用字母表示数及代数式

第十三讲 用字母表示数、列代数式第一部分、教学目标：1、通过本章导图中的计算活动实验，使学生体验到字母表示数的优越性。

2、通过用字母表示实例中的数量演习活动，使学生加深对字母表示数的认识。

3、在列代数式的探索活动中，使学生习惯用字母表示数，并初步建立符号意识。

第二部分、教学重点、难点重点：1、理解用字母表示数的意义，会用字母表示数。

2、把语言描述的数量关系用代数式表示出来。

难点： 1、会用含有字母的式子表示数量关系，并知道字母的取值范围。

2、理解描述语句，正确列出代数式。

第三部分、教学过程例题讲解：例1、已知下列各式：ab S 21=，a ，﹣2，a +b ，a +b ＝b+a ，x 2≥0，2x ，其中属于代数式的共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】根据代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．进行分析即可．【解答】解：a ，﹣2，a+b ，2x 属于代数式，共4个， 故选：B ．练1.1、在以下各式中属于代数式的是（ C ） ①ab S 21= ②a+b ＝b+a ③a ④a 1 ⑤0 ⑥a+b ⑦ab b a + A ．①②③④⑤⑥⑦ B ．②③④⑤⑥ C ．③④⑤⑥⑦ D ．①②练1.2、给出下列式子：①b a 2213；②p ÷q ；③2（x+y ）；④﹣1mn ．其中书写不规范的是（ A ）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．②③练1.3、在式子0.5xy ﹣2，3÷a ，)21b a +（，a •5，abc 413-中，符合代数式书写要求的有（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2、代数式cb a 2)(+的意义是（ ） A ．a 与b 的平方和除c 的商B ．a 与b 的平方和除以c 的商C ．a 与b 的和的平方除c 的商D ．a 与b 的和的平方除以c 的商【分析】（a+b ）2表示a 与b 的和的平方，然后再表示除以c 的商． 【解答】解：代数式cb a 2)(+的意义是a 与b 的和的平方除以c 的商， 故选：D ．练2.1、代数式ba 13-的正确解释是（ C ） A ．a 与b 的倒数的差的立方B ．a 与b 的差的倒数的立方C ．a 的立方与b 的倒数的差D ．a 的立方与b 的差的倒数例3、某水果店老板以每斤x 元的单价购进草莓100斤，加价30%卖出70斤以后，每斤比进价降低a 元，将剩下30斤全部卖出，则可获得利润为 元．【分析】根据题意用利润＝总售价﹣总成本可列出利润的表达式．【解答】解：由题意得，可获利润为：70x （1+30%）+30（x ﹣a ）﹣100x ＝21x ﹣30a （元）．故答案为：（21x ﹣30a ）．练3.1、x 克盐溶解在a 克水中取这种盐水m 克，其中含盐 克．练3.2、一个两位数，它个位上的数与十位上的数的和等于9，设它个位上的数字为a ，则这个两位数可以表示为（ D ）A ．（9﹣a ）+aB ．（9﹣a ）aC ．10a+（9﹣a ）D ．10（9﹣a ）+a 例4、观察下列等式：①1＝12②2+3+4＝32③3+4+5+6+7＝52④4+5+6+7+8+9+10＝72…请根据上述规律判断下列等式正确的是（ ）A ．1009+1010+…+3026＝20172B ．1009+1010+…+3027＝20182C ．1010+1011+…+3028＝20192D ．1010+1011+…+3029＝20202【分析】根据题目中式子的特点可以发现开头数字是奇数，则最后的数字也是奇数，若开头数字是偶数，最后的数字就是偶数，结果是开头数字与最后数字和的一半的平分，等号坐标有多少个数字，结果就是这个数字个数的平方，由此可以判断各个选项中的式子是否正确．【解答】解：∵①1＝12②2+3+4＝32③3+4+5+6+7＝52④4+5+6+7+8+9+10＝72…∴开头是1009的式子最后的数字是奇数，故选项A 错误；开头是1010的式子最后的数字是偶数，故选项D 错误；1009+1010+…+3027＝222018230271009=+）（，而1009到3027有3027﹣1008＝2019个数字，故这列数应该是开头数字是1009，最后的数字是3025，故选项B 错误；1010+1011+…+3028＝222019230281010=+）（，故选项D 正确； 故选：C ．练 4.1、阅读下列材料：3216112⨯⨯⨯=；532612122⨯⨯⨯=+；74361321222⨯⨯⨯=++；9546143212222⨯⨯⨯=+++；…，根据材料请你计算2222250...8642+++++＝ ．【解答】解：22+42+62+82+…+502＝4×（12+22+32+42+ (252)＝4××25×26×51＝22100，故答案为：22100．练4.2、有一列数：,,,......,,,14321n n a a a a a a -，其中1a ＝5×2+1，2a ＝5×3+2，3a ＝5×4+3，4a ＝5×5+4，5a ＝5×6+5，……，当n a ＝2033时，n 的值为（D ）A ．335B ．336C ．337D ．338例5、如图所示的图形是按一定规律排列的．则第n 个图形中O 的个数为 ．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解．【解答】解：观察图形发现：第①个图有3×1+1＝4个O ，第②个图有3×2+1＝7个O ，第③个图有3×3+1＝10个O ，第④个图形有3×4+1＝17个O ，……，按此规律，则第n 个图形中O 的个数为3n+1个，故答案为：3n+1．练5.1、如图，从左至右第1个图由1个正六边形，6个正方形和6个等边三角形组成；第二个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成按此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ A ）A ．（9n+3）个B ．（6n+5）个C ．（6n+3）个D ．（9n+5）个 练5.2、如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则83211...111a a a a ++++的值为（A ）A ．4529B ．3536C ．264175D ．312209例6、国庆期间，王老师计划组织朋友去晋西北游览两日．经了解，现有甲、乙两家旅行社针对组团两日游的游客报价均为每人500元，且提供的服务完全相同．甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按八折收费．假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人．（1）请列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）若王老师组团参加两日游的人数共有30人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．【分析】（1）根据题意可以列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）将x ＝30代入（1）中的两个关系式，然后比较大小，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，甲旅行社收取组团两日游的总费用（单位：元）为：500x ×0.85＝425x ，若人数不超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用（单位：元）为：500x×0.9＝450x，若人数超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用（单位：元）为：500（x﹣20）×0.8+500×20×0.9＝400x+1000；（2）∵王老师组团参加两日游的人数共有30人，∴甲旅行社收取组团两日游的总费用为：425×30＝12750（元），乙旅行社收取组团两日游的总费用为400×30+1000＝13000（元），∵12750＜13000，∴王老师应选择甲旅行社．练6.1、窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其中上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长是acm．（1）计算窗户的面积（计算结果保留π）．（2）计算窗户的外框的总长（计算结果保留π）．（3）安装一种普通合金材料的窗户单价是175元/平方米，当a＝50cm时，请你帮助计算这个窗户安装这种材料的费用（π≈3.14，窗户面积精确到0.1）．【解答】（1）解：窗户的面积为：4a2+πa2 （m2）．（2）解：窗户的外框的总长为：6a+×2πa＝6a+πa（m）（3）解：当a＝50cm，即：a＝0.5m时，窗户的总面积为：4a2+πa2＝4×0.52+π×0.52＝1+（m2）．取π≈3.14，原式＝1+0.3925≈1.4（m2）安装窗户的费用为：1.4×175＝245（元）．练6.2、某景点的门票价格为：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（打8折）．设一个旅游团共有x（x＞40）人，其中学生y人．（1）用代数式表示该旅游团应付的门票费；（2）如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付门票费多少元？【解答】解：（1）成人门票费为20（x﹣y）元，学生门票费为10y元，所以旅游团应付的总费用为[20（x﹣y）+10y]×80%＝（16x﹣8y）元．（2）旅游团有47个成人，12个学生，即x﹣y＝47，y＝12，所以[20（x﹣y）+10y]×80%＝（20×47+10×12）×80%＝848（元）．答：如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付门票费848元．第四部分、板书设计第五部分、作业布置今天是2020年月号星期天气今日所学：用字母表示数、列代数式今日作业：自我巩固第页下次上课时间：下周正常上课第三部分、课后反思。

2.1(1)整式--用字母表示数，代数式一．【知识要点】1.用字母表示数:字母可以表示 ，也可以简明地表示运算律、运算法则、计算公式、规律、数量关系.用基本运算符号：加、减、乘、除、乘方和开方，把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。

注意:(1).字母表示数具有任意性：一个字母可以表示 个数； 字母表示数具有局限性：如yx 中，y 被限制为 ； 字母表示数具有确定性：同一个字母在同一个问题中表示相同的量；字母表示数具有抽象性：可以反映出事物的本质或规律，如n 2可以表示_____,12 n 可以表示 ；(2).同一个字母，可以在 的问题中表示不同的量.2.我们在书写含有字母的式子的时候要注意:①数×字母、字母×字母，乘号通常省略不写，如5×n,常写作5n ；②数×字母、字母×字母，数字写在字母前面，字母按顺序书写。

如n ×m×5,写作5mn ； ③若数字因数是带分数时，要写成假分数形式；④除法运算写成分数形式，如1500÷t 通常写作1500t （t ≠0）； ⑤字母与1或-1相乘时，“1”通常省略；⑥相同的字母或式子相乘写成幂的形式；⑦在字母表示数量关系时，如果所列运算为加减的代数式，且后面有单位，要用括号把整个代数式括起来；⑧圆周率π是常数；（即π是数字而不是字母）。

二．【经典例题】1.填空：（1）一个长方体长、宽、高分别为：c b a 、、，则3个这样的长方体总体积为：__________.（2）一个长方形长为112，宽为a,则面积是______；一个长方形面积为a ，长为b,则宽是_____. （3）1的x 倍是________; -1的x 倍是________.（4）一个正方形边长为x,则面积为_______;一个正方形边长为x+3,则面积为_________.（5）若某三位数的个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，则此三位数可表示为______.2. 观察下列有规律的数：123456,,,,,3815243548请根据其规律推断第n 个数是 。

2.1代数式2.1.1用字母表示数知识点一 用字母表示奇数和偶数能被 2 整除的整数叫做偶数.若k 表示任意一个整数，则偶数都可以用2k 表示.6420±±±，，，均为偶数.不能被2整除的整数叫做奇数.若k 表示任意一个整数，则奇数都可以用2k-1表示.531±±±，，均为奇数.温馨提示：（1）0 也是偶数.按奇偶性分类，整数可分为奇数和偶数两类.（2）用字母表示数具有一般性:因为k 是任意的整数，所以2k 表示任意的偶数，2k-1表示任意的奇数.同时,用字母表示数又具有确定性:因为k 的取值一旦确定,2h 就是个确定的偶数,2k-1就是一个确定的奇数.如当k=1时,2k 表示2,2k-1表示1;当k=2时,2k 表示4,2k-1表示3.例1.设n 是任意一个整数，下列说法错误的是( )A.任意一个偶数都可用4n 表示B.有的偶数不能用4n 表示C.2n 可以表示任意一个偶数D.n 的奇数倍不一定是奇数知识点二 用字母表示运算律、法则、公式 加法交换律：a b b a +=+加法结合律：)(c b a c b a ++=++）（ 乘法交换律：ba ab = 乘法结合律:)()(bc a c ab = 乘法分配率：ac ab c b a +=+)(长方形的周长公式:)(2n m c +=(m 、n 分别为长方形的长和宽); 长方形的面积公式:mn s =(m 、n 分别为长方形的长和宽);长方体的体积公式:abc V =(a.b 、c 分别为长方体的长、宽、高);圆的周长公式:r c ⋅=π2(r 为圆的半径); 圆的面积公式:2s r ⋅=π(r 为圆的半径);梯形的面积公式:S=h b a ）（+21 (a 、b 、h 分别为梯形的上底、下底高)温馨提示 (1)在表示字母与字母或者数与字母相乘时,乘号“x"通常写作“.”或者省略不写，如t v ⨯写作t v ⋅另外，数字应写在字母的前面,如4⨯a 应写作a 4.(2)带分数与字母相乘时，必须把带分数化成假分数，如a ⨯321应写作a 35 (3)除法算式通常写成分数的形式,被除数作分子，除数作分母,如）（14-÷a 写作14-a (4)式子后面若有单位，且式子是和或差的形式，应把式子用括号括起来.例 2 ( 1)若长方形的长为a cm ,宽为 3 cm ,则周长为________cm ,面积为_________2cm ;若长方形的长为a cm ,宽为b cm ,则周长为__________ cm ,面积为_________ 2cm(2) 甲、乙两地相距s 千米，正常情况下，某人从甲地到乙地步行要t 小时,现要求他提前15分钟到，则此人步行的速度应为_____________ 千米/时; (3) 一圆的半径为a cm ,将圆的半径增加5cm 后,圆的周长为_________cm ..圆的面积是____________2cm知识点三用字母表示问题中的数量关系用字母表示数具有以下特点:①任意性:用字母可以表示我们已学过的和今后要学的任何一个数;②限制性：用字母表示实际问题中的某个量时,字母的取值必须使这个实际问题有意义且符合实际;③唯一性:在同一问题中，同-字母只能表示同一个量,不能用同一字母表示几个不同的量,不同的量要用不同的字母表示.例3用含字母的式子表示下列数量关系.(1)某地为了改善环境，计划用五年的时间植树绿化荒山， 如果每年植树绿化x 公顷荒山，那么这五年内植树绿化荒山___________公顷;(2)如果王红用5h 走完的路程为s km,那么她的平均速度为_________km/h;(3)每本笔记本m 元，每本练习本n 元，王刚买了5本笔记本,2本练习本,那么他其花了_______元题型一 用字母表示简单的运算关系例1用适当的式子表示:(1) 比m 除以n 的2倍的商大8的数; (2) a 与b 的平方和的相反数; (3) 8a 除以3b 的平方的商；(4) m 的平方与n 的立方的倒数的差.题型二 用字母表示几何体的表面积(体积)例2如图,把一个长 、宽分别是a b 的长方形纸板在四角各剪去一个边长为c 的正方形(a>b>2c),再做成一个无盖的长方体盒子，用字母表示无盖长方体盒子的体积和表面积题型三 数字规律题例3观察下列一组数：32，1110987654，，，∙∙∙,它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是_______题型四 几何图形探究题例4 如图，在一些大小相等的正方形内分别排列着一些大小完全相等的圆（1）请填写下表；（2）你能试着表示出第n 个图形中圆的个数吗？用你发现的规律计算第2019个图形中有多少个圆.易错点 对数量关系理解不清楚而产生错误在用字母表示数时，容易因审题不准确、弄不清楚数量之间的关系而造成错误例某工厂第一年生产a件产品，第二年比第一年增加2倍，则第二年的生产产品的件数为_________。

用字母表示数知识点1：代数式1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子。

如：n、-2 、、0.8a、、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）注意：列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用·表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。

2、单项式：表示数与字母的积的代数式叫单项式。

单独一个数或一个字母也是单项式。

其中的数字因数叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。

3多项式：几个单项式的和叫做多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。

4、单项式多项式统称为整式。

例1列代数式表示（注意规范书写）某商品售价为元，打八折后又降价20元，则现价为_____元2、橘子每千克元，买10以上可享受九折优惠，则买20千克应付_________元钱.3、.如图，图1需4根火柴，图2需____根火柴，图3需____根火柴，……图需____根火柴。

（图1）（图2）（图3）4、托运行李p千克（p为整数）的费用标准：已知托运第1个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角．若某人托运p千克（p＞1）的行李，则托运费用为；例2 填空的系数为_______，次数为_____________：的次数_____________知识点2：代数式的值用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。

2）求代数式的值时应注意以下问题:（1）严格按求值的步骤和格式去做．（2）一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母，•代入时要注意对应关系，千万不能混淆．（3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变（4）字母取负数代入时要添括号（5）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号例1 当x=，y=-3时，求下列代数式的值:（1）3x2-2y2+1；（2）3.计算程序图的理解和设计如果指明了运算顺序，只要将输入的数按照这个顺序计算即可得到输出的数。

用字母表示数。

注意书写规则1、数字与字母及字母与字母间的乘号要省略，如2、除法运算要用分数线来表示，如3、数字（包括整数、分数、小数、百分数、等）应写在字母的前面，如当字母前面的数字是1时应省略不写，当数字因数是带分数时，一定要把带分数化为假分数，再写到字母的前面，如应写成4、若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序书写，如一般写，不写成【典型例题1】 设某数为，用表示下列各数：（1）比某数的一半还多2的数；（2）某数减去3的差与的积；（3）某数与3的和除以某数所得的商；（4）某数的除以的商。

【基本习题限时训练】1、用式子表示“与的和除以与的差”是（ ）A B C D2、字母表达式的意义为（ ）A 与的平方差B 的平方减3的差乘以的平方C 与的差的平方D 的平方与的平方的3倍的差3、用字母表示分数的基本性质（分数的分子、分母都乘以同一个不为0的数，分数的值不变）应为（ ）A B C D【拓展题1】三个连续的偶数，若中间的一个数是2n，则这三个连续的偶数的和是【知识点】 1、代数式（用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子）。

2、注意列代数式时的注意事项。

【典型例题2】下列各式中，属于代数式的是（ ）A B C D【基本习题限时训练】１、下列各式符合代数式书写规范的是（ ）A B a×3 C (3x－1)个 D 2n2、下列代数式表示的平方和的是（ ）A B C D3、下列说法中不正确的是（ ）A 乘2与的和的积表示为B 比的倒数小5的数表示为C 与的差的平方表示为D 除以的商是的数是【拓展题２】如图，正方形ABCD与正方形BEFG，点C在边BG上，已知正方形ABCD 的边长为，正方形BEFG的边长为，用表示下列面积。

（1）△CDE的面积 （2）△CDG的面积（3）△CGE的面积 （4）△DEG的面积【知识点】用字母表达问题间的数量关系，将数量关系的文字语言转化为数学语言，关键是审清题意，弄明白数量之间的关系。

（一）用字母表示数，列式表示数量关系
用字母表示数，可以简明地表达一些一般
的数量和数量关系，即把问题中与数量有
关的语句，用含有数、字母和运算符号的
式子表示出来.
（二）代数式的概念
（1）定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表
示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字
母也是代数式.
（2）注意：代数式中不含“＝”“>”“<”“≠”等符号.
（三）列代数式
1.把问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子
表示出来，这就是列代数式.
2.书写代数式的注意事项：
3.列代数式的步骤：
（1）读懂题意，弄清其中的数量关系，抓住题
目中表示运算关系的关键词，如和、差、积、
商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、
减少、几分之几等.
（2）分清运算顺序，注意关键性断句及括号的恰当使用.
（四）解释简单代数式表示的实际背景或几何意义
实际问题中的数量关系可以用代数式表示，另一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义.注意在说代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相符.
（五）求代数式的值
提示：（1）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形.（2）代数式中字母的取值，必须使该代数式有意义.
（3）用代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值要保证具有实际意义.
（4）代数式中的字母每取一个确定的数时，能相应地求出代数式的一个确定值.。

字母表示数与代数式（6种题型）【知识梳理】一、字母表示数1.用字母表示数（1）意义：使用一个字母a可以表示任意一个数字。

（2）优越性：用字母还可以表示数的运算律和一些图形的面积、周长和体积。

2.字母表示数要注意的几点：数字与字母及字母与字母的乘号要省略；除法运算要用分数线来表示；数学应写在字母的前面，当字母前的数字是1的时候应省略不写（当字母前的数字是带分数时，一定要带分数化成假分数；主体为和的形式，后面有单位需加括号；注意：字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．3.字母表示数常见的类型：（1）用字母表示运算律；(2)用字母表示数学公式；（3）用字母表示实际问题；（4）用字母表示性质二、代数式：用运算符合和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．注：①单独一个数或一个字母也是代数式；②“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆）三、代数式的值用数字代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的记过叫做代数式的值．求代数式的值第一步：用数值代替代数式里的字母．第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果．【考点剖析】 题型一：字母表示图形的周长和面积例1.黑板的长为2.5米，宽为b 米，则他的面积和周长分别是多少？【分析】本题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。

【解答】面积22.5 2.5()b b =⨯=米 周长()()2.522 2.5()b b =+⨯=+米 【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面。

【变式1】若长方形的长为,a 宽为,b 则长方形的周长是________, 面积是________. 答案：2（a+b ） ab 题型二：字母表示运算律例2.请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等。

【解答】加法交换律：a b b a +=+ 加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 乘法分配律：bc ac c b a +=⨯+)(【点评】这里的“×”号，只是为了使表达清晰，实际做题时要注意书写规范。

用字母表示数济宁学院附中李涛一. 用字母表示数1. 字母能够表示任意的数，也能够表示特定意义的公式，还能够表示符合条件的某一个数，乃至能够表示具有某些规律的数，总之字母能够简明的将数量关系表示出来。

2. 用字母表示数的意义：有助于揭露概念的本质特点，能使数量之间的关系加倍简明,更具有普遍意义。

使思维进程简约化，易于形成概念系统。

二. 代数式1代数式：用大体运算符号（6种）把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

2代数式书写标准：①数与字母、字母与字母中的乘号能够省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；②显现除式时，用分数线表示；③带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；④假设运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

3. 列代数式顺序，先读先写；找数量关系4. 读代数式一样按意义去读，总之没歧义即可.三. 三式四数1. 单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式（数字与字母的积）。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式的系数：单项式中的前面数字.包括前面符号单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和2. 多项式：几个单项式的和(代数和)的形式叫做多项式。

多项式的项：每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

每一项包括前面符号.多项式的次数：多项式里次数最高项（单项式）的次数，叫做那个多项式的次数。

常数项的次数为0。

3. 整式：单项式和多项式统称为整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

说明：①依照分母上是否有字母，将整式和分式区别开；依照整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

单项式一、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

二、单项式的前面数字叫做单项式的系数。

包括符号3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

1、用字母表示加法交换律，错误的是（ ）A ．a ＋b ＝b ＋aB ．m ＋n ＝n ＋mC ．p ·q ＝q ·pD ．x ＋y ＝y ＋x2、如果m 表示奇数，n 表示偶数，则m ＋n 表示（ ）A ．奇数B ．偶数C ．合数D ．质数3、如图1两同心圆，大圆半径为R ，小圆半径为r ，则阴影部分的面积为（ ）A ．πR 2B ．πr 2C ．π(R 2＋r 2)D ．π(R 2－r 2)4、数轴上点A 位于原点的右侧，所对应的实数为a （a ＜3），则位于原点左侧，与A 点距离为3的点B 所对应的实数为（ ）A ．3－aB ．a －3C ．a ＋3D ．－35、下列数值一定为正数的是（ ）A ．｜a ｜＋｜b ｜B ．a 2＋b 2C ．｜a ｜－｜b ｜D ．｜a ｜＋21 6、比较a ＋b 与a －b 的大小，叙述正确的是（ ）A ．a ＋b ≥a －bB ．a ＋b ＞a －bC ．由a 的大小确定D ．由b 的大小确定代数式一、专题精讲例1、在下列各式：①﹣3；②ab ＝ba ；③x ；④2m ﹣1＞0；⑤1x ；⑥8（x 2＋y 2）中，代数式的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2、小明比小亮大3岁，小亮今年a 岁，小明今年__________岁。

例3、某种蔬菜今天的价格比昨天上涨了20%，如果昨天的价格为每千克a 元，那么这种蔬菜今天的价格为每千 克 元，当a ＝1.2时，今天蔬菜的价格为 元。

例4、已知22a ab ＋＝－10，22b ab ＋＝16，则224a ab b ＋＋＝_______，22a b －＝______。

例5、填空（1）零乘任何数得零，用字母表示为 。

（2）某汽车公司对所有车辆进行消毒处理，今将m 千克水中，加入n 千克消毒制剂，则消毒液的重量为__________。

（3）大量事实证明，治理垃圾污染刻不容缓。

据统计，全球每分钟约有850万吨污水排入江河湖水，则t 分钟排污量为 万吨。

第15讲：字母表示数、代数式一、字母表示数引入：随便想一个自然数，将这个数乘以5减3，再把结果乘2加6，无论你开始想的自然数是什么？按照上面的方法，计算得到的数的个位数，数字一定是0，你信吗？不妨试试看。

为什么？你能说明理由吗？我们不防把这个式子列出来，但这个数不知道是什么数，该怎么办？（字母代表这个数把它设为X，则列式：2（5X－3）＋6＝10X－6＋6＝10X，这就说明10乘以任何一个自然数的结果的个位数是0）学了《字母表示数》这一章的内容就可这个问题。

教学过程：一、探索学习如图：……第1个回合：搭1个正方形需要4根火柴棒第2个回合：搭2个正方形需要根火柴棒第3个回合：搭3个正方形需要根火柴棒……………………第10个回合：搭10个正方形需要根火柴棒……………………第50个回合：搭50个正方形需要根火柴棒你是怎么得到的？如果用x表示所搭正方形的个数：第x个回合，搭x个正方形需要根火柴棒二、师生共做：1、用字母表示的运算律：如果用a,b,c分别表示三个数，那么（1）加法交换律可以表示成（2）加法结合律可以表示成（3）乘法交换律可以表示成（4）乘法结合律可以表示成（5）乘法分配律可以表示成2、计算一些图形的周长和面积。

（1）长方形的周长，面积，其中表示长方形的长，表示长方形的宽。

（2）正方形的周长，面积，其中＿＿表示正方形的边长。

（3）圆的周长，面积，其中表示圆的半径。

（4）长方体的体积，其中、、分别表示长方体的长、宽、高（5）正方体的体积，其中表示正体的边长。

（6）球的体积，其中表示球的半径。

三、巩固练习：1、填空题：（1）一个排球售价45元，买a个排球要元。

（2）小张步行上学，速度为n米/秒，小李骑自行车上学，速度是小张的3倍，则小李的速度可以表示为米/秒。

（3）希望小学初一(1)班共有学生m人，其中女生占全班的一半还少2人，则女生有人。

（4）房屋居住面积是建筑面积的75%，现有居住面积a平方米，那么其建筑面积是平方米。

个图所需的木棒根数为；（3）若2013根木棒全部用完，可以摆多少个这样的三角形？思路导航：由此表格不难得出：木棒的根数=图形序号×2+1。

或者也可以这样理解：第一个图形有木棒3根，第二个是5根，第三个是7根，第四个是9根，依此类推，后面每一个图形的木棒根数都比前一个多2，所以，第n 个图形木棒根数就比第一个图形的木棒根数多了()1n -个2，于是列代数式为：()321n +-即为2n +1。

答案：（1）11；（2）2n+1；（3）1006个。

系起来，答案：4n+4点评：借助于表格帮助我们分析题意是个不错的选择。

随堂练习：小亮从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第2m节车厢，他数过的车厢节数是（）A. m+2m=3mB. 2m-m=mC. 2m-m-1=m-1D. 2m-m+1=m+1思路导航：第m节车厢数起，一直数到第2m节车厢，数过的车厢节数是2m-m+1。

答案：数过的车厢节数是2m-m+1=m+1。

（答题时间：15分钟）5. 体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元。

则代数式500－3a－2b表示的意思为。

6. 某服装原价为a元，降价10%后的价格为元。

7. 某人以3千米/小时的速度登山，下山时，以6千米/小时的速度返回原地，求来回的平均速度。

8. 一个三位数，十位上的数字是m，个位上的数字比十位上的数字少3，百位上的数字是个位数字的2倍。

（1）用代数式表示这个三位数；（2）当m=8时，写出这个三位数。

1. A 解析：数字与字母相乘，乘号通常用“·”表示或省略不写，并且把数字写在字母前面，若数字是带分数应写成假分数的形式。

结果是和或差的形式，应将式子用括号括起来，再写上单位名称。

2. C 解析：乘号省略，数字写在字母前面。

3. D 解析：和为25，则另一个数为25－x，所以积为x（25－x）。

b。

代 数 式一， 用字母表示数用字母表示数是从算术走向代数的一个重大发展，是数学史的一大飞跃，在数学发展史上有里程碑式的意义，用字母表示数，有极大的优越性，给我们研究问题带来极大方便，用字母表示数体现了从特殊到一般从具体到抽象的发展过程。

表示数的字母，其本质是变量，有三种含义：① 代表算式中的位置，表示运算规律。

如2×3，2×（-5），2×0.7……可以用字母a 表示后一个因数的位置2×a,即2a.表示的运算规律是一个数的2倍。

② 代表一个数的范围例如1a中的a,代表不为0的数，a>0,代表所有正数。

③ 在实际问题中代表具体的含义。

如：s=vt 中，s,v,t 分别代表路程，速度和时间。

所以说字母可以代表一个数，可以代表有限个数，还可以代表无限个数。

用字母表示数的核心是一一对应，遇到表示数的字母，关键是弄清字母表示什么。

二， 代数式什么是代数式？把算式中的位置（一个或多个）用字母来表示，这样得到的就是代数式。

例如： □和○分别表示两个位置，用字母a 和b 代替它们，变成a+b ，a+b 表达了一个运算规律：两数相加，这就是代数式。

代数式的运算，表示的是位置与位置+ 3 2 -3 + 6 + -2 -4之间的运算，运算的规律与算式的规律相同，先运算方向（符号）再运算绝对值，数字对数字，字母对字母。

代数式的值给代表位置的字母赋上具体的值后，得到一个算式，算出算式的结果，这个结果就是代数式的值。

求代数式的值实际就是一个从代数式到具体算式的过程，与从算式到代数式的过程是互逆的，如果代数式代表一个算式，代数式的值就是一个，如果代数式代表多个算式，代数式的值可能就有多个值。

代数式与算式的关系是位置与赋值的关系。

整式与分式整式与分式的区别不在于有无分母，而在于分母中有无表示变量的字母。

在AB中,A,B分别代表两个代数式,B式中如有表示变量的字母,则为分式,无表示变量的字母,则为整式.单项式位置与位置相乘，用字母表达出来就是单项式,单独一个数字或字母也是单项式。

1、用字母表示数用字母表示数是代数的一个重要特点，有了用字母表示数的知识，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来：如，长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积是abcm2；一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元；将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元，这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义．用字母表示数，还可以使数量关系的表示简洁明了，更具普遍意义，给研究和计算带来了极大的方便．如：有理数的减法法则用文字叙述很麻烦，但用字母表示可表示成：a－b=a＋(－b)，简洁明了．又如有一组数据：0，3，8，15，24，….按此规律，大家可以一直写下去，但永远也写不完.如果用字母表示，则第n项可以记作n2－1，这样就使这一规律更具普遍意义．2、代数式的概念用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．3、代数式的书写规则（1）代数式中的“×”一般写成“·”或省略不写；数与数相乘时，“×”号通常要照写．（2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，省略乘号．（3）带分数与字母相乘时，应把带分数化为假分数．（4）代数式中的除法运算要写成分数的形式，即除号变成分数线．（5）表示实际问题中，代数式后要带单位，当代数式为和或差时，要用括号将单位前的代数式括起来．4、列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．5、代数式表示的实际意义若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义，则代数式的内容显得丰富，富有内涵．说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相等，把实际问题中的数量关系用代数式表示后必须与原代数式吻合．在读代数式时，通常是按运算顺序选最后一步运算，依运算结果读．6、代数式的值及求法用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．代数式的值一般不是某一个固定的量，而是随着代数式中字母取值的变化而变化．代数式求值时，第一步是“代入”，即用数值代替代数式里的字母；第二步是“计算”，即按照代数式指明的运算，计算出结果 .二、重难点知识归纳1、重点（1）正确地书写代数式和判别代数式；（2）能根据能量关系列代数式；（3）能结合生活经验对代数式作出具体的解释；（4）求代数式的值的基本格式；（5）求值中应注意的问题．2、难点：列代数式、代数式的求值．三、典型例题剖析例1、如图所示，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2c<b<a），然后做成一个长方体的盒子，用字母表示它的容积.[解析]欲求长方体的体积，需知长方体的底面的长和宽及长方体的高，由题意可知，长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可用字母表示出它的容积．解：由题意知，该长方体的底面长为(a－2c)，宽为(b－2c)，高为c，根据长方体的体积公式，该长方体盒子的容积为(a－2c)(b－2c)c．例2、用代数式表示：（1）比x大5的数的20%；（2）与5a的差是b的2倍的数；（3）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差；（4）被3除余1的数；（5）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数.[解析]（1）比x大5的数记作x＋5，将x＋5看成一个整体放在数字20%的后面，表示成20%（x＋5）；（2）本题是已知减数与差，求被减数，用加法，故本题答案为5a＋2b；（3）三数立方和指a3＋b3＋c3，故表示成abc－(a3＋b3＋c3)，其中括号，千万不能省略；（4）被3整除的数即3的倍数，可以记作3n（n为整数），而被3除余1的数可以记作3n＋1（n为整数），当然也可以记作3n－2（n为整数）；（5）这个三位数中，a表示100a，5表示50，个位数字b就表示b，故此数可表示为100a＋50＋b.解答：（1）20%（x＋5）（2）5a＋2b（3）abc－(a3＋b3＋c3)（4）3n＋1（或3n－2）（n为整数）（注意：不能忽略条件“n为整数”）（5）100a＋50＋b例3、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.（1）甲、乙两数的平方差；（2）甲、乙两数差的平方；（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.[解析]列代数式时要清理运算顺序，找到关键词，符合书写要求，要仔细分析，注意各题间的区别，如（1）是先平方后作差，而（2）是先作差后平方.解：（1）x2－y2（2）(x－y)2（3）(x＋y)(x－y)（4）－x＋y3例4、用代数式表示：（1）三个连续的自然数；（2）三个连续的奇数；（3）三个连续的偶数；（4）已知五个连续的偶数的和为10n，用代数式表示这五个连续的偶数；（5）已知五个连续的偶数的平均数为2n＋10，用代数式表示五个数．[解析]分析：三个连续的自然数、奇数、偶数的平均数就是中间一个，同理，奇数个连续的数也满足这个规律．答案：（1）n，n＋1，n＋2；（2）2n＋1，2n＋3，2n＋5；（3）2n，2n＋2，2n＋4；（4）五个数的平均数为，因此，中间一个为2n，五个数为2n－4，2n－2，2n，2n＋2，2n＋4；（5）2n＋6，2n＋8，2n＋10，2n＋12，2n＋14．例5、当a=3，b=2，c=时，求代数式的值.[解析]分析：此代数式中有三个字母，代入时，必须将a、b、c的值同时相应地代替代数式相应的字母，再进行计算.解：当a=3，b=2，c=时，.例6、平面上有n个点，其中任意三个点都不在同一条直线上，过其中两点画直线，所画直线条数m与点的个数n之间关系如下表：（1）写出用n表示m的公式；（2）计算当平面上有20个点时，所画出直线的条数.[解析]解析：(1)由观察，分析发现，，即．(2)当n=20时，．。

字母表示数知识点：1、理解用字母表示数的意义用字母代替数就是将表示基本数量关系的文字语言转换为数学语言(1)、用字母表示数可以简明地表达数学运算定律。

加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(2)用字母表示数可以简明地表达公式在行程问题中，有s=vt,v=s/t,t=s/v(3)用字母表示数可以简明地表达问题的数量关系(4)用字母可表示方程的未知数2、用字母表示数的特点(1)任意性：字母可任意表示数或式子(2)限制性：字母取值应使具体代数式有意义。

如b/a中，a≠0(3)确定性：字母取值一旦确定，代数式的值也就随之确定(4)抽象性：字母取代数更准确地反映事物的规律，更具一般性。

如用2n(2为整数)表示偶数等。

例1、用代数式表示“a、b两数的平方和”，结果是。

变式练习：1、用a、b表示两个数，加法交换率律可表示成（）。

2、用字母a表示苹果的单价，b表示数量，c表示总价。

那么c=（），b=（）。

3、一个等边三角形，每边长a米。

它的周长（）米。

4、一辆汽车t小时行了300千米，平均每小时行（）千米。

李师傅每小时加工40个零件，加工了a小时，一共加工了（）个。

例2：在一个三角形中，∠1=a°，∠2=b°，用含有字母的式子表示∠3的度数。

变式练习：1、一个等腰三角形中，底角是a°，用含有字母的式子表示顶角的度数。

2、一个正方形的周长是C，用含有字母的式子表示这个正方形的边长。

3、比x的5倍多20的数。

4、比x多20的数是5的多少倍？例3：青青林场栽了梧桐树和雪松各x排，已知梧桐树每排12棵，雪松每排14棵。

（1）栽梧桐树和雪松共多少棵？（2）当x=20时，青青林场一共有多少棵梧桐树和雪松？变式练习：1一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶4小时，下午行驶了b千米。

（1）用式子表示这辆汽车行驶的千米数。

（2）当a=80、b=200时，这辆汽车行驶了多少千米？2、一个梯形的上底为acm，下底为上底的3倍，高比下底小2cm，那么这个梯形的面积用代数式可表示为_______cm.例4：a2与（）相等。

高一数学寒假课程字母表示数、代数式（教师版） 1 / 18 初一数学暑假课程高一数学寒假课程字母表示数、代数式（教师版） 2 / 18 初一数学暑假课程 初一数学暑假班（教师版）知识点一、字母表示数1、字母可以表示运算律、运算法则：加法交换律表示为：a b b a +=+（a 、b 表示任意的有理数）；减法法则表示为：()a b a b -=+-（a 、b 表示任意的有理数）. 2、字母可表示计算公式:圆的半径是r ，圆的面积是S ，那么2S r π=. 3、字母可以表示方程里的未知量：长方形的长比宽多12米，周长为96米，求它的长与宽. 4、字母可表示可探索的数字规律注意：书写规范的通常约定：（1）式中出现的乘号，通常乘号写作“·”或省略不写.如6a ⨯常写成6a ⋅或6a .（2）数字与字母相乘，将数字写在字母前面（1省略不写）.如6a 不写成6a . 字母表示数、代数式知识梳理高一数学寒假课程字母表示数、代数式（教师版） 3 / 18 初一数学暑假课程 （3）数字与数字相乘，一般仍用“⨯”号.（4）式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写.如：2a ÷通常写成2a. （5）表示字母与分数的积时，分数是带分数要化成假分数.如：112a 要写成32a ，免得产生112a ⨯⨯ 的误解. 知识点二、代数式1、代数式的含义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.如：2n -、0.8a 、2500n +、abc 、222ab ac bc ++、3x、0、π等.2、代数式的书写规范：（1）代数式中用到乘号，若是数字与数字相乘，“×”号不能省略，若是数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常乘号写作“·”或省略不写.如a b ⨯写成a b ⋅或ab .（2）数字与字母相乘时，将数字写在字母前面（1省略不写）.如5a 一般不写成5a ；1a 写 成a .（3）表示字母与分数的积时，若分数是带分数要化成假分数.如a 211一般写成a 23. （4）代数式中出现的相除关系、比的关系，一般按照分数的写法来写.如y x ÷2写作yx 2. （5）表示几个字母相乘的积一般按26个字母顺序书写.如ba 一般写成ab .当用含字母的代数式表示一个有单位的结果时，单位名称只要写在答案中（列式时不必写出）， 当结果加减关系时，要用括号把整个式子括起来，若代数式中含有“＋、﹣”运算符 号，高一数学寒假课程字母表示数、代数式（教师版） 4 / 18 初一数学暑假课程 一般要将整个代数式括在括号里，再写上单位名称，并要注意单位写法的规范化.如⎪⎭⎫⎝⎛+22m 人不能写成22+m 人.【例1】下列叙述的事件中，字母各表示什么？（1）扇形的面积公式为2360n r π； N 表示扇形的圆心角，R 表示扇形的半径（2）每小时行驶100千米的汽车行驶了100t 千米； T 表示行驶时间的1倍 （3）买4支钢笔用了4a 元. A 表示购买一支笔的单价【例2】设某数为x ，用x 表示下列各数：例题解析（1）某数的平方的相反数；（2）比某数的三倍大7；（3）7加上某数的和的三倍；（4）某数与5的和除以某数；（5）某数的113倍减去2的差.【解答】（1）x；（2）3x7；（3）37x；（4）2135x4；（5）x2； x3【例3】一种洗衣机，原来售价为每台m元，第一次降价a%,第二次在降价的基础上打八折出售，用代数式表示此种洗衣机两次降价后每台的售价是多少元？（1-a%）×0.8m高一数学寒假课程字母表示数、代数式（教师版）5/ 18初一数学暑假课程【例4】将5张长为10cm的纸片，一张接一张地粘接成一张长纸条，若每两张纸片重合部分的长度为1㎝，则长纸条的总长是多少？若将n张纸片粘接成长纸条，则长纸条的总长是多少？5*10-(5-1)*1=46CmN*10-(N-1)*1【例5】莱蒙托夫俄国著名诗人，爱好数学，有一次，他：“给一些军官表演猜数字游戏，他请一名军官随便想好一个数，不要说，然后请这位军官将想好的这个数加上25，再加上125，减去37，再减去最初想好的这个数，把所得的数乘以5，最后再除以2，这是莱蒙托夫说，我可以猜出你算出的结果。

字母表示数、代数式一．字母表示数1、用字母表示数的意义和作用用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。

如：（1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）乘法交换律：ab ba = （4）乘法结合律：()()ab c a bc = （5）分配律：()a b c ab ac +=+2、用字母表示数的要求： 1．省略上的要求字母和数，字母和字母相乘时，可不写“× ”号，用“• ”表示，也可以什么符号都不写，直接把数或字母写在一起。

例如， a ×b ×c 可写成 a •b •c 或 abc7x y ⨯⨯可写成7x y ⋅⋅或7xy 。

字母和1相乘时，可不写1。

例如， 1×a 就写成a ， 1×b 就写成b 。

2．顺序上的要求字母和数相乘时，省略乘号，必须把数写在字母的前面。

例如，5a ⨯要写成5a ⋅或5a ，不能写成a5 。

字母和字母相乘时，习惯上按英文字母顺序写（不是必须这样写）。

例如：x a ⨯ 一般写成ax ，3b a ⨯⨯一般写成3ab 。

3．写法上的要求相同的字母相乘，要写成乘方的形式。

例如，a a ⨯ 写成 2a ，x x x ⨯⨯写成3x ，()()a b a b -⨯-写成()2a b -。

带分数与字母相乘，省略乘号后，要将带分数化为假分数。

例如，112a ⨯写成32a ，而不能写成112a 。

4．单位名称上的要求用含有字母的代数式表示一个数量时，要在最后写上单位名称，如果代数式是数与字母相乘的形式，不必用括号把代数式括起来；如果代数式有加减关系，要把代数式用括号括起来，再在括号外边写上单位名称。

例如，每千克苹果 a 元，买8千克应付8a 元。

这里的8a 不用括号。

一大箱苹果 a 千克，一小箱苹果 b 千克，4大箱苹果比3小箱苹果多()43a b - 千克。