导数
1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数2
1
()(1)x f x x ax e
-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1 【答案】A
【解析】()()21
21e x f x x a x a -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦
， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211e x f x x x -=--⋅，()()212e x f x x x -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性
【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。
(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。
2.【2017课标3，理11】已知函数2
1
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++有唯一零点，则a =
A ．1
2
-
B ．
13
C ．
1
2
D ．1
【答案】C
【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：
221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )
4442(e e )
2(e e )
x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++
∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，
解得1
2
a =．
【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想
【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的
范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
3.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是
【答案】D 【解析】
试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【考点】 导函数的图象
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 4.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x
x f x ae a e x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】
试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，0a >进行讨论，
写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1
(ln )1ln f a a a
-=-
+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03
ln(1)n a
>-，则
00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3
ln(1)ln a a
->-，因此()f x 在(ln ,)
a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).
21.解：（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+-- 故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+
①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减 ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．
综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增 （2）由（1）知，
当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1
ln 1ln f f a a a
=-=-+． 令()1
1ln g a a a
=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-
+>，则()211
'0g a a a
=+>．从而()g a 在()0+∞，
上单调增， 而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a > 若1a >，则()min 1
1ln 0f a g a a
=-
+=>，故()0f x >恒成立， 从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 1
1ln 0f a a
=-
+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则min 11ln 0f a a =-
+<，注意到ln 0a ->．()22
110e e e
a a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，
上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫
->=- ⎪⎝⎭
． 且
33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
