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§2导数的概念及其几何意义2．1导数的概念2．2导数的几何意义学习目标：1.理解函数在某点处的导数定义及其几何意义．(重点、难点)2.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．(难点)1．导数的概念设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.思考：平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？[提示]平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．2．导数的几何意义(1)如图所示，设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．(2)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．思考：若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，能否求出过点A的切线方程？[提示]∵f′(1)＝k＝－1，∴切线方程为：y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．()(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率．()(3)若函数y＝f(x)在x＝x0处有导数，则函数y＝f(x)在x＝x0处有唯一的一条切线．()(4)若函数y＝f(x)在x＝x0处导数不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处的切线不存在．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．设函数f(x)的定义域为R，limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx为常数，则它等于()A．f′(1)B．f′(0)C．f′(Δx) D.Δy ΔxA[由定义知它是f(x)在x＝1处的导数．]3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在B．与x轴重合或平行C．与x轴垂直D．与x轴斜交B[f′(x0)＝0，即y＝f(x)在x0处的切线的斜率为0.当f(x0)＝0时，切线与x轴重合；当f(x0)≠0时，切线与x轴平行．]4．已知函数f(x)＝x＋1x，则f′(1)的值为________．[解析]f(x)＝1＋1x(x≠0)，f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0－11＋Δx＝－1.[答案]－1导数的概念及应用【例1】建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．[解]当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为f(100＋Δx)－f(100)Δx＝100＋Δx＋100＋Δx＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋110(100＋Δx＋10).当x趋于100时，即Δx趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f′(100)＝0.105，f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤：(1)求函数的增加量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)求f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.1．一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3，求s′(1)，并解释它的实际意义．[解] Δs Δt ＝－2(1＋Δt )＋3－(－2×1＋3)Δt ＝－2.当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－2， 则s ′(1)＝－2 m/s ，导数s ′(1)表示该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度是－2 m/s .利用导数几何意义求切线方程【例2】 已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求：(1)在点P 处的切线的斜率； (2)在点P 处的切线方程．思路探究：(1)曲线在x ＝2时的导数即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83处的切线的斜率． (2)根据直线的点斜式方程写出切线方程． [解] (1)由y ＝13x 3，得 Δy ＝13(x ＋Δx )3－13x 3＝13[3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3]， Δy Δx ＝13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]， 当Δx 无限趋近于0时，13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]无限趋近于x 2， ∴f ′(x )＝x 2，f ′(2)＝4. ∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).2．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．[解]由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝limΔx→0f(－2＋Δx)－f(－2)Δx＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.求切点坐标[探究问题]1．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，能否求出P点的坐标？[提示]f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．因为切线与直线4x－y＋2＝0平行，所以2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4，故切点P的坐标为(2,4)．2．上述问题中，请求出在点P处的切线方程．[提示]切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.【例3】直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝f(x)＝x3－x2＋1相切，求a 的值及切点的坐标．思路探究：由导数的几何意义，切点处的切线为l：y＝x＋a，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a .[解] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－x 20＋1)Δx＝3x 20－2x 0.由题意知，3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327或(1,1)．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227；当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327.求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标.1．若函数f (x )在x ＝a 处可导，则当h 无限趋近a 时，f (h )－f (a )h －a为( ) A ．f (a ) B ．f ′(a ) C ．f ′(h )D ．f (h )B [根据导数的定义及f (x )在x ＝a 处可导知，f (h )－f (a )h －a 当h 无限趋近于a 时表示f ′(a )．]2．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 值为( ) A ．1 B . 2 C ．－1D ．0A [Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx＝a Δx ＋2a .当Δx →0时，上式趋于2a ，∴2a ＝2，即a ＝1.]3．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则当x 趋近于0时，f (x ＋1)－f (1)2x 趋向________．[解析]f (x ＋1)－f (1)2x ＝12×f (1＋x )－f (1)x，∴x 趋于0时，上式趋于12f ′(1)＝12.[答案]124．曲线y＝x2－x＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为________．[解析]f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0[(1＋Δx)2－(1＋Δx)＋1]－(12－1＋1)Δx＝limΔx→0Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(1＋Δx)＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∴α＝π4.[答案]π45．在曲线y＝4x2上求一点P，使曲线在点P处的切线平行于直线y＝x＋1.[解]设点P坐标为(x0，y0)，则Δy＝4(x0＋Δx)2－4x20＝4x20－4(x0＋Δx)2x20(x0＋Δx)2＝－8x0Δx－4(Δx)2x20(x0＋Δx)2，∴ΔyΔx＝－8x0－4Δxx20(x0＋Δx)2.∴当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－8x30.即f′(x0)＝－8 x30.因为切线与直线y＝x＋1平行．所以由导数几何意义知f′(x0)＝1，即－8x30＝1.∴x0＝－2，y0＝1.即P(－2,1)．。
