行列式的性质三
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大学数学(三)Day1--6概念及答案1.2111a a2.对角线法则:主对角线乘积减去副对角线乘积。
333231232221131211a a a a a a 的行列式。
4.上三角行列式:主对角线以下的元素为零。
5.下三角行列式:主对角线以上的元素为零。
6.上下三角行列式的值:主对角线乘积。
7.逆序数:所有逆序的总数。
8.余子式: 划去元素ij a 所在行和列,由剩余元素按原来顺序所组成的行列式9.代数余子式: ij A =ij j i M +-)1(10.转置行列式:行列式中的行和列互换 11.行列式性质一(转置):D=T D12.行列式性质二(互换):任意两行(列)互换,那么行列式的值改变符号。
13.行列式性质二(相同):如果行列式中两行或两列对应元素全部相同,那么行列式的值为零。
14.行列式性质三(有公因子):行列式中某行(列)的各元素有公因子时,可将公因子提到行列式外面。
15.行列式性质三推论(一行列为0):如果行列式中有一行(列)的元素全为0,则行列式的值为0.16.行列式性质三推论(成比例):如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,行列式的值为0.17.行列式性质四(和):行列式等于两个相应的行列式的和。
18.行列式性质五(倍乘):倍行(列)加到另一行(列)上,行列式的值不变。
19.行列式展开定理:n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
20.范德蒙行列式概念:形如 232221321111a a a a a a 的行列式21.范德蒙行列式的值:π(j i a a -)22.N 元线性方程组:含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为n 元线性方程组23.线性方程行列式:未知量的系数所组成的行列式。
24.非齐次线性方程组:常数项不全为零的线性方程组25.齐次线性方程组:常数项全为零的线性方程组。
26.克莱姆法则:0≠D 时, , , , ,2211D D x D D x D D n n ===27.非齐次线性方程组根的判别情况,0≠D ,则方程组有唯一解。
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念,它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中,需要掌握三种不同的定义方法,包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解,帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A,其行列式记为|A|或det(A),代数定义为:|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列,a_ij表示A中第i行第j列的元素值,M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂,但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算,然后不断地递归计算,最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于,它不仅适用于方阵,也适用于非方阵,所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸,从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说,对于一个n阶矩阵A,其行列式的几何定义为:|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度,也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观,可以帮助我们更好地理解行列式的含义,也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列,直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象,但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A,其行列式的递推定义为:|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现,对于大规模矩阵的计算尤其有效。
三阶行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念,它在矩阵理论、向量分析和微分几何等领域有广泛的应用。
在实际问题中,计算三阶行列式是一种常见的操作。
本文将介绍三阶行列式的计算技巧。
一、三阶行列式的定义ABCDEFGHI根据定义,三阶行列式的计算可以按照如下步骤进行:1.将行列式按行展开。
选择一个行号i,取第i行的元素a[i1]、a[i2]、a[i3],其中i1、i2、i3是列号。
2.对于每一个选择,计算正负号。
一般的规则是:对于选择右上方元素的情况,取正号;对于选择左下方元素的情况,取负号。
3.将每一个选择的元素相乘,再将所有选择的结果相加。
得到的和就是行列式的值。
例如,对于三阶行列式,123,可以按照如下方式计算:123456789选择第1行,第1列的元素为1,选择右上方元素,取正号。
得到1*(5*9-6*8)=3选择第1行,第2列的元素为2,选择右上方元素,取正号。
得到2*(4*9-6*7)=-6选择第1行,第3列的元素为3,选择右上方元素,取正号。
得到3*(4*8-5*7)=3将三个结果相加,得到3+(-6)+3=0。
因此,该三阶行列式的值为0。
二、三阶行列式的性质1.换行性质:交换行列式的两行,结果变号。
考虑一个三阶行列式,ABC,如果交换第1行和第2行,行列式变为,DEF。
根据定义,交换行后的行列式为-(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。
2.倍增性质:其中一行乘以k倍,行列式的值也乘以k。
考虑一个三阶行列式,ABC,如果将第1行乘以k,行列式变为,kAkBkC。
根据定义,乘以k后的行列式为k^3*(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。
在实际计算中,为了简化计算和减少错误,可以使用一些技巧。
1.判断行列式是否等于0如果一个行列式的两行(或两列)完全相同,那么这个行列式的值等于0。
这是因为在展开计算时,相同的元素相乘得到的结果为0。
2.利用换行性质简化计算根据换行性质,交换行列式两行可以改变计算的顺序或者改变符号。
三阶行列式的计算
三阶行列式的计算
概述图利用加减消元法,为了容易记住其求解公式,但要记住这个求解公式是很困难的,因此引入三阶行列式的概念。
记称左式的左边为三阶行列式,右边的式子为三阶行列式的展开式。
下面是小编整理的三阶行列式的计算的资料,一起来看看吧。
三阶行列式可用对角线法则:
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。
矩阵A乘矩阵B,得矩阵C,方法是A的第一行元素分别对应乘以B的第一列元素各元素,相加得C11,A的第一行元素对应乘以B 的第二行各元素,相加得C12,C的第二行元素为A的第二行元素按上面方法与B相乘所得结果,N阶矩阵都是这样乘,A的'列数要与B 的行数相等。
三阶行列式性质:
性质1:行列式与它的转置行列式相等。
性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号。
推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。
性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式。
推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。
性质5:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。
三阶行列式运算摘要:一、三阶行列式的定义和性质1.定义2.性质二、三阶行列式的计算方法1.扩展法2.递推法3.高斯消元法三、三阶行列式的应用1.线性方程组的解2.矩阵的逆3.矩阵的秩四、三阶行列式的拓展1.更高阶行列式的研究2.与其他数学领域的联系正文:一、三阶行列式的定义和性质1.定义:三阶行列式是一个由九个元素构成的行列式,记作|A|,其中A是一个三阶方阵。
其定义为:|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a322.性质:(1)交换行列式的两行(或两列),行列式的值变为原来的相反数。
(2)交换行列式的两行(或两列)后,对应位置的元素符号相反。
(3)行列式的某一行(或列)乘以一个常数k,行列式的值也要乘以k。
(4)行列式的某一行(或列)加上另一行(或列)的k倍,行列式的值不变。
二、三阶行列式的计算方法1.扩展法:将三阶行列式扩展为六阶行列式,再通过减去四个二阶子行列式的和得到三阶行列式的值。
2.递推法:通过递推关系式计算三阶行列式的值,适用于具有特定结构的三阶行列式。
3.高斯消元法:将三阶行列式转化为上三角矩阵,然后逐步消元求解。
三、三阶行列式的应用1.线性方程组的解:利用高斯消元法求解线性方程组时,可以计算行列式的值,判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。
2.矩阵的逆:求一个可逆矩阵的逆矩阵,可以通过计算行列式的值得到。
3.矩阵的秩:矩阵的秩等于其行(或列)的最大线性无关组个数,可以通过计算行列式的值判断。
四、三阶行列式的拓展1.更高阶行列式的研究:可以推广到四阶、五阶等更高阶行列式的计算和应用。