行列式的基本性质

行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。

它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。

一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。

行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。

3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

行列式的性质
性质1把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k，等于以数k乘以该行列式。

推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面。

推论2如果行列式中有一行(列)全为零，那么该行列式等于零。

性质2交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式改变符号。

推论3如果行列式中有两行(列)的对应元素完全相同，那么该行列式等于零。

推论4如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例，那么该行列式等于零。

性质3如果行列式的某一行(列)的元素为两组数的和，那么该行列式可以分为两个行列式之和。

而且这两个行列式除这一行(列)以外的其他元素与原行列式的对应元素一样。

性质4如果以数k乘以行列式中的某一行(列)的所有元素然后加到另一行(列)的对应元素上去，所
得行列式的值不变。

111
222
333
a b c
D a b c
a b c
=将D的第1，2，3行依次变为第1，2，3列，得到的新行列式
称为D的转置行列式，记为T D，即T D=
123 123 123
a a a
b b b
c c c
性质5行列式与它的转置行列式相等即T D D
=。

矩阵与行列式的基本运算与性质矩阵和行列式是线性代数中重要的数学工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨矩阵与行列式的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。

矩阵中的元素可以是实数或复数。

一个m×n的矩阵可以表示为：A = [aij]m×n其中，aij表示第i行第j列的元素。

矩阵的基本运算包括加法、减法和数乘。

对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法定义如下：A +B = [aij + bij]m×nA -B = [aij - bij]m×n对于一个矩阵A和一个实数k，数乘定义如下：kA = [kaij]m×n二、矩阵的乘法与转置矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，需要符合一定的规则。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×k的矩阵B，它们的乘积AB定义如下：AB = [cij]m×k其中，cij = a1j*b1i + a2j*b2i + ... + anj*bni。

需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

一个m×n的矩阵A 的转置记为AT，其定义如下：(A^T)ij = Aji转置操作可以改变矩阵的维度，即如果A是一个m×n的矩阵，则AT是一个n×m的矩阵。

三、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵A，其行列式记为|A|或det(A)，它的定义如下：|A| = a11a22...ann + a12a23...a(n-1)n + ... + (－1)^(n+1)an1a2...a(n-1)行列式有一些基本的性质，包括以下几点：性质1：如果矩阵的某一行或某一列都是0，则其行列式的值为0。

性质2：如果矩阵的两行或两列相等，则其行列式的值为0。

第三节 行列式的性质考虑nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=将它的行依次变为相应的列，得nnn nn n T a a a a a a a a a D 212221212111=称D T 为D 的转置行列式 .性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D=D T 。

例1 计算行列式nnn n a a a a a a D2122211100=解 nn nnn n Ta a a a a a a a a D D2211222121110=== 证 事实上，若记)det(ij T b D = 则),,2,1,(n j i a b ji ij ==∑-=∴n n np p p p p p T b b b D 212121)()1(τ Da a a n p p p p p p n n =-=∑ 21)(2121)1(τ性质2 互换行列式的两行(r i ↔r j )或列(c i ↔c j )，行列式的值变号 . 推论 若行列式D 的两行（列）完全相同，则D=0 .性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k ，等于数k 乘以此行列式，即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211= 推论1 行列式D 中一行(列)所有元素的公因子可提到D 的外面；推论2 行列式D 中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值等于零。

结 论： D 中一行(列)所有元素为零，则D=0；性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即=+++nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211 +nnn n in i i na a a a a a a a a 212111211nnn n in i i n a a a b b b a a a212111211证 由行列式定义∑+-=n i i n np ip ip p p p p p a b a a a D )()1(212121)(τ∑∑-+-=ni n ni n np ip p p p p p np ip p p p p p a b a a a a a a 2121212121)(21)()1()1(ττ性质5 行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变)(D D ji kr r +=，即ji kr r nnn n in i i n a a a a a a a a a +=212111211nnn n jn in j i j i na a a ka a ka a ka a a a a21221111211+++推论 D 的两行（列）对应元素成比例，则D=0.例2 计算行列式2413635104---。

行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。

在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。

本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。

一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。

行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。

对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。

对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。