重积分部分练习题

第一套1、试利用积分性质比较()σd y x D⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3的大小，其中D 为：()()11222≤-+-y x ，并说明理由。

2、交换下列积分次序：()dx y x f dy y y ⎰⎰---21211,3、计算积分⎰⎰D D dxdy y x ,：由2,x y x y ==围成;4、计算积分x y y y x D dxdy x yD≤≥≤+≤⎰⎰,0,41:,arctan 225、求z =与222()z x y =-+所围空间区域的体积。

6、计算三重积分10,1:,2222≤≤≤+Ω⎰⎰⎰Ω--z y x dxdydz ey x ；7、计算三重积分2222222(),:,0.x y z dV x y z R z Ω++Ω++≤≥⎰⎰⎰第二套1、将二重积分()dxdy y x f D⎰⎰,化成直角坐标系下的累次积分（两种次序都要），积分区域D ：由2,,1,0-====x y x y y y 所围成；2、交换下列积分次序：()dyy x f dx xe⎰⎰ln 01,3、计算积分⎰⎰DD dxdy xy ,2：由()021,22>==p p x px y 围成； 4、计算积分22,:2Dxdxdy D x y x x +≤⎰⎰和轴在第一象限所围区域。

5、求旋转抛物面225z x y =--被三个坐标面所截位于第一卦限部分的表面积。

6、利用柱面坐标计算下列积分Ω⎰⎰⎰Ω,dxdydz z 由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成。

7、计算三重积分2222222(),:,x y z dV x y z R z Ω++Ω++≤≥⎰⎰⎰第三套1、将二重积分()dxdy y x f D⎰⎰,化成直角坐标系下的累次积分（两种次序都要），积分区域D ： 224,x y x y -≤≥；2、交换下列积分次序：()dx y x f dyy⎰⎰204,()dx y x f dyy ⎰⎰-+6064,3、计算积分⎰⎰≤≤≤≤Dy x D ydxdy x 20,21:,sin π；4、计算积分9:,42222≤+-+⎰⎰y x D dxdy y x D．5、求由直线,2y x x ==及双曲线1,(0)y x x=>所围平面图形面积。

重积分习题三1、试求函数f(x,y)=xy2在区域D：0≤x≤1,0≤y≤1上的平均值。

2、计算二次积分3、计算二次积分4、计算二次积分5、计算二次积分6、计算二次积分7、计算二次积分8、计算二次积分9、计算二次积分10、计算二次积分11、计算二次积分12、计算二重积分其中D：|x|≤2,|y|≤1.13、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.14、计算二重积分其中D：0≤x≤a0≤y≤b.15、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.16、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.17、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.18、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,0≤y≤2.19、计算二重积分其中D：0≤x≤2,－1≤y≤1.20、计算二重积分其中D：0≤x≤π,0≤y≤.21、计算二重积分其中D：－1≤x≤3,0≤y≤2.22、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤4.23、计算二重积分其中24、计算二重积分其中D：|x|≤π,|y|≤1.25、计算二重积分其中D：|x|≤3,|y|≤1.26、计算二重积分其中D：|x|≤1,0≤y≤1.27、计算二重积分其中D是以O(0，0)A(1，1)和B(0，1)为顶点的三角形区域。

28、计算二重积分其中D：0≤x≤1,－1≤y≤0.29、计算二重积分其中D：0≤y≤sin x,0≤x≤π.30、计算二重积分其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。

31、计算二重积分其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。

32、计算二重积分其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.33、计算二重积分其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。

34、计算二重积分其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。

35、计算二重积分其中36、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,1≤y≤1.37、计算二重积分其中D：|x|≤π,0≤y≤1.38、计算二重积分其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。

第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为 。

2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。

(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。

3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。

4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。

5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。

6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。

7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。

8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。

9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。

10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。

11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。

重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。

重积分总复习题一 判 断1.若(,)f x y 在D 上的二重积分存在，则必定有(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰（ ）2.111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰. （ ）二 填空题1.改换二次积分的积分次序⎰⎰yy dx y x f dy 2202),(= .2.化2220)adx x y dy +⎰为极坐标形式下的二次积分为 .3.将极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分21(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⋅=⎰⎰ ___________________4.二次积分2xdx f dy ⎰的极坐标形式的二次积分为 .5.交换二次积分201111(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰的积分次序为 .三 选择题1.设区域D ：221x y +≤，f 是域D 上的连续函数，则22()Df xy dxdy +=⎰⎰（ ）A.12()rf r dr π⎰B .104()rf r dr π⎰ C.122()rf r dr π⎰ D.04()rrf r dr π⎰2.设4(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，交换积分次序，得（ ）A.24104(,)y y dy f x y dx ⎰⎰ B.21440(,)y ydy f x y dx -⎰⎰C.44104(,)dy f x y dx ⎰⎰ D.20144(,)y y dy f x y dx ⎰⎰3.设积分区域D 由x 轴，y 轴及直线1x y +=围成，则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分后为（ ）.A.10dx ⎰1(,)0x f x y dy -⎰. B.10x dy -⎰1(,)0f x y dx ⎰. C.10dx ⎰1(,)0f x y dy ⎰.D.10dy ⎰1(,)0f x y dx ⎰.4.),(z y x f =在有界闭区域D 上连续是二重积分σd ),(D⎰⎰y x f 存在的（ ）条件。

第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为 。

2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。

(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。

3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。

4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。

5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。

6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。

7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。

8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。

9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。

10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。

11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。

第6章 重积分练习题习题6.11．设xoy 平面上的一块平面薄片Ｄ，薄片上分布有密度为),(y x u 的电荷，且),(y x u 在Ｄ上连续，请给出薄片上电荷Q 的二重积分表达式．2．由平面1342=++z y x ，0=x ， 0=y ，0=z 围成的四面体的体积为V ，试用二重积分表示V ．3．由二重积分的几何意义计算⎰⎰--Dd y x Rσ222，222:R yx D ≤+．4．⎰⎰=Dd y x f I σ),(．y y x D 2:22≤+，写出I 的累次积分式．5．交换下列累次积分的积分顺序： ⑴⎰⎰--aa x a dy y x f dx 22),(． ⑵⎰⎰⎰⎰-+31301020),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy ．6．计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Dyx d eσ23．2||,2||:≤≤y x D ． ⑵⎰⎰+Dd y x σ)(22．1||||:≤+y x D ．⑶⎰⎰+Ddxdy yx221．10,10:≤≤≤≤y x D ． ⑷⎰⎰--Ddxdy y x )2(21．2,:x y x y D ==．7．运用极坐标变换计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Ddxdy y x 22．1:22≤+yx D ．⑵⎰⎰+Ddxdy y x )(22．y y x D 6:22≤+．⑶⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22．4:22≤+y x D ，0≥x ，0≥y ．8．现有一平面薄片，占有xy 平面上的区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x u ，且),(y x u 在D 上连续，求该平面薄片的重心表达式．9．学习（或复习）物体转动惯量的相关物理知识．探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式，然后计算斜边长为a 的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量．习题6.21．在直角坐标系中计算下列三重积分：⑴dxdydz z xy V42⎰⎰⎰．31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V ．⑵dxdydz z y x V⎰⎰⎰++)sin(．V 由平面0=x ，0=y ，0=z ，2π=++z y x 围成．2．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydzy xV⎰⎰⎰+)(22，其中V 由旋转抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的立体．3．在球面坐标系中计算三重积分dxdydz zy x z y x V⎰⎰⎰++++222222cos ，222224:ππ≤++≤z y x V ．4．运用三重积分求半径为R 的球体的体积．5．运用三重积分求球面z z y x 2222=++和锥面（以z 轴为轴，顶角为︒90）所围部分的体积．6．求曲面z z y x 8)(2222=++围成部分的体积．习题6.31．求球面16222=++z y x 被平面1=z 和2=z 所夹部分的面积．2．一段铁丝刚好围成三角形ABC ，其中)0,0(A 、)0,1(B 、)1,0(C ，三边上点),(y x 处的线密度为y x +，求这段铁丝的质量．3．求⎰τzds ，τ为圆锥螺线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t t y t t x sin cos ．4．求ds y x ⎰+τ22，其中τ为圆周x y x 222=+．5．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 是由点)0,1(沿上半圆122=+y x 到)0,1(-．6．)0,0(A ， )1,1(B 在抛物线2x y =上，一质点从A 移动到B 沿上．在点),(y x 处所受的力F 等于该点到原点的距离，且指向原点，求力F 所作的功半圆．7．利用格林公式计算：dy y x dx y x )()(222+++⎰τ，τ为区域10≤≤x ，x y x ≤≤2的正向边界曲线．8．计算ydx x dy xy 22-⎰τ，其中τ为圆周122=+y x ．9．计算球面的质量m ，已知球半径为1，球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离．10．计算⎰⎰++SdS z y x )(．4:222=++z y x S ，0≥z ．11．计算⎰⎰SzdS ．S 是平面1=++z y x 在第一卦限部分．12．计算⎰⎰++Szdxdy ydxdz xdydz ．S 为球面1222=++z y x 的外表面．13．用高斯公式计算上面第12题．复习题六一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1．若0),(≥y x f ，则⎰⎰Ddxdy y x f ),(的几何意义是以区域D 为底、曲面),(y x f z =为曲顶的曲顶柱体的体积． （ ）2．若设}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则0≥⎰⎰dxdy xe Dxy ． （ ）3．若设D 是由1=+y x 、1=-y x 和0=y 所围成的区域，则有=⎰⎰dxdy xy Ddy xy dx x x⎰⎰--111． （ ）4．⎰⎰⎰⎰=11ln 0),(),(eeexydxy x f dy dy y x f dx ． （ ）5．若设L 是围成区域D 的边界曲线，则dy y x Q dx y x P L ),(),(+⎰σd yQ xP D)(∂∂-∂∂=⎰⎰． （ ）二、填空题1．设}2||,1|||),{(≤≤=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．2．设}14|),{(22≤+=y xy x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．3．设}|),{(222R y x y x D ≤+=，由重积分的几何意义得⎰⎰=--Dd y x R σ222．4．若dr r r f r d dy y x f dx aa xa ⎰⎰⎰⎰--=)sin ,cos (),(22θθθβα，则=),(βα．5．设L 为椭圆14922=+yx的正向边界，=+⎰Lydy xdx cos 3 ．三、选择题1．若D 是由kx y =)0(>k ，0=y 和1=x 围成的三角形区域，且⎰⎰=Ddxdy xy 1512，则=k （ ）A ．1B ．354 C ．3151 D ．3522．将极坐标系下的二次积分dr r r f r d I ⎰⎰=θπθθθsin 20)sin ,cos (化为直角坐标系下的二次积分，则=I （ ）A ．⎰⎰--+--11111122),(y y dx y x f dy B ．⎰⎰---202222),(xx xx dyy x f dx C ．⎰⎰----112222),(yy yy dxy x f dy D ．⎰⎰--+--11111122),(xxdyy x f dx3．二次积分⎰⎰2142),(x dy y x f dx 交换积分次序为 （ ）A ．⎰⎰2014),(ydxy x f dy B ．⎰⎰2040),(ydx y x f dyC ．⎰⎰1040),(ydx y x f dy D ．⎰⎰1024),(ydxy x f dy4．若D 是由2x y =和2y x =所围成的区域，L 为区域D 的正向边界，则⎰-Ldxy dy x 222131= （ ）A ．143 B ．91 C ．41 D ．52415．若L 是围成平面内一闭区域D 的正向边界曲线，则曲线积分⎰+Lxy dy x dx xe 2可化为二重积分 （ ）A ．⎰⎰-Dxy d x e x σ)2(2 B ．⎰⎰-Dxy d e x x σ)2(2C ．⎰⎰+Dxy xy d e x e σ)(2 D ．⎰⎰-Dxy xy d e x e σ)(2四、解答题1．区域D 是由抛物线yx =，直线0=x 和0223=+-y x 围成，计算⎰⎰Dxdxdy 的值2．设}|),{(222π≤+=y x y x D ，求二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22sin3．计算dy y e dx y y e x Lx )1cos ()sin (-+-⎰，其中Ｌ是圆周x y x 422=+，且正向为逆时针方向4．求半径为R ，高为H )(R H <的球冠面积5．求两个底面半径相等的直交圆柱面222R y x =+与222R z x =+所围成的立体的体积。

重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。

6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

重积分、第一类积分课外练习题1、利用重积分的几何意义求下列积分值.(1){}222,(,)|DD x y x y R σ=+≤；(2){}2,(,)|1,1,0Dd D x y x y y x y σ=+≤−≤≥∫∫.2、计算下列积分. (1){},(,)|1,1x yDed D x y x y σ+=≤≤∫∫；(2)2,Dx ydxdy D ∫∫由直线1,2y x ==及y x =所围成；(3)cos(),Dx x y dxdy D +∫∫是以点(0,0),(,0)π和(,)ππ为顶点的三角形区域；(4)211 0x dy dx ∫∫；(5)1sin , D ydxdy D y ∫∫是由22y x π=与y x =所围成.3、改变下列二次积分的积分顺序.(1) 10(,)xdx f x y dy ∫∫；(2)1221(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy −+∫∫∫∫4、利用极坐标计算下列二重积分.(1)(4)Dx y dxdy −−∫∫，其中D 是圆域 222x y R +≤；(2)D，其中D 为上半圆域222x y ax +≤；(3)arctanDydxdy x∫∫，其中区域D 是由圆22224,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限内的部分；(4)122 0 0)dx x y dy +∫∫.5、选择适当的坐标系计算下列二重积分.(1)D，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的区域；(2)()22Dx y dxdy +∫∫，其中D 是由直线,,y x y x a y a ==+=及3y a =所围成的区域，其中0a >.6、已知区域D 是由抛物线22,(0)y px y qx p q ==<<与双曲线,xy a xy b ==所围成，其中0a b <<，试求D 的面积A .7、利用广义极坐标：cos ,sin (0,02,0,0)x ar y br r a b θθθπ==≥≤≤>>计算二重积分2Dx dxdy ∫∫，其中D 为椭圆域22221x y a b +≤.8、设[]()(,)f x C a b ∈，证明： 2 2()()()()b x baaadx x y f y dy b y f y dy −=−∫∫∫.9、证明不等式：2216121655x y ππ+≤≤≤∫∫. 答案：1、(1)223R π；(2) 2.2、(1) 21e e ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠; (2)2915; (3)32π−; (4)1(1)3e −; (5)21π−3、 21 12 0(1)(,),(2)(,)y y y ydy f x y dx dy f x y dx −∫∫∫∫4、 23248233(1)2(2),(2),(3),(4)3323644R Ra a ππππ⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠ 5、4(1)(2),(2)148a ππ− 16()ln 3q b a p−、 374a b π、1、计算下列重积分(1)zdxdydz Ω∫∫∫，Ω由曲面 z =及 1z =围成；(2)()x y z dxdydz Ω++∫∫∫，(){|0,0,0}x y z x a y z c bπΩ=++≤≤≤≤≤≤；(3) cos xy zdxdydz Ω∫∫∫，其中Ω为抛物柱面y =与平面0,0,2y z x z π==+=所围成的区域；(4) ()222x y z dxdydz Ω++∫∫∫，其中Ω是椭圆面 2222221x y z a b c++=的内部2、选择适当的坐标系计算下列三重积分： (1)Ω∫∫∫，Ω是由圆柱面 2220,0,0x y x y z +−=≥=与 ()0z a a =>所围成的； (2)zdxdydz Ω∫∫∫，Ω是由曲面 z =及z =所围成；(3)()22xy dxdydz Ω+∫∫∫，Ω是由 222x y z +=及 2z =所围成；(4)()22xy dxdydz Ω+∫∫∫，Ω是由 z z ==及 0z =所围成的区域，其中 0b a <<； (5)∫∫∫， Ω是由球面 2222x y z Rz ++=所围成的区域；(6)()32222sin x y zdxdydz Ω++∫∫∫，Ω是由锥面z =)a 0z =>所围成的；(7)()222222ln 11z x y z dxdydz x y zΩ++++++∫∫∫， ()222{,,|1}x y z x y z Ω=++≤；(8)222dxdydz x y z Ω++∫∫∫，Ω是2221x y z ++≥ 与2229x y z z ++≤的公共部分；(9)1dx∫∫∫；(10) ) 22 0aadx xy dz −+∫∫∫；(11) ()()2222236,{,,|1}94x y x y z dxdydz x y z z Ω++Ω=++≤∫∫∫3、设 ()3(,,)f x y z C R ∈，证明()()()1211ax by cz dxdydz u f ku du πΩ−++=−∫∫∫∫，其中222:1,0,0,0x y z k a b c Ω++≤=>>>答案：1、 22222224(1)();(3)2;(4)()4415abc bca acb abc a b c πππ++−++1;(2)22、 5581648(1);(3);(4)();(5)93155b a πππ−2a ;(2)8； 3280(6)(1cos )1;(7)0;(8);(9)3298a ππ⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠；251864(10);(11)105a ππ1、计算下列曲线积分 (1)∫v 为圆周222x y y +=−；(2)()Lx y ds +∫是连接点(1,0)和点(0,1)的直线段；(3)22()Lx y ds +∫v 为圆周cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤； (4)Lxyds ∫是抛物线22y x =上从原点到点(2,2)的那一段弧；(5)L是摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =−=−的第一拱，即对应于02t π≤≤的那一段弧；2、计算下列积分(1)222L ds x y z ++∫为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===从0到2的一段弧；(2) 2Lx yzds ∫为折线ABCD ：(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；答案：1、(1) 8；； (3) 32a π； (5) 23(2)a π.2、(1)2(1)2e −−；(2) 9.1、计算曲面积分(,,)f x y z dS Σ∫∫，其中Σ是抛物面222()z x y =−+，在xy 平面上方的部分，(,)f x y 分别如下：(1)(,,)1f x y z ≡；(2)22(,,)f x y z x y =+；(3)(,,)3f x y z z = 2、计算下列曲面积分(1)xyzdS Σ∫∫w ，其中Σ为四面体1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的整个表面；(2)()xy yz xz dS Σ++∫∫，Σ为圆锥面z =被曲面222x y ax +=所割下的部分；(3)xyz dS Σ∫∫，其中Σ是22z x y =+被平面1z =所割下的部分；答案：1、(1)133π; (2)14930π; (3)11110π2、(1)120 (2)415a (3)1420−。

第九章 重积分A1、 填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2）()=⎰⎰dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5）()=⎰⎰dy y x f dx ex 1ln 0,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的 值则 。

4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2⎰⎰+=与()σd y x I D 3⎰⎰+=的大小________________________________5）设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）⎰⎰-+a x ax dy y x dx 2020222)(2）⎰⎰+ax dy y x dx 00223、利用极坐标计算下列各题1）⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）⎰⎰D d xy σarctan，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题 1)⎰⎰D d yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.2）⎰⎰+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）⎰⎰--D d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.4）⎰⎰+D d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度 ()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及 632=++z y x 截得的立体的体积.9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622 截得的立体的体积.10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分()⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.2）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域(){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量.13、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域.14、计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x Rh z +=与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1）⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域.2）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分.3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.4）()⎰⎰⎰Ω+dv y x22，其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220，0≥z 所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）226y x z --=及22y x z +=.2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积.22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心 D 是半椭圆形闭区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤+0,1,2222y b y a x y x .25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=μ，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）1）222y x z +=，1=z2）222y x A z --=，222y x a z --=()0>>a A ,0=z26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1=ρ）.B1、 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）()σd y x D ⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成.2）()σd y x D ⎰⎰+ln 与()[]σd y x D⎰⎰+2ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1， ()1,1，()0,2 .2、计算下列二重积分1）⎰⎰+σd e y x ，其中(){}1,≤+=y x y x D2）()⎰⎰-+D d x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域3），()σd y x y D ⎰⎰+-+9632，其中(){}222,R y x y x D ≤+=3、化二重积分()σd y x f I D⎰⎰=,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是 1）由x 轴及半圆周222ry x =+()0≥y 所围成的闭区域2）环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x4、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.5、计算()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dxdydz ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体.6、计算下列三重积分 1)dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.2)()dv z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++11ln 222222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.3)()d v z y⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域(){}Rz z y x z y x 2,,222≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x =a y =所围成1）求物体的体积; 2）求物体的质心;3）求物体关于z 轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 所围成.2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和y x z 23+=所围成()0>a .3、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()⎰⎰---=yy dx y x f dy I 311102,的积分次序.5、计算二重积分dxdy x y I D⎰⎰-=2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.6、求二重积分()dxdy xe y D y x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围成的平面区域. 7、计算⎰⎰⎰Ωdv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2222R r z y x =-++围成.8、计算dxdydz z xy I ⎰⎰⎰Ω=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域.9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置. 10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()()()t h y x z t h z 22+-=（设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？第九章 重积分答案 习 题 答 案（A ）1、 填空题 1）①()()⎰⎰⎰⎰-+2120122,,x x dy y x f dx dy y x f dx②()dy y x f dx xx ⎰⎰240, ③()dy y x f dy x⎰⎰110, ④()dy y x f dx x ⎰⎰--21011,⑤()⎰⎰ee ydx y x f dy ,10⑥()⎰⎰-+-244202,x x dy y x f dx2）()4121--e 3)20≤≤I 4)()()⎰⎰⎰⎰+≥+D Dd y x d y x σσ325)2-π 6)⎰⎰⎰---yx x xdz dy dx 21021017)()⎰⎰⎰2224020sin dr r r f d d ϕϕθππ2、1）443a π 2）()[]21ln 2613++a3、1）()14-e π2）()12ln 24-π 3）2643π4、1）49 2）2sin 22cos 1sin 1cos 23--++ 3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-34313πR 4）()3332a b -π 5、5401π 6、k R arctan 313 7、34 8、27 9、617 10、4323a π 11、1）()dz z y x f dy dx xy x⎰⎰⎰-01010,, 2）()⎰⎰⎰-+----22222221111,,x y x x x dz z y x f dy dx12、23 13、3641 14、481 15、224R h π 16、π127 17、π54 18、1）81 2）548059R π 3）π8 4）()55154a A -π19、1）π332 2）3a π 20、3R k π 21、()222-πa22、π2 23、μ105368=I 24、π34,0by x == 25、4835=x ，5435=y 26、⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0,027、M a 221（ρπh a M 2=为圆柱体的质量） （B ）1、 1）()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ32 2）()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσln ln 22、1）1--e e 2) 613 3) 2494R R ππ+ 3、1）()⎰⎰--=220,x r rr dy y x f dx I ，()⎰⎰---=2222,0y r y r rdx y x f dy I2）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------++=222222141141114412,,,x x x x x x dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx I()⎰⎰---+224421,x x dy y x f dx()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----------++=222222144111114421,,,y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy I()⎰⎰-----+224412,y y dx y x f dy4、π65、⎪⎭⎫ ⎝⎛-852ln 21 ； 6、1）548059R π 2）0 3）π3250 ； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛R 45,0,0 8、1）438a 2）⎪⎭⎫ ⎝⎛2157,0,0a 3）645112a ρ（C ）1、 解：令()10,++=y x y x f ，关键是求()y x f ,在D 上的最大值和最小值，在D 内部，1=x f ，1=y f ，因此()y x f ,在D 内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作 ()()410,22-++++=y x y x y x F λ由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0402102122y x F y F x F y x λλλ解得驻点为()2,2，()2,2-，比较可得最小值2210-=m ，最大值为2210+=M ，而D 的面积为π4，由估值定理得()()258258+≤≤-ππI 。

高等数学课程第十章 重积分试卷单元测试题（A ）一、选择题（每小题4分，共20分）1、()()01,lim ,niiii Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰中λ是 （ ）A. 最大小区间长B. 小区域最大面积C. 小区域直径D. 小区域最大直径2、函数(),f x y 在有界闭区域 D 上有界，是二重积分(),Df x y dxdy ⎰⎰存在的 （ ）A. 充分必要条件B. 充分条件，但非必要条件C. 必要条件，但非充分条件D. 既非充分又非必要条件3、二重积分Dxydxdy ⎰⎰（其中2:0,01D y x x ≤≤≤≤）的值为 （ ）A.16 B.112 C. 12D. 144、若区域 ()22:11D x y -+≤，则二重积分 化为累次积分为 （ ） A.()2cos 0cos ,sin d f r r rdr πθθθθ⎰⎰B.()2cos 0cos ,sin d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰C.()2cos 202cos ,sin d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰D.()2cos 22cos ,sin d f r r rdr πθθθθ⎰⎰5、设空间区域02222≥≤++Ωz R z y x ，：；00022221≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ，，，：，则 ( ) A.1d d d 4d d d x x y z x x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.1d d d 4d d d y x y z y x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.1d d d 4d d d z x y z z x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.1d d d 4d d d xyz x y z xyz x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. 更换积分I=10(,)ydy f x y dx ⎰⎰的次序，则I= （ ）A. ⎰⎰101),(xdy y x f dx ； B.110(,)dx f x y dy ⎰⎰； C.10(,)xdx f x y dy ⎰⎰； D.11(,)ydx f x y dy ⎰⎰.7. 若10,10:≤≤≤≤y x D ，则积分⎰⎰+Ddxdy y x )(= （ ）A. 1;B. 2;C. 0;D. -1.8. 二重积分2Dxy dxdy ⎰⎰（其中2:0,2D y x x ≤≤≤）的值为 （ ） A. 0； B.323； C. 643； D. 256.二、判断题（每小题2分，共10分）1、如果函数(),f x y 在有界闭区域D 上连续，则其在D 上可积. （ ） 2. 如果函数(),f x y 在有界闭区域D 上可积，k 是常数则()(),,DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.（ ）3、若函数(),f x y 是有界闭区域D 上的负连续函数，则(),0Df x y d σ<⎰⎰ . （ ）4、如果在D 上，(),1f x y ≡-，D 的面积为 σ，则Dd σσ=⎰⎰ . （ ）5、如果函数(),f x y 在关于y 轴对称的有界闭区域D 上连续，且()(),,f x y f x y -=-，则(),0Df x y =⎰⎰ .（ ）三、填空题（每小题4分，共20分）1、设区域D 的面积为S ，则2Dd σ⎰⎰= .2、设222:D x y a +≤，0y ≥，m 为奇数，则m nDx y dxdy =⎰⎰ . 3、已知(),f x y 为连续函数，则()1,ydy f x y dx ⎰交换积分次序后 .4、二次积分()1,dx f x y dy ⎰在极坐标系下先对r 积分为 .5、根据二重积分的几何意义，D= 其中22:4D x y +≤，0y ≥。

第九章 重积分A1、 填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2）()=⎰⎰dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5）()=⎰⎰dy y x f dx ex 1ln 0,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的 值则 。

4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2⎰⎰+=与()σd y x I D 3⎰⎰+=的大小________________________________5）设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）⎰⎰-+a x ax dy y x dx 2020222)(2）⎰⎰+ax dy y x dx 00223、利用极坐标计算下列各题1）⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）⎰⎰D d xy σarctan，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题 1)⎰⎰D d yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.2）⎰⎰+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）⎰⎰--D d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.4）⎰⎰+D d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度 ()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及 632=++z y x 截得的立体的体积.9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622 截得的立体的体积.10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分()⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.2）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域(){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量.13、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域.14、计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x Rh z +=与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1）⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域.2）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分.3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.4）()⎰⎰⎰Ω+dv y x22，其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220，0≥z 所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）226y x z --=及22y x z +=.2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积.22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心 D 是半椭圆形闭区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤+0,1,2222y b y a x y x .25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=μ，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）1）222y x z +=，1=z2）222y x A z --=，222y x a z --=()0>>a A ,0=z26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1=ρ）.B1、 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）()σd y x D ⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成.2）()σd y x D ⎰⎰+ln 与()[]σd y x D⎰⎰+2ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1， ()1,1，()0,2 .2、计算下列二重积分1）⎰⎰+σd e y x ，其中(){}1,≤+=y x y x D2）()⎰⎰-+D d x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域3），()σd y x y D ⎰⎰+-+9632，其中(){}222,R y x y x D ≤+=3、化二重积分()σd y x f I D⎰⎰=,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是 1）由x 轴及半圆周222ry x =+()0≥y 所围成的闭区域2）环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x4、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.5、计算()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dxdydz ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体.6、计算下列三重积分1)dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.2)()dv z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++11ln 222222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.3)()d v z y⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域(){}Rz z y x z y x 2,,222≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x = a y =所围成1）求物体的体积;2）求物体的质心;3）求物体关于z 轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分()⎰⎰++=D d y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 所围成.2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和y x z 23+=所围成()0>a .3、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()⎰⎰---=y y dx y x f dy I 311102,的积分次序. 5、计算二重积分dxdy x y I D ⎰⎰-=2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.6、求二重积分()dxdy xe y D y x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围成的平面区域.7、计算⎰⎰⎰Ωdv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2222R r z y x =-++围成. 8、计算dxdydz z xy I ⎰⎰⎰Ω=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域. 9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置.10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()()()t h y x z t h z 22+-= （设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？。