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8.3 三重积分的计算法

8.3 三重积分的计算法

v1, v2,…, vn,
其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。
在每个vi上任取一点( i , i, i) ，作乘积 f (
i
,
i,

i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
i 1
如果当各小闭区域直径的最大值趋于零时
1
1)
dv, 其中
:
x2 y2 z2 1 。
13
解 (1) ( x y z)dv 空间区域 如图所示。
z C (0,0,1)
由于空间区域 对三个变量
是对称的, 并且被积函数也是对
o
称的。因此有 :
x A (1,0,0)
xdv ydv zdv
6
f (x, y, z)
b
dx
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz

a
1 ( x )
z1( x , y )
公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最 后对x的三次积分。
f ( x, y, z)dv dxdy z2 (x, y) f ( x, y, z)dz
化为三次积分形式, 其中 为
(1) : x2 z2 R2 , y 0, y H;
(2) : x 1 y2 z2 , x 0 。
解 (1)及在zox面上的投影如下图
z
z
R
o x
Hy
Dzx
o Rx
10
z R o x
Hy
z
Dzx
o Rx

f

三重积分的计算方法

三重积分的计算方法

三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的某些物理量进行积分运算，而三重积分就是用来描述这种三维空间中的积分运算的工具。

下面，我们将介绍三重积分的计算方法。

首先，我们来看三重积分的定义。

对于空间中的一个有界闭区域V，如果函数f(x, y, z)在V上有定义且在V上可积，那么三重积分∬∬∬_{V}f(x,y,z)dxdydz的计算方法如下：1. 将积分区域V投影到xy平面上，得到投影区域D。

2. 在D上选择一个合适的坐标系，通常选择直角坐标系或极坐标系。

3. 再在D上选择一个曲线坐标系，通常选择柱坐标系或球坐标系。

4. 根据选择的坐标系，写出积分的累次积分式。

5. 按照累次积分的顺序依次进行积分运算。

在实际计算中，我们通常会遇到一些复杂的积分问题，下面我们来看一些常见的计算方法。

首先是直角坐标系下的三重积分计算。

在直角坐标系下，积分区域V可以用不等式形式表示，利用三次积分的性质，可以将三重积分化为三个一重积分的累次积分。

这样就可以分别对x、y、z进行积分，从而简化计算。

其次是极坐标系下的三重积分计算。

在极坐标系下，积分区域V通常是某个平面区域在z轴上的投影区域，利用极坐标系的性质，可以将三重积分化为一个二重积分和一个一重积分的累次积分。

这样就可以利用极坐标系的简洁性，简化计算过程。

最后是球坐标系下的三重积分计算。

在球坐标系下，积分区域V通常是一个球体或球体的一部分，利用球坐标系的性质，可以将三重积分化为一个球面上的二重积分和一个一重积分的累次积分。

这样就可以利用球坐标系的简洁性，简化计算过程。

总之，三重积分的计算方法是多样的，我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分顺序，从而简化计算过程。

在实际问题中，我们需要灵活运用不同的计算方法，以便高效地解决问题。

希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。

第四节 三重积分的计算

第四节 三重积分的计算
c
2
a x
b
y
练习：用此方法计算例1．
练习：设W是由曲面z1x2y2，z0所围成的闭区域，将下例三重
积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式．
I f(x，y，z)dxdydz
dz
0
W 1
z
x y 2 1 z
2

f ( x, y, z )dxdy
1 z1x2y2
O x
1
y
1
x2+y2=1
例4 计算 I y cos( x z)dv, 其中 W 由柱面 y x , 平面
W
y 0, z 0, x z

2
所围成的空间区域．

2
解
如图所示

2 0 x
I dx dy
0

2 0
x
xz
y x
y cos( x z )dz
f ( x, y, z)dv
W
D
表示先在线段上积分，然后在区域上积分．
积分
f ( x, y, z)dv
W
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
表示先在平面区域上积分，然后在线段上积分．
2 例3 2 计算三重积分 z dxdydz，其中W是由椭球面
0 r<，
0 q 2 ， < z<．
O x
x
q
r
y P(r, q )
y
二、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，
其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： zz0 z0 rr0

三重积分及其计算

三重积分及其计算

三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。

它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。

三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。

二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。

1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。

将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。

2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。

即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。

常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。

具体的变换公式可参考相关数学教材。

三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用。

1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。

三重积分的计算

三重积分的计算

方法2. 切片法 (“先二后一”)
设空间闭区域 ( x, y, z ) ( x, y ) D( z ), c1 z c2 ，
z
其中 D ( z ) 是用平面 z=z 截闭区域
所得的平面闭区域，则有
c2 dz c1
c2

z
c1
Dz
c1
f ( x, y, z)dv

D( z )
f ( x, y, z)dxdy.
o
x
y
（先二后一法) （切片法）
例1.计算 xdxdydz , 其中为三个坐标面

及平面x y z 1所围成的闭区域。
z
1
o
1
1
y
x
2 2 2 2 求由两个旋转抛物面 z 3 x y 和 z 5 x y 例2 的 x 0, y 0 部分所围成的立体区域 的体积.
2 2
点到 z 轴的距离 成正比，求其 质量 m 。
解：密度函数 ( x, y, z ) k x 2 y 2 (k 0) ，则
m k x 2 y 2 dxdydz 。

z
y z 4
x y 16
在 xoy 平面上的投影区域为
2
2
4
o x
Dxy {( x, y) x 2 y 2 16} ，
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) z ( x, y ) f ( x, y, z )d z d xd y 1 该物体的质量为
z z2 ( x, y )

三重积分的几种计算方法

三重积分的几种计算方法
*
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos

6.3三重积分的计算

6.3三重积分的计算
Ω
z
z=z2( x, y) =
P 2
P 1
z=z1( x, y) =
将积分区域
向 oxy 平面
o
Dxy
( x, y)
y
投影, 得投影区域 D xy .
x
xy 型区域
= {( x , y , z ) z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D xy },
2
π
例3. 计算 ∫∫∫ yzdxdydz , 其中 Ω 由 z =
Ω
R2 − x2 − y2 ,
x 2 + y 2 = Ry 及 z = 0 所围成 .
z
R
解： Ω 在 oxy 面上的投影 区域为 区域为 D xy ： x + y ≤ Ry ，
2 2
o
R
y
x
Ω = ( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D xy .
第三节 三重积分的计算 3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分
∫∫∫ f ( x , y , z）dV = λlim0 ∑ f（ξ i ,η i , ς i）⋅ ∆V i →
Ω i =1
n
其中 d V 称为体积元素 .
三重积分必定存在. 若 f ∈ C (Ω) ，则 f 在Ω上 的三重积分必定存在.
Ω
c2
c1
dz
D( z )
∫∫ f ( x, y, z)dxdy . (先二后一法)
x y . 类似地有 型和 型空间区域
例4. 计算 ∫∫∫ z dxdydz , 其中
2 Ω

三重积分计算法

三重积分计算法

柱面坐标法
柱坐标系
将直角坐标系中的点表示为柱坐标形式，适用于具有圆柱对称性的三重积分。
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对角度进行积分，最后对高度进行积分的顺序 进行计算。
球面坐标法
球坐标系
将直角坐标系中的点表示为球坐标形式 ，适用于具有球对称性的三重积分。
VS
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对天顶角 进行积分，最后对方位角进行积分的顺序 进行计算。
计算质心坐标
质心坐标的定义
质心是物体质量的中心，其坐标可通过三重积分计算 得到。
质心坐标的计算公式
在直角坐标系下，质心坐标的计算公式为质量密度函 数对坐标的三重积分除以物体总质量。
质心坐标的应用
质心坐标在物理学、工程学等领域有广泛应用，如计 算物体的转动惯量、稳定性分析等。
计算转动惯量
转动惯量的定义
计算曲面面积
参数曲面面积的计算
对于由参数方程表示的曲面，可利用参数方 程求导得到曲面的法向量，进而计算曲面面 积。
显式曲面面积的计算
对于由显式方程表示的曲面，可利用偏导数求得曲 面的法向量，进而计算曲面面积。
隐式曲面面积的计算
对于由隐式方程表示的曲面，可利用隐函数 的求导法则求得曲面的法向量，进而计算曲 面面积。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
将三重积分转化为二重积分，通过投 影确定积分区域。
截面法
通过截面确定被积函数在不同区间的 表达式，进而计算三重积分。
先二后一法
逆序法
将三重积分转化为累次积分，先对两 个变量进行积分，再对第三个变量进 行积分。
变量替换法
通过变量替换简化被积函数和积分区 域，进而计算三重积分。

§6.3 三重积分的计算

§6.3 三重积分的计算
解：将V 投影到z轴上得投影区间： 1 z 4 在(0, 4)内取一点z，过点(0, 0, z )
做平行x 0 y的平面截闭区域V , 得截面Dz : x y z ,
1
1
x2 2 y2 z 2 x2 2 2 1 x y 1 x 故V： 1 x 1
I dx
1
1
1 x 2 1 x
2
dy
2 x 2 x 2 y
2 2
f (x , y ,z )dz.
以上将三重积分化为三次积分是先计算一个定积分
V

x 2 y 2 dV ,其中V 是由不等式

z x 2 y 2， 1 z 4所确定的区域.
z 4
分析：如果采用先一后二 法，对 z 积分的上下限情 况怎样？
1 x y
例5 计算
V

x 2 y 2 dV ,其中V 是由不等式

z x 2 y 2， 1 z 4所确定的区域.
假设V中分布有体密度为 f (x,y,z)的某种物质， 在Dxy上点(x, y)处取面积元素
d dxdy 以 d 的边界 曲线为准线，作母线平行于z
轴的细长柱体，
d
该细长柱体可以看成以z为变量的细杆，它通过曲面 S1: z z1 ( x , y ) 进入区域V， 然后，通过曲面 S2 : z z2 ( x , y ) 穿出区域V外，其进入点与
V V
z 1 r
2
z 1 x2 y2

2
0
d rdr
0
1
1 r 2 0
zdz
1 1 2 d r 1 r 2 dr 0 2 0

三重积分的各种计算方法

三重积分的各种计算方法

x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2

x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=

6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：


x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0

三重积分计算方法

三重积分计算方法

(1 y z )2
Dyz
1 dy
0
1
x
1 1 y -(1-y )2 (1 e )dy 0 4e 2
1
y
0
(1 y )(1 y z )e
-(1-y-z )2
例4 计算 ( z 2 x )dv， : x 2 y 2 z 2 R 与
于是引力F在三个坐标方向上的分量为
m ( x , y , z )( x a ) Fx G dv, 3 r V m ( x , y , z )( y b) Fy G dv, 3 r V m ( x , y , z )( z c ) Fz G dv. 3 r V

,
M zx y M
y ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV

x
, z M xy M
o x


z
dV y
y
z ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV

(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
y
y
I x y 2 ( x , y )d
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
a
o
x
y
例10 求半球面 z 3a 2 x 2 y 2与旋转抛物面
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
S = S1 S2
S1
S2
. .
o
D
.
2a
y
z 3a 2 x 2 y 2 D: 2 2 x y 2az x 2 y 2 2a 2 即 z 0

三重积分的计算方法

三重积分的计算方法

三重积分的计算方法引言在数学中，积分是一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

而在多元函数中，我们可以通过三重积分来对三维空间中的函数进行求积分。

三重积分是对三维空间内一个闭区域上的函数进行积分操作，它涉及到对三个变量的积分运算。

本文将介绍三重积分的计算方法。

一重积分回顾在介绍三重积分之前，我们首先回顾一下一重积分的概念和计算方法。

一重积分是对一维空间上的函数进行积分操作。

设函数f(x)在区间[a, b]上连续，我们可以将[a, b]分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

则在每个小区间上，我们可以取一点ξ_i，其中i=1, 2, 3, …, n。

根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞)[Σf(ξ_i)Δx]其中，Σ表示求和符号。

当Δx趋向于0时，Σf(ξ_i)Δx趋向于f(x)在[a, b]上的积分值。

二重积分回顾与一重积分类似，二重积分也是对二维空间上的函数进行积分操作。

设函数f(x, y)在闭区域D上连续，我们可以将D划分为n个小矩形区域，每个小矩形区域的面积为ΔA。

则在每个小矩形区域上，我们可以取一点(ξ_i, η_i)，其中i=1, 2,3, …, n。

根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∬D f(x, y)dA = lim(n→∞)[Σf(ξ_i, η_i)ΔA]当ΔA趋向于0时，Σf(ξ_i, η_i)ΔA趋向于f(x, y)在D上的积分值。

三重积分的引入三重积分是对三维空间内的函数进行积分操作。

设函数f(x, y, z)在闭区域E上连续，我们可以将E划分为n个小立体区域，每个小立体区域的体积为ΔV。

在每个小立体区域上，我们可以取一点(ξ_i, η_i, ζ_i)，其中i=1, 2, 3, …, n。

根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∭E f(x, y, z)dV = lim(n→∞)[Σf(ξ_i, η_i, ζ_i)ΔV]当ΔV趋向于0时，Σf(ξ_i, η_i, ζ_i)ΔV趋向于f(x, y, z)在E上的积分值。

三重积分的计算

三重积分的计算

z1 S z z1 ( x, y) 1
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
O
a
b
Dxy : y1 ( x) y y2 ( x),
y
a x b.
y y1 ( x )
Dxy
( x, y )
y y2 ( x )
x
f ( x, y, z )dv [
则
(先一后二） z2 ( x , y ) [ f ( x, y, z )dz ]dxdy

Dxy

f ( x , y , z )dv
z
z2
S2 z z2 ( x, y)
z1 ( x , y )
y2 ( x ) y1 ( x )
dx
b a
dy
z2 ( x , y )
z
M ( x, y, z )
M ( , , z )
z ＝常数 （水平平面）
由图可知 柱面与直角坐标的关系：
O
z


P ( , ) P ( x, y )
y
x cos y sin zz
(0 , 0 2 , z )
2 ( , )
因此

区域由直角变为柱面坐标表示
1 ( , )
f ( x, y, z)dv d d
D
f ( cos , sin , z )dz
f ( x, y, z)dv d d
D
2 ( , )
0 a, 0 2
za z ,
z
a
y
x
D

三重积分求解方法

三重积分求解方法

三重积分求解方法
三重积分求解方法有以下几种：
1. 直接计算法：将三重积分中的函数用多重积分的方法进行展开，然后进行求解。

2. 矢量法：将三重积分转化为矢量积分进行求解。

这种方法适用于区域比较复杂的情况，可以通过对积分路径的选择来简化计算。

3. 极坐标法：当被积函数在直角坐标系下比较复杂时，可以用极坐标系进行积分，将三重积分转化为二重积分进行求解。

4. 柱坐标法：类似于极坐标法，将三重积分转化为柱坐标系下的二重积分。

5. 球坐标法：将三重积分转化为球坐标系下的二重积分进行求解。

这种方法适用于被积函数具有球对称性的情况。

通过选择合适的积分方法，可以简化三重积分的计算过程，提高求解效率。

三重积分计算

三重积分计算

方法2 . 截面法 (“先重后单”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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结束
方法1. 投影法 (“先单后重” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
z D z c z
a
2
c z c
解: :
by
x y z Dz : 2 2 1 2 a b c
2
2
2
x
用“先重后单 ”

z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
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返重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
( x , y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
dudvdw
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z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y

三重积分的概念及直角坐标系下的计算

三重积分的概念及直角坐标系下的计算

三重积分的概念及直角坐标系下的计算三重积分是数学中一个重要的概念，用来描述三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

与二重积分类似，三重积分将一个函数在三维空间的一些区域上的取值进行累加。

在直角坐标系下，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV其中，函数f(x,y,z)表示被累加的函数，V表示积分区域的体积，dV表示积分体积的微元。

一、直接计算法：直接计算法是最简单、直观的方法。

首先要确定积分区域的几何形状，并确定其边界方程。

然后将积分区域分割成若干小立体，对每个小立体进行体积的近似计算，并将这些小立体的体积累加起来，即可得到整个积分区域的体积。

其计算公式为：∭f(x,y,z)dV≈∑f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i其中，f(x_i,y_i,z_i)表示小立体中特定点的函数值，ΔV_i表示小立体的体积。

二、交换积分顺序法：当三重积分中的函数比较复杂时，直接计算法可能会非常繁琐。

此时可以通过交换积分的顺序，将三重积分转化为一重或二重积分来简化计算。

交换积分顺序法的基本思想是根据被积函数的特点，选择合适的积分顺序。

根据不同的情况，可以先对x进行一次积分，然后对y进行一次积分，最后对z进行一次积分；或者先对z进行一次积分，然后对x进行一次积分，最后对y进行一次积分。

根据需求选择合适的积分顺序，可以大大简化三重积分的计算过程。

三、转化为累次积分法：有时，可以将三重积分转化为累次积分的形式进行计算。

这个方法适用于区域的形状较为简单的情况。

转化为累次积分的方法包括定积分与非定积分两种。

定积分法是将三重积分转化为三次定积分的累次积分。

对于其中一积分变量，将其他两个积分变量看作是常数，即可将三次积分转化为一次定积分进行计算。

非定积分法是将三重积分转化为三次非定积分的累次积分。

通过分步计算每一次非定积分，最后将得到的表达式进行简化，即可得到最终的结果。

以上是三重积分的概念以及在直角坐标系下的计算方法的介绍。

通过了解这些方法，可以更好地理解和应用三重积分，更高效地解决实际问题。

三重积分的概念及其计算

三重积分的概念及其计算

三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。

它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。

在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。

首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。

三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。

三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。

为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。

这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。

一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。

接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。

第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。

在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。

在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。

积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。

在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。

积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。

三重积分的各种计算方法

三重积分的各种计算方法

三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。

—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。

过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。

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Ω Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2 r z dz
z = ∫0 dθ ∫0 r ⋅ dr 2 r 2
2π 2 2 4
2π
2
4
1 2π dθ 2 (16r − r5 )dr = ∫0 ∫0 2
1 2π 8r 2 1 r6 d = ∫0 − θ 0 2 6 1 1 = ⋅ 2π ⋅ 8r 2 − r6 = 64 π . 2 6 0 3
规定： 0 ≤ r < +∞, 规定：
z
•
0 ≤ θ ≤ 2π ,
M( x, y, z)
y
− ∞ < z < +∞.
简单地说， 简单地说，柱面坐标就是
x
o Hale Waihona Puke θ•P(r,θ )
4
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
如图， 如图，三坐标面分别为
z
r 为常数
圆柱面； 圆柱面； 半平面； 半平面； 平 面．
x
o
•(r,θ )
y
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z. dv = rdrdθ dz,
I = ∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z ⋅ r drdθdz
Ω Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2
3
2π
3
4−r2
r ⋅ zdz = 13 π . 4
11
例3 计算三重积分
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广州大学数学与信息科学学院
1
工科高等数学
广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东 广州大学袁文俊、邓小成、
2
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
3
一、利用柱面坐标计算三重积分
为空间内一点， 设 M( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在xoy 面上 的投影P 的极坐标为r, θ，则这样的三个数r, θ , z 的柱面坐标． 就叫点M 的柱面坐标．
Ω
的关系，化为三次积分。 再根据再 Ω 中 r，θ ， ϕ 的关系，化为三次积分。 ， 一般， 积分， 积分。 一般，先对 r 积分，再对 ϕ ，最后对 θ 积分。
17
例4 用球面坐标计算
∫∫∫
Ω
z2dv. 其中
z
Ω : x2 + y2 + z2 ≤ 1.
解 画 Ω 图。 的上下限。 确定 r，θ ， ϕ 的上下限。 ， (1) 将 Ω 向 xoy 面投影，得 面投影，
面投影， 将 Ω 向 xoy 面投影，得
x
o
y
r= 3
D : x2 + y2 ≤ 3.
0 ≤ θ ≤ 2π , 或 D: 0 ≤ r ≤ 3.
o
A
10
或 D : 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 3. 过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
z
r2 z ≤ ≤ 4 − r2 . 3 0 ≤ θ ≤ 2π , 即 Ω : 0 ≤ r ≤ 3, r 2 3 ≤ z ≤ 4 − r 2 .
规定： 规定：
z
0 ≤ r < +∞,
0 ≤ϕ ≤π,
ϕ
o θ
x
r
•
M( x, y, z)
y
15
0 ≤ θ ≤ 2π .
•
P
z
如图， 如图，三坐标面分别为
r 为常数
球
面；
ϕ r
ϕ 为常数
θ 为常数
圆锥面； 圆锥面； 半平 面．
x
z
o
θ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
D : x2 + y2 ≤ 4
0 ≤ θ ≤ 2π , 或 D: 0 ≤ r ≤ 2.
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
y y
r =2
o
2
A
7
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
4
z
r2 ≤ z ≤ 4
0 ≤ θ ≤ 2π , Ω : 0 ≤ r ≤ 2, 2 r ≤ z ≤ 4
ϕ
A
x
r
• M( x, y, z)
z
o
θ
y
x
P
•
y
16
如图， 如图， 球面坐标系中的体积元素为
dθ
z
dr
r sinϕdθ rdϕ
r sinϕ
dv = r 2 sinϕ dr dϕ dθ ,
o
r
ϕ
dϕ
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
Ω
θ
y
dθ
x
= ∫∫∫ f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ ) r 2 sinϕ dr dϕ dθ .
Ω
= ∫∫∫ r 2 ⋅ r 2 sinϕ dr dϕ dθ
= ∫0 dθ ∫0 dϕ ∫
Ω 2π
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
π 4
R 4 r sinϕ dr 0
dv = r 2 sinϕdrdϕdθ
22
1 = πR5(2 − 2 ). 5
= 2π ∫0 (Hr 3 − r4 )dr
π H5 . =
10
14
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M( x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次 为空间内一点， 来确定， 序的数r，ϕ，θ 来确定，其中r 为原点O 与点 M 间 的距离， ϕ θ 轴正向所夹的角， 的距离， 为有向线段OM与z 轴正向所夹的角， 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有 向线段 OP 的角，这里P 为点 M 在 xoy 面上的投影，这 的角， 面上的投影， 的球面坐标． 样的三个数r，ϕ，θ 就叫做点M 的球面坐标．
( x2 + y2 ) dv = ∫∫∫
Ω
r 2 ⋅ r drdθ dz. ∫∫∫
Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫
2π
H
H 3 r dz r
= ∫0 dθ ∫
H
2π
3 H r z r dr 0 H
[ ]
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z. dv = rdrdθ dz,
1 2π dθ π cos2 ϕ sinϕ dϕ = ∫0 ∫0 5 1 2π d π cos2 d(cos ) = − ∫0 θ ∫0 ϕ ϕ 5
1 2π cos ϕ d = − ∫0 θ = 2 ∫2π dθ 5 3 15 0 0 4π . = 15
3
π
20
例5 计算
( x2 + y2 + z2 ) dv. 其中 Ω 由曲面 ∫∫∫
o
x
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
Ω
y
dθ
= ∫∫∫ f (r cosθ , r sinθ , z) r drdθ dz.
Ω
再根据 Ω 中 z，r，θ 的关系，化为三次积分。 ， ， 的关系，化为三次积分。 积分。 一般， 积分， 一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 θ 积分。
6
( x2 + y2 ) dv , 其中 Ω 是由曲 ∫∫∫
Ω
面 z = x2 + y2 与平面z = H (H > 0) 所围成。 所围成。
解 面投影， 将 Ω 向 xoy 面投影，得
z
D : x2 + y2 ≤ H2
0 ≤ θ ≤ 2π , 或 D: 0 ≤ r ≤ H.
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
x
o
y
0 ≤ θ ≤ 2π .
(2) 任取一 θ ∈[0, 2π ], 过 z 轴作半平面，得 轴作半平面，
0 ≤ϕ ≤π.
(3) 在半平面上，任取一 ϕ ∈[0, π ], 过原点作 在半平面上， 射线， 射线，得 0 ≤ r ≤ 1.
18
(3) 在半平面上，任取一 ϕ ∈[0, π ], 过原点作 在半平面上， 射线， 射线，得
5 1
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
r dθ ∫0 cos ϕ sinϕ ⋅ dϕ 5 0
π
2
dv = r 2 sinϕdrdϕdθ
19
∫∫∫
Ω
z2dv = ∫∫∫ r 2 cos2 ϕ ⋅ r 2 sinϕ dr dϕ dθ
23
解
Ω由 面 球 围 ， 锥 和 面 成
z
由三重积分的性质， 由三重积分的性质，有
R
V = ∫∫∫ dv
Ω
0 ≤ θ ≤ 2π , π Ω : 0 ≤ ϕ ≤ , 4 0 ≤ r ≤ 2a.
例1 利用柱面坐标计算三重积分
∫∫∫ z dxdydz ,
Ω
其中Ω 其中Ω
所围成的闭区域。 是由曲面 z = x2 + y2 与平面 z = 4 所围成的闭区域。
解 (1) 画 Ω 图 (2) 确定 z，r，θ 的上下限 ，， 将 Ω 向 xoy 面投影，得 面投影，
4 4
o•(r,θ )
x x
z
例 6 求 面x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与z ≥ x2 + y2 曲 所 成 立 体 . 围 的 体 积. 积