坐标的应用(两圆一线)(北师版)(含答案)

专题两圆一线模型【北师大版】题型特征题目中出现两个点，要找第三个点，使这三个组成等腰三角形题型方法若Ａ、Ｂ为已知的两个点，则需要画出两个圆和一条直线以Ａ为圆心，ＡＢ的长为半径画圆；以Ｂ为圆心，ＡＢ的长为半径画圆作出ＡＢ的垂直平分线，故称:两圆一线模型例1、如图，一次函数343+-=xy的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B 重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）求点A和点B的坐标；（2）求OC的长度；（3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．变式-1：已知直线y＝﹣x+3与坐标轴相交于A、B两点，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当点P的运动时间是秒时，△PAB是等腰三角形．变式-2：如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线42+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B 。

（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，且BOP 1S AOB 2∆=∆ 求点P 的坐标。

（3）在y 轴是否存在点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，若存在。

请求出点M 坐标，若不存在，请说明理由。

随堂练习1．如图，平面直角坐标系中，已知A （2，2）、B （4，0），若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是．3．如图，平面直角坐标系中，已知点A（2，2），在x轴上确定一点P，使△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的等腰三角形的个数最多为（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．如图，线段AB和直线a，以AB为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画（）个．A．3 B．4 C．5 D．67．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5 B．6 C．7 D．88．平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．79．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（）A．7个B．6个C．4个D．3个10．如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C在x轴上运动，则使△ABC 为等腰三角形的点C有（）个．A．5 B．4 C．3 D．211．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个13．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．（1）求AB的长度．（2）如图2，若以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：y＝x相交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）求△COB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．。

北师大版八年级上册第三章位置与坐标知识点归纳及例题1 平面直角坐标系【要点梳理】知识点一、确定位置的方法有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）.知识点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).知识点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.知识点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．知识点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．知识点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征知识点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．【典型例题】类型一、确定物体的位置1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（）A．A（5，30°）B．B（2，90°）C．D（4，240°）D．E（3，60°）【思路点拨】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．【答案】D．【解析】由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5，30°），故A正确；B（2，90°），故B正确；D（4，240°），故C正确；E（3，300°），故D错误．【总结升华】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定点的位置是解决本题的关键．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A 点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(－2，1)，D(－1，－2)．【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（﹣3，﹣3），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？【答案】解：建立坐标系如图：∴南门（0，0），狮子（﹣4，5），飞禽（3，4）两栖动物（4，1）．4.如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O （0，0），A （3，0），B （5，2），C （2，3）．求这个四边形的面积．【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，然后利用S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算．【答案与解析】解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则E（5，3），所以S四边形ABCO =S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=．【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征5. 已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P的纵坐标比横坐标大3；（2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上．【思路点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m 的值，进而得出P点坐标；（2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标．【答案与解析】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3，∴m﹣1﹣（2m+4）=3，解得：m=﹣8，∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9，∴点P的坐标为：（﹣12，﹣9）；（2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上，∴m﹣1=﹣3，解得：m=﹣2，∴2m+4=0，∴P点坐标为：（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．举一反三：【变式】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（－5,2）；（5，2），（－5,2），（5，－2），（－5，－2）.2 坐标平面内图形的轴对称和平移【知识点梳理】知识点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.知识点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．知识点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．知识点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1－b ），则的值为_______.【思路点拨】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，再解方程可得a 、b 的值，进而算出的值．【答案】25【解析】解：∵点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1－b ），∴a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，解得：b ＝2，a ＝－5，＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x 轴的对称点为（ ）A ．（3，－2）B ．（－3，2）C ．（－3，－2）D ．（2，－3）【答案】A ．2.已知点A(－3，2)与点B(x ，y)在同一条平行于y 轴的直线上，且点B 到x 轴的距离等于3，求点B 的坐标．b a b a b a【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．【答案】（0，﹣3）．【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4. 如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），（1）求△ABO的面积．（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：S=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5；△ABO（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．举一反三：【变式】如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．3《平面直角坐标系》全章复习与巩固【知识网络】【知识点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：知识点诠释：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1- x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1- y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1- x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1- y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.知识点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．知识点诠释：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．知识点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．(2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【典型例题】 类型一、有序数对1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的数：．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m ，再将数对(m ，1)放入其中，得到的数是________． 【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入求值即可． 【答案】66 .【解析】解：将(-2，3)代入，，得(-2)2+3+1＝8， 再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66， 故填：66．【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m ，解出m 的值，即可求出把（m ，1）放入其中得到的数． 举一反三：【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________． 【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米. 类型二、平面直角坐标系2. 第三象限内的点P(x ，y)，满足|x|＝5，y 2＝9，则点P 的坐标为________． 【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x ，y 的具体值．21a b ++21a b ++21a b ++【答案】(-5，-3).【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为(-5，-3)．【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．举一反三：【变式1】 (乐山)在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为( ) ． A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】C.【变式2】 (长春)如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) ．A．(5，2) B．(-6，3) C．(-4，-6) D．(3，-4)【答案】D.类型三、坐标方法的简单应用3.如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3）．完成以下问题：（1）请根据题意在图上建立直角坐标系；（2）写出图上其他地点的坐标（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置．【思路点拨】（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3），可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；（2）根据（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；（3）根据点P（﹣1，﹣3）可以在直角坐标系中表示出来．【答案与解析】解：（1）由题意可得，（2）由（1）中的平面直角坐标系可得，校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，﹣2），综合楼的坐标是（﹣5，﹣3），实验楼的坐标是（﹣4，0）；（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置，如下图所示，【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系．4.如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积．【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，然后利用S 四边形ABCO=S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算．【答案与解析】解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则E （5，3），所以S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2 =．【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．5.△ABC 三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．(1)将△ABC 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A 1B 1C 1的三个顶点坐标分别是什么?(2)将△ABC 三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A 2、B 2、C 2，依次连接A 2、B 2、C 2各点，所得△A 2B 2C 2与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC 三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A 3、B 3、C 3，依次连接A 3、B 3、C 3各点，所得△A 3B 3C 3与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? 【答案与解析】解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．(2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．(3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5）B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）【答案】D．解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．类型四、综合应用6. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C （4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）求出三角形A1B1C1的面积．【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可．（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形．（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．【答案与解析】解：（1）如图1，（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．∴△A1B1C1的面积=3.25．【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。

2020年~2021年最新第三章 位置与坐标知识点1 坐标确定位置知识链接平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P （a ，b ）的坐标特征：①第一象限：a ＞0，b ＞0； ②第二象限：a ＜0，b ＞0；③第三象限：a ＜0，b ＜0； ④第四象限：a ＞0，b ＜0．（2）坐标轴上点P （a ，b ）的坐标特征：①x 轴上：a 为任意实数，b=0；②y 轴上：b 为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P （a ，b ）的坐标特征：①一、三象限：b a =； ②二、四象限：b a -=．同步练习1．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5考点：点到直线的距离；坐标确定位置；平行线之间的距离．解答：如图，∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M 1、M 2、M 3、M 4，一共4个．故选C ．2．如图，是用围棋子摆出的图案（用棋子的位置用用有序数对表示，如A 点在（5，1）），如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（ ）A ．黑（3，3），白（3，1）B ．黑（3，1），白（3，3）C ．黑（1，5），白（5，5）D ．黑（3，2），白（3，3）考点：利用旋转设计图案；坐标确定位置；利用轴对称设计图案．解答：A、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误；B、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；C、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；D、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．3．（2014•台湾）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（）A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺考点：坐标确定位置．解答：依题意，OA=OC=400=AE，AB=CD=300，DE=400-300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为，向北直走AB+AE=700公尺，再向西直走DE=100公尺．故选：A．4．如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（）A．（2，1）B．（0，1）C．（-2，-1）D．（-2，1）考点：坐标确定位置．解答：建立平面直角坐标系如图，城市南山的位置为（-2，-1）．故选C．5．（2014•怀化模拟）小军从点O向东走了3千米后，再向西走了8千米，如果要使小军沿东西方向回到点O的位置，那么小明需要（）A．向东走5千米B．向西走5千米C．向东走8千米D．向西走8千米考点：坐标确定位置．解答：小军从点O向东走了3千米，再向西走了8千米后在点O的西边5千米，所以，要回到点O的位置，小明需要向东走5千米．故选A．6．（2014•遵义二模）在一次寻宝游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点A（2，1）、B（4，-1），这两个标志点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是．考点：勾股定理的应用；坐标确定位置；线段垂直平分线的性质．解答：首先确定坐标轴，则“宝藏”点是C和D，坐标是：（5，2）和（1，-2）．故答案是：（5，2）和（1，-2）．7．（2014•曲靖模拟）在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A（2，3），B（4，1），A，B两点到“宝藏”点的距离都相等，则“宝藏”点的可能坐标是．考点：坐标确定位置．解答：如图，“宝藏”的可能坐标是（0，-1），（1，0），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）．故答案为：（0，-1），（1，0），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）．8．（2014•赤峰）如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，2），“炮”位于点（-1，2），写出“兵”所在位置的坐标．考点：坐标确定位置．解答：建立平面直角坐标系如图，兵的坐标为（-2，3）．故答案为：（-2，3）．9．如图1，是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图．包括8个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，方向线交点为O，以O为圆心、等距的圆由内向外分别称作1、2、3、…n．将点所处的圆和方向称作点的位置，例如M（2，西北），N（5，南），则P点位置为．如图2，若将（1，东）标记为点A1，在圆1上按逆时针方向旋转交点依次标记为A2、A3、…、A8；到A8后进入圆2，将（2，东）标记为A9，继续在圆2上按逆时针方向旋转交点依次标记为A10、A11、…、A16；到A16后进入圆3，之后重复以上操作过程．则点A25的位置为，点A2013的位置为，点A16n+2（n为正整数）的位置为．考点：规律型：点的坐标；坐标确定位置．解答：由题意得出：P点在第3个圆上，且在东北方向，故P点位置为：（3，东北），由题意可得出每8个数A点向外移动一次，∵25÷8=3…1，故点A25所在位置与A1方向相同，故点A25的位置为（4，东），∵2013÷8=251…5，故点A2013所在位置与A5方向相同，故点A2013的位置为（252，西），∵（16n+2）÷8=2n…2，故点A16n+2所在位置与A2方向相同，故点A16n+2的位置为（2n+1，东北），故答案为：（3，东北），（4，东），（252，西），（2n+1，东北）．10．有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标志点A（-3，1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3，2）破损，请通过建立直角坐标系找到图中C点的位置．解：C点的位置如图．11．如图是某台阶的一部分，如果A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）．（1）请建立适当的直角坐标系，并写出其余各点的坐标；（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？（3）现要给台阶铺上地毯，单位长度为1，请你算算要多长的单位长度的地毯？解：以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）；B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较，横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4，5；现要给台阶铺上地毯，单位长度为1，要11个单位长度的地毯12．常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置．解：方法1，用有序实数对（a，b）表示，比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B（3，3），方法2，用方向和距离表示，比如：B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离A 3处．点2知识点2 平面直角坐标系知识链接１点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．2 两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．同步练习1．（2014•台湾）如图的坐标平面上有P 、Q 两点，其坐标分别为（5，a ）、（b ，7）．根据图中P 、Q 两点的位置，判断点（6-b ，a-10）落在第几象限？（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四考点：点的坐标．解答：∵（5，a ）、（b ，7），∴a ＜7，b ＜5，∴6-b ＞0，a-10＜0，∴点（6-b ，a-10）在第四象限．故选D ．2．（2014•萧山区模拟）已知点P （1-2m ，m-1），则不论m 取什么值，该P 点必不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点：点的坐标．分析：分横坐标是正数和负数两种情况求出m 的值，再求出纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征解答．解答：①1-2m ＞0时，m ＜21，m-1＜0，所以，点P 在第四象限，一定不在第一象限； ②1-2m ＜0时，m ＞21，m-1既可以是正数，也可以是负数，点P 可以在第二、三象限， 综上所述，P 点必不在第一象限．故选A ．3．（2014•闵行区二模）如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点Q （-a ，b-4）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点：点的坐标．分析：根据第四象限的点的坐标特征确定出a 、b 的正负情况，再确定出点Q 的横坐标与纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征判断即可．解答：∵点P （a ，b ）在第四象限，∴a ＞0，b ＜0，∴-a ＜0，b-4＜0，∴点Q （-a ，b-4）在第三象限．故选C ．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．（2014•北海）在平面直角坐标系中，点M （-2，1）在（ ）2秒3秒（2）当P点从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是______个．（3）当P点从点O出发______秒时，可得到整数点（10，5）考点：点的坐标．分析：（1）在坐标系中全部标出即可；（2）由（1）可探索出规律，推出结果；（3）可将图向右移10各单位，用10秒；再向上移动5个单位用5秒．解答：（1）以1秒时达到的整数点为基准，向上或向右移动一格得到2秒时的可能的整数点；再以2秒时得到的整数点为基准，向上或向右移动一格，得到3秒时可能得到的整数点．P从O点出发时间可得到整数点的坐标可得到整数点的个数1秒（0，1）、（1，0） 22秒（0，2），（2，0），（1，1） 33秒（0，3），（3，0），（2，1），（1，2） 4（2）1秒时，达到2个整数点；2秒时，达到3个整数点；3秒时，达到4个整数点，那么10秒时，应达到11个整数点；（3）横坐标为10，需要从原点开始沿x轴向右移动10秒，纵坐标为5，需再向上移动5秒，所以需要的时间为15秒．知识点3 坐标与图形性质知识链接1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．同步练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为 ．考点：勾股定理；坐标与图形性质．分析：首先利用勾股定理求出AB 的长，进而得到AC 的长，因为OC=AC-AO ，所以OC 求出，继而求出点C 的坐标．解答：∵点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，∴AB=22BO AO =10，∵以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC-AO=4，∵交x 正半轴于点C ，∴点C 的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点A 的坐标为（-1，1），AB 平行于x 轴，则点C 的坐标为 ．解答：C （3,5）3．如图，Rt △OAB 的斜边AO 在x 轴的正半轴上，直角顶点B 在第四象限内，S △OAB =20，OB ：AB=1：2，求A 、B 两点的坐标．解答：A （10,0），B （2,-4）4．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A ．a=bB ．2a+b=-1C ．2a-b=1D ．2a+b=1 考点：作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．分析：根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 与b 的数量关系．解答：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=-1，故选：B ．5．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形COAB ，其中三个顶点的坐标分别为C （0，3），O （0，0）和A （4，0），点B 在⊙O 上． （1）求点B 的坐标； （2）求⊙O 的面积．解答：(1) B （4,3） (2) 25π6．（2014•南平模拟）如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0），点P 在AB 边上，且∠CPB=60°，将△CPB 沿CP 折叠，使得点B 落在D 处，则D 的坐标为（ ）A ．（2，32）B ．（23 ， 32-） C ．（2，324-） D ．（23，324-） 考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．分析：作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，根据正方形的性质∴OC=BC=4，∠B=90°，由∠BPC=60°得∠1=30°，再根据折叠的性质得到∠1=∠2=30°，CD=CB=4，所以∠3=30°，在Rt △CDE 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DE=21CD=2，CE=3DE=32，则OE=324-，所DF=324-，然后可写出D 点坐标．解答：作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图，∵四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0）， ∴OC=BC=4，∠B=90°， ∵∠BPC=60°， ∴∠1=30°，∵△CPB 沿CP 折叠，使得点B 落在D 处，∴∠1=∠2=30°，CD=CB=4， ∴∠3=30°， 在Rt △CDE 中，DE=21CD=2，CE=3DE=23， ∴OE=OC-CE=324-， ∴DF=OE=324-，∴D 点坐标为（2，324-）．故选C ．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（21，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时PA+PC 的值最小，求出AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．解答：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ， 则此时PA+PC 的值最小， ∵DP=PA ，∴PA+PC=PD+PC=CD ， ∵B （3，3），∴AB=3，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=32， 由三角形面积公式得：21×OA×AB=21×OB×AM ，∴AM=23， ∴AD=2×23=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∵∠BAO=90°， ∴∠OAM=60°， ∵DN ⊥OA ， ∴∠NDA=30°，∴AN=21AD=23，由勾股定理得：DN=323， ∵C （21，0），∴CN=3-21-23=1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC==+22)323(1231， 即PA+PC 的最小值是231， 8．在直角坐标系中，有四个点A （-8，3）、B （-4，5）、C （0，n ）、D （m ，0），当四边形ABCD 的周长最短时，nm的值为（ ） A ．73- B ．23- C ．27- D ．23考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：若四边形的周长最短，由于AB 的值固定，则只要其余三边最短即可，根据对称性作出A 关于x 轴的对称点A′、B 关于y 轴的对称点B′，求出A′B′的解析式，利用解析式即可求出C 、D 坐标，得到nm ．解答：根据题意，作出如图所示的图象：过点B 作B 关于y 轴的对称点B′、过点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．解答：直线AB 方程为y=3x-9，直线OB 斜率为23-． 过O‘点平行于直线OB 的直线方程为：y=23-(x+1) ． 联立两方程，解得交点B′的坐标为（35，－4）．11．已知点D 与点A （8，0），B （0，6），C （a ，-a ）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为 ．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．分析：①CD 是平行四边形的一条边，那么有AB=CD ；②CD 是平行四边形的一条对角线，过C 作CM ⊥AO 于M ，过D 作DF ⊥AO 于F ，交AC 于Q ，过B 作BN ⊥DF 于N ，证△DBN ≌△CAM ，推出DN=CM=a ，BN=AM=8-a ，得出D （（8-a ，6+a ），由勾股定理得：CD 2=（8-a-a ）2+（6+a+a ）2=8a 2-8a+100=8（a-21）2+98，求出即可．解答：有两种情况：①CD 是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=2286+=10 ②CD 是平行四边形的一条对角线，*12．如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）A ．（2m ，n ） B ．（m ，n ） C ．（m ，2n ） D ．（2m ，2n ） 考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据A ，B 两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．解答：∵△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上，即A 点坐标为：（4，6），B 点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），∴线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为：（2m ，2n）． 故选D ．*13．（2014•海港区一模）如图，在直角坐标系中，有16×16的正方形网格，△ABC 的顶点分别在网格的格点上．以原点O 为位似中心，放大△ABC 使放大后的△A′B′C′的顶点还在格点上，最大的△A′B′C′的面积是（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据题意结合位似图形的性质与三角形最长边即为216，进而得出答案．解答：如图所示：△A′B′C′即为符合题意的图形， 最大的△A′B′C′的面积是：21×8×16=64．故选：D ．知识点4 坐标与图形的变化知识链接1 坐标与图形变化---对称 （1）关于x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，-y ）． （2）关于y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P′的坐标是（-x ，y ）． （3）关于直线对称①关于直线x=m 对称，P （a ，b ）⇒P （2m-a ，b ） ②关于直线y=n 对称，P （a ，b ）⇒P （a ，2n-b ） 2 坐标与图形变化---平移 （1）平移变换与坐标变化向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x+a ，y ） 向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x-a ，y ） 向上平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y+b ） 向下平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y-b ）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 3 坐标与图形变化---旋转（1）关于原点对称的点的坐标．即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ）． （2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．同步练习1．（2014•大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3）考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．解答：∵点（2，3）向上平移1个单位，∴所得到的点的坐标是（2，4）．故选：C．2．（2014•呼伦贝尔）将点A（-2，-3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：坐标与图形变化-平移．分析：先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减) ，,求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．解答：点A（-2，-3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，-3），故点在第四象限．故选D．3．（2014•牡丹江）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A．（-x，y-2）B．（-x，y+2）C．（-x+2，-y）D．（-x+2，y+2）考点：坐标与图形变化-平移．分析：先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（-x，y+2），即为P′点的坐标．解答：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（-x，y+2）．故选：B．4．（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化-对称、平移．专题：规律型．分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．解答：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选：A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2）是解此题的关键．5．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为．考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据点向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）进行计算即可．解答：∵点A坐标为（1，3），∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1-2，3），即（-1，3），故答案为：（-1，3）．6．（2014•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是．考点：坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解答：点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），故答案为：（2，-2）．7．（2014•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是，A1的坐标是．考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变解答．解答：∵点O（0，0），A（1，3），线段OA向右平移3个单位，∴点O 1的坐标是（3，0），A 1的坐标是（4，3）．故答案为：（3，0），（4，3）．*8．（2014•巴中）如图，直线y=−34x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，B′的横坐标等于OA+OB ，而纵坐标等于OA ，进而得出B′的坐标．解答：直线y=-34x+4与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点， ∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°∴OA=O′A ，OB=O′B′，O′B′∥x 轴，∴点B′的纵坐标为OA 长，即为3，横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，故点B′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．点评：本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B 和点B′位置的特殊性，以及点B′的坐标与OA 和OB 的关系．9．（2013•梅州）如图，在平面直角坐标系中，A （-2，2），B （-3，-2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为______；（2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为______；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移；概率公式．分析：（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；（2）把点A 的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D 的坐标；（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可．解答：（1）∵点C 与点A （-2，2）关于原点O 对称，∴点C 的坐标为（2，-2）；（2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A （-2，2），B （-3，-2），C （2，-2），D （3，2），∵在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（-1，1），（0，0），（1，-1），∴P=153=51． 点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化-平移，概率公式．难度适中，掌握规律是解题的关键．10．（黄冈）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标是A （-2，3），B （-4，-1），C （2，0），将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置，点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1，若点A 1的坐标为（3，1）．则点C 1的坐标为______．考点：坐标与图形变化-平移．分析：首先根据A 点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A 横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C 的横坐标加5，纵坐标-2即为点C 1的坐标．解答：由A （-2，3）平移后点A 1的坐标为（3，1），可得A 点横坐标加5，纵坐标减2， 则点C 的坐标变化与A 点的变化相同，故C 1（2+5，0-2），即（7，-2）．故答案为：（7，-2）．点评：本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律．11．（北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以31，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P′．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A ，B 的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A 表示的数是-3，则点A′表示的数是______；若点B′表示的数是2，则点B 表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E′与点E 重合，则点E 表示的数是______．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．考点：坐标与图形变化-平移；数轴；正方形的性质；平移的性质．分析：（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B 表示的数为a ，根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数，设点E 表示的数为b ，根据题意列出方程计算即可得解；（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F 的坐标为（x ，y ），根据平移规律列出方程组求解即可．解答：（1）点A′：-3×31+1=-1+1=0，设点B 表示的数为a ，则31a+1=2， 解得a=3，设点E 表示的数为b ，则31b+1=b ， 解得b=23；。

北师大版八年级上册数学第三章位置与坐标含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位长度，点在弧线上的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点的坐标是（）A. B. C. D.2、若点A(1，a)和点B(4，b)在直线y=-2x+m上，则a与b的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.与m的值有关3、如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（c， 4）表示点M，（f，4）表示点P，那么点N的位置可表示为（）A.（c， 6）B.（6，c）C.（d， 6）D.（6，b）4、象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是（）A.（﹣2，1）B.（2，﹣2）C.（﹣2，2）D.（2，2）5、如图，∠ XOY=900,OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB ⊥OY,PC⊥OW．若OA+OB+OC=1，则OC=( )．A.2-B. -1C. -2D.2 -36、点P（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围为（）A.﹣3＜m＜1B.m＞1C.m＜﹣3D.m＞﹣37、在平面直角坐标系xOy中，点P在第二象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P坐标是（）A.（﹣5，4）B.（﹣4，5）C.（4，5）D.（5，﹣4）8、一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标是（）A.（2，2）B.（3，3）C.（3，2）D.（2，3）9、我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为，那么这个矩形就称为黄金矩形.如图，已知A，B两点都在反比例函数y＝（k＞0）位于第一象限内的图像上，过A、B两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C、D和E、F，设AC 与BF交于点G，已知四边形OCAD和CEBG都是正方形.设FG、OC的中点分别为P、Q，连接PQ.给出以下结论：①四边形ADFG为黄金矩形；②四边形OCGF为黄金矩形；③四边形OQPF为黄金矩形.以上结论中，正确的是（）A.①B.②C.②③D.①②③10、如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则“兵”位于点（）A.（﹣1，1）B.（﹣2，﹣1）C.（﹣3，1）D.（1，﹣2）11、点P在四象限，且点P到x轴的距离为3，点P到y轴的距离为2，则点P 的坐标为（）A.（﹣3，﹣2）B.（3，﹣2）C.（2，3）D.（2，﹣3）12、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有（）个．A.5B.6C.7D.813、课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（）A.（5，4）B.（4，5）C.（3，4）D.（4，3）14、在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1， A2， A3，…，An，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a，b），则点A2015的坐标为（）A.（﹣b+1，a+1）B.（﹣a，﹣b+2）C.（b﹣1，﹣a+1）D.（a，b）15、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题(共10题，共计30分)16、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标依次为A（-1，0），B（x，y），C（-1，5），D（-7，z），若使得四边形ABCD是菱形，则x=________，y=________17、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且A（0，2），C（1，0），∠ACB＝90°，AC＝BC，点B在第一象限时，则点B的坐标为________．18、如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为________．19、如图，直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________.20、如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”.根据上述规定，“距离坐标”是的点共有________个.21、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，0），若点A在第一象限内，且AB=OB，∠A=60°，则点A到y轴的距离为________．22、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________ ．23、已知点A（m，1）与点B（3，n）关于原点对称，则m+n=________ ．24、已知点A（b-4,3+b)，B(3b-1,2),AB⊥x轴，则点A的坐标是________25、点关于轴对称的点的坐标是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、在直角坐标系中，用线段顺次连结点（－2，0），（0，3），（3，3），（0，4），（－2，0）。

坐标的应用测试（一）（北师版）试卷简介:本套试卷主要检测学生能否根据坐标的定义得到求坐标时、先作垂线，并顺利实现线段长到坐标的转化。

一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，平面直角坐标系中四边形的面积是( )A.4B.5C. D.答案：C解题思路：如图，过点A作AE⊥x轴于点E.故选C.试题难度：三颗星知识点：分割法求面积2.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=2，∠ABO=30°，则点A的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：如图，过点A作AC⊥x轴于点C.∵OA=OB，∠ABO=30°，∴∠OAB=∠ABO=30°，∴∠AOC=60°，∴∠OAC=30°，在Rt△AOC中，OA=2，∠AOC=60°，∴∵点A在第二象限，∴点A的坐标是.故选A.试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标3.如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=15°，OA=OB=4，则点A的坐标是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，过点A作AC⊥y轴于点C.∵OA=OB=4，∠ABO=15°，∴∠OAB=∠ABO=15°，∴∠AOC＝30°.在Rt△AOC中，AO=4，∴∵点A在第三象限，∴点A的坐标为故选B.试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标4.如图，已知A（0，4），B（2，0），把线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B落在点B′处，则点B′的坐标是( )A.（6，4）B.（4，6）C.（6，5）D.（5，6）答案：B解题思路：思路：根据坐标的定义，要求点的坐标，需要过这一点向x轴或y轴作垂线. 如图，过点B′作B′C⊥y轴于点C.∵A（0，4），B（2，0），∴OA=4，OB=2.由旋转定义及性质可知，AB=AB′，∠BAB′=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠B′=90°，∴∠1=∠B′.在△AOB和△B′CA中∴△AOB≌△B′CA（AAS）.∴AO=B′C=4，OB=CA=2，∴OC=6，∴点B′的坐标是（4,6）.故选B.试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1，0），B（0，4），顶点C，D在第二象限内，则点D的坐标是( )A.（-4，1）B.（1，-4）C.（-5，1）D.（-1，5）答案：C解题思路：如图，过点D作DE⊥x轴于点E.∵A（-1，0），B（0，4），∴OA=1，OB=4.在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠OAB+∠DAE=90°，又∵∠EDA+∠DAE=90°，∴∠OAB=∠EDA.在△AOB和△DEA中∴△AOB≌△DEA（AAS）.∴DE=OA=1，AE=OB=4，∴OE=5，∵点D在第二象限，∴点D的坐标为（-5，1）．故选C.试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标6.四边形OABC的四条边都相等，且OC∥AB，BC∥OA，将其放在平面直角坐标系中，如图所示，点A在x轴上，且∠AOC=45°，，则点B的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，过点B作BD⊥x轴于点D.∵四边形OABC的四条边都相等，∴∵OC∥AB，∴∠BAD=∠AOC=45°，∴AD=BD=1，∴∵点B在第一象限，∴点B的坐标为故选C.试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标7.已知等边三角形ABC的边长为2，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为( )A.或B.或C.或D.或答案：D解题思路：根据等边三角形的性质可知，点A必在线段BC的垂直平分线即y轴上，且点A可能在x轴上方，也可能在x轴下方，如图，需要分两种情况讨论：①当点A在y轴正半轴上时，在Rt△AOB中，AB=2，∠ABO=60°，∴，∵点A在y轴正半轴上，∴点A的坐标为；②当点A在y轴负半轴上时，根据对称性可知，此时点A的坐标为综上，答案选D.试题难度：三颗星知识点：一次函数图形位置不确定引起的分类讨论8.如图，直线与x轴的夹角为45°，点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( )A.（0，0）B.C. D.答案：B解题思路：若线段AB最短，则AB⊥．如图，过点A作AB⊥于点B，过B作BC⊥x轴于点C．∵A（1，0），∴OA＝1，∵直线与x轴的夹角为45°，∴△AOB为等腰直角三角形，AB＝OB，∵BC⊥x轴，∴BC所在的直线是线段OA的垂直平分线，∴，∵点B在第四象限，∴点B的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标9.如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，三角形②，三角形③，三角形④，……，则三角形⑩的直角顶点的坐标为( )A.（33，0）B.（36，0）C.（36，3）D.（40，0）答案：B解题思路：由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，而且三角形恢复和初始一样的状态；像这样的循环平移三次后直角顶点是（36，0），即三角形⑨的直角顶点为（36，0），再旋转一次到三角形⑩，结合图形可以看出来，从三角形⑨旋转到三角形⑩，直角顶点的位置不变，故三角形⑩的直角顶点仍然是（36，0）．故选B试题难度：三颗星知识点：直角坐标系中的规律探究10.如图，已知坐标平面内一点A（2，-1），O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：结合题意，连接OA，分别以O，A为圆心，OA长为半径画两个圆，此时与x轴有交点P（非原点），此时形成的△AOP是以AO为腰的等腰三角形；然后作线段OA的垂直平分线与x轴有交点P，此时形成的△AOP是以AO为底的等腰三角形，如下图：由上图可得，符合条件的动点P共有4个．故选C试题难度：三颗星知识点：两圆一线。

关于等腰三角形和直角三角形的存在性问题一、关联知识：1、已知M )(11y x ，、N )(22y x ，；则① MN 的中点坐标为)22(2121y y x x ++，；② MN 的距离为221221)()(y y x x -+-二、方法与技巧：（一）关于等腰三角形存在性的问题（两圆一线）：已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；（二）关于直角三角形存在性的问题（两线一圆）：已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；三、例题精讲：例题一：如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴；（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

例题二：如图，抛物线c bx ax y ++=2经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-3）：（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．1、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC=4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点．（1）求点G 的坐标；（2）求折痕EF 所在直线的解析式；（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；六、课后作业：如图，已知抛物线32++=bx ax y （0≠a ）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求△BCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个符合条件的点P （简要说明理由）并写出其中一个点的坐标；若不存在这样的点P ，请简要说明理由。

平面直角坐标系应用课前测试【题目】课前测试在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点B关于x轴对称点B′的坐标为，点C关于y轴对称点C′的坐标为；（2）求（1）中的△AB′C′的面积．【答案】（4，﹣2）；（1，0）；．【解析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”和“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解；（2）先判断出AC′⊥x轴，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．解：（1）B（4，2）关于x轴对称点B′的坐标为（4，﹣2）；C（﹣1，0）关于y轴对称点C′的坐标为（1，0）；故答案为：（4，﹣2）；（1，0）；（2）∵A（1，﹣5），C′（1，0），∴AC′⊥x轴且AC′=0﹣（﹣5）=5，点B′到AC′的距离为4﹣1=3，所以，△AB′C′的面积=×5×3=．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【难度】3【题目】课前测试如图，在平面直角坐标系中，一个方格的边长为1个单位长度，三角形MNQ是三角形ABC经过某种变换后得到的图形．（1）请分别写出点A与点M，点B与点N，点C与点Q的坐标；（2）已知点P是三角形ABC内一点，其坐标为（﹣3，2），利用上述对应点之间的关系，写出三角形MNQ中的对应点R的坐标．【答案】（1）A（﹣4，1），M（4，﹣1）；B（﹣1，2），N（1，﹣2）；C（﹣3，4），Q（3，﹣4）；（2）（3，﹣2）．【解析】（1）利用平面坐标系分别得出各点坐标进而得出答案；（2）利用（1）中各点横纵坐标关系得出都关于原点对称，进而得出答案．解：（1）如图所示：A（﹣4，1），M（4，﹣1）；B（﹣1，2），N（1，﹣2）；C（﹣3，4），Q（3，﹣4）；（2）由（1）得，三角形MNQ中的对应点R的坐标为：（3，﹣2）．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出各点坐标关系是解题关键．【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是平面直角坐标系的应用。

专题17 两圆一线法求第三点与已知两点构成等腰三角形V是等腰三1．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使ABC角形，则符合条件的C点共有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】【分析】分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．【详解】解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有4个，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆的定义，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．V，2．等边三角形ABC所在平面内有一点P，且点P不与点A，B，C重合，使得PAB△，PBCV都是等腰三角形，这样的点P共有（）PCAA．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】【分析】当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，当点P 在三角形的外部时，只要每条边的垂直平分线上的点到三角形的各个顶点连接而成的三角形是等腰三角形即可．【详解】如图所示：当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边的垂直平分线的交点就是满足要求的点，每条垂直平分线上有3个交点，再加上三角形的外心，一共有10个点．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握中垂线的性质与等边三角形的性质，是解题的关键．3．已知坐标平面内一点()2,1A ，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】依题意，分三种情况讨论，①当OA OB =时，②当AO AB =时，③当BO BA =时，分别求得符合条件的动点B 的个数即可．【详解】如图，①当OA OB =时，以O 为圆心，OA 的长度为半径作圆，交x 轴于点13,B B ；②当AO AB =时，以A 为圆心，AO 的长度为半径作圆，交x 轴于点4B ；③当BO BA =时，作AO 的垂直平分线，与x 轴交于点2B ,综上所述，V AOB 是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为4个．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（2，2），点N 在x 轴上，若△OMN 是等腰三角形，则满足条件的点N 共有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论【详解】解：若OM 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若ON 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若NM 为底边，则满足条件的点N 有2个，在点O 的右侧一个，在点O 的左侧一个由上可知，满足条件的点N 共有4个故选：B【点睛】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键5．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA 为半径的圆弧与y轴有一个交点；②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，∴符合条件的点一共4个，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．V，∠OAB=30°，∠AOB=90°，O点与坐标系原点重合，若点P在坐标轴上，6．如图，已知Rt OAB且APB△是等腰三角形，则点P的坐标可能有（ ）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】B【解析】【分析】分PAB Ð为顶角、PBA Ð为顶角、APB Ð为顶角三种情况，再根据等腰三角形的判定即可得．【详解】Q 在Rt OAB V 中，30,90OAB AOB Ð=°Ð=°，60ABO \Ð=°，由题意，分以下三种情况：（1）如图，当PAB Ð为顶角时，以点A 为圆心、AB 长为半径画圆，交坐标轴于点123,,P P P ，其中1APB △是等边三角形；（2）如图，当PBA Ð为顶角时，以点B 为圆心、BA 长为半径画圆，交坐标轴于点145,,P P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，1BP BA \=，\点1P 一定在以点B 为圆心、BA 长为半径的圆上；（3）如图，当APB Ð为顶角时，作AB 的垂直平分线，交坐标轴于点16,P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，\点1P 一定在AB 的垂直平分线上；综上，符合条件的点P 有6个，即点P 的坐标可能有6个，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．V 7．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使ABC 是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．8．在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，﹣3），点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【详解】解：如图示，点P 共有4个点．故选C ．9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 经过原点，且3OA =，1OB =，点P 在y 轴上，若以PAB 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】分别以AB 、为圆心，以AB 长为半径画圆，确定与y 轴交点的个数，此外作AB 的垂直平分线，确定与y 轴交点的个数，即可求解．【详解】解：分别以AB 、为圆心，以4AB =长为半径画圆，如下图：此时与y 轴交点的个数为4，作AB 的垂直平分线，如上图：此时与y 轴交点的个数为1，故选：B【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．10．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30CAB Ð=°，以C 为原点，AC 所在直线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M ，使MAB △为等腰三角形，符合条件的点M 有__________个．【答案】6【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM ；②BM = BA ；③MA = MB ．【详解】如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交x 轴有一点3M ，交y 轴有两点12,M M ，此时AB = AM ，\MAB △为等腰三角形；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线x 轴有两点45,M M ，交y 轴有一点6M ，此时BM = BA ，\MAB △为等腰三角形；③作AB 的垂直平分线交y 轴于点7M ，交x 轴于点8M ，此时MA = MB ，\MAB △为等腰三角形，60ABC Ð=°Q ，3M AB V 是等边三角形，故348M M M ，，重合\符合条件的点有6个，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【答案】8【解析】【分析】分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底，AB的垂直平分线与两轴的交点即可【详解】解：如图所示：①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；3+3+2＝8，因此，满足条件的点P有8个，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键．12．如图，直角坐标系中，点22A -（，）、01B （，），点P 在x 轴上，且PAB V 是等腰三角形，则满足条件的点P 共______个．【答案】4【解析】【分析】分AB =AP 、BA =BP 、PA =PB 三种情况，画出图形即可得答案．【详解】①AB =AP ：以A 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 1、P 2，∴P 1、P 2，符号条件，②BA =BP ：以B 为圆心，BA 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 3、点(2，0)，∵点(2，0)与AB 不能构成三角形，∴P 3符合条件，③PA =PB ：作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有1个交点P 4，∴P 4A =P 4B ，∴P 4符合条件，综上所述，符合条件的点共有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想，分别画出图形是解题关键．13．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，36CAB Ð=°，在直线AC 或直线BC 上取点M ，使得MAB △为等腰三角形，符合条件的M 点有_______个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB =AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM =BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA =MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．14．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．【答案】10【解析】【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，②以O 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，③作AO 的垂直平分线分别交直线a 、b 于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP V 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．【答案】90°，45°，135°【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．【详解】（1）若AO 作为腰时，有两种情况，①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，故答案是：90°，45°，135°．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．16．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有__________【答案】8【解析】【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．17．在坐标系xOy 中，已知点()3,1A 关于x 轴，y 轴的对称点分别为P ，Q ，若坐标轴上的点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形，则满足条件的点M 有______个．【答案】5【解析】【分析】如图所示，利用两圆一线的方法，判断点M 的个数即可．【详解】解：如图，分别以A ，Q 为圆心，以AQ 长度为半径画出两个较大的圆，此时x 轴上的点满足与A ，Q 组成等腰三角形有5个，y 轴上的点均可满足与A ，Q 组成等腰三角形，然后分别以A ，P 为圆心以AP 的产生古为半径画出两个较小的圆，此时坐标轴上只有x 轴上的点满足与A ，P 组成等腰三角形，因此点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形共有5个．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用等腰三角形性质判断相关的点．18．如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C 点有_____个．【答案】8【解析】【分析】分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【详解】解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C1，C5，在x轴上有1点满足条件的点C2，②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C4，在x轴上有2点满足条件的点C3，C8，③当AC=BC 时，在y 轴有1点满足条件的点C 6，在x 轴有1点满足条件的点C 7，综上所述：符合条件的点C 共有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．19．如图，平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)A 和(0,1)B ，若动点C 在x 轴上运动，则使ABC V 为等腰三角形的点C 有________个．【答案】4【解析】【分析】分为三种情况：①AB =AC ，②AC =BC ，③AB =BC ，画出图形，即可得出答案．【详解】∵A （1，0），B （0，1），∴AO=OB=1，如图：①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点符合；②当C3和O重合时，AC=BC=1，此点符合；③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合；共2+1+1=4个点符合．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键．20．O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上找一点P，使三角形AOP为等腰三角形，符合条件的点P 有___________个．【答案】4【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.共有4个．【详解】解：如图，（1）若AO作为腰时，有两种情况，①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案是：4．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．21．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的性质作图即可；【详解】解：如图，以AB为腰的三角形有6个，分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6；以AB为底的三角形有两个，分别是△ABP7，△ABP8．因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键．22．作图题：在等边V ABC所在平面上找这样一点P，使V PAB、V PBC、V PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．【答案】作图见解析【解析】【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，∴一共有10个点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系把平面分成了______个象限，第一象限内点的坐标特征是（+，+），第二象限内点的坐标特征是（___，___），第三象限内点的坐标特征是（____，____），第四象限内点的坐标特征是（___，___）．问题2：x轴上的点____坐标等于零；y轴上的点_____坐标等于零．问题3：平行于x轴的直线上的点____坐标相同；平行于y轴的直线上的点____坐标相同．位置与坐标（坐标的几何意义）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，若点P到x轴的距离是3，到原点的距离是5，则点P的坐标为( )A.(-4，3)B.(-3，4)C.(-3，5)D.(-5，3)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标与线段长的相互转化2.已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为( )A.3a，-2bB.-3a，2bC.2b，-3aD.-2b，3a答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标与线段长的相互转化3.坐标平面内有一点A，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍．若点A在第二象限，则点A的坐标为( )A.(-9，3)B.(-3，1)C.(-3，9)D.(-1，3)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标与线段长的相互转化4.若点B(m+1，3m-5)到x轴的距离与到y轴的距离相等，则点B的坐标是( )A.(4，4)或(2，2)B.(2，-2)C.(4，4)或(2，-2)D.(4，4)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标与线段长的相互转化5.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示两个标志点A(2，1)，B(4，-1)，这两个标志点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是( )A.(5，2)B.(-2，1)C.(5，2)或(1，-2)D.(2，-1)或(-2，1)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：根据坐标特征构建坐标系6.若点A(x，y)与点B(6，-5)在同一条平行于y轴的直线上，且点A到x轴距离等于7，则A 的坐标是( )A.(6，-7)或(-6，-7)B.(-6，7)或(-6，-7)C.(6，7)或(6，-7)D.(6，7)或(-6，-7)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行于坐标轴的坐标特征7.已知点A(1，0)，B(0，2)，点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为( )A.(-4，0)B.(6，0)C.(-4，0)或(6，0)D.无法确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形面积公式8.已知点A(4，0)，点B在y轴上，若AB与坐标轴围成的三角形的面积是2，则点B的坐标为( )A.(0，2)B.(0，2)或(0，-2)C.(0，1)D.(0，1)或(0，-1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形面积公式。

两圆一线垂直平分线上的点坐标公式
首先，假设有两个圆C1和C2，它们的圆心分别为（x1，y1）和（x2，y2），半径分别为r1和r2。

同时，假设有一条直线L，它垂直平分两个圆的公共切线。

步骤1，求解直线L的方程。

直线L的方程可以通过两个圆的圆心和半径来确定。

首先计算两个圆心之间的中点坐标，即((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

然后计算两个圆心的连线斜率k，即k = (y2-y1)/(x2-x1)。

因为直线L与两个圆相切，所以直线L的斜率为-k的倒数。

因此，直线L的方程可以表示为y ((y1+y2)/2) = -1/k (x ((x1+x2)/2))。

步骤2，求解直线L与两个圆的交点坐标。

接下来，我们需要求解直线L与两个圆的交点坐标。

我们可以将直线L的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程。

解这个二次方程，就可以得到直线L与圆C1和C2的交点坐标。

步骤3，验证交点坐标。

最后，我们需要验证求解得到的交点坐标是否在垂直平分线上。

我们可以计算交点到两个圆心的距离，如果两个距离相等，则说明
该点在垂直平分线上。

综上所述，通过以上步骤，我们可以得到两圆一线垂直平分线
上的点坐标公式。

需要注意的是，具体的计算过程会根据具体的圆
的位置和方程形式而有所不同。

学生做题前请先回答以下问题问题1：已知两点确定第三点的等腰三角形存在性问题：第一步：确定点的位置，利用________________；第二步：计算点的坐标，利用________________．问题2：已知点，点，则线段AB的中点M的坐标为____________．坐标的应用（两圆一线）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，已知坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形2.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在坐标轴上，若以A，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C的坐标为( )A. B.，C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形3.如图，A点坐标为(-1，0)，B点坐标为(0，1)．请在y轴上找一点P，使△APB为等腰三角形，则点P的坐标为( )A.，，B.，，，C.，D.，，，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形4.如图，在平面直角坐标系中，已知A，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为( )A.(4，0)，(-4，0)B.(4，0)，(-4，0)，，C.(0，4)，(0，-4)，D.(0，4)，(0，-4)，，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形5.在平面直角坐标系中，已知点A(3，1)，点B(3，3)，则线段AB的中点M的坐标是( )A.(2，3)B.(3，2)C.(6，2)D.(6，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中点坐标公式6.已知点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)，则点A关于点B的对称点的坐标为( )A.(，)B.(，)C.(，)D.(，)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中点坐标公式7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3，-6)，且△AOB的面积为15，则AB的中点E的坐标为( )A.(-4，-3)B.(-5，0)C. D.(1，-3)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：中点坐标公式学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：完成本套试题之后，同学们应该对下面几个问题的答案更加清晰明了：①已知两点确定第三点的等腰三角形存在性问题的分类标准是什么？②求解点坐标的依据是什么？问题2：在做本套试题的过程中哪些是有困难的题目？问题3：结合对上面问题的思考，分析一下出错原因吧？①计算坐标求错，不清楚如何求解点坐标；②找点不全；③不清楚为什么两圆一线来操作找点；④对中点坐标公式不够敏感．。

坐标的应用测试（二）（北师版）试卷简介:本套试卷主要检测学生是否掌握了平面直角坐标系中坐标的处理原则，能否顺利实现坐标、线段长的互相转化，以及对中点坐标公式和等腰三角形存在性问题的掌握情况。

一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，已知点A（a，b），O是原点，OA=OB，OA⊥OB，则点B的坐标是( )A.（b，a）B.（a，-b）C.（-a，b）D.（-b，a）答案：D解题思路：如图，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AE⊥x轴于点E.∵点A（a，b），∴OE=a，AE=b.∵OA⊥OB，∴∠BOF+∠AOE=90°．又∵∠BOF+∠OBF=90°，∴∠AOE=∠OBF．又∵∠OEA=∠BF0=90°，OA=OB，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OF=AE=b，BF=OE=a．∵点B在第二象限，∴点B的坐标是（-b，a）.故选D.试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化2.如图，在平行四边形OABC中，AB=b，∠AOC=120°，若点A的坐标是（a，0），则点B的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.在平行四边形OABC中，OC∥AB，∵∠AOC=120°，∴∠OAB=60°，∴∠ABE=30°.在Rt△ABE中，AB=b，∠ABE=30°，∴∵点A的坐标是（a，0），∴OA=a，∴∴点B的坐标是故选C.试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化3.如图，在直角坐标系中，将长方形OABC沿OB对折，使点C落在处，已知，AB＝1，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，过作⊥y轴于点E．在Rt△OAB中，，AB＝1，由勾股定理，得，∴∠AOB=30°，∴∠BOC＝60°．根据折叠的性质，可知，∴，∵，∴．∵点在第四象限，∴点的坐标是．故选D．试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，且∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，过点B′作B′D⊥OC于点D．∵点A的坐标是（4，0），∴OA=4，即正方形的边长为4．在正方形OABC中，∠CPB＝60°，∴∠BCP=30°．由折叠的性质知，CB′=CB=4，∠B′CP=∠BCP=30°，∴∠B′CD=30°，∴，∴，∴点B′的坐标为．故选C．试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化5.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，），点E的坐标为（1，0），将△COE沿直线CE折叠，点O落在点D处，则点D的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，过点D作DF⊥x轴于点F：∵C（0，），E（1，0），∴，OE＝1，∴∠OCE＝30°，∠OEC＝60°．由折叠的性质知：∠DEC＝60°，DE＝OE＝1，∴∠DEF＝60°，∴在Rt△DEF中，，，∴．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为．故选D．试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化6.在平面直角坐标系中，点A（3，1），点B（3，3），则线段AB的中点M的坐标是( )A.（2，3）B.（3，2）C.（6，2）D.（6，4）答案：B解题思路：根据中点坐标可知，点M的横坐标为A,B横坐标之和的一半，即点M的纵坐标为A,B纵坐标之和的一半，即故选B．试题难度：三颗星知识点：中点坐标公式7.在平面直角坐标系中，已知A（-1，1），B（3，2），一只蚂蚁从点A出发到达x轴后再走向点B，则蚂蚁走的最短路径长为( )A. B.5C. D.答案：B解题思路：如图，作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则A—P—B是最短路径，线段的长度即为蚂蚁走的最短路径长．过点B作x轴的平行线，交的延长线于点C，则∵A（-1，1），B（3，2），∴，∴．在中，由勾股定理，得故选B．试题难度：三颗星知识点：直角坐标系内作横平竖直的线8.已知直线y=mx-1上有一点B（1，n），它到原点的距离是，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：直线y=mx-1必过（0，-1）．∵点B的坐标是（1，n），∴点B必在直线x=1上，可能在x轴上方，也可能在x轴下方．分两种情况讨论，如图，∵点B到原点的距离是，∴，∴n=±3．①将B（1,3）代入直线y=mx-1，得m=4，∴y=4x-1．∵直线y=4x-1与x轴的交点为∴此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．②将B（1,-3）代入直线y=mx-1，得m=-2，∴y=-2x-1．∵直线y=4x-1与x轴的交点为∴此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．综上，答案选C．试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为( )A.（3，4）或（2，4）B.（3，4）或（2，4）或（8，4）C.（2，4）或（8，4）D.（3，4）或（2，4）或（8，4）或（2.5，4）答案：B解题思路：①如图，当OD为等腰三角形的腰时，分别以点O，点D为圆心，以OD长为半径画圆，与线段BC有三个交点P1，P2，P3，此时等腰△ODP的腰长都为5，都符合题意．在Rt△OCP1中，由勾股定理，得，∴P1（3，4）．过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△DEP2中，由勾股定理，得，∴CP2=2，∴P2（2，4）．过点P3作P3F⊥OA于点F，在Rt△P3DF中，由勾股定理，得，∴OF=8，∴P3（8，4）．②如图，当OD为等腰三角形的底时，作线段OD的垂直平分线，交BC于点P4，此时等腰三角形ODP的腰长为，不符合题意．综上，答案选B．试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形求坐标10.如图，在平面直角坐标系中，已知A，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为( )A.（4，0），（-4，0）B.(4，0)，(-4，0)，，C.(0，4)，(0，-4)，D.(0，4)，(0，-4)，，答案：D解题思路：①如图，当OA为等腰三角形的腰时，分别以点O、点A为圆心，以OA长为半径画圆，与y轴除原点外还有三个交点P1，P2，P3，过点A作AB⊥y轴于点B，连接AP3．∵A，∴AB＝2，，∴OA＝4，∴OP1＝OP2＝4，即P1(0，4)，P2(0，-4)．∵OA＝AP3，AB⊥y轴，∴，∴P3．②如图，当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，交y轴于点P4．∵OA＝4，∴OC＝2．由上面可知，∠P4OC＝30°，∴，∴P4．综上，答案选D．试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形求坐标。

学生做题前请先回答以下问题问题1：中点坐标公式是什么？问题2：平面直角坐标系中坐标的处理原则是什么？问题3：解决等腰三角形存在性问题（已知两点确定第三点）根据什么确定点的位置？问题4：等腰三角形存在性问题（已知两点确定第三点）确定点的位置之后，根据“两圆”找到的点，它们的坐标求解依据是什么？问题5：等腰三角形存在性问题（已知两点确定第三点）根据“一线”找到的点，它的坐标求解思路是什么？坐标的应用综合测试（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.在平面直角坐标系中，P是线段AB的中点，已知点A（a-1，1），点B（7，a），若点P在x轴上，则点A的坐标为( )A.（-2，1）B.（0，1）C.（7，-1）D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标2.如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到，设点A的坐标为(2，-2)，则点的坐标为( )A.(-4，2)B.(-2，4)C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标3.如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=15°，OA=OB=4，则点A的坐标是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标4.如图，在平行四边形OABC中，AB=b，∠AOC=120°，若点A的坐标是（a，0），则点B的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化5.如图，已知矩形AOCB，以O为坐标原点，OC，OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAC=60°，以AC为轴折叠后，点B落在点D处，则点D的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标和线段长的互相转化6.如图，平面直角坐标系中有一个边长为的正方形OABC，D为OC上一点，且OD=1，将△AOD沿直线AD折叠，点O落在点E处，则点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标和线段长的互相转化7.如图，四边形OABC的四条边都相等，且它的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠OAB=60°，OA=2．将四边形OABC绕原点顺时针旋转105°至四边形的位置，则点的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标和线段长的互相转化8.如图，已知，．将△AOB绕点A旋转60°得到，则点的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标9.如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（-5，0），点B在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．若点P的坐标为，则点D的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标10.已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，-3），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形。

坐标的应用（讲义）➢知识点睛1.坐标系中处理问题的原则：（1）_______________________________；（2）_______________________________．2.用坐标表示平移（1）点的平移①将点(x，y)向右平移a个单位长度，可得对应点_________；②将点(x，y)向左平移a个单位长度，可得对应点_________；③将点(x，y)向上平移b 个单位长度，可得对应点_________；④将点(x，y)向下平移b个单位长度，可得对应点_________．口诀：________________________．（2）图形的平移图形的平移就是图形上___________的平移．➢精讲精练1.如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中，AB平行于x轴，已知点B(3，1)，点C(3，5)，则点A的坐标为___________，点D的坐标为____________．2.已知点B(2，1)，AB平行于y轴，且．3.若过A(5，m)，B(n，-6)两点的直线与x轴平行，且AB=5，则m+n=_________．4.长方形ABCD的边AB=6，BC=4，若将长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为(-1，2)，且AB∥x轴，则点C的坐标为____________．5.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在坐标轴上，点B的坐标为(2，1)，且S△AOB=2，则点A的坐标为_______________．6.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-4，3)，B(-2，-1)，则△OAB的面积为________．第6题图第7题图7.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-1，3)，B(-3，-2)，C(4，-2)，D(3，2)，则四边形ABCD的面积为________．8.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(7，0)，C(9，5)，D(2，7)．（1）求此四边形的面积．=25？若能，求出点P的坐标；若（2）在x轴上能否找到一点P，使S△PBC不能，请说明理由．9.若点A(a，b)沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到点A′(1，2)，则点A的坐标为_______．10.已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(-4，-1)的对应点D的坐标为_______．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB平移至A1B1，若点A1，B1的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则+=___________．a b第11题图第12题图12.如图，将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A′B′C′，则平移后三个顶点的坐标分别为______________________________．13.如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为______________．图1图214.王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示，可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道音乐台、中心广场的坐标分别为(0，5)，(0，1)，你能帮她求出其他各景点的坐标吗？15.如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3 m，到达A1点，再向正北方向走6 m到达A2点，再向正西方向走9 m到达A3点，再向正南方向走12 m，到达A4点，再向正东方向走15 m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是__________．【参考答案】➢知识点睛1.（1）作横平竖直的线；（2）坐标转线段长，线段长转坐标．2.（1）①(x+a，y)；②(x-a，y)；③(x，y+b)；④(x，y-b)．横坐标加减管左右平移，纵坐标加减管上下平移．（2）各个点．➢精讲精练1.(-1，1)；(-1，5)2.(2，5)或(2，-3)3.-6或44.(-7，6)，(-7，-2)，(5，6)或(5，-2)5.(-4，0)，(4，0)，(0，2)或(0，-2)6. 57.258.（1）44；（2）(-3，0)或(17，0)．9.(-2，0)10.(1，2)11.212.A′(2，3)，B′(-1，-1)，C′(5，1)13.(a+3，b+2)14.B(-3，3)，C(-2，0)，D(2，-1)，E(3，4)15.(9，12)。

学生做题前请先回答以下问题问题1：平面直角坐标系中坐标的处理原则是什么？问题2：折叠是__________，变换前后______、______都相等，从而实现条件的转移．折叠前后的图形关于_________________对称．问题3：旋转作图是图形的旋转需要转化为_______的旋转．坐标的应用（折叠与旋转）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在平面直角坐标系中，将长方形OABC沿OB折叠，使点C落在，则点的坐标是()处，已知，A. B.C.答案：D解题思路：D.试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，且∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内的点的坐标为()处，则点A. B.C.D.答案：C解题思路：Array试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化3.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点E的坐标为（1，0），将△COE沿直线CE折叠，点O落在点D处，则点D的坐标为()A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化4.如图，在平面直角坐标系中，连接OC△，将OAC沿OC折叠，使点A落在点，点C是线段AB的中点，处，则点的坐标是()A. B.D.C.答案：B解题思路：Array试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化5.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到，则的坐标是()A.C.B.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互相转化6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，三角形②，三角形③，三角形④，……，则三角形⑩的直角顶点的坐标为()A.（33，0）B.（36，0）C.（36，3）D.（40，0）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角坐标系中的规律探究7.如图，已知的坐标为()，△．将AOB绕点O旋转120°得到，则点A. B.C.答案：C解题思路：D.试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标8.如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为绕点O按顺时针方向旋转一定角度后得标为()，底边OB在x轴上．将△AOB ，点A的对应点在x轴上，则点的坐A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段长转坐标学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：做完本套试题，我们一起来总结下吧！本套试题主要是在坐标系背景下处理几何问题，你在处理的时候哪些题目有困难？问题2：做的过程中是因为什么原因导致出错的呢？①求坐标符号出错；②对折叠旋转的性质不熟悉；③要求坐标，不知道要向x轴还是y轴作垂线．。

坐标的应用（坐标与线段长互转）（北师版）（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，在坐标系中，点A的坐标为，OA=OB，则点B的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，过点A作轴于点A′∵A∴，在Rt△AOA'中，由勾股定理可得，∴，∴OB=OA=2由图可知点B在x轴正半轴上，点的符号特征为(+，0)，所以点B坐标为．故选C．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴，△AOB是等腰三角形，AB=AO=10，OB=12，则点A的坐标为( )A.(6，8)B.(8，6)C.(5，8)D.(5，3)答案：A解题思路：如图，过点A作AC⊥OB∵AB=AO，AC⊥OB∴OC=BC=OB∵OB=12，∴OC=6在Rt△AOC，∠ACO=90°，OC=6，OC=10由勾股定理得，∴点A的坐标为(6，8)故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O，C的坐标分别为(0，0)，(2，0)，则顶点B的坐标是( )A.(1，1)B.(-1，-1)C.(1，-1)D.(-1，1)答案：C解题思路：如图，过点B作BD⊥x轴于点D在正方形OACB中，∠OBC=90°，OB=BC，又∵BD⊥OC，∴，∵C(2，0)，∴，又∵B在第四象限，点的符号特征为(+，-)，∴点B的坐标为(1，-1)．故选C．试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为(2a，b+1)，则a与b的数量关系为( )A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=1D.2a+b=1答案：B解题思路：由题意可知，点P在第二象限的角平分线上∴∵P在第二象限∴2a<0，b+1>0∴-2a=b+1，即2a+b=-1故选B试题难度：三颗星知识点：略5.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形MNPQ的顶点P的坐标为(3，4)，且OP∥MN，OP=MN=OM，则点M、N的坐标分别是( )A.M(5，0)，N(8，4)B.M(4，0)，N(8，4)C.M(5，0)，N(7，4)D.M(4，0)，N(7，4)答案：A解题思路：过点P作PE⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F∵点P坐标为(3，4)∴OE=3，PE=4在Rt△POE中，由勾股定理可得，，∴OM=OP=5由图可知点M在x轴正半轴上，点的符号特征为(+，0)，所以点M坐标为．∵OP∥MN∴∠POE=∠NMF∵OP=MN，∠PEO=∠NFM=90°∴△OPE≌△MNF（AAS）∴MF=OE=3，NF=PE=4∴OF=8由图可知点N在第一象限，点的符号特征为(+，+)，所以点N坐标为．故选A试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，点B(9，0)，且∠ACB=90°，CA=CB，则点C 的坐标为( )A.(5，4)B.(，)C.(3，4)D.(6，6)答案：D解题思路：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E则∠AEC=∠BFC=∠ECF=90°∵∠ACB=90°∴∠ACE=∠BCF∵CA=CB∴△ACE≌△BCF（AAS）∴CE=CF，AE=BF∵A(0，3)，B(9，0)∴OA=3，OB=9设AE=BF=a，则CE=OF=9-a，CF=OE=3+a∴9-a=3+a∴a=3∴OF=6，CF=6∴C(6，6)故选D试题难度：三颗星知识点：略7.正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点坐标为(0，a)，B点坐标为(b，0)，则C点的坐标为( )A.(a-b，b)B.(a-b，-b)C.(a+b，b)D.(a+b，-b)答案：C解题思路：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，∵A点坐标为(0，a)，B点坐标为(b，0)，∴OA=a，OB=-b，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，又∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠CBE，在△ABO和△BCE中∴△ABO≌△BCE（AAS）∴CE=OB=-b，BE=OA=a，∴OE=BE-OB=a+b，∵点C在第四象限，∴点C的坐标为(a+b，b)故选C试题难度：三颗星知识点：略8.长方形ABCD的边CD在y轴上，点O为CD的中点．已知AB=4，边AB交x轴于点E（-5，0），则点B的坐标为( )A.（-5，2）B.（2，5）C.（5，-2）D.（-5，-2）答案：D解题思路：在长方形ABCD中，O为CD的中点，AB=4，∴OC=OD=2，∵E（-5，0）∴EO=5，又B点在第三象限，点的符号特征为（-，-），∴B（-5，-2）．故选D．试题难度：三颗星知识点：略9.已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，且AB∥x轴，若点A的坐标为（-2，4），且点C在第四象限，则点C的坐标为( )A.（3，-4）B.（-3，4）C.（3，-4）或（-7，-4）D.（-3，4）或（3，4）答案：A解题思路：∵AB=5，AB∥x轴，A（-2，4），∴当点B在点A的左侧时，点B的坐标为（-7，4），当点B在点A的右侧时，点B的坐标为（3，4）∵点C在第四象限，∴B（3，4），又∵BC=8，∴C（3，-4）．故选A．试题难度：三颗星知识点：略10.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，2），AB=5，且AB∥x轴，以四点组成长方形ABCD，BC=3，则点C的坐标为( )A.（-6，2）或（-6，2）B.（-6，5）或（-6，-1）C.（4，5）或（4，-1）D.（4，5）或（4，-1）或（-6，5）或（-6，-1）答案：D解题思路：∵A（-1，2），AB=5，AB∥x轴，∴当点B在点A的左侧时，点B的坐标为（-6，2），当点B在点A的右侧时，点B的坐标为（4，2），又∵BC=3，∴当点B坐标为（-6，2）时，点C的坐标为（-6，5）或（-6，-1），当点B坐标为（4，2）时，点C的坐标为（4，5）或（4，-1），∴点C的坐标为（-6，5）或（-6，-1）或（4，5）或（4，-1）．故选D．试题难度：三颗星知识点：略。