行列式课件

矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。

a11x1+a12x2+a13x3=b1
a11 a12 a13
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a21 a22 a23
a31x1+a32x2+a33x3=b3
定义3.2 三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
对角线 法则
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a a a 11
12
13
a a a (1) a a a . 21
22
23
( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
a a a 31
32
33
定义 6 由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1 4 2 例1 计算行列式 D 3 0 3 .
例4 证明
a11
a12
an1,1 an1
an1,2
a1n
n( n1)
1
a a 2 1n 2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

a 1 1 a 1 2 a 1 3 D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令