北师大版高中数学【选修2-2】《导数的概念及几何意义》ppt课件

(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5

=
4������,
得k=f'(x0)=4x0.
根据题意 4x0=8,x0=2,代入 8x-y-15=0 得 y0=1.
故所求切点为 P(2,1),a=2x02 − ������0 = 7.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
f'(x0)=
lim
Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
[2(������+������)2-������]-(2������2-������) ������
=
lim (4������
Δ ������ →0
+
2������)
y=
1 2
������
+
2,
则������(1) + ������′(1) =
.
解析:由导数的几何意义得
f'(1)=
1 2
,
由点M
在切线上得
f(1)=
1 2
×
1
+
2
=
5 2
,
所以f(1)+f'(1)=3.
答案:3
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
A.f'(x0)=2
B.f'(x0)=-2
C.f'(x0)=1
D.f'(x0)不确定
答案:A
M 目标导航 UBIAODAOHANG

第二章
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不

1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即

课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
导数的概念及其几何意义
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0) Δy fx1－fx0 变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ Δx x1－x0 fx0＋Δx－fx0 . Δx
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
(2)会用导数的定义、导数的几何意义解决与曲线的切 线有关的问题． 2．过程与方法 通过对瞬时变化率的研究，体会“逼近”的含义，经过 思考、讨论、探究，抽象概括出导数的定义；并通过斜率公 式由割线斜率“逼出”曲线的切线斜率与导数的关系． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对平均速度、瞬时速度的研究、推广，经历建 立导数概念的过程，体会由特殊到一般及认识事物的规律， 并感受其中蕴含的逼近思想；

过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出了欢呼声姜牧本来准备展开双臂欢 5米远只要顶到必进无

2．记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 fx1－fx0 x1－x0 ＝lim f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝ lim x1→x0 Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx .
问题1：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变 Δy 化率为 ，你能说出它的几何意义吗？ Δx 提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函数值 y关于x的平均变化率．
Δy fx0＋Δx－fx0 提示： ＝ . Δx Δx
问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：是．
导数的概念 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函 Δy 数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ Δx fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 x1－x0 ＝ ，当x1趋于x0，即Δx趋于0 Δx 时，如果平均变化率趋于一个 固定的值 ，那么这个值就是 函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x0点的导数．
[一点通] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝ f′(x0)· (x－x0)．
4．已知f(x)＝x2，曲线y＝f(x)在点(3,9)处的切线的斜率 为________．
求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲 线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若 不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条
件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．
解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)， 3＋Δx2－9 则割线PQ的斜率为kPQ＝ ＝6＋Δx. Δx 当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在 点P(3,9)处的切线的斜率为6.

【解析】
在点P处的切线方程是y=(x21+2x1)+(2x1+2)(x-x1),
即y=(2x1+2)x-x21
①
曲线C2在点Q（x2,-x22+a）的切线斜率
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2×(1+a)=0,即a= 1 时， 2
解得x1=x2= 1 , 此时点P与Q重合. 2
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 ,
∴所求直线的斜率为-3.
3
设切点坐标为（x0,y0),
=3x02+6x0,
∴3x02+6x0=-3. ∴x0=-1,∴切点坐标为（-1,1) ∴切线方程为y-1=-3(x+1) 即3x+y+2=0. 答案：3x+y+2=0
3.（5分）曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴，直线x=2所 围成的三角形的面积为_____. 【解析】
列条件.
x2
（1）平行于直线y=x+1.
(2)垂直于直线2x-16y+1=0.
(3)倾斜角为135°.
【解析】
（1）∵切线与直线y=x+1平行，
∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即
-
8
x
3 0
=1,
∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1).
(2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直，
∴有f′(x0)·( - 2 )=-1,
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（ ）
（A）6
（B）18

的平均变化率：
y y1 y0 x x1 x0 f (x0 x) f ( x0 )
x
容易看出，它是过 P、Q 两 点的直线斜率。
观察当x 0时，Q点及割线PQ的变化情况。
y
y = f (x) 割
线 Q
P
T 切线
o
x
概括
当x 0时， Q P PQ 切线PT
lim
x0
y x
tan
k PT
＊ 导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) )处的切线斜率。
＊ 导数法求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
(2)利用点斜式求得切线方程为：
y y0 f ( x0 )( x x0 )
(2) f (2)
∴ k f (2) 4
又切线过点 (2,4)
∴切线方程为：
y 4x 4
图略。
分析：要求切线斜率，即导数 f (1。)
解：
∴ k切线 f (1) 6
∴切线方程为：
( y 2) 6(x 1) 即 y 6x 4
的平均变化率，并画出过点(x0 , f (x0 ) )的相应割线；
(2)求y x2 在x0 2 处的导数，画出曲线 y x2
在点(2,4)处的切线。
例2 求函数y f (x) 2x在3 x 1处的切线方程。
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
导数 f (x0 )即过点 P 的切线 PT 的斜率。
导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)

在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3 ＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139. 由于 k1<k2<k3， ∴在 x＝3 附近的平均变化率大．
已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求： (1)点 P 处的切线的斜率； (2)点 P 处的切线方程．
＝13Δlti→m0 [3×22＋3×2×Δx＋(Δx)2]＝22＝4，
故曲线 y＝13x3 在点 P 处的切线方程为 y－83＝4(x－2)，即 12x
－3y－16＝0.
3.求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．
解析： 由于点(－2，－1)恰好在曲线 f(x)＝2x上，所以曲线
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
的率定．点，点 Q(x0＋Δx，y0＋Δx)是曲线上与点 P 邻近的点，则有
y0 ＝ f(x0) ， y0 ＋ Δy ＝ f(Δx ＋ x0) ， 割 线
PQ
的斜率
k
＝
Δy Δx
＝
fx0＋ΔΔxx－fx0.
[解题过程] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 ＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx， ∴割线 PQ 的斜率 k＝ΔΔyx＝Δx3＋3ΔΔxx2＋3Δx ＝(Δx)2＋3Δx＋3. 设当 Δx＝0.1 时割线的斜率为 k1， 则 k1＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.