2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(解析版)

1 / 122020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何（2020海淀一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___.（2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为____________.（2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．（2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）2 / 12A. ()()22112x y -+-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=（2020东城一模） 已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（2020东城一模） 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2-B. (0,1)-C. (0,2)-D. (0,4)-（2020丰台一模） 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.（2020丰台一模） 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ） A.13B.43D. 33 / 12（2020丰台一模） 圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2（2020朝阳区一模） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =（2020朝阳区一模） 在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.12D.（2020朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.4 / 12给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________.（2020石景山一模） 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______.（2020怀柔一模） 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.（2020怀柔一模）6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝15 / 12（2020密云一模） 如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点M 在圆C 上B. 点M 在圆C 外C. 点M 在圆C 内D. 上述三种情况都有可能（2020密云一模） 已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞（2020密云一模） 双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.（2020顺义区一模） 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________.（2020顺义区一模） 抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. B. 8 C. 4 D. 1（2020延庆一模） 已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )6 / 12A.B.C.32D.92（2020延庆一模） 经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.（2020海淀一模） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.（2020西城一模） 设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.7 / 12(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.（2020东城一模） 已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.8 / 12（2020丰台一模） 已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9 / 12（2020朝阳区一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.（2020石景山一模） 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F，离心率为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.10 / 12（2020怀柔一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，离心率为2．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．（2020密云一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1A .11 / 12 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.（2020顺义区一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.（2020延庆一模）已知椭圆22221(0)x ya ba bG+=>>：的左焦点为(),F且经过点(),,C A B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于,P Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M.（1）求椭圆G的标准方程；（2）若3PQ=，求直线l的方程；（3）若BOP△的面积是BMQ的面积的4倍，求直线l的方程.12/ 12。

1 / 112020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1] C. [-2，+∞) D. (-∞，-2]（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-2 / 11（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：3 / 11①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.4 / 11（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+.5 / 11(I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点.（2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-.6 / 11（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值.（2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥；7 / 11（3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.8 / 11（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.9 / 11（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()x f x x g x e ==. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.10 / 11（2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.11 / 11（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围..。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷1.在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|0<x<3}，A∩B={1}，则集合B可以是()A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5.在(1x−2x)6的展开式中，常数项为()A. −120B. 120C. −160D. 1606.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 127.已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139.若数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 1211.已知点P(1,2)在抛物线C：y2=2px上，则抛物线C的准线方程为______．12.在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{a n}的前4项的和为______．13.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在△ABC中，AB=4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD=2，则AD=；△ACD的面积为．15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P 到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−BC−E的大小．17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x+ax．(Ⅰ)当a=−1时，①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)求证：当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，△A1BA2的面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形．21.已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=ka n对任意的n∈N∗成立，则称数列{a n}具有性质Ψ(k)．(Ⅰ)分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)①a n=1；②a n=2n．(Ⅱ)若数列{a n}满足a n+1≥a n(n=1,2,3,…)，求证：“数列{a n}具有性质Ψ(2)”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；(Ⅲ)已知数列{a n}中a1=1，且a n+1>a n(n=1,2,3,…).若数列{a n}具有性质Ψ(4)，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i，∴复数对应的点的坐标是(1,2)，这个点在第一象限，故选A．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<3}，A∩B={1}，∴集合B可以是{1,3}．故选：B．根据A={x|0<x<3}，A∩B={1}，即可得出集合B可能的情况．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B=1(b>0)的离心率为√5，【解析】解：双曲线x2−y2b2可得√b2+1=√5，解得b=2，1故选：B．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，对于A：因为c<b，a<0，所以c+a<c，b−a>b，则c+a<c<b−a，即c+a< b−a，故A错误；对于B：因为c<b<a<0，|c|>|b|>|a|，所以c2>b2>a2，且b2>ab，所以c2> b2>ab，则c2>ab，故B错误；对于C：因为b<a<0，所以1b >1a，则cb<ca，故C错误；对于D：因为|b|>|a|，且c<0，所以|b|c<|a|c，故D正确，(法2)不妨令c=−5，b=−4，a=−1，则c+a=−6<b−a=−3，故A错误；c2=25>ab=4，故B错误；cb =54<ca=5，故C错误；故选：D．法1：根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由题意得：T k+1=(−2)k C6k x2k−6，令2k−6=0得k=3，故常数项为T4=(−2)3C63=−160．故选：C．先求出通项，然后令x的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B =90°，则△A′M′B 是等腰直角三角形， 则M′到A′M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B 是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M 的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x −m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减， 则f(x)在区间(−2,−1)上递增，而f(x)=|x −m|={x −m,x ≥m −x +m,x <m ，在区间(m,+∞)上为增函数，则有m ≤−2，即m 的取值范围为(−∞,−2]； 故选：D ．根据题意，分析可得f(x)在区间(−2,−1)上递增，将f(x)写成分段函数的形式，分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数，据此可得m 的取值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以最长的棱长AB =√22+22+22=2√3． 故选：C ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”，取p=n，r=1，则a n+1=2a n，∴{a n}为等比数列，充分性成立．若{a n}为等比数列，则a p+r=2×q p+r−1，a p a r=22⋅q p+r−2，只有q=2时才能成立，必要性不成立．∴数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力．根据所给定义表示出F5≈109.632×109，进而即可判断出其位数．【解答】解：根据题意，F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010= 109.632=100.632×109，因为1<100.632<10，所以F5的位数是10．故选：B．11.【答案】x=−1【解析】解：把点P(1,2)代入抛物线方程有，4=2p，∴p=2，=−1．∴抛物线的准线方程为x=−p2故答案为：x=−1．把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】24【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，a2+a5=16，∴2×3+5d=16，解得d=2．则数列{a n}的前4项的和=4×3+4×32×2=24．故答案为：24．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】0【解析】解：因为非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2⇒a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −12b⃗ 2=0．故答案为：0．把所给条件平方整理得到a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14.【答案】4√22√6【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．【解答】 解：如图：因为在△ABC 中，AB =4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD =2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ⇒AD =4√3×sinπ4sin π3=4√2；S △ACD =12⋅AD ⋅CD ⋅sin∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．15.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确； 又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误． 故答案为：①②．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B .在△BCC 1中，BC =1，BC 1=√3，CC 1=2，所以BC 2+BC 12=CC 12． 所以CB ⊥C 1B .因为AB ∩BC =B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz ．则B(0,0,0)，E(−12,√3,1)，C(1,0,0)．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,1)． 设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x =0,−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x =0，z =−3， 所以n ⃗ =(0,√3,−3)．又因为平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12． 由题知二面角A −BC −E 为锐角，所以其大小为π3．【解析】(Ⅰ)证明AB ⊥C 1B .CB ⊥C 1B .利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x ，则f(0)=2cos 20+sin0=2；(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)=2cos 2x +sin2x=(cos2x +1)+sin2x =√2(√22sin2x +√22cos2x)+1 =√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2,π6]，所以2x +π4∈[−3π4,7π12]；所以−1≤sin(2x +π4)≤1， 所以1−√2≤f(x)≤1+√2； 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1−√2． 选择条件②，则f(x)的一个周期为2π； 由f(x)=2cos 2x +sinx=2(1−sin 2x)+sinx=−2(sinx −14)2+178；因为x ∈[−π2,π6]，所以sinx ∈[−1,12]；所以当sinx =−1，即x =−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值； (Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值． 选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以P(A)=910．(Ⅱ)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X =0)=C 52C 102=29；P(X =1)=C 51C 51C 102=59；P(X =2)=C 52C 102=29．所以X 的分布列为：故X 的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(Ⅲ)从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【解析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可；(Ⅱ)显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X 取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可． 本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当a =−1时，f(x)=e x −x ，则 f′(x)=e x −1．所以f′(0)=0． 又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1； ②令f′(x)=0，得x =0，此时f′(x)，f(x)随x 的变化如下：可知f(x)min =f(0)=1，函数f(x)的最小值为1． (Ⅱ)证明：由题意可知，x ∈(0,+∞)，令g(x)=e x +ax +lnx −1，则g′(x)=e x +1x +a ， 由(Ⅰ)中可知e x −x ≥1，故 e x ≥1+x ，因为a ∈(−2,0)，则g′(x)=e x +1x+a ≥(x +1)+1x+a ≥2√x ⋅1x+a +1=3+a >0，所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增， 因为g(1e)=e 1e +ae−2<e 12−2<0，又因为g(e)=e e +ae >e 2−2e >0， 所以g(x)有唯一的一个零点．即函数y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点．【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．(Ⅰ)①将a =−1代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解； ②求出函数函数f(x)的单调性情况，进而得出最值；(Ⅱ)即证函数g(x)=e x +ax +lnx −1仅有一个零点，利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，结合零点存在性定理即得证．20.【答案】解：(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．( II)解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2),y =12x +1.解得点P(4k+22k−1,4k 2k−1)． 由{y =k(x −2),x 24+y 2=1.得(4k +1)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1．由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1,−22k−1)． 于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M(x 0,y 0)(x 0≠±2,y 0≠±1)则x 02+4y 02=4． 直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2),y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2,4y 02y0−x 0+2)．直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1．由{y =yx 0+2(x +2),y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2,4y 02y0+x 0+2)．x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．y P +y Q =4y 02y0−x 0+2+4y 02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|， 所以△BPQ 为等腰三角形．【解析】(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(II)解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP|=|BQ|，即可证明△BPQ 为等腰三角形．(x−2)，解法2，设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0−2x+1.通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|=直线A1B方程为y=12|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n}具有“性质Ψ(2)”；②数列{a n}不具有“性质Ψ(2)”．(Ⅱ)证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n结合a n+1≥a n有a n=a n+1=⋯=a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n−1+a2n=2a1=2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ(2)”．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ(4)”，所以a2n−1+a2n=4a n．当n=1时，有a2=3a1=3．又因为a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，所以有a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，所以2(a n+1−a n)≥3，结合a n+1,a n∈N∗可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1−a k≥3依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，所以有a n+1−a n≤2．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4a n，所以：a n=2n−1．【解析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．(Ⅱ)先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n−1+a2n=2a1= 2a n，即可证明．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2.根据{a n}具有“性质Ψ(4)”，可得a2n−1+a2n=4a n.当n=1时，有a2=3a1=3.由a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，可得a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，可得2(a n+1−a n)≥3，可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2.假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+ a2k+1)−(a2k+a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12.又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1−a k≥3，依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年北京高三一模汇编导数1.(海淀)已知函数()e x f x ax =+．（Ⅰ）当1a =-时，①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；②求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）求证：当(2a ∈-，0)时，曲线()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点．2.(西城)设函数 其中(Ⅰ)若曲线 在点 处切线的倾斜角为 ,求 的值; (Ⅱ)已知导函数 在区间 上存在零点,证明:当 时, . 即函数()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点.3.(朝阳)已知函数()11e x x xf x -+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =的切线．4.(丰台)已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.5.(石景山)已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>．（Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．6.(房山)已知函数32()22f x x ax =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若0a >，设函数()|()|g x f x =，()g x 在[1,1]-上的最大值不小于3，求a 的取值范围．7.(门头沟)已知函数()sin ln 1f x x x =+-。

2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

2020北京市各城区一模数学试题分类汇编及答案——导数YQ （19）（本小题14分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1+-='=x x x f a 时，当.∴切线的斜率2)0(='=f k ； 0)0(=f∴曲线)(x f y =在原点处的切线方程为：x y 2=. ……………5分 （Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(+-+-+='x xa ax x a x f22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++（）（）……………7分（1）当时，0>a 0100)(21>=<-=⇒='a x a x x f ；则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递减，）上单调递增，在（在（+∞∴,11,0)(x f ……………9分法1：2)1()(aaf x f =∴的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若-=≥∞+∈a f x f x x f1112222-≥+-+a x a ax 即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≥∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，0212≤-∴a a .1001,02≤<∴≤-∴>a a a ，Θ ……………13分所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分法2：2)1()(a af x f =∴的最大值为； ……………10分当1x a>时，22ax >，222110ax a a +->+>， 0)(,→+∞→∴x f x 时；即]1,0[a x ∈时，22()[1,]f x a a ∈-；)1[∞+∈，a x 时，2()0]f x a ∈（， 01)0()(2≤-=a f x f 存在最小值，则若，10≤<∴a所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分 用趋近说：0)(,→+∞→∴x f x 时，论述不严谨，扣1（2）当时，0<a 0100)(21<=>-=⇒='ax a x x f ；. 则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递增，）上单调递减，在（在（+∞--∴,,0)(a a x f法1：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为.2()[0()1,f x x f x a ∈+∞≤-若存在最大值，则，）时，恒成立2222111ax a a x +-≤-+即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≤∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，101,0,02122-≤∴≥-∴<≤-∴a a a aa ，Θ.综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 法2：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为；当x a >-时，222ax a <-，222110ax a a +-<--<，0)(,→+∞→∴x f x ；（论述不严谨，扣1分）即[0,]x a ∈-时，]1,1[)(2--∈a x f ；[)x a ∈-+∞，时，)0,1[)(-∈x f01)0()(2≥-=a f x f 存在最大值，则若， 1.a ≤-综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（.XC 19.（本小题满分14分）设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中a ∈R（Ⅰ）若曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处切线的倾斜角为4π，求a 的值； （Ⅱ）已知导函数()f x 在区间（1，e ）上存在零点，证明:当x ∈（1，e ）时， 2()f x e ＞-SJS 20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．解：（Ⅰ）令2(=()()ln (0)h x f x g x x a x x -=->）…………1分 所以222()=2a x a h x x x x-'-=令222()=0x a h x x-'=，解得x = …………3分当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：…………5分所以在(0,)+∞的最小值为ln 2222a a a a h a =-=- ……6分 令 0h > 解得02a e <<. 所以当02a e <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. ………7分 （Ⅱ）可作出2条切线. …………8分 理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点11（，）的直线l 与()ln g x x =相切于点00(,)P x y ， …………9分则0001()1y g x x -'=- 即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+= …………10分 令()ln 21m x x x x =-+，则()m x 在(0,)+∞上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10m x x '=-=解得x e = . …………11分当x 变化时，(),()m x m x '的变化情况如下表：所以 ()m x 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增.且2222211124()ln 110m e e e e e =⨯-+=-+> ()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<2222()ln 2110m e e e e =⨯-+=> …………13分所以 ()m x 在21(,)e e和2(,)e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以 过点11（，）可作出ln y x =的2条切线. …………14分PG 19.(本小题15分)已知函数2()(),xx ax a f x e +-=其中a ∈R . (I)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))的切线方程; (II)求证:f(x)的极大值恒大于0.MY 19.（本小题满分14分）已知函数()е(1)xf x ax =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))M f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数． 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1x f x ax =+，x ∈R ， 所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时令'()0f x =，则11x a=--． ① 当时，()f x 与'()f x 在上的变化情况如下：所以()f x 的单调减区间是()a -∞，-1-，单调增区间是(1,)a--+∞． ②当0a <时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：所以()f x 的单调增区间是()a-∞，-1-，单调减区间是(1,)a--+∞． 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e1,xf x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=. （1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点； （2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点. 方法二（1）当0a =时 因为()e 0xf x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a --+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点． 故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点．（3）当0a <时因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a--=<，并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减， 所以()f x 在区间1(1,)a --+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.MTG 20.（本小题满分15分）已知函数()sin ln 1f x x x =+-。

精品解析：北京市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编（3）函数与导数试题解析一、选择题：（5）(北京市东城区2020年1月高三考试文科）设0x >，且1xxb a <<，则 （A ）01b a <<< （B ）01a b <<< （C ） 1b a << （D ） 1a b << 【答案】C【解析】因为0x >，且1xxb a <<，所以1b a <<。

8．(北京市西城区2020年1月高三期末考试理科)已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ②22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->． 其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】对于①，3(03)y x x =-+≤≤的图像是一条线段，记为,BB '如图（1）所示，从的图象是圆222x y +=在第二象限的部分，如图（2）所示，显然，无论点B 、C 在何处，△ABC 都不可能为正三角形，所以②不是Γ型曲线。

对于③，1(0)y x x=->表示双曲线在第四象限的一支，如图（3）所示，显然，存在点B,C ，使△ABC 为正三角形，所以③满足； 综上，Γ型曲线的个数为2，故选C.7. (2020年3月北京市朝阳区高三一模文科)某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年xy y=-x+3 OAB 'C '增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 10【答案】D【答案】C3．(北京市西城区2020年4月高三第一次模拟文)若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ D ） （A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b c a <<（D ）c b a <<（8）(北京市东城区2020年4月高考一模理科)已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞【答案】A（8）(北京市东城区2020年4月高考一模文科)设集合1[0,)2A =，1[,1]2B =，函数1,,()22(1),.x x Af xx x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若x A∈，且[()]f f x A∈，则x的取值范围是（A）(41,0] （B） (21,41] （C）(21,41) （D） [0，83] 【答案】C“函数y=f(x)在R上单调递减”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】A8．(2020年3月北京市丰台区高三一模文科)已知定义在R上的函数()y f x=满足(2)()f x f x+=，当11x-<≤时，3()f x x=．若函数()()logag x f x x=-至少有6个零点，则a的取值范围是(A) (1，5)(B)1(0,)[5,)5+∞U(C)1(0,][5,)5+∞U(D)1[,1)(1,5]5U二、填空题：（11）(北京市东城区2020年1月高三考试文科）已知函数3,0,()(1),0,x xf xf x x≤⎧=⎨->⎩那么5()6f 的值为 ． 【答案】12-【解析】55111()(1)()3()66662f f f =-=-=-=-（13）(北京市东城区2020年1月高三考试文科）对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题：①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数；③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数．其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②【解析】：函数()f x 和(2)f x +的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数2(2)()lg lg 2lglg 122x f x f x x x x x +-=--==+--，由复合函数的单调性法则，可知函数(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是减函数。