二次函数与几何综合
一、二次函数与三角形综合 (1)
㈠二次函数与等腰三角形 (2)
㈡二次函数与直角三角形 (7)
㈢二次函数与相似三角形 (9)
二、二次函数与四边形综合 (11)
（一）二次函数与平行四边形 (11)
（二）二次函数与特殊四边形 (17)
三、二次函数与圆综合 (19)
四、二次函数与面积综合 (22)
五、二次函数与最值综合 (28)
六、二次函数与定值综合 (34)
一、二次函数与三角形综合
二次函数中三角形的存在性问题解题思路：
（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等于90°去分类讨论；（2）再画图；（3）后计算。
求作等腰三角形、直角三角形的方法：
图一两圆一线图解图二两线一圆图解
总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上
（2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。
等腰三角形、直角三角形可能的情况：
(1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC如图；
(2)当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°，如图所示；
例题精析
㈠二次函数与等腰三角形
例1．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．
例2．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于
点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
例3（扬州）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
例4.（2011湘潭）如图，直线交轴于A 点，交轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
例5. (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = −
4
1−m x 2+45m
x +m 2−3m +2与x 轴的交点分别
为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。
(1) 求点B 的坐标；
(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动)
当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；
若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。
33+=x y x y x
例6：如图11，已知抛物线2
3
212++−
=x x y 的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），以点P 为角的顶点，MP 为角的一边作∠MPQ=45°，角的另一边PQ 与MB 交于点Q 。
（1）设OP=x ，T MQ =，求T 关于x 的函数解析式，并写出定义域的取值范围。
（2）是否存在以点M 、A 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出OP 的长；若不存在，请简要说明理由；
例7．（2010 浙江台州市）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P
从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？
例8．（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；
（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；
符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
