点1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：①m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．②2×n的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．二、典型例题（一）棋盘中的覆盖问题：1、能不能覆盖的问题，例1．一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3例2．要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：可以用若干块和拼成的图形是第几号图形？例4．下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？例5 8×8的棋盘能否用15个形骨牌和1个形骨牌覆盖？例6．能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？2、最多能用多少种图形覆盖的问题例7．一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上几种不同的图形？例8．用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？3、有多少种不同的覆盖方法问题。

第四讲计算综合一看完前面的故事，同学们可能有些疑问，真的需要那么多麦子吗？同学们可以试着算一算：从第一个棋盘开始，需要的麦子数分别为：1粒、2粒、4粒、8粒、16粒、32粒、64粒、128粒、256粒、512粒、1024粒、2048粒、……写到这里，同学们可以看出，开始的时候麦粒数量并不大，但越到后面数量越多，最终会达到全世界都无法承受的程度．我们的直觉往往是正确的，但有的时候我们也会被直觉所欺骗．麦粒数量形成的这串数列，就叫做等比数列．等比数列就是按照相同的倍数增加（或减少）的数列，例如“麦粒数列”就是按照2倍的速度增加的，这个相同的倍数就是公比，“麦粒数列”的公比就是2．同等差数列一样，等比数列同样有首项，末项及项数，同学们可以想一想如何通过首项和公比将等比数列的每一项都表示出来．等差数列求和是利用“倒序相加”或“配对求和”的方法，那么等比数列如何求和呢？我们来看一个例题．例题1．计算：（1）1248163264128256++++++++；（2）2618541624861458++++++．分析：这是一个等比数列求和的问题.如果一个一个的计算会有点复杂，那么该如何简便地算出数列的和呢？练习1．（1）3456789++++++；2222222（2）2373333++++．（836561=）有关等比数列的知识，同学们到中学以后还会继续学习，在这里只需掌握简单的等比数列求和即可．下面我们看一些技巧性比较强的分数计算的题目，首先我们先来看一个整体约分的题目．例题2．计算：123246481271421 13526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．分析：注意到246⨯⨯是123⨯⨯的32倍，4812⨯⨯是123⨯⨯的34倍，71421⨯⨯是123⨯⨯的37倍，那么可以把123⨯⨯都提出来．分母也可以同样处理．练习2．计算：234468691281216 345681091215121620⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．除了整体约分，有时候我们也可以对计算中的某些数进行适当的拆分，从而避免很多冗繁的计算．使得计算过程呈现出“四两拨千斤”的效果．例题3．计算：113114115 151617 131414151516⨯+⨯+⨯．分析：把算式里的某些数适当拆分，可以简化计算的过程．练习3．计算：115116117 333537 151616171718⨯+⨯+⨯．例题4．计算：201111 20112011227201262013÷+÷+．分析：利用前面两道题目用过的技巧，就可以解决这道题目了．练习4．计算：19811 19819864919917200÷+÷+．例题5．定义新运算a bΩ为a与b之间（包含a，b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：()714791113410Ω=+++÷=，()18101816141210514Ω=++++÷=．（1）计算：1019Ω；（2）在算式()199980ΩΩ=的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？分析：根据题意，可知a bΩ是公差为2的等差数列的平均数．想一下，等差数列的平均数有什么简便算法吗？最后我们来看一下数列数表的问题，数列数表的问题一般难度比较大，需要我们仔细观察，寻找规律．例题6．观察数列11212312341223334444，，，，，，，，，，的规律，求：（1）150是数列中第几项？（2）数列中第100个分数是多少？分析：观察数列，你找到什么规律了吗？又如何来利用这些规律呢？心算能力超强的数学家“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样．”(数学家阿拉戈语)欧拉是历史上最多产的数学家，写下了浩如烟海的书籍和论文．他心算能力极强，如果你问他前一百个质数中任何一个数的六次方，他都可以瞬间告诉你结果．有一次欧拉的两个学生算无穷级数求和，算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发生争执，欧拉这时进行心算，迅速给出了正确答案．莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）约翰·冯·诺依曼（John Von Neumann）（1707年4月15日～1783年9月18日）（1903年12月28日~1957年2月8日）约翰·冯·诺依曼，被誉为“现代电子计算机之父”，也是公认的数学天才．据说：六岁时他能心算八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领会了波莱尔的大作《函数论》要义．有一次，美国物理学家塞格雷（诺贝尔奖获得者）和同事（也是个诺贝尔奖牛人）为一个积分问题奋斗了一个下午，却毫无进展．这时他们从开着的门缝中看到冯·诺依曼正沿着走廊朝他们的办公室走来，于是他们问冯·诺依曼：“您能帮我们解决这个积分问题吗？”困扰他们的积分问题就写在移动黑板上，冯·诺依曼走到门口，看了一眼黑板，立即给出了答案（大概花了3秒钟）．1. 计算：212222++2. 计算：361224384+++++．3. 计算：111112252711121213⨯+⨯． 4. 计算：12324651015125241051025⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯． 5. 数列23、25、45、27、47、67、29、…中，第100项是多少？100105是数列的第几项？第四讲 计算综合一例题1. 答案：（1）511；（2）2186详解：（1）设1248163264128256S =++++++++，2248163264128256512S =++++++++，二式相减得5121511S =-=．（2）设261458S =+++，36184374S =+++，两式相减得2437424372S =-=，2186S =．例题2. 答案：25 详解：整体约分，原式333333123123212341237135135212341237⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 33333312312471351247⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++（）（）25=．例题3. 答案：45 详解：11311411514+115+116+1131414151516=⨯+⨯+⨯原式（）（）（）131413141514151615=14++15++16+141314151415161516⨯⨯⨯⨯⨯⨯=13+1+14+1+15+1=45例题4. 答案：146详解：171=11+(21+)7+201262013÷÷原式201217=++217+7201320136÷÷1=46．例题5. 答案：（1）14；（2）101或100详解：（1）10191018214Ω=+÷=（）；（2）199********Ω=+÷=（）；方框里有两种填法，80259101⨯-=或者80260=100⨯-．例题6. 答案：（1）1226；（2）914详解：（1）150是()1494921=1226+⨯÷+项．（2）因为()11313291+⨯÷=，114是第92个数．那么第100个数就是从114开始数的第9个，是914．练习1. 答案：（1）1016；（2）3279简答：（1）原式932221016=⨯-=；（2）原式83332792-==．练习2. 答案：25简答：原式23423455⨯⨯==⨯⨯．练习3. 答案：99 简答：原式115116117321341361151616171718⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 30132134199=+++++=．练习4. 答案：2817简答：原式11119921211631978199172002001720017⎛⎫=÷++÷+=+++= ⎪⎝⎭．作业1. 答案：8190 简答：原式．作业2. 答案：765简答：原式38423765=⨯-=．作业3. 答案：48 简答：原式1111122412612212414811121213⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 作业4. 答案：35 简答：原式12331255⨯⨯==⨯⨯． 作业5. 答案：1829，第1376项 简答：把数列改写成一个三角形的数表，然后再做就可以了．122228190=⨯-=。