数学2-2北师大版2.2.1导数的概念
- 格式:doc
- 大小:43.50 KB
- 文档页数:1
导数的概念一、教学目标:(1) 理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵 ;(2) 能解释具体函数在一点的导数的实际意义;(3) 会求简单函数()x f y =在0x x =处的导数。
二、教学重、难点本节的重点是了解导数的概念;难点是理解导数概念的本质内涵。
三、教学过程●复习回顾在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h 单位:m 与起跳后的时间t (单位:)存在函数关系ht = 2t 10(1)平均速度:计算运动员在2~3t 的平均速度1、 若设01x x x -=∆,()()01x f x f y -=∆,函数的平均变化率:()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101,我们用它刻画函数值在区间[]10,x x 上变化的快慢。
(2)瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,t=2时的瞬时速度是多少?考察t=2时附近的情况:2、瞬时变化率:用平均变化率“逼近”瞬时变化率即x ∆趋于0时,平均变化率就趋于函数在点0x 的瞬时变化率。
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
●新课讲授导数的概念:设函数=f ,当自变量1趋于0时,即Δ趋于0时,如果平均变化率()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101 趋于一个固定的值,那么这个值就是函数=f 在0点的瞬时变化率,也称为=f 在0点的导数.记法:函数=f 在0点的导数,通常用符号 ()0x f '表示,记作()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→00001010lim lim 01 注:导数即为瞬时变化率问题:如何利用导数定义求函数在某点处的导数呢?用平均变化率“逼近”瞬时变化率例1、一条水管中流过的水量(单位:m 3)是时间(单位:)的函数=f=3。
2 导数的概念及其几何意义授课提示:对应学生用书第15页[自主梳理]一、导数的概念当Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个________,那么这个值就是函数y =f (x )在________的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y =f (x )在__________的导数,通常用符号____________表示,记作f ′(x 0)=li m x 1→x 0f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0=________________.二、导数的几何意义函数y =f (x )在x 0处的导数,是曲线y =f (x )在点______处的切线的________.函数y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率反映了导数的几何意义.[双基自测]1.设函数f (x )=ax 3+2,若f ′(-1)=3,则a =( ) A .-1B.12C .1D.132.设f (x )在x =1处有导数且满足li m x →0 f (1)-f (1-2x )2x=-1,则过曲线y =f (x )上点(1,f (1))处的切线斜率为( )A .2B .-1C .1D .13.已知f (x )=2x 2-x ,则f ′(x )=__________,f ′(1)=________. 4.曲线f (x )=13x 3-2在⎝⎛⎭⎫-1,-73处切线的倾斜角为________.[自主梳理]一、固定的值 x 0 x 0点 f ′(x 0) lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx二、(x 0,f (x 0)) 斜率[双基自测]1.C 因为f ′(-1)=li mΔx →0 f (-1+Δx )-f (-1)Δx=li m Δx →0[a (Δx )2-3a Δx +3a ]=3a =3, 所以a =1. 2.B li m x →0 f (1)-f (1-2x )2x=li m x →0f (1-2x )-f (1)-2x=li m-2x →0 f [1+(-2x )]-f (1)-2x=f ′(1)=-1.3.4x -1 3 因为Δy =2(x +Δx )2-(x +Δx )-(2x 2-x )=4x Δx -Δx +2(Δx )2,所以Δy Δx =4x Δx -Δx +2(Δx )2Δx =4x -1+2Δx .故f ′(x )=li mΔx →0 ΔyΔx =li m Δx →0 (4x -1+2Δx )=4x -1.所以f ′(1)=4×1-1=3. 4.45° 因为k =li mΔx →0 f (-1+Δx )-f (-1)Δx=li m Δx →0 13(-1+Δx )3-2-⎣⎡⎦⎤13(-1)3-2Δx=li m Δx →0 (-1)2Δx -(Δx )2+13(Δx )3Δx=li m Δx →0 ⎣⎡⎦⎤1-Δx +13(Δx )2=1, 所以直线的倾斜角为45°.授课提示:对应学生用书第15页探究一 求函数在某点处的导数[例1] 求函数y =f (x )=4x2在x =2处的导数.[解析] ∵Δy =4(Δx +2)2-422=4(Δx +2)2-1=-(Δx )2+4Δx (Δx +2)2,∴Δy Δx =-Δx +4(Δx +2)2.∴f ′(2)=li mΔx →0 ΔyΔx =-li m Δx →0 Δx +4(Δx +2)2=-1.由导数的定义可知,求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)求平均变化率Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ;(3)取极限,得导数f ′(x 0)=li mΔx →0 Δy Δx.1.求函数f (x )=1x在x =1处的导数. 解析:∵Δy =f (1+Δx )-f (1) =11+Δx -1=1-1+Δx 1+Δx =-Δx1+Δx (1+1+Δx ), ∴Δy Δx =-11+Δx (1+1+Δx ). 当Δx 无限趋近于0时,1+Δx 无限趋近于1, ∴Δy Δx 无限趋近于-12, ∴f ′(1)=-12.探究二 求曲线的切线方程[例2] 求曲线y =2x 2+1在点P (1,3)处的切线方程. [解析] 曲线y =f (x )=2x 2+1在点P (1,3)处的斜率为: k =li m Δx →0 f (1+Δx )-f (1)Δx =li m Δx →0 2(1+Δx )2+1-3Δx=li m Δx →0 2(Δx )2+4ΔxΔx=4.∴切线方程为y -3=4(x -1),即4x -y -1=0.求曲线在点(x 0,f (x 0))处的切线方程的步骤: (1)求出函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0);(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)·(x -x 0).2.已知f (x )=x 3在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标及切线方程. 解析:设点P 的坐标为(x 0,x 30), ∴斜率k =li mΔx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=li m Δx →0 (x 0+Δx )3-x 30Δx=li m Δx →0 3x 20Δx +3x 0(Δx )2+(Δx )3Δx=li m Δx →0[3x 20+3x 0Δx +(Δx )2]=3x 20.∴3x 20=3,x 0=±1. ∴P 点的坐标是(1,1)或(-1,-1),则切线方程为y -1=3(x -1)或y +1=3(x +1),即为3x -y -2=0或3x -y +2=0.探究三 导数几何意义的综合应用[例3] 已知抛物线y =2x 2+1,求: (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°? (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x -y -2=0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x +8y -3=0? [解析] 设点的坐标为(x 0,y 0),则Δy =2(x 0+Δx )2+1-2x 20-1=4x 0·Δx +2(Δx )2.∴ΔyΔx=4x 0+2Δx . 当Δx 趋于零时,ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)=4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°, ∴切线的斜率为tan 45°=1,即f ′(x 0)=4x 0=1,得x 0=14,该点为⎝⎛⎭⎫14,98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x -y -2=0, ∴切线的斜率为4,即f ′(x 0)=4x 0=4,得x 0=1,该点为(1,3). (3)∵抛物线的切线与直线x +8y -3=0垂直, ∴切线的斜率为8,即f ′(x 0)=4x 0=8,得x 0=2,该点为(2,9).解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数、进而可求此点的横坐标.解题时注意解析几何中直线方程知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系,直线的平行、垂直等.3.求经过点(2,0)且与曲线y =1x 相切的直线方程.解析:可以验证点(2,0)不在曲线上,设切点为P (x 0,y 0). 由f ′(x 0)=li m Δx →0 1x 0+Δx -1x 0Δx=li m Δx →0 -ΔxΔx ·(x 0+Δx )·x 0=li mΔx →0 -1x 0(x 0+Δx )=-1x 20.故所求直线方程为y -y 0=-1x 20(x -x 0).由点(2,0)在所求的直线上,得x 20y 0=2-x 0, 再由P (x 0,y 0)在曲线y =1x 上,得x 0y 0=1,联立可解得x 0=1,y 0=1, 所以直线方程为x +y -2=0.因对导数的概念理解不透彻而致误[例4] 已知f (x )在x =x 0处的导数为4,则 li mΔx →0 f (x 0+2Δx )-f (x 0)Δx=________.[解析] li m Δx →0 f (x 0+2Δx )-f (x 0)Δx=li mΔx →0 ⎣⎡⎦⎤f (x 0+2Δx )-f (x 0)2Δx ×2=2 li mΔx →0 f (x 0+2Δx )-f (x 0)2Δx=2f ′(x 0)=2×4=8. [答案] 8[错因与防范] 本例易因对导数概念不理解,乱套用定义致错.注意本题分子中x 0的增量是2Δx ,即(x 0+2Δx )-x 0=2Δx ,解决此类问题关键是变形分母中x 0的增量,使与分子中的增量一致(包括符号),归结为c li mΔx →0 f (x 0+k Δx )-f (x 0)k Δx(c ,k 为常数且kc ≠0)的形式.莘莘学子,最重要的就是不要去看远方模糊的,而要做手边清楚的事。
课时教案科目:数学 授课时间:第3周 星期 年 月 日一、 复习:设函数)(x f y ,当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从)(0x f 变到)(1x f ,函数值y 关于x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101 当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
二、探究新课在数学上,称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数,通常用符号)(0x f '表示,记作x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()()()()(00001010lim lim 01。
(一)、探究:利用导数的定义求函数的导数的方法步骤:1. 求函数的变化率2. 求函数的平均变化率3.求极限(二)、典例精讲例1、一条水管中流过的水量y (单位:3m )是时间x (单位:s )的函数x x f y 3)(==。
求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f ',并解释它的实际意义。
例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品量y(单位:kg )是其工作时间x (单位:h )的函数)(x f y =。
假设函数)(x f y =在x=1和x=3处的导数分别为4)1(='f 和5.3)3(='f ,试解释它们的实际意义。
例3、课本33P 例3例4、求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 解:x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆三、课堂检测:P练习:1、2. 2. 专家伴读21页打基础1、71.课本33四、小结:1、瞬时速度的变化率的概念;2、导数的概念;3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤:五、作业:P习题2-2中A组1、2、3A:课本37P习题2-2中A组4B:课本37P习题2-2中B组1C:课本37六、预习:课本34-35页内容,完成37页练习题1、2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念 课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数,并理解其实际意义.设函数y =f (x ),当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从f (x 0)变到f (x 1),函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx =f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y =f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y =f (x )在x 0点的导数,通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)=10lim x x →f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .一、选择题1.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C .2 D .-22.下列各式正确的是( )A .f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)x B .f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0-Δx )+f (x 0)Δx C .f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx D .f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )+f (x 0)Δx 3.设f (x )在x =x 0处可导,则li m Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx 等于( ) A .-f ′(x 0) B .f ′(-x 0)C .f ′(x 0)D .2f ′(x 0)4.函数y =x 2-1在x =1处的导数是( )A .0B .1C .2D .以上都不对5.曲线y =-1x在点(1,-1)处的导数值为( ) A .1 B .2 C .-2 D .-16.设函数f (x )=ax 3+2,若f ′(-1)=3,则a 等于( )A .-1 B.12 C.13D .1 二、填空题7.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2,则t =2秒时,汽车的瞬时速度是__________.8.已知函数y =f (x )在x =x 0处的导数为11,则lim Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx =________. 9.设函数f (x )=ax +4,若f ′(1)=2,则a =______.三、解答题10.用导数的定义,求函数y =f (x )=1x在x =1处的导数.11.心理学家研究发现,学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x (时间单位:分钟)有如下关系:G (x )=0.1x 2+2.6x +43,计算G ′(10).能力提升12.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的导数为f ′(x ),f ′(0)>0,对于任意实数x ,有f (x )≥0,则f (1)f ′(0)的最小值为________. 13.设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米,并且s =4t 2+2t -3,试求物体在运动开始及第5秒末时的速度.1.由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法):(1)求函数的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率Δy Δx;(3)取极限,得导数f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx. 2.导数就是瞬时变化率,可以反映函数在某一点处变化的快慢.答案作业设计1.B [∵Δy Δx =f ⎝⎛⎭⎫32+Δx -f ⎝⎛⎭⎫32Δx=-Δx -3, ∴li m Δx →0 Δy Δx=-3.] 2.C [直接对照并理解导数定义.]3.A [li m Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx =li m Δx →0-f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =-li m Δx →0f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =-f ′(x 0).]4.C5.A [f ′(1)=lim Δx →0 -11+Δx +1Δx =lim Δx →0 11+Δx=1.] 6.D [f ′(-1)=lim Δx →0f (-1+Δx )-f (-1)Δx =3a . ∴a =1.]7.4 m/s解析 s ′(2)=lim Δt →02(2+Δt )3-5(2+Δt )2-(2×23-5×22)Δt =4. 8.-11解析 lim Δx →0 f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx =-lim Δx →0 f (x 0-Δx )-f (x 0)-Δx=-f ′(x 0)=-11. 9.2解析 ∵f ′(1)=lim Δx →0a (1+Δx )-a Δx =a =2. ∴a =2.10.解 ∵Δy =f (1+Δx )-f (1)=11+Δx -11 =1-1+Δx 1+Δx =-Δx 1+Δx ·(1+1+Δx ), ∴Δy Δx =-11+Δx ·(1+1+Δx ), ∴li m Δx →0 Δy Δx =li m Δx →0 -11+Δx ·(1+1+Δx )=-11+0·(1+1+0)=-12, ∴y ′|x =1=f ′(1)=-12. 11.解 G ′(10)=lim Δx →0 G (10+Δx )-G (10)Δx=lim Δx →00.1(10+Δx )2+2.6(10+Δx )-0.1×102-2.6×10Δx =4.6.12.2解析 由导数的定义,得f ′(0)=lim Δx →0f (Δx )-f (0)Δx =lim Δx →0a (Δx )2+b (Δx )+c -c Δx =lim Δx →0[a ·(Δx )+b ]=b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ=b 2-4ac ≤0a >0,∴ac ≥b 24,∴c >0. ∴f (1)f ′(0)=a +b +c b ≥b +2ac b ≥2b b =2. 13.解 s ′(0)=lim Δt →04(0+Δt )2+2Δt -3-(4×02+2×0-3)Δt =2; s ′(5)=lim Δt →04(5+Δt )2+2(5+Δt )-3-(4×52+2×5-3)Δt =42, 故物体在运动开始的速度为2 m /s ,第5秒末时的速度为42 m/s.。
数学2-2北师大版2.2.1导数的概念
1、函数f(x)=x 2+2x -1图象上一点P 〔1,2〕,点Q 也是图象上一点,且Q 位于点P 的右边,假设点Q 无限逼近P ,那么直线PQ 的斜率〔〕
A . 不断增大且为负
B 、不断增大且为正
C 、不断减小且为正
D 、不断减小且为负
2、函数y=x 2+1的图象上一点A 〔1,2〕及其邻近一点B 〔1+△x,2+△y 〕,那么直线AB 的斜率是〔〕
A 、2
B 、2x
C 、2+△x
D 、2+(△x)2
3、一质点做直线运动,由始点通过ts 后的距离为s=14
t 4-4t 3+16t 2,那么速度为0的时刻是〔〕
A 、4s 末
B 、8s 末
C 、0s 末与8s 末
D 、C 、0s 末,4s 末,8s 末
4、满足f ′(x)=f(x)的函数是〔〕
A 、f(x)=1-x
B 、f(x)=x
C 、f(x)=0
D 、f(x)=1
5、直线y=-2x +1上两点的横坐标增量△y 与纵坐标增量△x 的比值是、
6、一质点的运动方程是S=2t 2+1〔位移单位:m ,时间单位:s),那么平均变化率是、
7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,那么数列
1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是、 8、设函数y=f(x)=x 2
-1,
(1) 当自变量x 由1变到1、1时,求函数值增量△y ;
(2) 当自变量x 由1变到1、1时,求函数值的平均变化率;
(3) 求该函数图象在点〔1,y 0〕处的切线方程、
参考答案
1、C 、提示:观看图形、
2、C 、提示:用△x 表示邻近点的坐标,再用斜率计算公式、
3、D 、提示:联想速度与路程的关系、
4、C 、提示:求导后再作比较,注意等式要恒成立、
5、-2、提示:联想斜率与比值大小的关系、
6、4t +2△t 、
7、()()/
11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为,令x=0,求出切线与
y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+,因此21n n a n =+,那么数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和()
12122212n n n S +-==--
8、(1)0.21;(2)2.1;(3)y=2x -2、。