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图5图4图1B AO B A圆复习讲义一、圆的有关概念1、圆：可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合． 2、圆心、半径、直径、弧3、圆心角：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角．4、圆周角：顶点在圆周上，并且角的两边为圆的两条弦的角叫做圆周角． 二、与圆有关的位置关系： 1、点与圆的位置关系：（1）点在圆内⇒d<r ⇒点C 在圆内 （2）点在圆上⇒d=r ⇒点B 在圆上 （3）点在圆外⇒d>r ⇒点A 在圆外2、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相离⇒d>r ⇒无交点 （2）直线与圆相切⇒d=r ⇒有一个交点 （3）直线与圆相交⇒d<r ⇒有两个交点3、圆与圆的位置关系：（1）外离（图1）⇒无交点⇒d>R+r （2）外切（图2）⇒有一个交点⇒d=R+r （3）相交（图3）⇒有两个交点⇒R-r<d<R+r （4）内切（图4）⇒有一个交点⇒d=R-r（5）内含（图5）⇒无交点⇒d<R-r 三、关于圆的定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧．★推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 23、圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．即：∵∠AOB 和∠ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴∠AOB=2∠ACB★ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧．即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是弧AB 所对的圆周角 ∴∠C=∠D★推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径． 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径★推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°4、切线的性质与判定定理：（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN ⊥OA 于A 点，且A 点在⊙O 上 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径 ★推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 ★推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心即：过圆心—过切点—垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 四、三角形与圆1．经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的___________________的交点．外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于圆的半径.2．与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条______________________的交点．内心到三角形三边的距离相等，都等于圆的半径．O D C B A 【热点试题归类】 题型1 圆的有关性质 1．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D•在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_____．(1) (2) (3) (4)2．如图2，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC 的周长为______．3．如图3，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是________． 4．如图4，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ．（5） （6） （7） （8）5．我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，如图5，若P 是⊙O 外一点，直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，PC 切⊙O 于点C ，则点P 到⊙O 的距离是（ ）A ．线段PO 的长度B ．线段PA 的长度C ．线段PB 的长度D ．线段PC 的长度 6．如图6，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ） A ．100° B ．110° C ．120° D ．135°7．如图7，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．20° 8．图8中∠BOD 的度数是（ ）A ．55°B ．110°C ．125°D ．150°题型2 直线与圆的位置关系 1．已知∠ABC=60°，点O 在∠ABC 的平分线上，OB=5cm ，以O 为圆心，3cm 为半径作圆，则⊙O 与BC 的位置关系是________．2．如图1，AB 是⊙O 的切线，OB=2OA ，则∠B 的度数是_______．（1） （2） （3） 3．如图2，已知直线CD 与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD=40°，则∠ABC 的大小等于_____． 4．如图3，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，连结PO 交⊙O 于点A ，PA=2，PO=5，则PB 的长为（ ） A ．4 B 10 C ．6 D ．35．如右图，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6cm ，AB=4cm ，则⊙O 的半径为（ ） A ．5 B ．5 C ．13 D 13cm 6．如右图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于（ ） A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 7．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的距离为3， 则直线L 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定8．如图，A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，∠C=22．5°，∠A=45°．求证：直线AB 是⊙O 的切线．9．如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D 是线段BC 的中点． （1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，求证直线DE 是⊙O 的切线．题型3 圆与圆的位置关系1．已知⊙O 与⊙O 半径的长是方程x 2-7x+12=0的两根，且O 1O 2=0.5，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 （ ）A ．相交B ．内切C ．内含D ．外切2．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是 （ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为 （ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上都不对题型4 弧长、扇形面积，侧面展开图 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留 ）． 2．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处 不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A ．6cmB ．35cmC ．8cmD ．53cm3．如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ， 扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）A ．R=2rB ．R=94rC ．R=3rD ．R=4r剪。
圆的期末综合复习一、复习要求1．理解圆及其有关概念，掌握弧、弦、圆心角和圆周角之间的关系，掌握直径所对圆周角的特征，理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.2．理解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的位置关系，会判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.3．理解三角形的内心和外心的概念和正多边形的概念；会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积.4．结合相关图形性质的探索和证明，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；进一步提高综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.二、考试分析(一)内容特点分析1.自身的结构特点圆是特殊的平面曲线图形，具有很多与直线迥异的特性.圆的知识主要分为三个方面：其一，圆的有关概念(半径、弧、弦、圆心角、圆周角等)及其元素之间的一些关系；其二，直线与圆以及圆与圆的位置关系；其三，与圆有关的一些数量的计算(如弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积等).2.在初中数学中的地位现行的《课程标准》降低了本章内容的定理教学和演绎证明要求.圆为三角形的运用及化归思想的培养，以及巩固和深化“图形变换”的教学提供了理想的平台.此外，圆在现实生活中还有着广泛的应用，为培养应用意识和解决实际问题的能力提供了很好的载体.(二)考试分析：注重圆的有关概念和性质，关注联系与综合.1.借助实物模型灵活考查圆的基础知识1.如图，是轴承的横断面，图中能反映出圆与圆之间的四种位置关系，但有一种位置关系没有反映出来，请你写出这种位置关系，它是___________.答案：相交.2.秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ).A.米B.米C.米D.米答案：选B.【评析】以上题目均以实物或现实为背景，以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标.这样的考题，背景公平、现实、有趣，所用知识基本，有较高的效度与信度.2.以动点、动线为载体，考查探究能力3.(1)如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P 不与点A、C重合)，则的变化范围是__________.(2)如上右图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B.C. D.答案：(1)；(2)选A.4.(1)如图①，的弦垂直于直径，垂足为点，点在上，作直线、，与直线分别交于点、，连结，求证：.(2)把(1)中的“点在上”改为“点在上”，其余条件不变(如图②)，试问：(1)中的结论是否成立？并说明理由.解：(1)证明：如图①，连结，.于，.，.，.又，，，，又，，，.(2)成立.如图②，连结，.于，，，，，.，，，，，.，.【评析】以上两题需要在运动变化的过程中，寻找临界点，找到不变量，进而运用相关性质求出结果，确定范围.这样的题目均较好地实现了“注重基础、考查能力”的目的.3.利用切线的判定和性质，综合考查各种能力5.如图，已知直线经过上的点，并且，，那么直线是的切线吗？为什么？分析：首先注意点C是上的点，预证直线ACB是的切线，因此只需连接OC，证明AB⊥OC于点C即可.简称“切连垂”.【评析】新课程中的逻辑推理，往往是在探究、猜想的前提下进行的，这样要求对推理论证的必要性有更深刻的理解.本题就采用了这种方式，例如，条件与隐性的结论OC⊥AB之间可以形成多种可能的推广性结论，从而可以有效地考查探究能力.6.如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.解：(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.4.以圆的知识为载体，考查分析与综合能力7.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M、N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线，垂足为E，交大圆于F、H两点.(1)试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由.(2)求证：.(3)若是方程的两根()，求图中阴影部分的周长.解：(1)相等.连结，则，故.(2)由，得，又由，得..(3)解方程得：，，，，在中，，，，.在中，，，，弧长，，阴影部分周长.8.如图，点P在y轴上，交x轴于A、B两点，连结BP并延长交于C，过点C的直线交轴于，且的半径为，.(1)求点的坐标；(2)求证：是的切线；(3)若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围.解：(1)连结..，，.是的直径，.，，，，，.(2)过点.当时，，.，，，.，，是的切线.(3)过点因为函数与的图象交点是和点(画图可得此结论)所以满足条件的的取值范围是或.。
圆形基础知识总结期末复习
1. 圆的定义
圆是由平面上到一个定点的距离都相等的点构成的图形。
这个定点称为圆心，而距离称为半径。
2. 圆的元素
圆包括以下元素：
- 圆心：圆的中心点。
- 半径：连接圆心和任意一点的线段，长度相等。
- 直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段，长度是半径的两倍。
- 圆弧：圆上的线段。
- 弦：连接圆上两点的线段，不通过圆心。
3. 圆的性质与定理
- 定理1：圆心角的度数等于其所对的圆弧的度数。
- 定理2：半径垂直于弦，则它必定平分弦。
- 定理3：直径是最长的弦。
- 定理4：在同一个圆中，离圆心的距离相等的点构成的弧相等。
- 定理5：等长的弧所对的圆心角是相等的。
4. 圆周角与弧长
- 圆周角：圆周角是指顶点在圆上的角。
它的度数等于所对圆
弧的度数。
- 弧长：弧长是圆上弧的长度。
它可以通过弧度或角度来表示。
5. 弧度与角度的转换
- 1弧度= 180 / π度
- 1度= π / 180弧度
这些是圆形基础知识的主要内容，理解并掌握这些概念将有助
于你在期末考试中取得好成绩。
祝你成功！。
《圆的整理和复习》完整版课件一、教学内容1. 圆的基本概念（10.1）2. 圆的方程（10.2）3. 圆的性质与判定（10.3）4. 弧、弦、圆心角（10.4）5. 圆与三角形、四边形的关系（10.5）二、教学目标1. 让学生掌握圆的基本概念、性质与判定方法，能熟练运用圆的方程解决问题。
2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
3. 使学生了解圆在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
三、教学难点与重点1. 教学难点：圆与三角形、四边形的关系，圆的方程在实际问题中的应用。
2. 教学重点：圆的基本概念、性质与判定，弧、弦、圆心角的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、圆规、直尺、量角器。
2. 学具：圆规、直尺、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的圆形物体（如车轮、圆桌等），引导学生思考圆的特点和性质。
2. 例题讲解：（1）求半径为5的圆的周长和面积。
（2）已知圆的方程，求圆的半径和圆心坐标。
（3）证明圆内接四边形的对角互补。
3. 随堂练习：（2）已知圆的半径，求圆的周长和面积。
（3）已知圆的方程，求圆的半径和圆心坐标。
六、板书设计1. 圆的基本概念、性质与判定。
2. 圆的方程及其应用。
3. 弧、弦、圆心角的关系。
4. 圆与三角形、四边形的关系。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求半径为10的圆的周长和面积。
（2）已知圆的方程为(x3)²+(y+2)²=16，求圆的半径和圆心坐标。
（3）证明圆内接四边形的对角互补。
答案：（1）周长：62.8，面积：314。
（2）半径：4，圆心坐标：（3，2）。
（3）见教材10.5节。
2. 拓展延伸：（1）研究圆与多边形的关系，了解圆内接多边形和圆外切多边形的性质。
（2）了解圆在实际生活中的应用，如圆周运动、圆的轨迹等。
八、课后反思本节课通过整理和复习圆的相关知识，使学生掌握了圆的基本概念、性质与判定方法，提高了学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
《圆的整理和复习》完整版课件一、教学内容本节课我们将整理和复习教材第十一章“圆”的相关内容。
详细内容包括：圆的基本概念、圆的周长和面积、圆的切线与割线、圆的方程、圆与三角形及矩形的关系等。
二、教学目标1. 让学生掌握圆的基本概念，理解圆的周长、面积的计算方法。
2. 使学生熟练运用圆的切线与割线定理解决相关问题。
3. 培养学生运用圆的方程解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：圆的基本概念、圆的周长和面积的计算、圆的方程。
难点：圆的切线与割线定理的理解与应用、圆与三角形及矩形的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：圆规、直尺、三角板、多媒体课件。
2. 学具：圆规、直尺、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的圆形物体，引导学生发现圆的特点和美感。
2. 教学内容讲解（15分钟）（1）回顾圆的基本概念，强调圆心、半径、直径等要素。
（2）讲解圆的周长和面积的计算方法，结合例题进行讲解。
（3）介绍圆的切线与割线定理，通过例题进行讲解。
（4）阐述圆的方程，引导学生运用方程解决实际问题。
3. 例题讲解（15分钟）选择具有代表性的例题，分别针对圆的周长、面积、切线与割线、方程等知识点进行讲解。
4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成教材课后练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论与分享（5分钟）学生分小组讨论解题过程，分享解题心得。
六、板书设计1. 圆的基本概念2. 圆的周长和面积3. 圆的切线与割线定理4. 圆的方程5. 例题解析6. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目：（1）计算半径为5cm的圆的周长和面积。
（2）已知圆的周长为31.4cm，求该圆的半径。
（3）过圆上一点作圆的切线，求切线的长度。
（4）已知圆的方程为（x3）^2 + (y+2)^2 = 16，求圆的半径和圆心坐标。
2. 答案：（1）周长：31.4cm，面积：78.5cm²（2）半径：5cm（3）切线长度：待定（4）半径：4cm，圆心坐标：（3，2）八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：（1）探讨圆与三角形、矩形的关系，如圆的内接三角形、外切矩形等。
圆内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；5、切线及切线长定理；6、弧长及扇形面积。
【知识要点1】圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
【知识要点2】点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r【知识要点3】直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；【知识要点4】圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1图2图4图5【知识要点5】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
站在此圆外投标圆的综合复习【重难点】圆是我们研究曲线图形的开始，在观中、操作中体会圆的特征及培养空间观念。
一、圆的简单认识 引：1、哪种方式更公平？2、车轮为什么是圆的呢？圆心到圆上的任意一点距离相等，圆在滚动时，圆心在一条直线上，这样的车轮滚动时才平稳。
3、井盖为什么是圆的？圆形的井盖边缘到圆心的距离处处相等，无论井盖怎样旋转，都不会掉到井中。
方形的一边要比其对角线短，一旦井盖翻转，就有可能掉入其中；还有为了节省材料、美观等。
4、水桶为什么一般都是圆的？【知识点】1、圆中心的一点叫圆心,用O 表示。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径,常用r 表示。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径,常用d 表示。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
2、一个圆有无数条半径，无数条直径。
同圆中所有的半径都相等，所有的直径也都相等 ，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，字母关系式为2d r =（或半径是直径的一半，字母关系式为12r d =）。
3、圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。
在圆内最长的线段是直径。
将一张圆形纸片至少对折2次，就能确定圆心的位置 。
4、圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴。
5、圆心相同的两个圆（同心圆），半径不一定相等；半径相等的两个圆（等圆），圆心不一定相同。
只有当两个圆的圆心相同、半径相等时，它们才叫同圆。
二、圆的周长（用C来表示）1、围成员的曲线的长度就是圆的周长。
2、测量圆周长的方法：1）以圆上某点开始，圆片向右滚动一周，量它的长度，即圆片滚动一周的长度即为圆的周长；2）用绳子绕圆一周，再测量绳子的长度。
3、任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率, 用字母π表示，计算时通常取3.14，圆周率不随圆的大小而变化，即π是一个固定值。
4、圆的周长公式：C=πd 或C=2πr==π÷圆的周长圆周率圆的周长圆的直径圆的直径三、圆的面积（用S来表示）圆所占平面的大小就是圆的面积。
