字母表示数 代数式求值

3.2代数式-代数式求值（教案）
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材第三章第二节《代数式-代数式求值》。教学内容主要包括：
1.代数式的概念：通过具体例子让学生理解代数式的含义，并学会用字母表示数。
2.代数式的求值：使学生掌握代数式求值的方法，包括代入法、直接计算法和化简法。
3.代数式的性质：让学生了解代数式的性质，如交换律、结合律等，并运用这些性质进行代数式的求值。
5.培养学生的合作交流意识：在小组讨论和互动中，让学生学会倾听、表达、交流与合作，提高团队协作能力。
本节课将围绕以上核心素养目标展开教学，关注学生个体差异，促进全面发展。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）代数式的概念：理解代数式的含义，学会用字母表示数，并能正确书写代数式。
举例：学生需掌握如下的代数式概念：3x、4y-2、5a^2+7b等。
（2）代数式的求值：掌握代入法、直接计算法和化简法求代数式的值。
举例：给定代数式2x+3y，当x=3，y=4时，求代数式的值。
（3）代数式的性质：了解代数式的交换律、结合律等性质，并能运用性质简化计算过程。
举例：掌握（a+b）+c=a+（b+c）的性质，并应用于代数式的求值。
2.教学难点
（1）字母表示数的抽象性：学生往往难以理解字母表示数的概念，需要通过具体实例和引导来加强认识。
（4）代数式性质的运用：学生可能难以理解性质如何应用于代数式的求值。
举例：引导学生运用交换律、结合律等性质简化代数式的求值过程，如2a+3b+b+2a的简化。
在教学过程中，针对上述重点和难点内容，教师应采用丰富的教学方法和手段，如举例讲解、小组讨论、互动提问等，以帮助学生透彻理解核心知识，突破学习难点。同时，关注学生的个体差异，给予个性化指导，确保每位学生都能掌握本节课的知识点。

与代数式求值有关的创新题例析代数式求值是一个从数到式，再从式到数的再认识过程，学好这一部分有助于加深对代数式的理解，有利于符号化思想的形成.在近年来中考中出现了一些与之相关的中考题，这类试题题材新颖，形式灵活，可考查学生多角度思考问题的能力和创新意识，现将这类问题加以总结，供参考.一、程序运算型例1、（2006聊城）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：当输入数据是时，输出的数是（ ） Ａ．861 Ｂ．865 Ｃ．867Ｄ．869解析：观察输入数与输出数之间的关系，可以发现：211211=+，222521=+，2331031=+，…故本题实际上是求代数式21x x +的值，当输入数据是8时，输出的数是2888165=+，选B. 评注：解决这类问题的一般思路是对各个数据进行适当的“加”、“减”、“乘”、“除”，等形式的拆分，探究其中的规律.二、规律探索型①3-x-1x (x>0)的值随着I 的增大越来越小； ②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2； ③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2． 则推测正确的有( )A.0个B.1个 C ．2个 D. 3个解析：从代数式的值的变化可以看出，3-x-1x(x>0)的值随着I 的增大越来越小，且越来越接近于2，选C.评注：本例通过对代数式求值，研究代数式的性质，四、新符号型例4、（2006年内江市）对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f（13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f（2004）+ f （2005）+ f （2006）= .解析:由符号f(x)的定义f （x ）= x 1x+可得： 32)2(=f ，31)21(=f ，1)21()2(=+f f ； 43)3(=f ，41)31(=f 所以1)31()3(=+f f ， …… ……从而发现f （x ）+ f(x1)=1. 所以f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f（13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f（2004）+ f （2005）+ f （2006）=[f （12006）+ f （2006）]+[ f （12005）+ f （2005）]+[ f （12004）+ f （2004）] + …[f（1）+ f （1）]=2006.评注：解决符号信息迁移题的关键是要准确理解新符号的数学意义，主要考查符号语言、文字语言、图形图象语言间的转译能力及推理运算能力.本题关键是发现f(x)+f(1x)=1. 五、应用型例5、（2006台州）日常生活中，“老人”是一个模糊概念．有人想用“老人系数”来表示一个人的老年岁的人的“老人系数”为 ．解析：从表格可以看出x=70在60和80之间，所以212060702060=-=-x . 评注：在日常生产生活中，我们会碰到各种各样的公式，我们应当根据具体的情境选择合适的公式进行计算.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列命题中，假命题是（ ）A ．-的立方根是-2B ．0的平方根是0C ．无理数是无限小数D ．相等的角是对顶角 【答案】D【解析】根据立方根的定义、平方根的定义、无理数的定义及对顶角的性质对各选项分析判断后即可解答．【详解】选项A ， -的立方根是-2，正确；选项B ， 0的平方根是0，正确；选项C ， 无理数是无限小数，正确；选项D ， 相等的角是对顶角，错误.故选D.【点睛】本题考查了立方根的定义、平方根的定义、无理数的定义及对顶角的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.2．某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x 张甲种票，y 张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）A ．351824750x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．352418750x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．352418750x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．351824750x y x y -=⎧⎨-=⎩【答案】B 【解析】分别利用有35名学生以及购票恰好用去750元，得出等式求出答案．【详解】解：设买了x 张甲种票，y 张乙种票，根据题意可得：352418750x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故选择：B.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．3．点P 的坐标为236()a a -+，，且到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为( )A ．(33)， B ．(33)，- C ． (66)，- D ．(33)， 或(66)，-【答案】D 【解析】根据点P 到两坐标轴的距离相等可得其点的横坐标与纵坐标的绝对值相等，据此进一步求解即可.【详解】∵点P 到两坐标轴的距离相等， ∴236a a -=+，即：236a a -=+或()236a a -=-+，∴1a =-或4a =-，∴P 点坐标为：(33)， 或(66)，-故选：D.【点睛】本题主要考查了坐标系中点的坐标的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．要测量河岸相对两点A 、B 的距离，已知AB 垂直于河岸BF ，先在BF 上取两点C 、D ，使CD=CB ，再过点D 作BF 的垂线段DE ，使点A 、C 、E 在一条直线上，如图，测出BD=10，ED=5，则AB 的长是（ ）A ．2.5B ．10C ．5D ．以上都不对【答案】C 【解析】∵AB ⊥BD ，ED ⊥AB ，∴∠ABC=∠EDC=90∘，在△ABC 和△EDC 中,90{ABC EDC BC DCACB ECD︒∠=∠==∠=∠， ∴△ABC ≌△EDC(ASA)，∴AB=ED=5.故选C.5．王老师有一个实际容量为()201.8GB 1GB 2KB =的U 盘，内有三个文件夹.已知课件文件夹占用了0.8GB的内存，照片文件夹内有32张大小都是112KB的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是152KB的音乐.若该U盘内存恰好用完，则此时文件夹内有音乐()首.A．28 B．30 C．32 D．34【答案】B【解析】根据同底数幂的乘除法法则，进行计算即可．【详解】解：（1.8−0.8）×220＝220（KB），32×211＝25×211＝216（KB），（220−216）÷215＝25−2＝30（首），故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．如图，利用直尺圆规作∠AOB的角平分线OP.则图中△OCP≌△ODP的理由是A．边边边B．边角边C．角角边D．斜边直角边【答案】A【解析】根据角平分线的作图方法解答．【详解】解：根据角平分线的作法可知，OC=OD，CP=DP，又∵OP是公共边，∴△OCP≌△ODP的根据是“SSS”．故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．，则四边形ABFD的周长为7．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到DEF（）A ．8B ．10C ．12D ．16【答案】B 【解析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC 即可得出答案．根据题意，将周长为8个单位的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ；又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．故选C ．“点睛”本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD ，DF=AC 是解题的关键．8．在绘制频数分布直方图时，一个容量为80的样本最大值是143，最小值是50，取组距为10，则可以分成（ ）组；A ．10B ．9C ．8D ．不能确定【答案】A【解析】最大值减去最小值，再除以组距即可求解．【详解】()14350109.3-÷=故可以分成10组故答案为：A ．【点睛】本题考查了频数分布直方图的问题，掌握求组数的方法是解题的关键．9．如图，下列条件：①13∠=∠，②24180∠+∠=︒，③45∠=∠，④23∠∠=，能判断直线12l l //的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【解析】根据平行线的判定方法：同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；同旁内角互补,两直线平行；逐一判定即可.【详解】①13∠=∠，∠1和∠3是内错角，故可判定直线12l l //；②24180∠+∠=︒，∠2和∠4是同旁内角，故可判定直线12l l //；③45∠=∠，∠4和∠5是同位角，故可判定直线12l l //；④23∠∠=，∠2和∠3既不是同位角也不是内错角，故不能判定直线12l l //；故选：B.【点睛】此题主要考查平行线的判定，熟练掌握，即可解题.10．若m n <，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．11m n -<-B ．22m n <C ．33m n ->-D ．22m n < 【答案】D【解析】本题主要考查不等式的基本性质.基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.【详解】A ：不等式两边同时减去1，不等式成立，即m-1<n-1B ：不等式两边同时乘2，不等式成立，即2m<2nC ：不等式两边同时乘以13-，不等号方向改变，即33m n ->- D ：当m<n ，且m n >时，22m n >，故22m n <不成立故正确答案为D【点睛】此题主要考查不等式的基本性质，基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.二、填空题题11．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ .以下五个结论：①AD ＝BE;②PQ∥AE;③AP＝BQ;④DE＝DP;⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有_____；(填序号）.【答案】①②③⑤【解析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA （ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，即∠AOE=180°-60°=120°可知⑤正确．【详解】∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∴①正确，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE②正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ③正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴∠AOE=180°-60°=120°∴⑤正确．故正确的有：①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．12．东方旅行社，某天有空客房10间，当天接待了一个旅游团，当每个房间住3人时，只有一个房间不空也不满，试问旅游团共有__________人．【答案】28或29【解析】分析：根据有空客房10间，每个房间住3人时，只有一个房间不空也不满，即：9间客房住满了，而最后一个房间不空也不满即这间客房住了1个人或2个人，分两种情况列出算式即可求出旅客的总人数．详解：由题可知，前9个房间住的人数是9×3=27人；最后1间客房（不空也不满的房间）的人数有两种情况：（1）当有1个人时：游客总数为：27+1=28人；（2）当有2个人时：游客总数为：27+2=29人，所以旅游团共有28或29人.故答案为：28或29.点睛：本题考查了一元一次不等式的应用.根据题中的不等关系确定不空也不满的房间人数是解题的关键. 13．已知方程2x 2n-1-3y 3m-1+1=0是二元一次方程,则m+n= ______ 【答案】53 【解析】根据二元一次方程的定义，x 、y 的次数都是1.【详解】解：∵方程2x 2n-1-3y 3m-1=0是关于x 、y 的二元一次方程，211311n m -=⎧⎨-=⎩解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴m+n=53故答案为53． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，解答此题，关键是利用指数为1建立方程组．14．如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，那么∠DAE =______度．【答案】10【解析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可【详解】因为，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE 平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD 中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD -∠CAE=50°-40°=10°【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度15．三个连续的正整数的和大于333，则满足条件的最小的三个正整数是_______．【答案】111，112，113【解析】设出三个连续的正整数中间一个为x ，表示另外两个，列出不等式求解即可．【详解】解：设这个三连整数是1x -，x ，1x +，则11333x x x -+++>，解得111x >．112x ∴=，故最小的三个正整数是111，112，113．故答案为：111，112，113【点睛】本题考查的是不等式的简单应用，根据题意列出正确的不等式是解题关键．16．若5a =，29b =，且ab ＜0，则-a b 等于_____________．【答案】8±【解析】根据题意首先得出5a =±，3b =±，然后利用有理数乘法法则结合题意可知a 、b 两数异号，据此进一步分类讨论即可. 【详解】∵5a =，29b =，∴5a =±，3b =±，∵ab ＜0，∴a 、b 两数异号，∴当5a =，3b =-时，8a b -=，当5a =-，3b =时，8a b -=-，综上所述，a b -的值为8±，故答案为：8±.【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用以及代数式的求值，熟练掌握相关概念是解题关键.17．已知关于x 的不等式组1x x m ＞＜-⎧⎨⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是_____． 【答案】1＜m ≤2【解析】首先确定不等式组的整数解，即可确定m 的范围．【详解】解：关于x 的不等式组1x x m ＞＜-⎧⎨⎩的解集是：﹣1＜x ＜m ， 则2个整数解是：0，1，1．故m 的范围是：1＜m≤2．【点睛】本题考查了不等式组的整数解，正确理解m 与1和2的大小关系是关键．三、解答题18．关于x 的方程5264x k k x -=+-的解是负数，求字母k 的值．【答案】 1.k -＜【解析】解一元一次方程可得+1.x k =，再根据解是负数，即可求字母k 的值．【详解】由5264x k k x -=+-，得66x k =+6，解得+1.x k =∵方程的解是负数，∴+10.k ＜∴ 1.k -＜【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．19．在△ABC 中，点D 在边BA 或BA 的延长线上，过点D 作DE ∥BC ，交∠ABC 的角平分线于点E ． （1）如图1，当点D 在边BA 上时，点E 恰好在边AC 上，求证：∠ADE=2∠DEB ；（2）如图2，当点D 在BA 的延长线上时，请直接写出∠ADE 与∠DEB 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）∠ADE+2∠DEB=180°.【解析】（1）由角平分线的定义可得出∠ABE=∠CBE，由平行线的性质可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，进而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性质即可证出∠ADE=2∠DEB；（2）由角平分线的定义可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行线的性质可得出∠DEB=∠CBE，进而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”可证出∠ADE+2∠DEB=180°．【详解】证明：（1）∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∵DE∥BC，∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，∴∠ABE=∠DEB，∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．（2）∠ADE+2∠DEB=180°．∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE．∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，∴∠ABC=2∠DEB，∴∠ADE+2∠DEB=180°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ABE=∠DEB；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ADE+2∠DEB=180°．20．（1）计算：32564|12|-+-.（2）解不等式2223x x x +--＜，并把解集在数轴上表示出来.（3）解方程组：521123x y y x +⎧⎪-⎨-⎪⎩＝＝． 【答案】（12（2）x ＜2，（3）12x y ＝＝⎧⎨-⎩【解析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得答案；再按照不等式解集的表示方法在数轴上表示即可；（3）先把②两边同时乘以6可得6x-2y=10③，再利用加减消元法解方程即可求出x 的值，代入①求出y 值即可得答案.【详解】（1）原式22（2）去分母，得6x-3（x+2）＜2（2-x ），去括号，得6x-3x-6＜4-2x，移项，合并得5x＜10，系数化为1，得x＜2，不等式的解集在数轴上表示如下：（3）521123x yyx+⎧⎪⎨--⎪⎩＝①＝②②×6得：6x-2y=10③，①+③得：11x=11，即x=1，将x=1代入①，得y=-2，则方程组的解为12 xy＝＝⎧⎨-⎩．【点睛】本题考查了实数的运算、解一元一次不等式及解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则及一元一次不等式、二元一次方程组的解法是解题关键.21．分解因式(1)－3m3＋12m(2)2x2y－8xy＋8y(3)a4＋3a2－4【答案】(1) -3m（m+2）（m-2），(2)2y(x-2)2，(3)(a2+4) (a+1) (a-1)【解析】（1）提取-3m后，再根据平方差公式因式分解；（2）先提取2y，再根据完全平方公式因式分解；（3）先利用十字相乘法因式分解，再用公式法因式分解.【详解】(1)－3m3＋12m=-3m（m2-4）=-3m（m+2）（m-2）(2)2x2y－8xy＋8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2(3)a4＋3a2－4=(a2-1) (a2+4)= (a2+4) (a+1) (a-1)【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.22．已知点M（3a﹣2，a+6），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点N的坐标为（2，5），且直线MN∥x轴；（3）点M到x轴、y轴的距离相等．【答案】（1）点M的坐标是（﹣20，0）；（2）点M的坐标为（﹣5，5）；（3）点M的坐标为（10，10）或（﹣5，5）【解析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列式计算即可得解；（2）根据平行于x轴的点的纵坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解．（3）根据象限平分线上点到x轴、y轴的距离相等列式计算即可得解．【详解】（1）∵点M在x轴上，∴a+6＝0，∴a＝﹣6，3a﹣2＝﹣18﹣2＝﹣20，a+6＝0，∴点M的坐标是（﹣20，0）；（2）∵直线MN∥x轴，∴a+6＝5，解得a＝﹣1，3a﹣2＝3×（﹣1）﹣2＝﹣5，所以，点M的坐标为（﹣5，5）．（3）∵点M到x轴、y轴的距离相等，∴3a﹣2＝a+6，或3a﹣2+a+6＝0解得：a＝4，或a＝﹣1，所以点M的坐标为（10，10）或（﹣5，5）【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了x轴上的点的坐标特征，二四象限平分线上点的坐标特征，第二象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线的上点的坐标特征，需熟记．23．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC="70"o，求∠AGD．解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3（）又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥DG （）∴∠BAC+ ="180"o（）∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= ．【答案】、两直线平行，同位角相等内错角相等，两直线平行∠AGD两直线平行，同旁内角互补110︒【解析】试题分析：由EF与AD平行，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与DG平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数．试题解析：∵EF∥AD（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠BAC=70°（已知），∴∠AGD=110°．考点：平行线的判定与性质．24．已知任意一个三角形的三个内角的和是180°，如图1，在ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O.（1）若∠A=70°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=α，求∠BOC的度数；（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∠A=α，求∠BOC的度数.【答案】（1）125°；（2）90°+12α；（3）120°+13α【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=55°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；（2）∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-α）=90°-12α，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-12α）=90°+12α；（3）∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=13（∠ABC+∠ACB）=13（180°-α）=60°-13α，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（60°-13α）=120°+13α．【点睛】考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出∠OBC+∠OCB是解此题的关键，求解过程类似．25．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D悦悦是这样做的：过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．【答案】（2）∠EGF＝90°；（3）详见解析.【解析】（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；（3）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．【详解】证明：（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，∵BE∥CF，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，∴∠BEG+∠GFD＝90°，∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∴∠EGF＝90°；（3）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，∵AB∥CD，∴G1H∥CD，由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∴∠3＝∠G2FD，∵FG2平分∠EFD，∴∠4＝∠G2FD，∵∠1＝∠2，∴∠G2＝∠2+∠4，∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠EG1F+∠G2＝180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．将点A（2，-2）向上平移4个单位得到点B，再将点B向左平移4个单位得到点C，则下列说法正确的有（）①点C的坐标为（-2，2）②点C在第二、四象限的角平分线上；③点C的横坐标与纵坐标互为相反数；④点C到x轴与y轴的距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】首先根据平移方法可得C(2-4，-2+4)，进而得到C点坐标，再根据C点坐标分析四个说法即可．【详解】解：将点A(2，-2)向上平移4个单位得到点B(2，-2+4)即(2，2)，再将点B向左平移4个单位得到点C(2-4，2)，即(-2，2)，①点C的坐标为(-2，2)说法正确；②点C在第二、四象限的角平分线上，说法正确；③点C的横坐标与纵坐标互为相反数，说法正确；④点C到x轴与y轴的距离相等，说法正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平移变换与坐标变化；关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．2．下列调查中，比较适合用全面调查（普查）方式的是（）A．了解某班同学立定跳远的情况B．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比C．了解一批炮弹的杀伤半径D．了解全国青少年喜欢的电视节目【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据定义判断即可得到答案.【详解】A、了解某班同学立定跳远的情况，适合全面调查；B 、了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比，具有破坏性，适合抽样调查；C 、了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，适合抽样调查；D 、了解全国青少年喜欢的电视节目，任务量过大，适合抽样调查；故选择：A.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少40°，则∠α的度数为（ ）A ．20°B ．125°C ．20°或125°D ．35°或110°【答案】C【解析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的3倍少40°，可得出答案．【详解】设∠β为x ，则∠α为3x ﹣40°，若两角互补，则x+3x ﹣40°=180°，解得x=55°，∠α=125°；若两角相等，则x=3x ﹣40°，解得x=20°，∠α=20°．故选C ．【点睛】本题考查平行线的性质，关键在于根据两角的两边分别平行打开此题的突破口．4．如图，已知ADB ADC ∠=∠，添加条件后，可得ABD ACD ∆≅∆，则在下列条件中，不能添加的是（ ）A ．BAD CAD ∠=∠B ．BC ∠=∠ C ．BD CD =D ．AB AC =【答案】D 【解析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中D 、AB=AC 与∠ADB=∠ADC 、AD=AD 组成了SSA 是不能由此判定三角形全等的．【详解】A 、∵∠BAD=∠CAD ，∴BAD CAD AD AD ADB ADC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACD （ASA ）；故此选项正确；B 、∵∠B=∠C ，∴ B C ADB ADC AD AD ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACD （AAS ）；故此选项正确；C 、∵BD=CD ，∴BD CD ADB ADC AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）；故此选项正确；D 、AB=AC 与∠ADB=∠ADC 、AD=AD 组成了SSA 不能由此判定三角形全等，故此选项错误． 故选D ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，但SSA 无法证明三角形全等．5．方程组538y x x y =-⎧⎨-=⎩用代入法消y 后所得到的方程，不正确．．．的是（ ） A ．358x x --=B ．385x x -=-C ．()358x x --=D ．358x x -+=【答案】A【解析】把方程组中第一个方程代入第二个方程消去y 即可得到结果． 【详解】解：y x 53x y 8=-⎧⎨-=⎩①② 把①代入②得：()3x x 58--=，去括号得：3x x 58-+=；或移项得：385x x -=-；∴A 错误.故选：A.【点睛】熟练掌握代入消元法解方程组是解题的关键.6．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m-,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ）A ．2x >B ．02x <<C ．8x >-D ．2x <【答案】A【解析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可．【详解】解：∵函数y ＝−4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，−8），∴−8＝−4m ，解得：m ＝1，故A 点坐标为（1，−8），∵kx ＋b ＞−4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0，则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞1．故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．7．如图，已知，//AB CD ，12∠=∠，EP FP ⊥，则以下结论错误的是（ ）A ．13∠=∠B ．2490∠+∠=C ．1390∠+∠=D ．34∠=∠【答案】A【解析】过点P作PH∥AB，再根据平行线的性质及直角三角形的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠3=∠HPF，∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，∠HPF+∠EPH=90°，∴∠3=∠4，故D正确；∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，故B正确；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=90∘，∴∠1+∠3=90°，故C正确；故选A.【点睛】本题考查平行线的性质和平行线的判定，在本题中解题关键是构造EP平行AB，形成了截线EP和截线PF，从而得以用平行线的性质解决问题.8．如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1 等于( )A．120︒B．105︒C．60︒D．45︒【答案】B【解析】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故选B．点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．9．关于x 的不等式组1x a x ⎧⎨⎩＞＞的解集为x ＞1，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1B ．a ＞1C ．a≤1D ．a ＜1 【答案】C【解析】分析：根据不等式组解集的确定法则：大大取大即可得出答案．详解：∵不等式组的解集为x ＞1，根据大大取大可得：a≤1，故选C ．点睛：本题主要考查的是求不等式组的解集，属于基础题型．理解不等式组的解集与不等式的解之间的关系是解决这个问题的关键．10．若4s t +=，则228s t t -+的值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．32【答案】C【解析】根据平方差公式可得228s t t -+=（s+t ）（s-t ）+8t ，把s+t=4代入可得原式=4（s-t ）+8t=4（s+t ），再代入即可求解．【详解】∵s+t=4，∴228s t t -+=(s+t)(s−t)+8t=4(s−t)+8t=4(s+t)=16，故选：C.【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于掌握平方差公式.二、填空题题11．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b ＝a （a+b ）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×（2+5）+1＝2×7+1＝15，那么不等式﹣3⊕x ＜13的解集为____． 【答案】x ＞﹣1．【解析】根据a ⊕b ＝a （a+b ）+1，可得：﹣3⊕x ＝﹣3（﹣3+x ）+1，再根据﹣3⊕x ＜13，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵a ⊕b ＝a （a+b ）+1，∴﹣3⊕x ＝﹣3（﹣3+x ）+1，∵﹣3⊕x ＜13，∴﹣3（﹣3+x ）+1＜13，∴10﹣3x ＜13，解得x ＞﹣1．故答案为：x ＞﹣1．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及一元一次不等式的解法，根据题意把新定义的运算转换成实数运算是解题的关键.12．的倒数是 . 平方等于9的数是__ __【答案】-3；±3 【解析】解：-13的倒数是-3，平方等于9的数是±3. 13．已知23x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程4x+ay=5的一组解，则a 的值为____. 【答案】1 【解析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值．【详解】∵23x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程4x+ay=5的一组解， ∴8－3a=5,∴a=1.故答案是：1.【点睛】考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．14．命题“如果0a b >>a b >_____________命题(填“真”或“假”).【答案】真【解析】根据二次根式的性质进行判断即可．【详解】命题“如果a ＞b ＞0a b >故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解二次根式的性质，难度不大．15．3﹣2的绝对值是_____． 【答案】2﹣3【解析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0计算即可.【详解】解：32-=2﹣3.故答案为：2﹣3.【点睛】本题考查了绝对值运算，熟练掌握运算法则是解题关键.16．与－3最接近的整数是________；【答案】-2【解析】根据被开方数的取值范围求出二次根式的取值范围即可判断.【详解】∵2.25<3<4∴ 2.2534<<∴1.532<<∴ 1.532->->-所以与－3最接近的整数是-2.故答案为：-2.【点睛】此题考查的实数的比较大小，利用比较大小的方法找到与无理数最接近的整数是解决此题的关键. 17．已知DEC ∆是由CAB ∆平移得到，若2AE cm =，20ECA ∠=︒，AC 平分ECB ∠，则BD =_________，B ∠=_________．【答案】4cm 140︒【解析】根据平移的性质可得BC ＝CD ＝AE ，再根据线段的和差关系即可求解；先根据角平分线的定义可求∠ECB ，根据平角的定义可求∠ECD ，再根据平移的性质可得∠B ．。

浙教版数学七上第四单元代数式知识梳理及综合练习、检测[解析] 一．用字母表示数1.用字母表示数就是将基本的数量关系的语言文字转化为数学语言。

二、代数式1.定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

2.注意：（1）单个数字与字母也是代数式；（2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号；（3）代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。

3.书写要求（1）.代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“×”号；（2)数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序．如式子（a+b）·2·a应写成2a(a+b)；(3)带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；（4)在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写；（5).在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，(2a-b)kg。

三.代数式求值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算的结果叫做代数式求值。

代数式求值的三种方法：1.直接代入求值；2.化简代入求值；3.整体代入求值。

注意事项：1.代数式的值有一般式到特殊数的问题，代数式字母的取值要使代数值有意义。

比如分母不为0.求代数值的步骤1.代入时的注意1.如果代数式中省略乘号，带入后必须添上称号。

2.如果字母给出的是负数或者分数，并作乘方并作乘法运算，代入时都必须添上括号。

3.带入数值时，要对号入座，谨防混乱。

4.当题目按照常规方法不能求解时，要用整体思想。

2.计算时，注意运算符号，同时考虑简便运算。

代数式一、用字母表示数（共18题）1.下列式子中，符合代数式的书写格式的是（ ） A. (a －b )×7 B. 3a ÷5b C. 1 12ab D. ab 2.设n 为整数，下列式子中表示偶数的是（ ） A. 2nB. 2n+1C. 2n-1D. n+23.某商品标价x 元，进价为400元，在商场开展的促销活动中，该商品按8折销售获利（ ）A. （8x ﹣400）元B. （400×8﹣x ）元C. （0.8x ﹣400）元D. （400×0.8﹣x ）元 4.一个数除以9的商为x ，余数为2，则这个数为( )A. 9x ＋2B. 9x －2C. －29x D. 29 x 5.“减去一个数，等于加上这个数的相反数”用字母可以表示为________． 6.用代数式表示a 、b 两数的平方和与a ，b 乘积的差________．7.全校学生总数为a ， 其中女生占总数的 48% ，则男生人数是（ ） A. 48a B. 0.48aC. 0.52aD. a −488.某企业今年1月份产值为x 万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（ ）A. （1﹣10%）x 万元B. （1﹣10%x ）万元C. （x ﹣10%）万元D. （1+10%）x 万元9.x 是一个两位数， y 是一个一位数，如果把 y 放在 x 的左边，那么所成的三位数表示为（ ）．A. yxB. y +xC. 100y +xD. 100y +10x10.某种牌子的书包，进价为m 元，加价n 元后作为定位出售，如果元旦期间按定价的八折销售，那么元旦期间的售价为 ( ) 元． A. m +0.8nB. 0.8nC. 0.8(m+n) D. m+n÷0.811.某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以(4x−10)元出售，5则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是( )A. 原价减去10元后再打8折 B. 原价打8折后再减去10元C. 原价减去10元后再打2折 D. 原价打2折后再减去10元12.某种水果的售价为每千克a元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回________元（用含a的代数式表示）．13.一个两位数，个位数是a，十位数是b，这个两位数为________；14.为了帮助一名白血病儿童治疗疾病，某班全体师生积极捐款，捐款金额共2 800元，已知该班共有5名教师，每名教师捐款a元，则该班学生共捐款________元（用含a的代数式表示）．15.代数式的书写有一些规范，比如教材上指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“·”或者省略不写”其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现“÷”，通常用分数线“——”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面.根据以上书写要求，将代数式（ac×4-b2）÷（4a）简写成________16.夜间温度是t ∘C，白天温度比夜间高16 ∘C，则白天的温度是________ ∘C。

用字母表示数代数式代数式的值（学案）用字母表示数1、温故：（1）字母表示运算定律：加法交换律： a+b= 加法结合律：（a+b ）+c= 乘法交换律： a ×b=乘法结合律：（a ×b ）×c= （2）用字母表示下列图形计算周长与面积的公式正方形长方形用字母表示数的例子过去学过很多，你还能举出几个例子吗？2、新知：找规律：（1） 2，4，6，a ，10，12，14，b ，18，则a= b=（2）摆1个三角形需要3根小棒,摆2个三角形需要6根小棒, 摆3个、4个呢？如果摆a 个三角形需要几根小棒？ a 表示什么？当a 等于6时，就是摆了几个三角形？需要几根小棒？当a 等于20时呢？一、自主学习（千里之行，始于足下。

相信自己，你能行）例1、最近大米的销量比较好，其中一种大米每千克的价格为2.1元，如果知道了购买大米的千克数，就可以计算出应付的钱数。

例2、用含有字母的式子表示：（1）七年级一班有学生n 人，其中男生m 人，那么女生有多少人？（2）七年级一班有女生a 人，男生是女生人数的34倍，那么男生有多少人？（3）从小亮家到学校的路程是2千米，小亮骑自行车的速度是v 千米/时，小亮骑自行车家到学校需要多少时间？（4）甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度为a 千米/时，乙的速度为b 千米/时，经过2小时两人相遇，那么A 、B 两地的距离是多少？解：归纳总结：（怎样用字母表示数？）二、学以致用：（巩固知识，自我检测）a的相反数可表示为；a的绝对值可表示为；a的倍可表示为；a的平方可表示为。

比a大5的数可表示为 ;②小兰家去年共用水b吨,平均每月用水（）吨③一个长方形的长是x厘米，宽是8厘米，面积是( )平方厘米。

④一辆公共汽车上原来有35人，到新街车站下去x人，又上来y 人，现在车上有（）人⑤如果练习本售价每本0.6元，铅笔售价每枝0.2元，那么（1）买x本练习本和4枝铅笔共用( )元。