行列式的性质

行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。

它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。

一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。

行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。

3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

矩阵论基础1.4⾏列式的性质第四节⾏列式的性质⾏列式有如下7条性质n阶⾏列式：，若把D的⾏变为列得到新⾏列式如下，⾏列式D T (或D′)称为⾏列式D的转置⾏列式.注意:转置⾏列式也可以看作以主对⾓线为轴,⾏列式翻转180°的结果.性质1 ⾏列式D=D T证明: ,应⽤数学归纳法,当n=2时,结论显然成⽴,即假设n-1时结论成⽴,即n-1阶⾏列式与它的转置⾏列式相等,将n阶⾏列式D按第⼀⾏展开,有将n阶⾏列式D T按第⼀列展开,有所以n阶⾏列式D=D T由⾏列式的性质1可以看出,⾏列式的⾏和列的地位相同,⾏所具有的性质对于列也成⽴,反之亦然.性质2 若⾏列式中有某⼀⾏(或列)为零,则这个⾏列式的值等于零.说明:把⾏列式按此⾏(或列)展开即可.性质3 ⾏列式中任何两⾏(或两列)互换位置, ⾏列式的值变号.证明: ,第⼀⾏与第三⾏互换位置后,⾏列式变为将D按第⼀⾏展开,得将D1按第三⾏展开,得此性质对于n阶⾏列式也成⽴.推论: 如果⾏列式有两⾏(列)完全相同, 则此⾏列式等于零.说明:交换这两⾏(列)⾏列式D化为D1,由性质2知,-D=D1,由于交换的两⾏(列)相同,故D=D1,因此,-D=D,D=0性质4 ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素都乘以同⼀数λ, 等于⽤数λ乘此⾏列式.反之, ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素有公因数,则可以把这个公因数从⾏列式中提出来,即说明:上⾯两个⾏列式若按第i⾏展开,结果是相同的.推论:⾏列式中如果有两⾏(列)元素对应成⽐例, 则此⾏列式等于零.性质5 若⾏列式的某⼀⾏(列)的每个元素都是两个数之和, 例如第i⾏的元素都是两数之和: 即,则D等于下列两个⾏列式之和:.说明:记三个⾏列式为D,D1,D2,则性质6 把⾏列式的某⼀⾏(列)的各元素乘以同⼀数然后加到另⼀⾏(列)对应的元素上去, ⾏列式不变. 即.说明:性质5和性质4可得性质6,这个性质在⾏列式的计算中⾮常重要.性质7 ⾏列式每⼀⾏(或列)的每个元素与另⼀⾏(或列)对应元素的代数余⼦式的乘积的和等于零,即说明: n阶⾏列式按第j⾏展开,于是得下⾯结论 , 或在处理和计算⾏列式时,常⽤上述7条性质,为了表达简洁,引⼊下列记号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例如,例9 计算⾏列式解:利⽤⾏列式的性质,把D化为相等的上(下)三⾓⾏列式,再写出结果,这是计算⾏列式的常⽤⽅法.说明:(1)利⽤性质6,先把a11下⾯的所有元素化为零;(2) 再把a22下⾯的所有元素化为零;(3)重复操作,直到化为三⾓⾏列式为⽌;(4)对于列也可以采⽤同样的处理⽅法,化为其它类型的三⾓⾏列式,再求值.求⾏列式的值时,常⽤的⽅法还有按某⾏(列)展开,达到降阶的⽬的,从⽽化简⾏列式,直到求出结果为⽌.例10 计算⾏列式解:要善于⽤两种⽅法求⾏列式的值:1.化为三⾓⾏列式(四种结果)2.按某⼀⾏(列)展开(选零较多的⾏(列)).例11 计算⾏列式解:因第⼀列与第三列对应元素成⽐例,所以D=0.例12 计算⾏列式解:例13 计算⾏列式解:D1中每⾏提出公因⼦(-1),得所以D1=0D2按第⼀⾏展开,得例14 计算⾏列式解:同理可得例15 计算三阶Vandermonde⾏列式解:同理可得n阶Vandermonde⾏列式例16 计算（m+n）阶零块⾏列式解：记，对|A|作若⼲次r i+λr j操作，化为下三⾓⾏列式，设为对|B|作若⼲次c i+λc j操作，化为下三⾓⾏列式，设为把对|A|的操作全部施于D的前n⾏，再把对|B|的操作全部施于D的后m列，得同理可知以下三个零块⾏列式的值（1）（2）注：（3）说明：1.(2)中⾏列式D可化为下三⾓⾏列式,利⽤前⾯的结论,可推得2. 四种结果要牢记.。

行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。

行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。

一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。

这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。

行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。

二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。

2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。

即，如果i≠j，那么Dij=Dji。

3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。

即，如果k为常数，那么Dk=kD。

4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。

即，如果i=j，那么Dij=0。

5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。

下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。

对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。

利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。

2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。

例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。

§1.4 行列式的性质性质1 设nnn n a a a a D1111 , nnnn a a a a D1111Τ , 则D D Τ． 证 令),,2,1,(n j i a b ji ij , 则nnn n b b b b D1111Τ n n np p p p p p b b b 212121)()1( )(21n p p pD a a an p p p p p p n n21)(2121)1( (根据Th2)性质2 设jn j in i a a a a D j i 11, ,in i jnj a a a a D 111 , 则D D 1． 证 ),,2,1(,n k a b a b ik jk jk ik ),,2,1(:,n k a b j i l lk lk)()1(111j i jp ip jn j ini b b b b b b D )( j i p p ))(1()1( i j ip jp t b b )( i j p p t )()1()1( i j jp ip t a all i j j i p q j i l p q p q :,,)()1()1( j i jq iq t a a D )( j i q q t 推论1 D 对调两列得2D D D 2．证 因为D 对调两列得2D , 相当于T D 对调两行得T2D所以D D D D T T22 推论2 D 中某两行(列)元素对应相等0 D ． 证 因为对调此两行(列)后,D 的形式不变 所以0 D D D例如, 对于任意的c b a ,,, 都有0321321 c b a ．性质3 kD a a ka ka a a nnn in i n11111, kD a ka a a ka a nnnjn nj11111 证(1) 左端])([)1(11n i np ip p a ka a )(1n i p p p kD a a a k n i np ip p )()1(11 推论1 D 中某行(列)元素全为00 D ． 推论2 D 中某两行(列)元素成比例0 D ． 性质4 若对某个i , 有),,2,1(n j c b a ij ij ij , 则nn n in i n a a a a a a11111nn n in i n a a b b a a11111 nnn in i n a a c c a a11111 证 左端)()1(11n i np ip p a a a )(1n i p p p )()1(11n i np ip p a b a )()1(11n i np ip p a c a 右端(1)+ 右端(2) [注] 性质4对于列的情形也成立．性质5jn j in i a a a a 11)(111j i a a a a a a jn j jnin j i kr r ji[注] 性质5对于列的情形也成立．例5 计算1314211311023351D .解 119211110160551003351D 1113200112033515112320011103351)5(1300320011103351)5( 211000320011103351)5( 55 例6 计算x a a a x aa a x D n． 解 x a a a x aa n x D n r r r n111])1([)(21 ax a x a n x00111])1([1)]()1([ n a x a n x例7 计算10001030012321n n D n ． 解 )2(11000010000103222,,21n ntD j jc c nj n§1.5 行列式按行（列）展开余子式：在n 阶行列式中，将元素ij a 所在的行与列上的元素划去，其余 元素按照原来的相对位置构成的1 n 阶行列式，称为元素ij a 的 余子式，记作ij M ．代数余子式：元素ij a 的代数余子式ij j i ij M A )1(．定理3 nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211in in i i i i A a A a A a 2211 ),,2,1(n i nj nj j j j j A a A a A a 2211 ),,2,1(n j 证 证明第一式, 分以下3步． 第1步：1,11,11,111 n n n n nna a a a M1111,11)()1( n n p n p p p a a )11( n p innn n n n n n n a a a a a a a 0,11,11,111,111n n n n p n p n p p p p a a a ,,11)(1111)1(n n n n n p n p n p np p p p a a a ,,11)(1111)1(+n n n n n p n p n p np p p p a a a ,,11)(1111)1(1111,11)()1( n n p n p n p p nn a a a )()(1111 n n p p n p p nn nn nn n n nn nn nn A a M a M a )1(第2步： njj i ijj i ja D D a a a D D a j i D 43,1,12110000),(ijnjj i j i j j n i n a a D D a a D D a 0000)1(43,1,1211)()(ij ij ij ij j i A a M a )()1( 第3步：),()2,()1,(n i D i D i D D in in i i i i A a A a A a 2211例8 计算1314211311023351D ．解 34012113110272016D 3411127216)1(23 5517520)1)(1(1071125020)1(22 例9 计算dcdcd c b a b a b a D n2．解 )12()1(21120000)1( n n n dD aD)12()1(2210000)1( n n n c D b)1(21)12()1(2)12()12()1)(1()1( n n n n n D bc D ad 21)1(2)()(D bc ad D bc ad n n bc ad dc b a D2n n bc ad D )(2例10 计算n n n D n 000111001330122111．解 )!1()1(11 n nD D n n n)!1()1()!11()1()1(11)1(2 n n D n n n n n nn n n D n n n n n !)1(1!)1()1(12nn n n n D n n n n !)1(1!)1(3!)1(3)1(142 1)1(2)1(122111322Dn n D n n 1432)1(3)1(2)1(1)1()!(课后作业：习题一 4 (1) (2) 5 (1) (2) (3) 7 (1) (2)。

行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。

本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。

一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。

设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。

根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。

行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。

若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。

二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。

该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。

2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。

通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。

三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。

1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。

对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。

2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。