两圆一线和两线一圆

【坐标系压轴专题】坐标系中的问题，一般出在压轴题，不是压轴题也会有很大的难度，针对此便有了这个专题【1】坐标系问题的基本运算实用度：★★★★如果想要熟练地解坐标系中的问题，先掌握下列的几个重要点（看不清放大看）前三点、最后一点稍难，有口诀：两点间距离公式：横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方开根号斜率k：竖直高度比水平宽度中点坐标公式：横坐标的平均数，纵坐标的平均数平移函数图像：左增右减，上加下减【例题1】（原创）难度：★★★★答案：第1 页共24 页【2】等腰三角形、直角三角形存在性基础做起，实用性：★★★关键词：等腰两圆一线，直角两线一圆这两点放在一起是为了对比，它们都需要分类讨论。

什么叫做两圆一线、两线一圆呢？举个例子，如图，AB线段一条，在下面那根直线上找P和Q，使得(1.)△ABP是等腰三角形(2.)△ABQ是直角三角形首先(1.)，有三种可能（AB=AP，AB=BP，AP=BP），两圆：以A为圆心，AB为半径画圆，与直线交于P1，还有一个圆是以B为圆心，AB为半径画圆与直线交于P2和P3。

最后一线：AB的垂直平分线与直线交于P4，P5（有时不一定5个，视情况而定）第2 页共24 页(2.)，同样三种，两线：分别以A、B作AB的垂线分别交直线于Q1，Q2，一圆：以AB为直径作圆，由于直径所对圆周角是直角，所以与直线交点为Q3 Q4（个数视情况而定）已经找到了，怎么求呢？等腰的话最暴力的算法就是设出未知点坐标，把三角形三段长都用两点间距离公式表达出来，最后一个一个等起来解方程即可。

当然这是无可奈何、形状实在不好找的时候的迫不得已办法，一般他会给你已知两点，在抛物线对称轴上或x轴上或y轴上找，这样就有一些几何特征可以利用。

当然暴力算法某些时候也是必须要用的。

直角，两线的好找（k1k2乘积为-1可以，做垂直相似也可以），最后一圆略麻烦，这就要用到模型：一线三等角，做垂直，如图。

左右两个三角形相似，然后设线段长，表达，相似比，解方程即可。

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

【坐标系压轴专题】坐标系中的问题，一般出在压轴题，不是压轴题也会有很大的难度，针对此便有了这个专题【1】坐标系问题的基本运算实用度：★★★★如果想要熟练地解坐标系中的问题，先掌握下列的几个重要点（看不清放大看）前三点、最后一点稍难，有口诀：两点间距离公式：横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方开根号斜率k：竖直高度比水平宽度中点坐标公式：横坐标的平均数，纵坐标的平均数平移函数图像：左增右减，上加下减【例题1】（原创）难度：★★★★答案：【2】等腰三角形、直角三角形存在性基础做起，实用性：★★★关键词：等腰两圆一线，直角两线一圆这两点放在一起是为了对比，它们都需要分类讨论。

什么叫做两圆一线、两线一圆呢？举个例子，如图，AB线段一条，在下面那根直线上找P和Q，使得(1.)△ABP是等腰三角形(2.)△ABQ是直角三角形首先(1.)，有三种可能（AB=AP，AB=BP，AP=BP），两圆：以A为圆心，AB为半径画圆，与直线交于P1，还有一个圆是以B为圆心，AB为半径画圆与直线交于P2和P3。

最后一线：AB的垂直平分线与直线交于P4，P5（有时不一定5个，视情况而定）(2.)，同样三种，两线：分别以A、B作AB的垂线分别交直线于Q1，Q2，一圆：以AB为直径作圆，由于直径所对圆周角是直角，所以与直线交点为Q3 Q4（个数视情况而定）已经找到了，怎么求呢？等腰的话最暴力的算法就是设出未知点坐标，把三角形三段长都用两点间距离公式表达出来，最后一个一个等起来解方程即可。

当然这是无可奈何、形状实在不好找的时候的迫不得已办法，一般他会给你已知两点，在抛物线对称轴上或x轴上或y轴上找，这样就有一些几何特征可以利用。

当然暴力算法某些时候也是必须要用的。

直角，两线的好找（k1k2乘积为-1可以，做垂直相似也可以），最后一圆略麻烦，这就要用到模型：一线三等角，做垂直，如图。

左右两个三角形相似，然后设线段长，表达，相似比，解方程即可。

学生做题前请先回答以下问题问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版）一、单选题(共6道，每道14分)1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C，那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰，也可以当这个等腰三角形的底．①当AB为腰时，此时作两圆，如图，②当AB为底时，此时作一线，如图，综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．A.3B.4C.7D.8答案：D解题思路：如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆；当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线；综上，满足条件的点C共有8个．故选D试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．如图所示，图中，，，即为所求．故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性4.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．A.8B.9C.10D.11答案：B解题思路：如图，若点A为等腰三角形顶点，则以点A为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点；若点B为等腰三角形顶点，则以点B为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点（其中与A，B共线，故舍去）．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是以BQ为腰的等腰三角形，则满足题意的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：如图，当BQ为等腰三角形的腰时，分别以点B，Q为圆心，以BQ长为半径作圆，与线段AD有三个交点．此时等腰△BPQ的腰长都为5，符合题意．综上，满足题意的点P有3个．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形6.如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )A.1个B.3个C.5个D.无数多个答案：C解题思路：点P在对称轴上，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形；∵对称轴垂直平分BC，点P在对称轴上，∴△PBC是等腰三角形；如图，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，与交于点P；如图，当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线，与交于点P；综上，满足条件的点P共有5个．故选C试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形二、填空题(共1道，每道16分)7.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．答案：5解题思路：如图所示，当BP为等腰三角形的腰时，分别以B，P为圆心，BP长为半径作圆，与正方形交于点；当BP为等腰三角形的底时，作BP的垂直平分线，交正方形于点；特别说明：：点是以点B为圆心，BP为半径作圆得到的，此时，因为∠PBC=60°，所以是等边三角形，且；：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F；在Rt△BEP中，∠EBP=90°-60°=30°，BP=4得PE=2∵EF=AD=6∴PF=4∴点F即为点；综上，满足条件的点P共有5个．试题难度：知识点：两圆一线构造等腰三角形。

学生做题前请先回答以下问题问题1：已知两点确定第三点的等腰三角形存在性问题：第一步：确定点的位置，利用________________；第二步：计算点的坐标，利用________________．问题2：已知点，点，则线段AB的中点M的坐标为____________．坐标的应用（两圆一线）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，已知坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形2.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在坐标轴上，若以A，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C的坐标为( )A. B.，C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形3.如图，A点坐标为(-1，0)，B点坐标为(0，1)．请在y轴上找一点P，使△APB为等腰三角形，则点P的坐标为( )A.，，B.，，，C.，D.，，，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形4.如图，在平面直角坐标系中，已知A，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为( )A.(4，0)，(-4，0)B.(4，0)，(-4，0)，，C.(0，4)，(0，-4)，D.(0，4)，(0，-4)，，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形5.在平面直角坐标系中，已知点A(3，1)，点B(3，3)，则线段AB的中点M的坐标是( )A.(2，3)B.(3，2)C.(6，2)D.(6，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中点坐标公式6.已知点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)，则点A关于点B的对称点的坐标为( )A.(，)B.(，)C.(，)D.(，)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中点坐标公式7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3，-6)，且△AOB的面积为15，则AB的中点E的坐标为( )A.(-4，-3)B.(-5，0)C. D.(1，-3)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：中点坐标公式学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：完成本套试题之后，同学们应该对下面几个问题的答案更加清晰明了：①已知两点确定第三点的等腰三角形存在性问题的分类标准是什么？②求解点坐标的依据是什么？问题2：在做本套试题的过程中哪些是有困难的题目？问题3：结合对上面问题的思考，分析一下出错原因吧？①计算坐标求错，不清楚如何求解点坐标；②找点不全；③不清楚为什么两圆一线来操作找点；④对中点坐标公式不够敏感．。

第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略一、两圆一线与两线一圆二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关于某个参数的二次式，根据边或直角分类三、几何解法（SAS法）1等腰三角形的存在性问题前提：三角形有一个不变的内角θ步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以腰为标准分三类列方程。

具体如下：情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.2直角三角形存在性问题法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解3等腰直角三角形存在性问题方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．以下是几何解法（一、）显性的不变角（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求BP的长变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为等腰三角形时，求BP的长（二）隐形的不变角（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 34,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标..练习1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。

《二次函数中的动点问题(一)三角形的存在性问题》教学设计教学目标1.熟练运用两直线平行、两直线垂直时比例系数之间的关系解决相关问题。

2.探索动点问题中等腰三角形存在性的方法“两圆一线”，并能熟练运用，体会数形结合的数学思想。

3.探索动点问题中直角三角形存在性的方法“两线一圆”，并能熟练运用，体会数形结合的数学思想。

评价设计目标1过程性评价：学生课前完成，教师及时评价补充。

终结性评价：技巧提炼1. 2.目标2过程性评价：以学习任务单的形式，提供问题技巧提炼3 (1),鼓励学生自主合作探究，得出结论，教师做出相应的评价。

终结性评价：精讲精练1.目标3过程性评价：以学习任务单的形式，提供问题技巧提炼3 (2),学生交流展示，教师追问跟进。

重点评价学生在学习过程中的参与状况、行为表现、学习的主动性等方面。

终结性评价：精讲精练2.学习效果评测工具、方/：小测试卷，课后批阅分析教学重难点：“两圆一线”和“两线一圆”规律的探究学生课前活动设諾：独立完成技巧提炼。

备用图《二次函数的动点问题（1）三角形存在性问题》学情分析本届学生考试的成绩不是很理想，总体来看，成绩只能算一般。

在学生所学知识的掌握程度上，整个年级己经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。

在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。

在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。

学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象, 课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正（考试、作业后）错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。

专题17 两圆一线法求第三点与已知两点构成等腰三角形V是等腰三1．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使ABC角形，则符合条件的C点共有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】【分析】分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．【详解】解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有4个，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆的定义，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．V，2．等边三角形ABC所在平面内有一点P，且点P不与点A，B，C重合，使得PAB△，PBCV都是等腰三角形，这样的点P共有（）PCAA．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】【分析】当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，当点P 在三角形的外部时，只要每条边的垂直平分线上的点到三角形的各个顶点连接而成的三角形是等腰三角形即可．【详解】如图所示：当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边的垂直平分线的交点就是满足要求的点，每条垂直平分线上有3个交点，再加上三角形的外心，一共有10个点．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握中垂线的性质与等边三角形的性质，是解题的关键．3．已知坐标平面内一点()2,1A ，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】依题意，分三种情况讨论，①当OA OB =时，②当AO AB =时，③当BO BA =时，分别求得符合条件的动点B 的个数即可．【详解】如图，①当OA OB =时，以O 为圆心，OA 的长度为半径作圆，交x 轴于点13,B B ；②当AO AB =时，以A 为圆心，AO 的长度为半径作圆，交x 轴于点4B ；③当BO BA =时，作AO 的垂直平分线，与x 轴交于点2B ,综上所述，V AOB 是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为4个．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（2，2），点N 在x 轴上，若△OMN 是等腰三角形，则满足条件的点N 共有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论【详解】解：若OM 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若ON 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若NM 为底边，则满足条件的点N 有2个，在点O 的右侧一个，在点O 的左侧一个由上可知，满足条件的点N 共有4个故选：B【点睛】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键5．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA 为半径的圆弧与y轴有一个交点；②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，∴符合条件的点一共4个，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．V，∠OAB=30°，∠AOB=90°，O点与坐标系原点重合，若点P在坐标轴上，6．如图，已知Rt OAB且APB△是等腰三角形，则点P的坐标可能有（ ）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】B【解析】【分析】分PAB Ð为顶角、PBA Ð为顶角、APB Ð为顶角三种情况，再根据等腰三角形的判定即可得．【详解】Q 在Rt OAB V 中，30,90OAB AOB Ð=°Ð=°，60ABO \Ð=°，由题意，分以下三种情况：（1）如图，当PAB Ð为顶角时，以点A 为圆心、AB 长为半径画圆，交坐标轴于点123,,P P P ，其中1APB △是等边三角形；（2）如图，当PBA Ð为顶角时，以点B 为圆心、BA 长为半径画圆，交坐标轴于点145,,P P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，1BP BA \=，\点1P 一定在以点B 为圆心、BA 长为半径的圆上；（3）如图，当APB Ð为顶角时，作AB 的垂直平分线，交坐标轴于点16,P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，\点1P 一定在AB 的垂直平分线上；综上，符合条件的点P 有6个，即点P 的坐标可能有6个，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．V 7．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使ABC 是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．8．在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，﹣3），点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【详解】解：如图示，点P 共有4个点．故选C ．9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 经过原点，且3OA =，1OB =，点P 在y 轴上，若以PAB 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】分别以AB 、为圆心，以AB 长为半径画圆，确定与y 轴交点的个数，此外作AB 的垂直平分线，确定与y 轴交点的个数，即可求解．【详解】解：分别以AB 、为圆心，以4AB =长为半径画圆，如下图：此时与y 轴交点的个数为4，作AB 的垂直平分线，如上图：此时与y 轴交点的个数为1，故选：B【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．10．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30CAB Ð=°，以C 为原点，AC 所在直线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M ，使MAB △为等腰三角形，符合条件的点M 有__________个．【答案】6【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM ；②BM = BA ；③MA = MB ．【详解】如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交x 轴有一点3M ，交y 轴有两点12,M M ，此时AB = AM ，\MAB △为等腰三角形；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线x 轴有两点45,M M ，交y 轴有一点6M ，此时BM = BA ，\MAB △为等腰三角形；③作AB 的垂直平分线交y 轴于点7M ，交x 轴于点8M ，此时MA = MB ，\MAB △为等腰三角形，60ABC Ð=°Q ，3M AB V 是等边三角形，故348M M M ，，重合\符合条件的点有6个，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【答案】8【解析】【分析】分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底，AB的垂直平分线与两轴的交点即可【详解】解：如图所示：①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；3+3+2＝8，因此，满足条件的点P有8个，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键．12．如图，直角坐标系中，点22A -（，）、01B （，），点P 在x 轴上，且PAB V 是等腰三角形，则满足条件的点P 共______个．【答案】4【解析】【分析】分AB =AP 、BA =BP 、PA =PB 三种情况，画出图形即可得答案．【详解】①AB =AP ：以A 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 1、P 2，∴P 1、P 2，符号条件，②BA =BP ：以B 为圆心，BA 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 3、点(2，0)，∵点(2，0)与AB 不能构成三角形，∴P 3符合条件，③PA =PB ：作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有1个交点P 4，∴P 4A =P 4B ，∴P 4符合条件，综上所述，符合条件的点共有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想，分别画出图形是解题关键．13．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，36CAB Ð=°，在直线AC 或直线BC 上取点M ，使得MAB △为等腰三角形，符合条件的M 点有_______个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB =AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM =BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA =MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．14．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．【答案】10【解析】【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，②以O 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，③作AO 的垂直平分线分别交直线a 、b 于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP V 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．【答案】90°，45°，135°【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．【详解】（1）若AO 作为腰时，有两种情况，①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，故答案是：90°，45°，135°．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．16．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有__________【答案】8【解析】【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．17．在坐标系xOy 中，已知点()3,1A 关于x 轴，y 轴的对称点分别为P ，Q ，若坐标轴上的点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形，则满足条件的点M 有______个．【答案】5【解析】【分析】如图所示，利用两圆一线的方法，判断点M 的个数即可．【详解】解：如图，分别以A ，Q 为圆心，以AQ 长度为半径画出两个较大的圆，此时x 轴上的点满足与A ，Q 组成等腰三角形有5个，y 轴上的点均可满足与A ，Q 组成等腰三角形，然后分别以A ，P 为圆心以AP 的产生古为半径画出两个较小的圆，此时坐标轴上只有x 轴上的点满足与A ，P 组成等腰三角形，因此点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形共有5个．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用等腰三角形性质判断相关的点．18．如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C 点有_____个．【答案】8【解析】【分析】分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【详解】解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C1，C5，在x轴上有1点满足条件的点C2，②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C4，在x轴上有2点满足条件的点C3，C8，③当AC=BC 时，在y 轴有1点满足条件的点C 6，在x 轴有1点满足条件的点C 7，综上所述：符合条件的点C 共有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．19．如图，平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)A 和(0,1)B ，若动点C 在x 轴上运动，则使ABC V 为等腰三角形的点C 有________个．【答案】4【解析】【分析】分为三种情况：①AB =AC ，②AC =BC ，③AB =BC ，画出图形，即可得出答案．【详解】∵A （1，0），B （0，1），∴AO=OB=1，如图：①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点符合；②当C3和O重合时，AC=BC=1，此点符合；③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合；共2+1+1=4个点符合．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键．20．O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上找一点P，使三角形AOP为等腰三角形，符合条件的点P 有___________个．【答案】4【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.共有4个．【详解】解：如图，（1）若AO作为腰时，有两种情况，①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案是：4．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．21．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的性质作图即可；【详解】解：如图，以AB为腰的三角形有6个，分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6；以AB为底的三角形有两个，分别是△ABP7，△ABP8．因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键．22．作图题：在等边V ABC所在平面上找这样一点P，使V PAB、V PBC、V PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．【答案】作图见解析【解析】【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，∴一共有10个点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

二次函数与几何综合知识点分布表【例题】如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．专题1、线段问题（2）判断△ACD 的形状，并说明理由．（用三种不同的方法）（3）在抛物线上有一动点P ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线AC 于点N ，在线段PN 、MN 中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P 的坐标．（4）在抛物线上是否存在一点P，使P A=PC，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（5）在抛物线的对称轴上的一点H（-1，-154），过点H的任一条与y轴不平行的直线l交抛物线于点M、N，说明MH NHMN是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．专题2、线段最值问题（6）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PN∥y轴交AC于N，求线段PN的最大值及此时点P的坐标．（7）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PH ⊥AC 于H ，求线段PH 的最大值及此时点P 的坐标．（8）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PN ∥y 轴交AC 于N ，过点P 作PH ⊥AC于H ，求△PNH 周长的最大值及此时点P 的坐标．（9）在抛物线对称轴上找一点N ，使得△BCN 的周长最小，求△BCN 周长的最小值及此时点N 的坐标．（10）在线段OA 上找一点N ，连接NC ，作NM ⊥NC 交 AC 于点M ，求CM 的最小值．（11）在OC 上找一点M ，使AM+10值最小，求出最小值及此时M 点坐标．（12）在抛物线对称轴上有两动点N 、M （点N 在点M 上方），且MN =1，求四边形BNMC周长的最小值及此时M 的坐标．（13）在对称轴上找一点N，使得NA NC最大，求点N的坐标．专题3、面积问题（14）求四边形ABCD的面积．（15）过E点的直线l将四边形ABCD的面积分成2∶7 两部分，求直线l的解析式．（16）直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，求△ACP 面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（17）直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，求四边形ABCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（18）抛物线上是否存在点P ，使得ABP ABC S S ∆∆=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（19）抛物线上是否存在点P ，使得ACP ACD S S ∆∆=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（20）抛物线上是否存在点P ，使得AOP COP S S ∆∆=，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（21）抛物线上是否存在点P ，使得BP 平分△ABC 的面积，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（22）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，使得AC 平分△APM的面积，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（23）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线AC 于点N ，使得21AMN ANP S S ∆∆=：：，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（24）抛物线上有一点P，其横坐标为t，抛物线上另有一点Q，其横坐标为t+4，线段PQ 上有一点M，作MN∥y轴交抛物线于点N，求△PNQ面积的最大值．专题4、特殊三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（25）在对称轴上是否存在点N ，使得△ACN 是等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（26）在抛物线上是否存在点P ，使得△ADP 是以AD 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（27）在抛物线上是否存在一点Q ，使得△QCO 是等边三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（28）P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，Q是抛物线的对称轴上一点，当△BPQ 为等边三角形时，求出点P的坐标专题5、特殊三角形存在性问题直角三角形存在性问题（29）在对称轴上是否存在点N ，使得△ACN 是直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（30）在抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（31）已知点F （-2，-3）在该抛物线上，点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 、B重合），过点P 作PQ ⊥x 轴交该抛物线于点Q ，连接BQ 、BF 、FQ ，当△BFQ 是 直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．专题6、特殊三角形存在性问题等腰直角三角形存在性问题（32）在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（33）直线AC下方的抛物线上有一动点P，直线AC上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标．（34）点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当△APQ 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标．专题7、特殊四边形存在性问题的坐标．（36）在抛物线上有一点P ，过点P 作PQ ∥y 轴交直线AC 于点Q ，若以O 、C 、P 、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．（37）在对称轴上有一点Q ，在抛物线上有一点P ，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．（38）在x 轴上有一点Q ，在抛物线上有一点P ，若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．平行四边形，求点P 的坐标．（40）在对称轴上有一点M ，在平面内存在点N ，若以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，求点N 的坐标．（41）在对称轴上有一点Q ，在抛物线上有一点P ，若以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．正方形，求点N 的坐标．专题8、相似（全等）三角形存在性问题（43）点P 在抛物线上，直线AP 与y 轴交于点D ，若△AOD 与△BOC 全等，求出点P 的坐标．（44）点P 在抛物线上，直线AP 与y 轴交于点D ，若tan ∠P AB =2：3，求出点P 的坐标．（45）在线段AC 上是否存在点M ，使得△AOM 与△ABC 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（46）第三象限内的抛物线上有一动点P ，过点P 作PQ ∥y 轴，PQ 与AC 相交于点Q ，连接BC ．请问抛物线上是否存在点P ，使得△PCQ 与△ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（47）x 轴下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，PF 与AC 相交于点G ．请问抛物线上是否存在点P ，使得△AFG 与△CPG 相似？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．（48）抛物线上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，连接BC 和PC ．请问抛物线上是否存在点P ，使得△PCQ 与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请 说明理由．（49）在抛物线上是否存在点P ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，使得△P AH 与△BOC 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（50）抛物线的顶点为点D ，连接AD ，CD ，在抛物线上有一动点M ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ．请问抛物线上是否存在点M ，使得△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．专题9、角问题（51）在抛物线上是否存在点P ，使∠P AO =∠OCE ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（52）该抛物线上是否存在点P ，使得∠PCA =∠CAD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（53）直线AC 与抛物线的对称轴交于点F ，请求出∠CDF 的平分线与y 轴的交点M 的坐标．（54）在抛物线上是否存在点P，使得∠POC=∠PCO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（55）过点B的直线交直线AC于点M，当直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍时，求点M的坐标．（56）在y轴上是否存在点N，使得∠BCO+∠BNO=∠BAC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（57）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点 N ，满足∠MDN =90°．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．专题10、平移问题、折叠问题、旋转问题（58）将直线AC 向下平移m （m ＞0）个单位长度，使它与抛物线只有一个公共点，求m的值．（59）将x 轴下方的抛物线沿x 轴向上翻折，若将直线AC 向上平移m （m ＞0）个单位长度后与翻折后的新图形有两个公共点，求m 的取值范围．（60）将抛物线绕原点O旋转180°，旋转得到的新抛物线与原抛物线相交于P、Q两点．求证：直线PQ经过原点O．中考链接【面积最值+角相等问题】（2019•海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【面积定值+直角三角形存在性问题】（2018•海南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．图1【面积最值+相似三角形存在性问题】（2017•海南）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．图1【面积定值+线段问题+等腰三角形存在性问题】（2016•海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接P A、PC，PC与x轴交于点D．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．①若∠APE=∠CPE ，求证：；②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．专题训练【一题多问】（2018•河南改编）如图，抛物线y=ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x−5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上找一点D，使得△ACD的周长最小，求△ACD周长的最小值及此时点D的坐标；（3）点E是直线BC上方的抛物线上一动点，求△BCE面积S的最大值并求出此时点E的坐标；（4）在抛物线上找一点F，使得△BCF是以BC为底边的等腰三角形，求△BCF的面积及此时点F的坐标；（5）在抛物线对称轴上找一点G，使得△BCG是直角三角形，求满足条件的点G的坐标；（6）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．线段、周长、面积专题【训练题1】（2020•中考）如图，已知抛物线y =ax 2＋bx ＋6（a ≠0）交x 轴于点A （6，0），和点B （−1，0），，交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD +PE 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分△AMN 的边MN 时，求点N 的坐标．图1图2【训练题2】（2020•模拟）如图，抛物线y=14x2＋bx＋c与两轴交于点A（−2，0），点B（0，−52），直线y=kx＋32，过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D点．（1）求抛物线y=14x2＋bx＋c与直线y=kx＋32的解析式；（2）点P是抛物线上A、D两点之间的一个动点，过P作PM∥y轴交线段AD于M点，过P作PN⊥AD于点N，过D作DE⊥y轴于点E．设点P的横坐标为t．①是否存在点P，使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②设△PMN的周长为l，求l与t的函数关系式，并求出l的最大值；③设△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．特殊三角形专题【训练题3】（河南•中考）如图1，抛物线y=−x2＋bx＋c与x轴交于点A（−1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3）．直线y=34x＋m经过点C，与抛物线另一个交点为D，点P是抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线CD上方，且△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，连接BP，以点P为直角顶点，线段BP为较长直角边，构造两直角边比为1：2的Rt△BPG，是否存在点P，使点G恰好落在直线y=x上？若存在，请直接写出相应点P的横坐标（写出两个即可）；若不存在，请说明理由．【训练题4】（2019•成都）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）经过点A（−2，5），与x轴相交于B（−1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【训练题5】（2020•模拟）如图，抛物线y=−x2＋bx与x轴交于原点O与点B，以OB为斜边向x轴上方作Rt△OAB，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转一定的角度后得到Rt△OCD，直角边CD恰好落在抛物线的对称轴上．（1）求∠AOB的度数；（2）若抛物线的对称轴为直线x=2，求抛物线的解析式及点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于对称轴右侧的抛物线上一点，点Q是对称轴上一点，连接BQ，PQ，BP．①当△BPQ是等边三角形时，求出一个满足条件的点P的坐标；②直接写出满足①中条件的点P的个数．y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．备用图关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．相似三角形专题【训练题8】如图，抛物线y=ax2＋bx－3与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【训练题9】在平面直角坐标系内，直线122y x =+分别于x 、y 轴交于点A ，C ．抛物线212y x bx c =-++经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是位于直线AC 上方的抛物线上的点，且点D 的横坐标为t ．①如图1，连接DA 、DC ，作□ADCE ．当t 为何值时，□ADCE 的面积最大，并求出面积最大值；②如图2，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，连接CD ．若△CFD 与△AOC 相似，求点D 的坐标．【训练题10】如图，已知抛物线234y ax ax a =+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，OA =OC ，点D 为线段AC 上一动点，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点D 的横坐标为x ，四边形EABC 的面积为S ，请写出S 与x 的函数关系式，并判断S 是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）是否存在点D ，使得△DCE 和△DAF 相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．备用图【训练题11】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交已知抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．【训练题12】（罗平县•二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是x=32，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，PC．求四边形P AOC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．特殊四边形专题【训练题13】（2019•海口一模）如图，对称轴为直线x=1的抛物线经过A（−1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB=3OD．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t．①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．【训练题14】（2020•模拟）如图，抛物线y=ax2＋94x−16a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E的坐标为（3，0），作EF∥BC交y轴于点F，点P是第一象限内的抛物线上的一点，连接PE交BC于点G，连接PF、GF．当△PFG的面积最大时，求此时点P 的坐标及△PFG面积的最大值；（3）在（2）的条件下，M为直线EF上一点，N为抛物线上一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．【训练题15】（丹东•一模）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，正方形OBDC的顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点D的坐标是（5，5），抛物线y=x2＋bx ＋c经过B、C两点与x轴的另一个交点是点A，连接AD．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线AD相交于点E，求出点E的坐标；（3）点P是抛物线上一动点，且位于x轴上方，当△P AD的面积为252时，求出点P的坐标；（4）若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A、D、M、N为顶点的矩形，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【训练题16】（葫芦岛•中考）如图，抛物线y =ax 2−2x ＋c （a ≠0）与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 三点，已知点A （−2，0），点C （0，−8），点D 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，第四象限的抛物线上有一点P ，将△EBP 沿直线EP 折叠，使点B 的对应点B ′落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标；（3）如图2，设BC 交抛物线的对称轴于点F ，作直线CD ，点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点B ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．图1【训练题17】（本溪•中考）如图，直线y=x−4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=1 3 x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA＋∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B 向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．【训练题18】（河南•模拟）如图，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA=OC=5．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M 的坐标．备用图【训练题19】（沙坪坝•月考）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A（−1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接P A，PD．当S△P AD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ＋5QB最小，求此时点Q的坐标及PQ＋5QB的最小值；（3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G 为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标．图1 图2 备用图。

教学过程一、课堂导入1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，4）、B（-4，4），试在x轴上找出点P，使△APB为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P点的坐标2、在平面直角坐标系中找出所有的点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，且C点的横坐标与纵坐标为自然数．画出C点的位置并写出C点的坐标．问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得三角形是等腰三角形（等边三角形、直角三角形等）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．2、常见题目类型(1)几何类(三角形、四边形、圆等)一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。

(2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。

(3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。

模型介绍一、如图，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．34C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC =，5BC =（3）分类讨论：根据55AC BC =，可得：（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫ ⎪⎝⎭．小结几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C C 、求法相同，以2C 为例：【构造三垂直】34C C 、求法相同，以3C 为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．例题精讲考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为（2，﹣7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，据垂线段最短，可知：当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，∴AC＝4．又∵D为AC的中点．∴DF∥OC，∴DF＝OC＝2，∴点D的坐标为（2，2）；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）．∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．分两种情况考虑，①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2，即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，整理得：m2﹣2m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴点P的坐标为（2，6）；②当∠APC＝90°时，CP2+AP2＝AC2，即m4﹣6m3+10m2+m4﹣6m3+2m2+16m+32＝32，整理得：m（m3﹣6m2+6m+8）＝0，∴m（m﹣4）（m2﹣2m﹣2）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），（舍去），，∴点P的坐标为（1+，3+）．综上所述，假设成立，即存在点P（2，6）或（1+，3+），使得△ACP是直角三角形．考点二：二次函数中的等腰三角形存在性问题【例2】．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．解：（1）由题意得，﹣1+5+n＝0，解得，n＝﹣4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4；（2）y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，抛物线对称轴为：x＝，顶点坐标为（，）；（3）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣4），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△OAB中，AB＝＝，①当PB＝BA时，PB＝，∴OP＝PB﹣OB＝﹣4，此时点P的坐标为（0，﹣4），②当PA＝AB时，OP＝OB＝4此时点P的坐标为（0，4）．变式训练【变2-1】．如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y 轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0＝﹣16+4b+3得：b＝所以二次函数的关系式为：y＝﹣x2+x+3．当x＝0时，y＝3∴点B的坐标为（0，3）．（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP＝AP设BP＝AP＝x，则OP＝4﹣x，在直角△OBP中，BP2＝OB2+OP2即：x2＝32+（4﹣x）2解得：x＝∴OP＝4﹣＝所以点P的坐标为：（，0）综上可得点P的坐标为（，0）．【变2-2】．如图，抛物线y＝ax2+4+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y 轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠HBD，在△ABC和△DBH中，，∴△ABC≌△BDH（AAS），∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，∴OH＝2，∴D（﹣3，2），把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，∴点D不在抛物线上；（3）存在点P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），由（2）知：∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB＝﹣＝﹣，∴﹣m2﹣5m＝﹣m，解得m＝0（舍）或m＝﹣5+，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如图1，过点P作PE∥y轴，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），＝PE•（x C﹣x A）＝×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣（m2﹣3m）∴S△ACP＝﹣（m+）2+，＝；∴当m＝﹣时，S△P AC最大（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如图2，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴抛物线对称轴为x＝﹣1，设点Q（﹣1，n），则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC为直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②当∠ACQ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，解得：n＝4，∴Q2（﹣1，4）；③当∠AQC ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2+AQ 2＝AC 2，∴n 2﹣6n +10+n 2+4＝18，解得：n 1＝，n 2＝，∴Q 3（﹣1，），Q 4（﹣1，）；综上所述，点Q 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．2．已知抛物线y ＝﹣x 2﹣x 的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2．（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）将该抛物线向上平移2个单位，得y＝﹣x2﹣x+2，故答案为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，即B（﹣4，0），A（1，0）．当x＝0时，y＝2，即C（0，2）．AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）y＝﹣x2﹣x+2的对称轴是直线x＝﹣，设P（﹣，n），AP2＝（1+）2+n2＝+n2，CP2＝+（2﹣n）2，AC2＝12+22＝5当AP＝AC时，AP2＝AC2，+n2＝5，方程无解；当AP＝CP时，AP2＝CP2，+n2＝+（2﹣n）2，解得n＝0，即P1（﹣，0），当AC＝CP时AC2＝CP2，+（2﹣n）2＝5，解得n1＝2+，n2＝2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AC，BD．（1）求点A，B，C，D的坐标；（2）点F为抛物线对称轴上的动点，且△BEF与△AOC相似，请直接写出符合条件的点F的坐标；（3）点P为抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使△BDP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y ＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），则函数的对称轴为直线x＝（6﹣2）＝2，当x＝2时，y＝﹣x2+x+3＝4D（2，4）；（2）tan∠CAO＝，当△BEF与△AOC相似时，则，即，解得：EF＝6或，故点F的坐标为：（2，6）或（2，﹣6）或或；（3）存在，理由：△BDP是直角三角形只要可能是∠DBP和∠BDP为直角，①当∠DBP为直角时，过点B作y轴的平行线，交过点P与x轴的平行线于点H，交过点D与x轴的平行线于点G，∵DG＝BG＝4，则△BDG为等腰三角形，∠DBG＝45°，则∠PBH＝45°，即△PBH为等腰直角三角形，则设PH＝BH＝m，则点P（6﹣m，﹣m），将点P的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝﹣（6﹣m）2+（6﹣m）+3，解得：m＝0（舍去）或12，故点P的坐标为（﹣6，﹣12）；②当∠BDP为直角时，∵AD＝BD＝3，AB＝64，则△ABD为等腰直角三角形，即∠ADB＝90°，即点P于点A重合，故点P（﹣2，0）；综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，﹣12）．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点E的坐标为（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在两种情况（如图2）．①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，∴点M1的坐标为（﹣1，0）；②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y 轴，交直线BC于点F2，∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′为等腰直角三角形，∵M2F2∥y轴，∴△M2BF2为等腰直角三角形．∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），∴直线BC′的函数关系式为y＝﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点M2的坐标为（﹣2，﹣5），综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3，∴c＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BO＝OC＝3AO，∴BO＝3，AO＝1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC＝3，PB＝，PC＝，∵△PBC是等腰三角形，①当PB＝PC时，∴＝，∴m＝﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB＝BC时，∴3＝，∴m＝±，∴P（1，）或P（1，﹣），③当PC＝BC时，∴3＝，∴m＝﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．6y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：①点M的坐标，说明理由；②MN+BN的最小值；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵∠ABC ＝45°，∴OB ＝OC ，∵OA ：OB ＝1：3，AB ＝4，∴OA ＝1，OB ＝3，∴OC ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3），将A 、B 、C 代入y ＝ax 2+bx +c 中，∴，解得，∴y ＝﹣x 2+2x +3，∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴D （1，4）；（2）①设BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴，解得，∴y ＝﹣x +3，过点M 作MG ∥y 轴交BC 于点G ，设M （t ，﹣t 2+2t +3），则G （t ，﹣t +3），∴PG ＝﹣t 2+2t +3+t ﹣3＝﹣t 2+3t ，∴S △MBC ＝×3×（﹣t 2+3t ）＝﹣（t ﹣）2+，∵0＜t＜3，有最大值，∴当t＝时，S△MBC此时M（，）；②过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，∵∠OBC＝45°，∴NH＝BN，∴MN+BN＝MN+NH≥MH，∵M（，），∴MH＝，∴MN+BN的最小值为，故答案为：；（3）存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：设P（m，﹣m2+2m+3），如图2，当∠ACP＝90°时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，∴∠ECA+∠FCP＝90°，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠FCP＝∠EAC，∴△ACE∽△CPF，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，）；如图3，当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P 作PN⊥MN交于N，∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，∴∠NAP＝∠MCA，∴△ACM∽△PAN，∴＝，∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝，∴P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，∴连接BC交直线l于点P，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）设点M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC为直角三角形，∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标．若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得，故抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．设直线AC的函数表达式为y＝kx+n，将A（﹣1，0）、C（2，3）分别代入y＝kx+n中可得解得，故直线AC的函数表达式为y＝x+1．（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．当AM是斜边时，则4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得；当AN是斜边时，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，解得：m＝1或2；当MN是斜边时，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，解得：．故点M的坐标为或（1，1）或（1，2）或．10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，即此抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线顶点D的坐标是（，﹣4），对称轴是直线x＝1；（3）存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA＝PD时，则＝，解得y＝﹣，当DA＝DP时，则＝，解得y＝﹣4±2，当AD＝AP时，则＝，解得，y＝±4（舍去﹣4），由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+2）或（1，4）．11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE ⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入解析式y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，当∠MCB＝90°时，延长MC交x轴于点G，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MCB＝90°，∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，∴∠GCO＝∠CGO＝45°，∴OG＝OC＝3，∴G（﹣3，0），设直线GC的解析式为y＝kx+3，∴0＝﹣3k+3，解得k＝1，∴直线GC的解析式为y＝x+3，∴x＝1时，y＝x+3＝4，此时M（1，4）；如图，当∠MBC＝90°时，延长BM交y轴于点H，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MBC＝90°，∴∠HBO＝45°，∴∠HBO＝∠BHO＝45°，∴OH＝OB＝3，∴H（0，﹣3），设直线BH的解析式为y＝px﹣3，∴0＝3p﹣3，解得p＝1，∴直线BH的解析式为y＝x﹣3，∴x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，此时M（1，﹣2）；当∠CMB＝90°时，设M（1，a），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，∵∠CMB＝90°，∴BC2＝MC2+BM2，∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，整理，得a2﹣3a﹣2＝0，解得，此时或；综上所述，点M（1，4）或点M（1，﹣2）或点或点．（3）如图，设PD与x轴的交点为F，点P（n，﹣n2+2n+3），∵B（3，0），C（0，3），设直线BC的解析式为y＝qx+3，∴0＝3q+3，解得q＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴D（n，﹣n+3），∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；∵A（﹣1，0），C（0，3），∴，∴，连接AD，∴，＝S△ABC﹣S△ADB，AB＝3﹣（﹣1）＝4∵S△ADC∴，∴，∴∵抛物线开口向下，∴m有最大值，且当时，取得最大值，且为，此时，故点．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D 关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，∴，∴点M的坐标为（2，0），∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB＝MF，∴点F的坐标为F（2，3），∵点M关于直线BC的对称点为点M′，∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，∴△MBM′是等腰直角三角形，∴BM′＝BM＝3，∴点M′的坐标为（5，3），∴FM′∥x轴，∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，∴E1（，3），E2（，3），∴点E的坐标为（，3）或（，3）；（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，∴∠LOP＝∠KPQ，∵OP＝PQ，∴△LOP≌△KPQ（AAS），∴LO＝PK，LP＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），∴QT＝PK，TO＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△OLP≌△QSO（AAS），∴SQ＝OL，SO＝LP，∴，解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），当m1＝2+时，﹣m2+4m+5＝2，∴Q（，2）；综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．13．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣），连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）若D（﹣4，m）为抛物线y＝x2+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t的值．（3）如图2，若E（﹣4，m）为上述抛物线上一点，在抛物线上是否存在点F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出点F的坐标，若不存在说明理由．解：（1）∵C（0，﹣1），∴y＝x2+bx﹣1，又∵AO＝2OC，∴点A坐标为（﹣2，0），代入得：1﹣2b﹣1＝0，解得：b＝0，∴解析式为：y＝x2﹣1；（2）∵D（﹣4，m）为抛物线y＝x2﹣1上一定点，∴m＝×16﹣1＝3，∴D（﹣4，3），∴OD＝＝5，∴d＝5，∴t＝﹣（5﹣3）＝﹣2；（3）点E（﹣4，m）在抛物线y＝x2﹣1的上，∴m＝3，∴E（﹣4，3），∵B（2，0），∴直线BE为y＝﹣x+1，①如图1，当B点为直角顶点时，则BF⊥BE，∴直线BF的斜率为2，设直线BF的解析式为y＝2x+n，把B（2，0）代入得2×2+n＝0，∴n＝﹣4，∴直线BF的解析式为y＝2x﹣4，解得或，∴F（6，8）；②当F点为直角顶点时，设BE的平行线y＝﹣x+b与抛物线有且只有一个交点P，∴﹣x+b＝x2﹣1，整理得x2+2x﹣4b﹣4＝0，∴△＝4+4（4b+4）＝0，解得b＝﹣，∴平行线为y＝﹣﹣，∴x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，∴y＝﹣，∴平行线与抛物线的交点P为（﹣1，﹣），∵B（2，0），E（﹣4，3），∴BE＝＝3，∴BE的中点Q为（﹣1，），∴QP＝+＝＜＝BE，∴此种情况不存在，③当E点为直角顶点时，如图2，设点F（n，n2﹣1），而点E（﹣4，3），B（2，0），过点E作y轴的平行线交x轴于点N，交过点F与x轴的平行线于点M，则∠EBN＝∠MEF，则tan∠EBN＝tan∠MEF，即，∴，解得：n＝﹣4（舍去）或12，故点F的坐标为（12，35）；故在抛物线上存在点F，使得△BEF是直角三角形，点F的坐标为（6，8）或（12，35）．14．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于B 点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）解：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），把x＝﹣1代入y＝﹣x+3得：y＝4，∴D（﹣1，4），当y＝0时，0＝﹣x+3，∴x＝3，∴A（3，0），∵抛物线过A（3，0），O（0，0），把D（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c＝a（x﹣0）（x﹣3）得：4＝a（﹣1﹣0）（﹣1﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣0）（x﹣3），即抛物线的解析式是y＝x2﹣3x．（2）解：设H（x，0），则P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x），∴PH＝﹣x+3，QH＝3x﹣x2，∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，∴＝或＝2，即＝或＝2，解得：x1＝2，x2＝3（舍去），x3＝3（舍去），x4＝，∴H点的坐标是（2，0）或（，0）．（3）解：分为三种情况：①若∠BAC＝90°，设C（x，x2﹣3x），∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴tan∠OAC＝1，∴＝1，解得：x1＝1，x2＝3（舍去），∴C（1，﹣2）；②若∠ABC＝90°时，∵∠OBA＝45°，∴∠OBC＝45°，设直线BC交于x轴于E，其解析式是y＝kx+3，∴OE＝OB＝3，∴E（﹣3，0），代入得：0＝﹣3k+3，∴k＝1，∴y＝x+3，解方程组得：，，∴C（2+，5+）或（2﹣，5﹣）；③若∠ACB＝90°时，设C（n，k），AC2+BC2＝AB2，即（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18，n2﹣3n+k2﹣3k＝0，∵k＝n2﹣3n，代入求出k1＝0，k2＝2，∴n2﹣3n＝0，n2﹣3n＝2，解得：n1＝0，n2＝3（舍去），n3＝，n4＝，∴C（0，0）或（，2）或（，2），综合上述：存在，点C的坐标是（1，﹣2）或（2+，5+）或（2﹣，5﹣）或（0，0）或（，2）或（，2）．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2））在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N 坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．（4）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴将其分别代入抛物线解析式，得，解得．故此抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，设N的坐标为（n，n2+2n﹣3），则M（n，﹣n﹣3），∴MN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，把n＝﹣代入抛物线得，N的坐标为（﹣，﹣），当N的坐标为（﹣，﹣），MN有最大值；（3）①当以AB为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL必过（﹣1，0），∴L必在抛物线上的顶点D处，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴L（﹣1，﹣4），K（﹣1，4）②当以AB为边时，AB＝KL＝4，∵K在对称轴上x＝﹣1，∴L的横坐标为3或﹣5，代入抛物线得L（﹣5，12）或L（3，12），此时K都为（﹣1，12），综上，K（﹣1，4），L（﹣1，﹣4）或K（﹣1，12），L（﹣5，12）或K（﹣1，12），L （3，12）；（4）存在，∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），∴AD2＝（﹣3+1）2+（0+4）2＝20，设E（0，m），则AE2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣m）2＝9+m2，DE2＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2＝17+m2+8m，①AE为斜边，由AE2＝AD2+DE2得：9+m2＝20+17+m2+8m，解得：m＝，②DE为斜边，由DE2＝AD2+AE2得：9+m2+20＝17+m2+8m，解得：m＝，③AD为斜边，由AD2＝ED2+AE2得：20＝17+m2+8m+9+m2，解得：m＝﹣1或﹣3，∴点E的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．16．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，如图1，∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为，∴设P点坐标为（﹣1，a），∴C（0，3），M（﹣1，0），PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，分类讨论：（1）当PC＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，∴P点坐标为：P1（﹣1，）；（2）当MC＝MP时，（﹣1）2+32＝a2，解得，∴P点坐标为：或；（3）当CM＝CP时，（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P，其坐标为或或P（﹣1，6）或．（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣（2）作CK⊥x轴，垂足为K．∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC．又∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAK＝90°．又∵∠CAK+∠ACK＝90°，∴∠BAO＝∠ACK．在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，∴△BAO≌△ACK．∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．∴A（1，0），B（0，2）．∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m ＝．∴AB＝＝．+S△DEH＝×2+××＝9.5∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．∵△APB为等腰直角三角形，∴PB＝AB，∠PBA＝90°．∴∠PBG+∠BAO＝90°．又∵∠PBG+∠BPG＝90°，∴∠BAO＝∠BPG．在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，∴△BPG≌△ABO．∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，∴P（﹣2，1）．当x＝﹣2时，y≠1，∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．同理可知：△PAF≌△ABO，∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，∴P（﹣1，﹣1）．当x＝﹣1时，y＝﹣1，∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM＝45°，直接写出点M坐标；（4）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，得a+b+4＝0，∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣5a，∴a﹣5a+4＝0，∴a＝1，∴b＝﹣5，∴y＝x2﹣5x+4；（2）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，∴x＝4或x＝1，∴A（1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），则Q（t，t2﹣5t+4），∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，PQ的长度最大，∴P（2，2），Q（2，﹣2），∴PQ＝4，OQ＝2，∵CO＝4，∴四边形OCPQ是平行四边形；（3）∵OB＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，∵∠NBM＝45°，∴∠OBM＝∠CBN，过点N作NF⊥BC于点F，∵N（0，2），C（0，4），∴CN＝2，∴NF＝CF＝，∵B（4，0），∴OB＝4，∴NB＝2，∴BF＝3，∴tan∠CBN＝，∴tan∠OBG＝＝＝，∴OG＝，∴G（0，﹣），设直线OM的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，联立方程组，解得x＝4（舍）或x＝，∴M（，﹣）；过B点作BK⊥BG交y轴于点K，此时∠NBK＝45°，∴∠OKB＝∠OBG，∵tan∠OBG＝＝＝＝，∴OK＝12，∴K（0，12），设直线KB的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣3x+12，联立方程组，解得x＝4（舍）或x＝﹣2，∴M（﹣2，18）；综上所述：M点坐标为（﹣2，18）或（，﹣）；（4）存在点F，使得△BEF为等腰三角形，理由如下：过点Q作x轴的垂线，过点Q作QN⊥y轴交于点N，过点E作y轴的垂线ME，∵QM∥y轴，∴∠ODQ＝∠MQD，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠MQE＝∠ODQ，∵C（0，4），D是OC的中点，∴D（0，2），∵Q（2，﹣2），∴tan∠ODQ＝＝，。

两圆一线规律
两圆一线规律是指在平面上存在两个圆以及一段线，它们之间有一定的关系或规律。

这种规律可以表现为不同圆的半径、圆心之间的关系，以及线与圆之间的相交情况等等。

具体的规律可以有很多种，其中一种是当两个圆的半径相等时，它们的圆心之间的连线与两个圆的切线重合；当两个圆的半径不相等时，它们的圆心之间的连线与两个圆的切线不重合。

另外，线与圆相交则存在两个交点，线与圆相切则存在一个切点。

这些规律可以应用于几何学、物理学等多个领域，用于解决问题和推导结论。