习题1-3 行列式的性质

行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。

它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。

一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。

行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。

3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。

第三节 行列式的性质分布图示★ 引言★ 性质1 ★ 例1 ★ 性质2 ★ 例2 ★ 例3 ★ 性质3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 性质4 ★ 例7 ★ 例8★ 性质5 ★ 例9 ★ 利用“三角化”计算行列式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3内容要点一、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nn n n n n a a a a a a a a a D = 则 nnnnn n T a a a a a aa a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D =注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i na a a cbc b c b a a a D 21221111211+++=. 则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例题选讲例1若210101321-=D , 则.213102011D D T =-=例2（1）01212111012110121---=--（第一、二行互换）.（2）102110211012110121---=--（第二、三列（3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例3（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）07541410053820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例4 若121013201--=D , 则D 212101321)2(12101342-=---=----又 D 41210132141240112204=--=--.例5 (E01) 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例6 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证 设反对称行列式D 0000321323132231211312 nn n n n n a a a a a a a a a a a a ------= 其中),(时j i a a ji ij ≠-=).(0时j i a ij == 利用行列式性质1及性质3的推论1,有D T D =0000)1(321323132231211312 nnnn nn n a a a a a a a a a a a a -------=,)1(D n -= 当n 为奇数时有,D D -=即.0=D例7（1）.110111311103111132+=++= （2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=.例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+. 注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D .解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=- 再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 (E02) 计算.3351110243152113------=D 解 21c c D→3315112043512131------- 14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔ 72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131----3445r r +.40250001080011202131＝---例12 (E03) 计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=例13 (E04) 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +112100000033221a a a a a -- 23c c + 1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a =例14 (E05) 计算.3610363234232dc b a c b a b a ad c b a c b a b a a dc b a c b a b a ad c b a D ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：D r r r r r r ---33412.363023200c b a b a a c b a b a a cb a b a a dc b a +++++++++3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0002004a ab a a cb a b a a dc b a=++++例15 设nnn nkn n k kk k kb bc c b b c c a a a a D111111111111000=，,)det(,)det(1111211111nnn nij kk k kij b b b b b D a a a a a D ====证明 .21D D D =证 对1D 作运算,j i kr r +对2D 作运算,j i kc c +可分别把1D 和2D 化为下三角形行列式.1D =kk k p p p1110;11kk p p =2D =nnn q q q 1110.11nn q q = 对D 的前k 行作与对1D 相同的运算,j i kr r +再对后n 列作与对2D 相同的运算,j i kc c +即把D 化为下三角形行列式，且D nn kk q q p p 1111⋅=.21D D = 证毕.例16 (E06) 解方程.0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a a n n n n n n nn n n n n解 从第二行开始每一行都减去第一行得),)(())((00000000000001221112211321x a a x a x a a xa xa x a x a a a a a a n n n n n n ----=---------由,0))(())((12211=------x a a x a x a a n n 解得方程的1-n 个根：.,,,,11222211----====n n n n a x a x a x a x课堂练习1. 计算行列式.0112012120112110-----=D 2. 计算n 阶行列式 ab b b bb a b b b b a。

行列式习题及答案行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。

本文将介绍一些行列式的习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

1. 习题一：计算行列式的值已知行列式A = |2 3||4 5|求解行列式A的值。

答案：根据行列式的定义，可以得到A的值为：2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2。

2. 习题二：行列式的性质已知行列式B = |a b||c d|如果行列式B的值为0，是否可以得出a、b、c、d中至少有一个为0的结论？答案：是的，如果行列式B的值为0，根据行列式的性质，可以得出至少存在一组a、b、c、d中的一个为0的情况。

这是因为行列式的值为0意味着矩阵的行向量或列向量线性相关，即存在线性关系式使得行向量或列向量之间存在依赖关系。

3. 习题三：行列式的展开已知行列式C = |1 2 3||4 5 6||7 8 9|求解行列式C的值。

答案：根据行列式的展开定理，可以选择第一行或第一列展开计算。

选择第一行展开，可以得到C的值为：1 * (-1)^(1+1) * |5 6| - 2 * (-1)^(1+2) * |4 6| + 3 * (-1)^(1+3) * |4 5||8 9| |7 9| |7 8|= 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)= 1 * (-3) - 2 * (-6) + 3 * (-3)= -3 + 12 - 9= 04. 习题四：行列式的性质已知行列式D = |a b||c d|如果行列式D的值为1，是否可以得出a、b、c、d中至少有一个为1的结论？答案：不可以。

行列式的值为1并不能直接得出a、b、c、d中至少有一个为1的结论。

因为行列式的值为1并不代表矩阵的元素本身就是1，行列式的值只是表示了矩阵的行向量和列向量之间的线性关系。

5. 习题五：行列式的性质已知行列式E = |1 2||3 4|如果行列式E的值为k，是否可以得出a、b、c、d中的元素之和等于k的结论？答案：是的。

1、用行列式的性质计算下列行列式：()134215352152809229092；【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是， 【解法一】3421535215280922909221c c -34215100028092100012r r -61230280921000下三角6123000。

【解法二】3421535215280922909212r r -61236123280922909221c c -6123280921000下三角6123000。

()2ab ac ae bd cd de bfcfef---；【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。

【解】a b a b dc bf c---123a r d r f r ←←←b cad bc---123b c c c e c ←←←111ad ---1123r r r r ++11102020adfbce -23r r ↔11120002abcdef --上三角2(1)2abcdef -⨯-⨯4abcdef =。

()31111111111111111------； 【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，【解】1111111111111111------213141r r r r r r +++1111022200220002上三角312⨯8=。

2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：()12240 4135 3123 2051-----；【解法一】2240413531232051-----21c c↔2240143513230251------21r r↔1435224013230251-----21312r rr r++14350621007120251-23r r-1435011807120251--324272r rr r++143501180085800717--34r r-143501180014100717--437r r-1435011800141000270---上三角2(1)1(270)-⨯⨯-270=-。