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高等数学(下册)第十二章PPT课件

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高等数学下册第十二章 无穷级数

高等数学下册第十二章 无穷级数

边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;

高数下课件 ch12_7

高数下课件 ch12_7

例3 求微分方程 y′′ + 2 y′ + 3 y = 0 的通解. 解 (1) 特征方程：r 2 + 2r + 3 =0，
(2) 特征根：r =−2 ± 4 − 12 =−1 ± 2i， 2
r1 =−1 + 2i，r2 =−1 − 2i， (3) 原方程的通解为 =y e− x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x).
例5 求微分方程 y(5) + y(4) + 2 y′′′ + 2 y′′ + y′ + y =0 的通解. 解 (1) 特征方程：r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1
= r4(r + 1) + 2r 2(r + 1) + (r + 1) =(r4 + 2r 2 + 1)(r + 1) = (r 2 + 1)2(r + 1) = 0， (2) 特征根：r = ±i (二重共轭复根)，r = −1，
求二阶常系数齐次方程 y′′ + py′ + qy = 0 通解的步骤： 1. 写出特征方程：r 2 + pr + q =0， 2. 求出特征根 r1, r2， 3. 根据特征根的情况，通解分为三种情况： (i) r1 ≠ r2 ⇒=y C1er1x + C2er2x； (ii) r1 = r2 ⇒ y = (C1 + C2 x)er1x；
例4 求微分方程 y(4) − 2 y′′′ + 5 y′′ = 0 的通解.
解 (1) 特征方程：r 4 − 2r 3 + 5r 2 = r 2(r 2 − 2r + 5=) 0，

高等数学第十二章《常数项》复习 课件

高等数学第十二章《常数项》复习 课件

12
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1234
x
13
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
8
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
2! 3!
n0 n!
(5) sin x x x3 x5
3! 5!
(1)n
1 (2n1)!
x 2n1
,
x
(,
)
n0
(6) cos x 1 x2 x4
2! 4!
n320
(1)n
1 (2n)!
x2n ,
x
(, )
注意： 把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化
函数 转化 展开式已知的新函数
n
有
lim

高等数学第十二章微分方程

高等数学第十二章微分方程
2
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C

高等数学第12章 概率论与数理统计

高等数学第12章 概率论与数理统计
记作B A
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有

高等数学课件第十二章微分方程127高阶线性微分方程

高等数学课件第十二章微分方程127高阶线性微分方程

1恢复 f力 c;x
2阻力 Rdx;
dt
o x
x
Fm,amd2xcxdx,
d2t
dt
d2x2ndxk2x0 物体自由振动的微分方程 d2t dt
若受到铅直F 干 H 扰 si力 np,t
d2x2nd xk2xhsip nt强迫振动的方程 d2t dt
例2 设有一个R 由 、电 自L 阻 感 、电C容 和电E源 串联
证 (y1*y2*)P(x)(y1*y2*)Q(x)(y1*y2*) [y1*P(x)y1* Q(x)y1*] [y2*P(x)y2* Q(x)y2*]f1(x)f2(x).
三、常数变易法
1 齐次线性方程求线性无关特解---降阶法
设y1是方(程 1)的一个非零特解， 令 y2u (x)y1代入(1)式, 得
组成的,其 电中 路 R、L及C为常,电 数源电动势是
t的函:数 EEmsint,这里 Em及也是常 . 数
解 设电路中的电 i(t)流 ,电为 容器
极板上的电荷 q(t量 ),两为极板
Ri
间的电压 uc,自 为感电动E势L. 为L
dq q
di
C
E~
id,tucC,E LLd,t
q q K
且y2 y1
tanx常数 , y C 1 cx o C s 2 sx i.n
推论 如果y1(x),y2(x),, yn(x)是n阶齐次线性方程
y(n) a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y 0 的n个线性无关,的 那解 么,此方程的通解为
y C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x), 其中C1,C2,,Cn为任意常. 数
特别地
若 在 I上 有 y1(x)常 y2(x)

《高等数学(下册)》 第12章


n
0 时， (i ，i )si 的极限即为曲线形构件的质量，即 i 1
n
M
lim 0
i 1
(i
，i )si ．
上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲
线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
2．概念与性质
定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x ，y) 在 L 上有界．在 L 上用任
意的 点 M1 ，M2 ， ，Mn1 把曲线弧 L 分 割成 n 个小 弧段，记第 i 个 小弧段的 长度为
si (i 1，2 ， ，n) ，并在 si 上任取一点 (i ，i ) si ，作乘积 f (i ，i )si ，并作和
x y
(t) ， (t) ，(
t
)，
若(t) ， (t) 在[ ， ] 上具有一阶连续导数且不同时为零，则曲线积分 f (x ，y)ds 存在， L
且
f (x ，y)ds f [(t) ， (t)] 2 (t) 2(t)dt ( ) ．
L
（12-1）
由以上定理可知，在计算对弧长的曲线积分时，只要将被积表达式中的 x ，y ，ds 依
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
1．引例——曲线形构件的质量 为了方便理解，曲线形构件可理解为一根弯曲的金属细丝．若曲线形构件为均 匀质体，即其线密度为常数，则构件的质量就等于线密度与构件长度的乘积．若构 件为非均匀质体，则不能直接用上述方法来计算．一般情况下，由于工艺制造的原 因，曲线形构件多为非均匀质体，因此，可认为曲线形构件的线密度是变量．
最后，要取得功 W 的精确值，只需对上述式子求极限即可，即

高等数学第十二章 拉普拉斯变换

第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
第一节 拉氏变换的概念
一、拉氏变换的定义 二、常见的拉氏变换
一、拉氏变换的定义
定义 设函数 f ( t ) 当 t 0 时有定义，而且积分
f (t)estdt s 是一个复参量，在积分
二、微分性质
例4 求函数 f (t) t sin kt 的拉氏变换
解 因为 F (s ) L tf(t) L tf(t)
而
L[sinkt]
s2
k k2
故有
L ts in k t L tf( t) F (s ) (s 2 k k 2 ) s ( s 2 2 k k s 2 ) 2
则对于任意非负实数 ，有 L[f(t)]esF(s)
例6 求下列函的拉氏变换.
0, t 0,
1）u(t ) 01,
t , t ;
2） f
(t)

c,

2
c
,
0 t a, a t 3a,
解 1）由 L [u (t )] 1 得 L[u(t)]1es 0
所以 L [ f ( t ) ] L [ c u ( t ) ] L [ c u ( t a ) ] L [ 2 c u ( t 3 a ) ]
cceas 2ce3as
ss
s
c(1eas 2e3as) s
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
推论 若 L[f(t)]F(s)， 则有 L [ f ( n ) ( t ) ] s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 当初值 f(0 ) f(0 ) f(n 1 )(0 ) 0时，有

12高等数学课件详细


发散 .
例4.
判别级数

ln
n1
1

1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1

1 n2


lim
n
n
2

1 n2
1

根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’ALEMBERT
判别法)
设 un 为正项级数, 且 lim n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un1 un


,
则
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
例如, p – 级数
1 n1 n p
:
lim un1 n un
1

lim
.
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2n Sn ) 0
n
但
S2n
Sn

1 n 1
1 n2

1 n3
1 n 1 2n 2n 2
矛盾! 所以假设不真 .
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
n1

un 也收敛 ;
n1

vn 也发散 .
n1
例1.
讨论
P

高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程

2
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n

1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e

u( x )[ P ( x )]e

,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e

P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2

C
3x e
2
dx
dx

Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
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证 Snu1u2 un
"" un收敛
{Sn}收敛 Sn M
n1
"" Sn M 又 Sn 1Snun 10
{Sn}
nl imSn存在
un收敛 n 1
第二节 正项级数的收敛判别法
2. 正项级数的证明方法
比较法
不 等 式 形 式
极限形式
比值法
根 值 法
第二节 正项级数的收敛判别法
① 比较法 A.不等式形式 0un vn
11 181 9 10 16 16 2 2n112n12 21 n122nn 11 2
(
1
n1 2n 1
21n1) 发散
11 1111 1 1 (3 4 ) (5 6 7 8 ) (2 n 1 2 n 1 )发散
1111 1 234 n
发散
第二节 正项级数的收敛判别法
1.正项级数收敛的充分必要条件：前n 项和 S n 有上界.
n
1aq
其和为
a 1 q
;
因此级数收敛 ,
当q1时, nl im Sn, 因此级数发散 .
第一节 常数项级数
2) 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为
a a a a ( 1 )n 1 a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而 lim Sn 不存在 , 因此级数发散.
2 12 13 13 14 14 1 解 考虑加括号后的级数
(1 1 ) (1 1 ) (1 1 )
2 12 1 3 13 1 4 14 1
an
1 n1
1
n1
n
2 1
n2
an
2
n 1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
第一节 常数项级数
例
证明:
111 23
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
整体概况
+ 概况1
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概况2
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DMU
概况3
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第十二章 无穷级数
第一节 第二节
第一节 常数项级数
③ un收, 敛 vn发 散 (un vn)发散
n 1
n 1
n 1
④ 级数收敛与否与前有限项无关
⑤ 级数收敛 加括弧后收敛
即 u1u2 un 收敛.
则 (u 1u2)(u3u4) 收敛.
注:如果加括弧级数发散 去括弧后发散
第一节 常数项级数
例 判断级数的敛散性:
1 1 1 1 1 1
ank a(k)
3 ) ln ia m nab N , a n b
anb ab anb ab
第一节 常数项级数
4 ) x l im x 0f(x ) A x n k x 0(x n k x 0 )(k )
f (xnk )A
例如 limn2((11)2n e2)
n
n
(11)2x e2 lim x
n
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
第一节 常数项级数
常数项级数的性质 ①级数收敛的必要条件
n 1un收敛 n l im un0
lni mun
0 un
n1
发散
② un, vn收 敛 (un vn)收敛
n 1 n 1
n 1
& kun收敛. n1
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n, 将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
称为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项,
n
级数的前 n 项和 Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
2ln(11)
limex x
e2
x0
x2
x0
x2
e (e 2
2ln(11)2 xx
1)
lim
x0
x2
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
已an 知 bncn,
l n i m a n a l n i m c n l n i m b n a . 6 ) 单调有界数列
a n ,a n M n l ia m n a , a n ,a nM n l ia m n a .
n1
vn收敛
un收敛
n 1
.
n 1
un发散
发散
n1
vn
证 Tnv1v2 vn, Snu1u2 un
vn收敛
1 n
(调和级数)发散.
证 解法1
假设调和级数收敛
，前n项和为 S
，
n
即Sn
11 2
1, n
lim
n
Sn
S,
lim
n
S2n
S,
则 n l im (S2nSn)0
11
1
S2nSnn 1n2
2n
1 1 1 0 2n 2n 2n
矛盾
11 1 发散
2
n
第一节 常数项级数
解法2
1 1 1 ，111141， 3 4 2 5678 8 2
第一节 常数项级数
例 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a q 1 q节 常数项级数
常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 32n(n0,1,2, )边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
a 0 a1 a2 an n时, 这个和逼近于圆的面积 A . 即 A a 0 a 1 a 2 a n
k 1
称为级数的部分和. 若limSnS存,在 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和.
第一节 常数项级数
记为
S un
n 1
若limSn不存,在 则称无穷级数发散 .
n
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然
nl im rn 0
第三节 第四节 第五节
第六节 第七节 第八节
常数项级数 正项级数的收敛判别法
一般常数项级数的收敛判别法 幂级数 函数的幂级数展开
幂级数的应用 周期函数的傅里叶级数 非周期函数的傅里叶级数
第一节 常数项级数
有关数列的性质
1 ) (N) 0,N当nN, an a
2 ) ln im an a lni m an2k lni m an2k1a