相交两圆的连心线和公共弦有什么关系

《圆》基础测试（一）选择题（每题2分，共20分）1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B ．【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ）（A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧（C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C ．3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（ ）（A）＝（B ）＞ （C ）的度数＝的度数 （D ）的长度＝的长度【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而∠AOB ＝∠A ′OB ′，所以的度数＝的度数．【答案】C ．4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于………………………………………………………………………（ ）（A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130°【提示】连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝21×60°＋21×100°＝80°．【答案】C ．5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（ ）（A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110°【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．又因为∠A ︰∠B ︰∠C＝2︰3︰6，所以∠B ︰∠D ＝3︰5，所以∠D 的度数为85×180°＝112.5°．【答案】C ． 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与OB 的位置关系是………………………………………………（ ）（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定【提示】因为以点P 为圆心的圆与OC 相离，则P 到OC 的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P 到OB 的距离也大于圆的半径，故圆P 与OB 也相离．【答案】A ．7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ）（A ）21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ）（C ）31（a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为21a ·r ＋21b ·r ＋21c ·r ＝21（a ＋b ＋c ）r ．【答案】A ． 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝23，则tan ∠BCG 的值为……（ ） （A ）33 （B ）23 （C ）1 （D ）3【提示】连结BD ，则∠ABM ＝∠ADB ．因为AD 为直径，所以∠A ＋∠ADB ＝90°，所以cos ∠ABM ＝23＝cos ∠ADB ＝sin A ，所以∠A ＝60°．又因四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠BCG ＝∠A ＝60°．则tan ∠BCG ＝3． 【答案】D ．9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若P A ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、PD的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（ ）（A ）x 2＋9 x ＋12＝0 （B ）x 2－9 x ＋12＝0（C ）x 2＋7 x ＋9＝0 （D ）x 2－7 x ＋9＝0【提示】设PC 的长为a ，则PD 的长为（9－a ），由相交弦定理得3×4＝a ·（9－a ）．所以a 2－9 a ＋12＝0，故PC 、PD 的长是方程x 2－9 x ＋12＝0的两根．【答案】B ．10．已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是………（ ）（A ）0＜d ＜3 r （B ）r ＜d ＜3 r （C ）r ≤d ＜3 r （D ）r ≤d ≤3 r【提示】当两圆相交时，圆心距d 与两圆半径的关系为2 r －r ＜d ＜2 r ＋r ，即r ＜d ＜3 r ．【答案】B ．（三）填空题（每题2分，共20分）11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．【提示】如图，AB 为弦，CD 为拱高，则CD ⊥AB ，AD ＝BD ，且O 在CD 的延长线上．连结OD 、OA ，则OD ＝22AD OA -＝221213-＝5（米）．所以CD ＝13－5＝8（米）． 【答案】8米．12．如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______．【提示】连结AC ．设∠DCA ＝x °，则∠DBA ＝x °，所以∠CAB＝x °＋20°．因为AB 为直径，所以∠BCA ＝90°，则∠CBA ＋∠CAB ＝90°．又 ∠DBC ＝50°，∴ 50＋x ＋（x ＋20）＝90．∴ x ＝10．∴ ∠CBE ＝60°．【答案】60°．13．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．【答案】等腰，矩形．14．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，将OB 延长一倍至D ，若∠DAC ＝60°，则∠D ＝_____．【提示】连结OA ．∵ AB 、AC 是⊙O 的切线，∴ AO 平分∠BAC ，且OB ⊥AB ．又 OB ＝BD ，∴ OA ＝DA ．∴ ∠OAB ＝∠DAB ．∴ 3∠DAB ＝60°．∴ ∠DAB ＝20°．∴ ∠D ＝70°．15．如图，BA 与⊙O 相切于B ，OA 与⊙O 相交于E ，若AB ＝5，EA ＝1，则⊙O 的半径为______．【提示】延长AO ，交⊙O 于点F ．设⊙O 的半径为r ．由切割线定理，得AB 2＝AE ·AF ．∴ （5）2＝1·（1＋2 r ）． ∴ r ＝2．【答案】2．16．已知两圆的圆心距为3，半径分别为2和1，则这两圆有______条公切线．【提示】因为圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线．【答案】3．17．正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．【提示】正n 边形有n 条对称轴．正2n 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】8，轴，中心．18．边长为2 a 的正六边形的面积为______． 【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为43·（2 a ）2＝3a 2，所以正六边形的面积为63a 2． 19．扇形的半径为6 cm ，面积为9 cm 2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____．【提示】已知扇形面积为9 cm 2，半径为6 cm ，则弧长l ＝692⨯＝3；设圆心角的度数为n ，则1806π⋅n ＝3 cm ，所以n ＝π90．【答案】3；π90︒． 20．用一张面积为900 cm 2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为_____．【提示】面积为900 cm 2的正方形的边长为30 cm ，则底面圆的周长30 cm ．设直径为d ，则πd ＝30，故d ＝π30（cm ）．【答案】π30 cm ． （三）判断题（每题2分，共10分）21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………（ ）【答案】×．【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………（ ）【答案】×．【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形…………………………………（ ）【答案】×．【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．24．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（ ）【答案】√．【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为I ，过I 作一边的垂线段，则以点I 为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………（ ）【答案】×．【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．（四）解答题：（共50分）26．（8分）如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，且AE ＝1 cm ，EB ＝5 cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．【分析】因为AE ＝1 cm ，EB ＝5 cm ，所以OE ＝21（1＋5）－1＝2（cm ）．在Rt △OEF 中可求EF 的长，则EC 、ED 都可用DF 表示，再用相交弦定理建立关于DF 的方程，解方程求DF 的长．【略解】∵ AE ＝1 cm ，BE ＝5 cm ，∴ ⊙O 的半径为3 cm ．∴ OE ＝3－1＝2（cm ）．在Rt △OEF 中，∠OEF ＝60°，∴ EF ＝cos 60°·OE ＝21·2＝1（cm ）．∵ OF ⊥CD ，∴ FC ＝FD ．∴ EC ＝FC －FE ＝FD －FE ，ED ＝EF ＋FD ．即 EC ＝FD －1，ED ＝FD ＋1．由相交弦定理，得 AE ·EB ＝EC ·ED ．∴ 1×5＝（FD －1）（FD ＋1）．解此方程，得 FD ＝6（负值舍去）．∴ CD ＝2FD ＝26（cm ）．27．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且P A ＝4，PC ＝8，求tan ∠ACD 和sin ∠P 的值．【提示】连结CB ，易证△PCA ∽△PBC ，所以BC AC ＝PB PC ．由切割线定理可求PB 的长，所以 tan ∠ACD ＝tan ∠CBA ＝BC AC ＝PBPC ．连结OC ，则在Rt △OCP 中可求 sin ∠P 的值．【略解】连结OC 、BC ．∵ PC 为⊙O 的公切线，∴ PC 2＝P A ·PB ．∴ 82＝4·PB ．∴ PB ＝16．∴ AB ＝16－4＝12．易证△PCA ∽△PBC ．∴BC AC ＝PBPC ．∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°．又 CD ⊥AB ，∴ ∠ACD ＝∠B ．∴ tan ∠ACD ＝tan B ＝BC AC ＝PB PC ＝168＝21． ∵ PC 为⊙O 的切线，∴ ∠PCO ＝90°．∴ sin P ＝PO OC ＝106＝53． 28．（8分）如图，已知ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且EB ⊥AD ，AD 与BC 的延长线交于F ，求证FD AB ＝DC BC ．【提示】连结AC ，证△ABC ∽△FDC ．显然∠FDC ＝∠ABC ．因为AD ⊥直径EB ，由垂径定理得＝，故∠DAB ＝∠ACB ．又因为∠FCD ＝∠DAB ，所以∠FCD ＝∠ACB ，故△ABC ∽△FDC ，则可得出待证的比例式．【略证】连结AC ．∵ AD ⊥EB ，且EB 为直径，∴＝． ∴ ∠ACB ＝∠DAB ．∵ ABCD 为圆内接四边形，∴ ∠FCD ＝∠DAB ，∠FDC＝∠ABC ．∴ ∠ACB ＝∠FCD ．∴ △ABC ∽△FDC ．∴ FD AB ＝DC BC ．29．（12分）已知：如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点D ，交⊙O 2于点E ；DA与⊙O 2相切，切点为C ．*（1）求证PC 平分∠APD ；（2）若PE ＝3，P A ＝6，求PC 的长．【提示】（1）过点P 作两圆的公切线PT ，利用弦切角进行角的转换；在（2）题中，可通过证△PCA ∽△PEC ，得到比例式PE PC ＝PCPA ，则可求PC ． *（1）【略证】过点P 作两圆的公切线PT ，连结CE ．∵ ∠TPC ＝∠4，∠3＝∠D ．∴ ∠4＝∠D ＋∠5，∴ ∠2＋∠3＝∠D ＋∠5．∴ ∠2＝∠5．∵ DA 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠5＝∠1．∴ ∠1＝∠2．即PC 平分∠APD ．（2）【解】∵ DA 与⊙O 2相切于点C ，∴ ∠PCA ＝∠4．由（1），可知∠2＝∠1．∴ △PCA ∽△PEC ．∴ PE PC ＝PCPA ．即 PC 2＝P A ·PE ．∵ PE ＝3，P A ＝6，∴ PC 2＝18．∴ PC ＝32．5．（14分）如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧的中点，连结AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证OE ＝21AC ； *（2）求证：AP DP ＝22AC BD ；（3）当AC ＝6，AB ＝10时，求切线PC 的长．【提示】（1）因为AO ＝BO ，可证OE 为△ABC 的中位线，可通过证OE ∥AC 得到OE 为中位线；（2）连结CD ，则CD ＝BD ，可转化为证明AP DP ＝22AC CD ．先证△PCD ∽△P AC ，得比例式AC CD ＝PC PD ，两边平方得22AC CD ＝22PC PD ，再结合切割线定理可证得22AC CD ＝PA PD PD ⋅2＝PAPD ；（3）利用（2）可求DP 、AP ，再利用勾股定理、切割线定理可求出PC 的长．（1）【略证】∵ AB 为直径，∴ ∠ACB ＝90°，即 AC ⊥BC ．∵ D 为的中点，由垂径定理，得OD ⊥BC ．∴ OD ∥AC ．又∵ 点O 为AB 的中点，∴ 点E 为BC 的中点．∴ OE ＝21AC ． *（2）【略证】连结CD ．∵ ∠PCD ＝∠CAP ，∠P 是公共角，∴ △PCD ∽△P AC ．∴ PC PD ＝ACCD ． ∴ 22PC PD ＝22AC CD ．又 PC 是⊙O 的切线，∴ PC 2＝PD ·DA ．∴ PA PD PD ⋅2＝22AC CD ， ∴ PA PD ＝22AC CD ．∵ BD ＝CD ，∴ PA PD ＝22AC BD ．（3）【略解】在Rt △ABC 中，AC ＝6，AB ＝10，∴ BC ＝22610-＝8．∴ BE ＝4． ∵ OE ＝AC 21＝3，∴ ED ＝2．则在Rt △BED 中，BD ＝22BE ED +＝25， 在Rt △ADB 中，AD ＝22BD AB -＝45．∵ AC PD ＝22AC BD ，∴ 54+PD PD ＝3620． 解此方程，得 PD ＝55，AP ＝95．又 PC 2＝DP ·AP ，∴ PC ＝5955⋅＝15．情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。

初中数学知识点大全1、一元一次方程根的情况△=b2-4ac当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根2、平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。

③平行四边形的对边/对角相等。

④平行四边形的对角线互相平分。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。

③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

②矩形的对角线相等，四个角都是直角。

③对角线相等的平行四边形是矩形。

④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。

⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）平均数：对于N个数X1，X2…X N，我们把（X1+X2+…+X N）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

二、基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果 ad=bc ,那么a:b=c:d84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．【答案】 ；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

第八章相交两圆的性质及应用【基础知识】两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地，由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质．性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦．性质2以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形，相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1在相交两圆中，内接三角形都相似．如图81-，ACD △，AGH △，BEF △均相似．推论2在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一边垂直，则另两边必分别为两圆直径，反之亦真．如图81-中，AC ，AD 分别为1O e ，2O e 的直径AB CD ⇔⊥．推论3在相交两圆中，两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角．推论4在相交两圆中，内接三角形的交点（两圆交点）顶点，两非交点顶点以及两非交点顶点处的两切线交点，此四点共圆，或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上． 性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段．性质4以相交两圆的两交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角的和为180︒． 性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等；（3）内接三角形以相交两圆交点为顶点的两边相等（即为等腰三角形）． 事实上，如图82-，1O e 与下2O e 相交于A ，B ．（1）令ACB α∠=，ADB β∠=，1O e 与2O e 为等圆()(),0,πsin sin AB ABαβαβαβ⇔=⇔=∈．图8-1EC图8-2（2）1O e 与2O e 为等圆sin sin EG FHGE HF GBE HBF⇔=⇔=∠∠．（3）由正弦定理即证．性质6过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行． 事实上，如图83-所示，即可证得CE DF ∥ （证略）．性质71O e 与2O e 相交于A 、B ，EF 是过B 的一条割线段，E 在1O e 上，F 在2e 上，N 为12O O 的中点，则M 为EF 的中点的充要条件是MN NB =．事实上，如图83- （a ），设1M ，K ，2M 分别为1O 、N 、2O 在EF 上的射影，由垂径定理，知1M 、2M 分别为EB 、BF 的中点，由梯形中位线定理知K 为12M M 的中点，不妨设EB BF ≥，则121122244M M EB EB EB BF EB BFKB M B M K +-=-=-=-=由M 为EF 的中点2EB BFEM MF +⇔== 4EB BFMK MF KB BF -⇔=--=MK KB NM NB ⇔=⇔=．（注意NK MB ⊥） 注 特别地，当M 与B 重合时，有NB EF ⊥． 【典型例题与基本方法】例1如图84-，四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ．设三角形ABP ，BCP ，CDP和DAP 的外接圆圆心分别是1O ，2O ，3O ，4O ．求证：OP ，13O O ，24O O 三直线共点．（1990年全国高中联赛题）EAFCDB EAF CDB图8-3(c)(a)(b)图8-4证明连2PQ 并两方延长交2O e 于Q ，交AD 于R 在PRD △和PBQ △中，PDR BDA BCA BCP BQP ∠=∠=∠=∠=∠，DPR QPB ∠=∠，以而90PRD PBQ ∠=∠=︒，即2PO AD ⊥． 利用相交两圆的性质1，知O e 与4O e 的连心线4OO ⊥公共弦AD ，故24PO OO ∥． 同理，42PO OO ∥．从而24PO OO 为平行四边形，24O O 交OP 于其中点G ． 同理，13O O 也交OP 于其中点G ． 所以，OP ，13O O ，24O O 三直线共点．例2如图85-，证明：若凸五边形ABCDE 中， ABC ADE ∠=∠，AEC ADB ∠=∠，则BAC DAE ∠=∠． （第21届全俄中学生（10年级）奥林匹克题）证明设对角线BD 与CE 相交于F ．由AEC AEF ADB ADF ∠=∠=∠=∠，知A ，E ，D ，F 共圆．因此，AFE ADE ABC ∠=∠=∠，即180ABC AFC ∠+∠=︒，故A ，B ，C ，F 共圆． 此时，两圆ABCF e 与AFDE e 相交于点F ，A ，从而由相交两圆性质2的推论1，知ADB AEC △∽△，即BAD CAE ∠=∠，故BAC DAE ∠=∠．例3如图86-，两圆1O e ，2O e 相交于A ，B ，1O e 的弦BC 交2O e 于E ，2O e 的弦BD 交1O e 于F ．证明：（Ⅰ）若DBA CBA ∠=∠，则DF CE =；（Ⅱ）若DF CE =，则DBA CBA ∠=∠．（1979年全国高中联赛题）证明（Ⅰ）对图86- （a ），因A ，B ，E ，D 四点共圆，有ABD AED ∠=∠，且ABC ADE ∠=∠，而么ABD ABC ∠=∠，故AED ADE ∠=∠，于是AD AE =． 又由相交两圆性质2的推论1，知ADF AEC △∽△．注意到AD AE =，则ADF AEC △△≌，故DF EC =． 对图86- （b ），由A ，E ，B ，D 及A ，C ，B ，F 分别四点共圆，有AEC ADF ∠=∠，ACE AFD ∠=∠又由 CBA ABD ∠=∠，知AC AF =，AE AD =，有AEC ADF △△≌，故DF CE =．EAFC DB图8-5CEC(a)(b)图8-6（Ⅱ）由DF CE =及（Ⅰ）中证明，可得ADF AEC △△≌，由此，可推证得DBA CBA ∠=∠．注此例的第（Ⅰ）部分，1988年又作为第13届全俄中学生数学竞赛题：两圆相交于点M ，N ．过点M 引直线1l ，2l ，使它们分别与弦MN 所构成的角相等．除点M 外，1l 与两圆的交点分别为A ，B ，2l 与两圆的交点分别为C ，D ．证明：AB CD =．例4如图87-，已知1O e 与2O e 相交于A ，B ，直线MN 垂直于AB 且分别与1O e ，2O e 交于M ，N ，P 为线段MN 的中点，1Q ，2Q 分别是1O e ，2O e 上的点，1122AO Q AO Q ∠=∠．求证：12PQ PQ =． （1985年广州、武汉、福州联合初中竞赛题）证明连MB ，BN ，因BA MN ⊥，则由相交两圆性质2的推论2，知1O 在MB 上，2O 在BN 上．连12O O ，1O P ，则四边形12O O NP 为平行四边形，即122O P O N O A ==．于是，知12O O AP 为等腰梯形，从而 12AO P AO P ∠=∠，2111PO AO O Q ==．又1122AO Q AO Q ∠=∠，注意1222O P O N O Q ==，便有1122O Q P O PQ △△≌． 故12PQ PQ =．注此例实际上是由IMO 21-第3题改编而来：平面上两圆相交，其中一交点为A ，两边点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后同时返回到A 点．求证：平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离．例5如图88-，平面上两圆1O e 与2O e 相交，其中一交点为A ．两动点1Q ，2Q 各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后可同时返回到A 点．求证：过A 的任一割线交两圆的两交点M ，N 分别与对应的移动中的1Q ，2Q 的连线互相平行．（IMO 21-试题改编）Q 图8-7证明设两动点1Q ，2Q 出发后，经某一时段后分别到达1O e 和2O e 上的如图88-所示位置．不妨设两动点是按逆时针方向移动，因移动一周的时间相同，故1122AO Q AO Q ∠=∠．设B 为1O e 与2O e 的另一交点，连1Q B ，2Q B ．因圆周角等于所对的同弧上的圆心角的一半，故11112ABQ AO Q ∠=∠，222211801802ABQ ANQ AO Q ∠=︒-∠=︒-∠，即1211221118018022ABQ ABQ AO Q AO Q ∠+∠=∠+︒-∠=︒，从而1Q ，B ，2Q 三点共线．于是由性质6，知12MQ NQ ∥． 【解题思维策略分析】1．发掘题给条件中的两圆性质例6如图89-，1O e 与2O e 的半径均为r ，1O e 过ABCD Y 的两顶点A ，B ，2O e 过顶点B ，C ，M 是1O e ，2O e 的另一个交点，求证：AMD △的外接圆半径也是r ．证明作ABMN Y ，连ND ，MC ，则四边形DCMN 也是平行四边形．记BAM α∠=，BCM β∠=，由于1O e 与2O e 是等圆，由相交两圆的性质5（1），αβ=．注意到AD BC ∥，ND MC ∥，AB NM ∥，则知ADN BCM BAM AMN βα∠=∠===∠=∠，由此，有A ，D ，M ，N 四点共圆，于是，AMD AND ∠=∠． 又注意到AN BM ∥，DN CM ∥，有AND BMC ∠=∠，于是AMD BMC ∠=∠． 设AMD △的外接圆半径为R ，则由正弦定理有图8-8图8-922sin sin AD BCR r AMD BMC===∠∠．故R r =．这说明AMD △的外接圆半径也是r ． 例7如图810-，已知A 为平面上两个半径不等的1O e 与2O e 的一个交点，两圆的两条外公切线分别为12P P 和12Q Q ，切点分别为1P ，2P ，1Q ，2Q ，1M 和2M 分别为11PQ ，22P Q 的中点．求证：1212O AO M AM ∠=∠．（IMO -24试题）证明延长1AO 交1O e 于E ，延长2AO 交2O e 于F ，由性质2的推论2，知E ，B ，F 三点共线． 由于两圆半径不等，设直线21P P 与21Q Q 相交于O ，则O 点在21O O 所在直线上．连OB 并延长交1O e 于K ，交2O e 于L ，连1M K ，1M B ，2M L ．延长BA 交12P P 于N ，则由性质3知12PN NP =，所以线段12M M 与弦AB 互相垂直平分．于是， 2112121180AM M M M L BM M BM O ∠+∠=∠+∠=︒，即A ，2M ，L 三点共线．同理，A ，1M ，K 三点共线．故由性质2的推论1，知AKL AEF △∽△，即有1212O AO M AM ∠=∠．例8如图811-，圆1Γ和圆2Γ相交于点M 和N ．设l 是圆1Γ和圆2Γ的两条公切线中距离M 较近的公切线，l 与1Γ切于点A ，与2Γ切于点B ．设过M 且与l 平行的直线与圆1Γ还相交于点C ，与圆2Γ还相交于点D ．直线CA 和DB 交于点E ，直线AN ，BN 分别交直线CD 于点P 和Q ．求证：EP EQ =． （IMO -41试题）图8-10O证明连NM 并延长交AB 于G ，则由相交两圆的性质3，知G 为AB 的中点．在NAB △中，由PQ AB ∥又可得M 为PQ 的中点．由AB CM ∥及AB 为1Γ的切线，连AM ，则推知AC AM =，从而知MAG CAT GAE ∠=∠=∠ （T 在GA 延长线上），故AB 平分EAM ∠． 同理，连BM ，知AB 平分EBM ∠．此时，即知E ，M 关于直线AB 对称，故EM AB ⊥． 于是，在EPQ △中，有EM PQ ⊥，从而EP EQ =．2．根据题设条件构作相交圆例9如图812-，自ABC △的外接圆O e 上任一点P ，引三边或其延长线的垂线PL ，PM ，PN ，分别交BC 于L ，交AB 于M ，交CA 于N ，交O e 分别于A '，B '，C '．求证：A A B B C C '''∥∥． 证明注意到西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线．由P ，B ，L ，M 四点共圆，且此圆与ABC △的外接圆O e 相交于P ，B 两点，BC ，PC '是过这两相交圆交点的两条割线，根据相交两圆性质5，知LM CC '∥，同样，PA '，BA 也是过这两相交圆交点的两条割线，由性质6有LM A A '∥．故A A C C ''∥． 又由P ，M ，A ，N 四点共圆，此时PN ，AB 是分别过PMAN e 与PABC e 的交点P ，A 的两条割线，由性质6知BB NL '∥，故A A B B C C '''∥∥． 例10如图813-，等腰ABC △中，AB AC =，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，且CE BD =，DE 交BC 于F ，经过B ，D ，F 的圆交ABC △的外接圆于G ．求证：GF DE ⊥．图8-11NQMPGA CB T Γ2Γ1lE DCC 'A'B L OM N AB'P图8-12证明由题设，知B ，D ，G ，F 及A ，B ，G ，C 分别四点共圆，连BG ，DG ，AG ，有FDG FBG CBG GAC GAE ∠=∠=∠=∠=∠，从而知A ，D ，G ，E 四点共圆．此时，连EG ，FG ，则GEC ADG BDG CFG ∠=∠=∠=∠，所以G ，C ，E ，F 四点共圆．于是，DE ，BC 是过两相交圆BDGF e 与GCEF e 的交点F 的两条割线． 由于CE BD =， CFE BFD ∠=∠，由两相交圆性质5（2），知BDGF e 与GCEF e 是等圆．又由A ，B ，G ，C 共圆，有DBG ECG ∠=∠．再注意到性质5（2），知DG GE =． 因B ，D ，G ，F 共圆，有ABC ABF FGD ∠=∠=∠．而ECF ACB ABC ∠=∠=∠，故FGD ECF ∠=∠，即有DF EF =．此时，推知DGF EGF △△≌，有DFG EFG ∠=∠，故GF DE ⊥．例11已知在凸四边形ABCD 中，直线CD 与以AB 为直径的圆相切．求证：直线AB 与以CD 为直径的圆相切的充分必要条件是BC AD ∥． （IMO - 25试题） 证明必要性：如图814-，将AB ，CD 的中点分别记为O ，O '，O e 切CD 于E ，O 'e 切AB 于F ．连O F '，DF ，AE ，OE ，则O DF '△，OEA △均为等腰三角形．由O '，F ，O ，E 四点共圆，有DO F FOE AOE '∠=∠=∠，从而两等腰三角形的底角相等，即么EDF EAO EAF ∠=∠=∠，由此有D ，A ，F ，E 四点共圆．同理，E ，F ，B ，C 四点共圆．此两圆相交于E ，F ．而CD ，AB 是分别过这两交点的割线，故由性质6，知BC AD ∥．充分性：如图8-15，设O ，O '分别为AB ，CD 的中点，作O F AB '⊥于F ．以AB 为直径的圆切CD 于E ，连OE ，则OE CD ⊥于E ．连OO '，设BC 与O e 交于G ，连AG ，过C 作CH GA ∥交DA 于H ． 因BC AD ∥，故O O AD '∥．由AG BC ⊥，则O O AG '⊥，OO HC '⊥．图8-13CD图8-14而O '，F ，O ，E 四点共圆，有*O FE O OE O CH '''∠=∠===∠ [其中()*是由O OE '∠与O CH '∠的两对应边互相垂直推得]．设CH 与O F '的交点为M ，则M ，F ，C ，E 四点共圆．又因90MFB BCM ∠=︒=∠，知M ，F ，B ，C 四点共圆，此时，有M ，F ，B ，C ，E 五点共圆．同理，A ，F ，E ，D 四点共圆，且此圆与FBCE e 的公共弦为EF ．连AE ，BE ，则90AEB ∠=︒． 连DF ，FC ，则由相交两圆的性质2的推论1，知90DFC ∠=︒，故以CD 为直径的圆过F 点且AB 切于点F ．3．仔细找出相交两圆的内接三角形例12凸四边形ABCD 的对角线交于O 点，OAD △、OBC △的外接圆交于O 、M 两点，直线OM 分别交OAB △、OCD △的外接圆于S 、T 两点．求证：M 是线段TS 的中点．（2006年全国女子奥林匹克题）证法1如图816-，联结BT 、BM 、AM 、CS ，则由推论1，有BTM BAC △∽△，CMS CBD △∽△，从而TM BM AC BC =,MS CMBD BC=．上述两式相除，得TM BM ACMS CM BD=⋅． 又由MDB MAC △△∽，有BM BDCM CA=． 于是，将上式代入前一式，得1TMMS=，即证．DC图8-15图8-16证法2如图816-，设OAB △、OBC △、OCD △， O DA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ，则由性质1知12O O BO ⊥，43O O OD ⊥，从而1243O O O O ∥．同理1423O O O O ∥．即知1234O O O O 为平行四边形，设13O O 与24O O 交于点N ，则N 为12O O 的中点，且由24O O 垂直平分OM 知NO NM =．于是，由性质7知M 为TS 的中点．例13两圆1Γ、2Γ交于点A 、B ，过点B 的一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点C 、D ，过点B 的另一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点E 、F ，直线CF 分别交圆1Γ、2Γ于点P 、Q 设M ，N 分别是弧»PB、»QB 的中点，若CD EF =，求证：C 、F 、M 、N 四点共圆．（2010年CMO 试题）证明如图817-，由推论3，知AB 平分CBF ∠ （注意ACD AEF △△≌）． 又CM 平分FCB ∠，FN 平分CFB ∠．于是，AB ，CM ，FN 三线共点于CBF △的内心I ．从而，由相交弦定理，有CI IM AI IB NI IF ⋅=⋅=⋅．故由相交弦定理的逆定理，知C 、F 、M 、N 四点共圆．例14如图818-，在圆内接ABC △中，A ∠为最大角，不含点A 的弧»BC 上两点D 、E 分别为弧¼ABC 、¼ACB 的中点．记过A ．B 且与AC 相切的圆为1O e ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O e ．1O e 与2O e 相交于A 、P ．证明：AP 平分BAC ∠．（2012年CMO 试题）证明联结BP ，则由题设知ABP PAC ∠=∠．于是，只需证PAB △为等腰三角形，即PA PB =即可．FA IN CQ BP Γ2Γ1图8-17E DM图8-18联结AE 、DE ，延长AD 至Y ，延长AC 交2O e 于点F ，联结EF ． 由于点D 为弧¼ABC 的中点，有DAC DCA DEA ∠=∠=∠．又AY 是2O e 的切线，从而180AED AEF DAC EAY ∠+∠=∠+∠=︒，所以，D 、E 、F 三点共线． 延长BA 交2O e 于点G ，联结PG 、PF 、AE ，EG ．由推论1，知 ADF EDA △△∽，EBG ADF △∽△．注意到AE BE = （E 为弧¼ACB 的中点），有AE EA BE BG DF DA AD DF===． 从而AF BG =．又由推论1，有PAF PBG △∽△，于是PAF PBG △△≌． 故PA PB =．即知AP 平分BAC ∠． 【模拟实战】习题A1．两圆1O e 与2O e 相交于点A 和B ，过点B 作两直线与两圆的交点分别为P ，Q ；C ，D （P ，C 在1O e 上），且CD AB ⊥．求证：PC QD ∶为定值．2．两等圆相交于A ，B ，过A 作直线与两圆分别交于C ，D ．若E 为CD 的中点，求证：BE CD ⊥． 3．两圆相交于A ，B ，过A 任作直线被两圆所截得的线段为PQ ，又过A 作AB 的垂线，被两圆所截得的线段为CD ．求证：PQ CD ≤．4．1O e 与2O e 相交于A ，B 两点，割线CE ，FD 都过B 点（F ，C 在1O e 上）．若ABC ABD ∠=∠，求证：CE FD =．习题B1．梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD >，K ，M 分别是腰AD ，CB 上的点， DAM CBK ∠=∠． 求证： DMA CKB ∠=∠． 2．定长弦PQ （长度小于直径）的两端在半圆弧»AB 上滑动．试证：不论PQ 在什么位置，从P ，Q 分别向弦AB 作垂线，其垂足P '，Q '与PQ 中点N 所成三角形都相似．（1981年福州市竞赛题）3．三圆两两相交，并过公共点M ，而另一交点分别为P ，Q ，R ．过其中一圆的»PQ上（不含M 点）任取两点A 与A '（P ，Q ，M 点除外），引直线AP ，AQ ，A P '，A Q '，与其他两圆依次相交于B ，C ，B '，C '．求证：ABC A B C '''△△∽．4．给定正ABC △，D 是BC 边上任意一点，ABD △的外心、内心分别为1O ，1I ，ADC △的外心、内心分别为2O ，2I ，直线11O I 与22O I 相交于P ．求证：点D 为12O O P △的外心．（2001年国家集训队选拔考试题改编） 5．点D 是锐角ABC △的外心，过A ，B ，D 作圆分别交AC ，BC 于M ，N ．证明：ABD △和MNC △的外接圆相等．（第25届全俄奥林匹克题） 6．圆1S 和2S 交于点1A ，4A ，圆2S 和3S 交于点2A ，5A ，圆3S 和1S 交于点3A ，6A ．折线1234567M M M M M M M 使得每条直线1k k M M +含有点k A ．而k M 和1k M +，在相交于点k A 的两圆周上，而且点1k M +，异于点1k A +．证明：点1M 与点7M 重合．（第17届全俄奥林匹克题）。

3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。

当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。

定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。

外公切线的长为；内公切线的长为。

3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。

1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。

（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。

4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。

5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。

6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。

7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。

[圆的基本性质与定理]1定理: 不在同一直线上的三点确定一个圆。

(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

第八章相交两圆的性质及应用【基础知识】两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地，由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质．性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦．性质2以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形，相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1在相交两圆中，内接三角形都相似．如图81-，ACD △，AGH △，BEF △均相似．推论2在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一边垂直，则另两边必分别为两圆直径，反之亦真．如图81-中，AC ，AD 分别为1O ，2O 的直径AB CD ⇔⊥．推论3在相交两圆中，两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角．推论4在相交两圆中，内接三角形的交点（两圆交点）顶点，两非交点顶点以及两非交点顶点处的两切线交点，此四点共圆，或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上． 性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段．性质4以相交两圆的两交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角的和为180︒． 性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等；（3）内接三角形以相交两圆交点为顶点的两边相等（即为等腰三角形）． 事实上，如图82-，1O 与下2O 相交于A ，B ．（1）令ACB α∠=，ADB β∠=，1O 与2O 为等圆()(),0,πsin sin AB ABαβαβαβ⇔=⇔=∈．图8-1EC图8-2（2）1O 与2O 为等圆sin sin EG FHGE HF GBE HBF⇔=⇔=∠∠．（3）由正弦定理即证．性质6过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行． 事实上，如图83-所示，即可证得CE DF ∥ （证略）．性质71O 与2O 相交于A 、B ，EF 是过B 的一条割线段，E 在1O 上，F 在2上，N 为12O O 的中点，则M 为EF 的中点的充要条件是MN NB =．事实上，如图83- （a ），设1M ，K ，2M 分别为1O 、N 、2O 在EF 上的射影，由垂径定理，知1M 、2M 分别为EB 、BF 的中点，由梯形中位线定理知K 为12M M 的中点，不妨设EB BF ≥，则121122244M M EB EB EB BF EB BFKB M B M K +-=-=-=-=由M 为EF 的中点2EB BFEM MF +⇔==4EB BFMK MF KB BF -⇔=--=MK KB NM NB ⇔=⇔=．（注意NK MB ⊥） 注 特别地，当M 与B 重合时，有NB EF ⊥． 【典型例题与基本方法】例1如图84-，四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ．设三角形ABP ，BCP ，CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是1O ，2O ，3O ，4O ．求证：OP ，13O O ，24O O 三直线共点．（1990年全国高中联赛题）EAFCDB EAF CDB图8-3(c)(a)(b)图8-4证明连2PQ 并两方延长交2O 于Q ，交AD 于R 在PRD △和PBQ △中，PDR BDA BCA BCP BQP ∠=∠=∠=∠=∠，DPR QPB ∠=∠，以而90PRD PBQ ∠=∠=︒，即2PO AD ⊥． 利用相交两圆的性质1，知O 与4O 的连心线4OO ⊥公共弦AD ，故24PO OO ∥． 同理，42PO OO ∥．从而24PO OO 为平行四边形，24O O 交OP 于其中点G ． 同理，13O O 也交OP 于其中点G ． 所以，OP ，13O O ，24O O 三直线共点．例2如图85-，证明：若凸五边形ABCDE 中， ABC ADE ∠=∠，AEC ADB ∠=∠，则BAC DAE ∠=∠． （第21届全俄中学生（10年级）奥林匹克题）证明设对角线BD 与CE 相交于F ．由AEC AEF ADB ADF ∠=∠=∠=∠，知A ，E ，D ，F 共圆．因此，AFE ADE ABC ∠=∠=∠，即180ABC AFC ∠+∠=︒，故A ，B ，C ，F 共圆． 此时，两圆ABCF 与AFDE 相交于点F ，A ，从而由相交两圆性质2的推论1，知ADB AEC △∽△，即BAD CAE ∠=∠，故BAC DAE ∠=∠．例3如图86-，两圆1O ，2O 相交于A ，B ，1O 的弦BC 交2O 于E ，2O 的弦BD 交1O 于F ．证明：（Ⅰ）若DBA CBA ∠=∠，则DF CE =；（Ⅱ）若DF CE =，则DBA CBA ∠=∠．（1979年全国高中联赛题）证明（Ⅰ）对图86- （a ），因A ，B ，E ，D 四点共圆，有ABD AED ∠=∠，且ABC ADE ∠=∠，而么ABD ABC ∠=∠，故AED ADE ∠=∠，于是AD AE =． 又由相交两圆性质2的推论1，知ADF AEC △∽△．注意到AD AE =，则ADF AEC △△≌，故DF EC =． 对图86- （b ），由A ，E ，B ，D 及A ，C ，B ，F 分别四点共圆，有AEC ADF ∠=∠，ACE AFD ∠=∠又由 CBA ABD ∠=∠，知AC AF =，AE AD =，有AEC ADF △△≌，故DF CE =．EAFC DB图8-5CEC(a)(b)图8-6（Ⅱ）由DF CE =及（Ⅰ）中证明，可得ADF AEC △△≌，由此，可推证得DBA CBA ∠=∠． 注此例的第（Ⅰ）部分，1988年又作为第13届全俄中学生数学竞赛题：两圆相交于点M ，N ．过点M 引直线1l ，2l ，使它们分别与弦MN 所构成的角相等．除点M 外，1l 与两圆的交点分别为A ，B ，2l 与两圆的交点分别为C ，D ．证明：AB CD =．例4如图87-，已知1O 与2O 相交于A ，B ，直线MN 垂直于AB 且分别与1O ，2O 交于M ，N ，P 为线段MN 的中点，1Q ，2Q 分别是1O ，2O 上的点，1122AO Q AO Q ∠=∠．求证：12PQ PQ =． （1985年广州、武汉、福州联合初中竞赛题）证明连MB ，BN ，因BA MN ⊥，则由相交两圆性质2的推论2，知1O 在MB 上，2O 在BN 上．连12O O ，1O P ，则四边形12O O NP 为平行四边形，即122O P O N O A ==．于是，知12O O AP 为等腰梯形，从而 12AO P AO P ∠=∠，2111PO AO O Q ==．又1122AO Q AO Q ∠=∠，注意1222O P O N O Q ==，便有1122O Q P O PQ △△≌． 故12PQ PQ =．注此例实际上是由IMO 21-第3题改编而来：平面上两圆相交，其中一交点为A ，两边点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后同时返回到A 点．求证：平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离．例5如图88-，平面上两圆1O 与2O 相交，其中一交点为A ．两动点1Q ，2Q 各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后可同时返回到A 点．求证：过A 的任一割线交两圆的两交点M ，N 分别与对应的移动中的1Q ，2Q 的连线互相平行．（IMO 21-试题改编）Q 图8-7证明设两动点1Q ，2Q 出发后，经某一时段后分别到达1O 和2O 上的如图88-所示位置．不妨设两动点是按逆时针方向移动，因移动一周的时间相同，故1122AO Q AO Q ∠=∠．设B 为1O 与2O 的另一交点，连1Q B ，2Q B ．因圆周角等于所对的同弧上的圆心角的一半，故11112ABQ AO Q ∠=∠，222211801802ABQ ANQ AO Q ∠=︒-∠=︒-∠，即1211221118018022ABQ ABQ AO Q AO Q ∠+∠=∠+︒-∠=︒，从而1Q ，B ，2Q 三点共线．于是由性质6，知12MQ NQ ∥． 【解题思维策略分析】1．发掘题给条件中的两圆性质例6如图89-，1O 与2O 的半径均为r ，1O 过ABCD 的两顶点A ，B ，2O 过顶点B ，C ，M是1O ，2O 的另一个交点，求证：AMD △的外接圆半径也是r ．证明作ABMN ，连ND ，MC ，则四边形DCMN 也是平行四边形．记BAM α∠=，BCM β∠=，由于1O 与2O 是等圆，由相交两圆的性质5（1），αβ=．注意到AD BC ∥，ND MC ∥，AB NM ∥，则知ADN BCM BAM AMN βα∠=∠===∠=∠，由此，有A ，D ，M ，N 四点共圆，于是， AMD AND ∠=∠．又注意到AN BM ∥，DN CM ∥，有AND BMC ∠=∠，于是AMD BMC ∠=∠． 设AMD △的外接圆半径为R ，则由正弦定理有图8-8图8-922sin sin AD BCR r AMD BMC===∠∠．故R r =．这说明AMD △的外接圆半径也是r ． 例7如图810-，已知A 为平面上两个半径不等的1O 与2O 的一个交点，两圆的两条外公切线分别为12P P 和12Q Q ，切点分别为1P ，2P ，1Q ，2Q ，1M 和2M 分别为11PQ ，22P Q 的中点．求证：1212O AO M AM ∠=∠．（IMO -24试题）证明延长1AO 交1O 于E ，延长2AO 交2O 于F ，由性质2的推论2，知E ，B ，F 三点共线． 由于两圆半径不等，设直线21P P 与21Q Q 相交于O ，则O 点在21O O 所在直线上．连OB 并延长交1O 于K ，交2O 于L ，连1M K ，1M B ，2M L ．延长BA 交12P P 于N ，则由性质3知12PN NP =，所以线段12M M 与弦AB 互相垂直平分．于是， 2112121180AM M M M L BM M BM O ∠+∠=∠+∠=︒，即A ，2M ，L 三点共线．同理，A ，1M ，K 三点共线．故由性质2的推论1，知AKL AEF △∽△，即有1212O AO M AM ∠=∠．例8如图811-，圆1Γ和圆2Γ相交于点M 和N ．设l 是圆1Γ和圆2Γ的两条公切线中距离M 较近的公切线，l 与1Γ切于点A ，与2Γ切于点B ．设过M 且与l 平行的直线与圆1Γ还相交于点C ，与圆2Γ还相交于点D ．直线CA 和DB 交于点E ，直线AN ，BN 分别交直线CD 于点P 和Q ．求证：EP EQ =．（IMO -41试题）图8-10O证明连NM 并延长交AB 于G ，则由相交两圆的性质3，知G 为AB 的中点．在NAB △中，由PQ AB ∥又可得M 为PQ 的中点．由AB CM ∥及AB 为1Γ的切线，连AM ，则推知AC AM =，从而知MAG CAT GAE ∠=∠=∠ （T 在GA 延长线上），故AB 平分EAM ∠． 同理，连BM ，知AB 平分EBM ∠．此时，即知E ，M 关于直线AB 对称，故EM AB ⊥． 于是，在EPQ △中，有EM PQ ⊥，从而EP EQ =．2．根据题设条件构作相交圆例9如图812-，自ABC △的外接圆O 上任一点P ，引三边或其延长线的垂线PL ，PM ，PN ，分别交BC 于L ，交AB 于M ，交CA 于N ，交O 分别于A '，B '，C '．求证：A A B B C C '''∥∥． 证明注意到西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线．由P ，B ，L ，M 四点共圆，且此圆与ABC △的外接圆O 相交于P ，B 两点，BC ，PC '是过这两相交圆交点的两条割线，根据相交两圆性质5，知LM CC '∥，同样，PA '，BA 也是过这两相交圆交点的两条割线，由性质6有LM A A '∥．故A A C C ''∥．又由P ，M ，A ，N 四点共圆，此时PN ，AB 是分别过PMAN 与PABC 的交点P ，A 的两条割线，由性质6知BB NL '∥，故A A B B C C '''∥∥． 例10如图813-，等腰ABC △中，AB AC =，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，且CE BD =，DE 交BC 于F ，经过B ，D ，F 的圆交ABC △的外接圆于G ．求证：GF DE ⊥．图8-11NQMPGA CB T Γ2Γ1lE DCC 'A'B L OM N AB'P图8-12证明由题设，知B ，D ，G ，F 及A ，B ，G ，C 分别四点共圆，连BG ，DG ，AG ，有FDG FBG CBG GAC GAE ∠=∠=∠=∠=∠，从而知A ，D ，G ，E 四点共圆．此时，连EG ，FG ，则GEC ADG BDG CFG ∠=∠=∠=∠，所以G ，C ，E ，F 四点共圆．于是，DE ，BC 是过两相交圆BDGF 与GCEF 的交点F 的两条割线． 由于CE BD =， CFE BFD ∠=∠，由两相交圆性质5（2），知BDGF 与GCEF 是等圆．又由A ，B ，G ，C 共圆，有DBG ECG ∠=∠．再注意到性质5（2），知DG GE =． 因B ，D ，G ，F 共圆，有ABC ABF FGD ∠=∠=∠．而ECF ACB ABC ∠=∠=∠，故FGD ECF ∠=∠，即有DF EF =．此时，推知DGF EGF △△≌，有DFG EFG ∠=∠，故GF DE ⊥．例11已知在凸四边形ABCD 中，直线CD 与以AB 为直径的圆相切．求证：直线AB 与以CD 为直径的圆相切的充分必要条件是BC AD ∥． （IMO -25试题） 证明必要性：如图814-，将AB ，CD 的中点分别记为O ，O '，O 切CD 于E ，O '切AB 于F ．连O F '，DF ，AE ，OE ，则O DF '△，OEA △均为等腰三角形．由O '，F ，O ，E 四点共圆，有DO F FOE AOE '∠=∠=∠，从而两等腰三角形的底角相等，即么EDF EAO EAF ∠=∠=∠，由此有D ，A ，F ，E 四点共圆．同理，E ，F ，B ，C 四点共圆．此两圆相交于E ，F ．而CD ，AB 是分别过这两交点的割线，故由性质6，知BC AD ∥．充分性：如图8-15，设O ，O '分别为AB ，CD 的中点，作O F AB '⊥于F ．以AB 为直径的圆切CD 于E ，连OE ，则OE CD ⊥于E ．连OO '，设BC 与O 交于G ，连AG ，过C 作CH GA ∥交DA 于H ．因BC AD ∥，故O O AD '∥．由AG BC ⊥，则O O AG '⊥，OO HC '⊥．图8-13CD图8-14而O '，F ，O ，E 四点共圆，有*O FE O OE O CH '''∠=∠===∠ [其中()*是由O OE '∠与O CH '∠的两对应边互相垂直推得]．设CH 与O F '的交点为M ，则M ，F ，C ，E 四点共圆．又因90MFB BCM ∠=︒=∠，知M ，F ，B ，C 四点共圆，此时，有M ，F ，B ，C ，E 五点共圆．同理，A ，F ，E ，D 四点共圆，且此圆与FBCE 的公共弦为EF ．连AE ，BE ，则90AEB ∠=︒． 连DF ，FC ，则由相交两圆的性质2的推论1，知90DFC ∠=︒，故以CD 为直径的圆过F 点且AB 切于点F ．3．仔细找出相交两圆的内接三角形例12凸四边形ABCD 的对角线交于O 点，OAD △、OBC △的外接圆交于O 、M 两点，直线OM 分别交OAB △、OCD △的外接圆于S 、T 两点．求证：M 是线段TS 的中点．（2006年全国女子奥林匹克题）证法1如图816-，联结BT 、BM 、AM 、CS ，则由推论1，有BTM BAC △∽△，CMS CBD △∽△，从而TM BM AC BC =,MS CMBD BC=．上述两式相除，得TM BM ACMS CM BD=⋅． 又由MDB MAC △△∽，有BM BDCM CA=． 于是，将上式代入前一式，得1TMMS=，即证．DC图8-15图8-16证法2如图816-，设OAB △、OBC △、OCD △， O DA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ，则由性质1知12O O BO ⊥，43O O OD ⊥，从而1243O O O O ∥．同理1423O O O O ∥．即知1234O O O O 为平行四边形，设13O O 与24O O 交于点N ，则N 为12O O 的中点，且由24O O 垂直平分OM 知NO NM =．于是，由性质7知M 为TS 的中点．例13两圆1Γ、2Γ交于点A 、B ，过点B 的一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点C 、D ，过点B 的另一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点E 、F ，直线CF 分别交圆1Γ、2Γ于点P 、Q 设M ，N 分别是弧PB 、QB 的中点，若CD EF =，求证：C 、F 、M 、N 四点共圆．（2010年CMO 试题）证明如图817-，由推论3，知AB 平分CBF ∠ （注意ACD AEF △△≌）． 又CM 平分FCB ∠，FN 平分CFB ∠．于是，AB ，CM ，FN 三线共点于CBF △的内心I ．从而，由相交弦定理，有CI IM AI IB NI IF ⋅=⋅=⋅．故由相交弦定理的逆定理，知C 、F 、M 、N 四点共圆．例14如图818-，在圆内接ABC △中，A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧ABC 、ACB 的中点．记过A ．B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ．1O 与2O 相交于A 、P ．证明：AP 平分BAC ∠．（2012年CMO 试题）证明联结BP ，则由题设知ABP PAC ∠=∠．于是，只需证PAB △为等腰三角形，即PA PB =即可．FA IN CQ BP Γ2Γ1图8-17E DM图8-18联结AE 、DE ，延长AD 至Y ，延长AC 交2O 于点F ，联结EF ． 由于点D 为弧ABC 的中点，有DAC DCA DEA ∠=∠=∠．又AY 是2O 的切线，从而180AED AEF DAC EAY ∠+∠=∠+∠=︒，所以，D 、E 、F 三点共线． 延长BA 交2O 于点G ，联结PG 、PF 、AE ，EG ．由推论1，知ADF EDA △△∽，EBG ADF △∽△． 注意到AE BE = （E 为弧ACB 的中点），有AE EA BE BGDF DA AD DF===． 从而AF BG =．又由推论1，有PAF PBG △∽△，于是PAF PBG △△≌． 故PA PB =．即知AP 平分BAC ∠． 【模拟实战】习题A1．两圆1O 与2O 相交于点A 和B ，过点B 作两直线与两圆的交点分别为P ，Q ；C ，D （P ，C 在1O 上），且CD AB ⊥．求证：PC QD ∶为定值． 2．两等圆相交于A ，B ，过A 作直线与两圆分别交于C ，D ．若E 为CD 的中点，求证：BE CD ⊥．3．两圆相交于A ，B ，过A 任作直线被两圆所截得的线段为PQ ，又过A 作AB 的垂线，被两圆所截得的线段为CD ．求证：PQ CD ≤．4．1O 与2O 相交于A ，B 两点，割线CE ，FD 都过B 点（F ，C 在1O 上）．若ABC ABD ∠=∠，求证：CE FD =．习题B1．梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD >，K ，M 分别是腰AD ，CB 上的点， DAM CBK ∠=∠． 求证： DMA CKB ∠=∠． 2．定长弦PQ （长度小于直径）的两端在半圆弧AB 上滑动．试证：不论PQ 在什么位置，从P ，Q 分别向弦AB 作垂线，其垂足P '，Q '与PQ 中点N 所成三角形都相似．（1981年福州市竞赛题）3．三圆两两相交，并过公共点M ，而另一交点分别为P ，Q ，R ．过其中一圆的PQ 上（不含M 点）任取两点A 与A '（P ，Q ，M 点除外），引直线AP ，AQ ，A P '，A Q '，与其他两圆依次相交于B ，C ，B '，C '．求证：ABC A B C '''△△∽．4．给定正ABC △，D 是BC 边上任意一点，ABD △的外心、内心分别为1O ，1I ，ADC △的外心、内心分别为2O ，2I ，直线11O I 与22O I 相交于P ．求证：点D 为12O O P △的外心．（2001年国家集训队选拔考试题改编） 5．点D 是锐角ABC △的外心，过A ，B ，D 作圆分别交AC ，BC 于M ，N ．证明：ABD △和MNC △的外接圆相等．（第25届全俄奥林匹克题） 6．圆1S 和2S 交于点1A ，4A ，圆2S 和3S 交于点2A ，5A ，圆3S 和1S 交于点3A ，6A ．折线1234567M M M M M M M 使得每条直线1k k M M +含有点k A ．而k M 和1k M +，在相交于点k A 的两圆周上，而且点1k M +，异于点1k A +．证明：点1M 与点7M 重合．（第17届全俄奥林匹克题）。