数学2-2北师大版2.2.1导数的概念

导数的概念一、教学目标：（1） 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵 ;（2） 能解释具体函数在一点的导数的实际意义；（3） 会求简单函数()x f y =在0x x =处的导数。

二、教学重、难点本节的重点是了解导数的概念；难点是理解导数概念的本质内涵。

三、教学过程●复习回顾在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h 单位：m 与起跳后的时间t （单位：）存在函数关系ht = 2t 10（1）平均速度：计算运动员在2~3t 的平均速度1、 若设01x x x -=∆，()()01x f x f y -=∆，函数的平均变化率：()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101，我们用它刻画函数值在区间[]10,x x 上变化的快慢。

（2）瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2时附近的情况：2、瞬时变化率：用平均变化率“逼近”瞬时变化率即x ∆趋于0时，平均变化率就趋于函数在点0x 的瞬时变化率。

瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。

●新课讲授导数的概念：设函数＝f ，当自变量1趋于0时，即Δ趋于0时，如果平均变化率()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101 趋于一个固定的值，那么这个值就是函数＝f 在0点的瞬时变化率，也称为＝f 在0点的导数．记法：函数＝f 在0点的导数，通常用符号 ()0x f '表示，记作()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→00001010lim lim 01 注：导数即为瞬时变化率问题：如何利用导数定义求函数在某点处的导数呢？用平均变化率“逼近”瞬时变化率例1、一条水管中流过的水量（单位：m 3）是时间（单位:）的函数=f=3。

2 导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第15页[自主梳理]一、导数的概念当Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y ＝f (x )在________的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在__________的导数，通常用符号____________表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝________________.二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点______处的切线的________．函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率反映了导数的几何意义．[双基自测]1．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝( ) A ．－1B.12C ．1D.132．设f (x )在x ＝1处有导数且满足li m x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．13．已知f (x )＝2x 2－x ，则f ′(x )＝__________，f ′(1)＝________. 4．曲线f (x )＝13x 3－2在⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的倾斜角为________．[自主梳理]一、固定的值 x 0 x 0点 f ′(x 0) lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx二、(x 0，f (x 0)) 斜率[双基自测]1．C 因为f ′(－1)＝li mΔx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝li m Δx →0[a (Δx )2－3a Δx ＋3a ]＝3a ＝3， 所以a ＝1. 2．B li m x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝li m x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝li m－2x →0 f [1＋(－2x )]－f (1)－2x＝f ′(1)＝－1.3．4x －1 3 因为Δy ＝2(x ＋Δx )2－(x ＋Δx )－(2x 2－x )＝4x Δx －Δx ＋2(Δx )2，所以Δy Δx ＝4x Δx －Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x －1＋2Δx .故f ′(x )＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (4x －1＋2Δx )＝4x －1.所以f ′(1)＝4×1－1＝3. 4．45° 因为k ＝li mΔx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝li m Δx →0 13(－1＋Δx )3－2－⎣⎡⎦⎤13(－1)3－2Δx＝li m Δx →0 (－1)2Δx －(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝li m Δx →0 ⎣⎡⎦⎤1－Δx ＋13(Δx )2＝1， 所以直线的倾斜角为45°.授课提示：对应学生用书第15页探究一 求函数在某点处的导数[例1] 求函数y ＝f (x )＝4x2在x ＝2处的导数．[解析] ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴Δy Δx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2.∴f ′(2)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.由导数的定义可知，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li mΔx →0 Δy Δx.1．求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，1＋Δx 无限趋近于1， ∴Δy Δx 无限趋近于－12， ∴f ′(1)＝－12.探究二 求曲线的切线方程[例2] 求曲线y ＝2x 2＋1在点P (1,3)处的切线方程． [解析] 曲线y ＝f (x )＝2x 2＋1在点P (1,3)处的斜率为： k ＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝li m Δx →0 2(1＋Δx )2＋1－3Δx＝li m Δx →0 2(Δx )2＋4ΔxΔx＝4.∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.求曲线在点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．2．已知f (x )＝x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标及切线方程． 解析：设点P 的坐标为(x 0，x 30)， ∴斜率k ＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝li m Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝li m Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20.∴3x 20＝3，x 0＝±1. ∴P 点的坐标是(1,1)或(－1，－1)，则切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋1＝3(x ＋1)，即为3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0.探究三 导数几何意义的综合应用[例3] 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝⎛⎭⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数、进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．3．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)． 由f ′(x 0)＝li m Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx＝li m Δx →0 －ΔxΔx ·(x 0＋Δx )·x 0＝li mΔx →0 －1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0， 再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x 上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.因对导数的概念理解不透彻而致误[例4] 已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则 li mΔx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________.[解析] li m Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝li mΔx →0 ⎣⎡⎦⎤f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ×2＝2 li mΔx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. [答案] 8[错因与防范] 本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x 0的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，解决此类问题关键是变形分母中x 0的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为c li mΔx →0 f (x 0＋k Δx )－f (x 0)k Δx(c ，k 为常数且kc ≠0)的形式．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。