2021中考数学第二轮复习 题型3 填空压轴题

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

专题03 填空压轴题之几何求值1．（2021•深圳）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 上的点，将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，连接BF ，CF ，90BFC ∠=︒，若//EF AB ，43AB =，10EF =，则AE 的长为 ．【答案】1043-【详解】如图，延长ED 交FC 于G ，延长BA ，DE 交于点M ，将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，EF EC ∴=，DF DC =，FED CED ∠=∠，EG CF ∴⊥，又90BFC ∠=︒，//BF EG ∴，//AB EF ，∴四边形BFEM 是平行四边形，10BM EF ∴==，1043AM BM AB ∴=-=-，//AB EF ，M FED∴∠=∠，M CED AEM∴∠=∠=∠，1043 AE AM∴==-2．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ，90ABC DAC∠=∠=︒，1tan2ACB∠=，43BOOD=，则ABDCBDSS∆∆=．【答案】332【详解】如图，过点D作//DM BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，//DM BC，ABC ANM∴∆∆∽，OBC ODM∆∆∽，∴1tan2AB ANACBBC NM==∠=，43BC OBDM OD==，又90ABC DAC∠=∠=︒，90BAC NAD∴∠+∠=︒，90BAC BCA∠+∠=︒，NAD BCA∴∠=∠，ABC DAN∴∆∆∽，∴12AB DNBC NA==，设4BC a=，由43BC OBDM OD==得，3DM a=，2AB a∴=，35DN a=，65AN a=，616255NB AB AN a a a∴=+=+=，∴22313521323225ABDBCDaAB DNSS BC NB a∆∆⋅===⋅．3．（2019•深圳）如图，在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF = ．【答案】6 【详解】如图，作FM AB ⊥于点M ．四边形ABCD 是正方形，45BAC CAD ∴∠=∠=︒．将BC 沿CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线AC 上的点X ，1EX EB AX ∴===，90EXC B ∠=∠=︒，222AE AX EX ∴=+=．将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上的点Y ，1AM DF YF ∴===，∴正方形的边长21AB FM ==+，21EM =-，2222(21)(21)6EF EM FM ∴=+=-++=．4．（2018•深圳）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，AD 、BE 相交于点F ，且4AF =，2EF =，则AC = ．【答案】8105 【详解】如图，过点E 作EG AD ⊥于G ，连接CF ， AD ，BE 是分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线， CAD BAD ∴∠=∠，CBE ABE ∠=∠，90ACB ∠=︒，2()90BAD ABE ∴∠+∠=︒，45BAD ABE ∴∠+∠=︒，45EFG BAD ABE ∴∠=∠+∠=︒，在Rt EFG ∆中，2EF =，1FG EG ∴==，4AF =，3AG AF FG ∴=-=，根据勾股定理得，2210AE AG EG =+=，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，CF ∴是ACB ∠的平分线，45ACF AFE ∴∠=︒=∠，CAF FAE ∠=∠，AEF AFC ∴∆∆∽，∴AE AF AF AC=， 216810510AF AC AE ∴===5．（2017•深圳）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，Rt MPN ∆，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，AP = ．【答案】3【详解】如图作PQ AB ⊥于Q ，PR BC ⊥于R ．90PQB QBR BRP ∠=∠=∠=︒，∴四边形PQBR 是矩形，90QPR MPN ∴∠=︒=∠，QPE RPF ∴∠=∠，QPE RPF ∴∆∆∽， ∴2PQ PE PR PF ==， 22PQ PR BQ ∴==，//PQ BC ，::::3:4:5AQ QP AP AB BC AC ∴==，设4PQ x =，则3AQ x =，5AP x =，2BQ x =， 233x x ∴+=，35x ∴=， 53AP x ∴==．6．（2021•深圳模拟）如图，在四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，且AB AE =，12CBA D BAD ∠=∠+∠，过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ．延长BC 和AE 交于点F ，若:2:1BF ED =，2EG =，三角形ABF 的面积为7，则AD = ．【答案】72 【详解】解法一： 如图，过A 作AM BF ⊥于M ，作AN CD ⊥于N ，过E 作EH AD ⊥于H ，90AMB ANE ∴∠=∠=︒，AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，12BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，AED ABM ∴∠=∠，AB AE =，()ABM AEN AAS ∴∆≅∆，AM AN ∴=，12ABF S BF AM ∆=⋅，12AED S DE AN ∆=⋅，且2BF ED =， 2ABF AED S S ∆∆∴=， 7ABF S ∆=，72AED S ∆∴=， AE 平分BAD ∠，EG AB ⊥，EH AD ⊥，2EH EG ∴==，1722AED S AD EH ∆∴=⋅=， 72AD ∴=； 解法二：过D 作DM AE ⊥于M ，过F 作FN AB ⊥，交AB 的延长线于N ， AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，12BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，AED FBN ∴∠=∠，90DME FNB ∠=∠=︒，DME FNB ∴∆∆∽，∴12ED DM BF FN ==， 2FN DM ∴=，112722ABF S AB FN AE DM ∆=⋅=⋅=， 7AE DM ∴⋅=，BAE DAE ∠=∠，90AGE AMD ∠=∠=︒，AGE AMD ∴∆∆∽，∴EG AE DM AD =， ∴2AE DM AD=，722DM AE AD ⋅∴==．7．（2021•龙岩模拟）将含30︒角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE 、BD ，则AE BD = ．【答案】3【详解】EDC ∆与ACB ∆为两个直角三角形，且30DEC BAC ∠=∠=︒，90ACB ECD ∠=∠=︒， ACB DCA ECD DCA ∴∠+∠=∠+∠，DCB ECA ∴∠=∠，在Rt ACB ∆中，tan tan30BC CAB AC∠==︒， 在Rt ECD ∆中，tan tan30DC CED EC ∠==︒， ∴BC DC AC EC=， ∴在ECA ∆与DCB ∆中，DC BC EC AC=， DCB ECA ∠=∠，ECA DCB ∴∆∆∽，∴AE AC BD BC=，在Rt ACB ∆中，tan tan 603AC ABC BC =∠=︒= 8．（2021•南山区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BE ，AF 分别是ABC ∠，CAB ∠平分线，BE ，AF 交于点O ，OM AB ⊥，10AB =，8AC =，则OM = ．【答案】2【详解】过O 作OG AC ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，连接OC ，AF 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，OG OH OM ∴==，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，221086BC ∴=-=11112222ABC S AC BC AB OM AC OG BC OH ∆∴=⋅=⨯⋅+⋅+⋅， ∴11118610862222OM OG OH ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 2OM ∴=9．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 ．【答案】4或2【详解】如图，过点B 作BT BF ⊥交ED 的延长线于T ，过点B 作BH DT ⊥于H ．DG BF ⊥，BT BF ⊥，//DG BT ∴，AD DB =，AE EC =，//DE BC ∴，∴四边形DGBT 是平行四边形，BG DT ∴=，DG BT =，45BDH ABC ∠=∠=︒， 32AD DB ==， 3BH DH ∴==， 90TBF BHF ∠=∠=︒，90TBH FBH ∴∠+∠=︒，90FBH F ∠+∠=︒，TBH F ∴∠=∠，1tan tan 3BT DG F TBH BF BF ∴∠=∠===， ∴13TH BH =， 1TH ∴=，134DT TH DH ∴=+=+=，4BG ∴=．当点F 在ED 的延长线上时，同法可得312DT BG ==-=．10．（2021•福田区二模）如图，点M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，过点M 作DM CM ⊥，交AC 于点D ，若2AD =，5BC =，则CD = ．【答案】29【详解】延长CM，使CM MN=，连接AN，点M是Rt ABC∆斜边AB的中点，AM BM∴=，在AMN∆和BMC∆中，AM BMAMN BMCMN CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN BMC SAS∴∆≅∆，5BC AN∴==，NAM B∠=∠，//AN BC∴，90BCA∠=︒，90NAD∴∠=︒，22225229DN AN AD∴=+=+=，DM CM⊥，CM MN=，29CD DN∴==．11．（2021•深圳模拟）如图，在Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，D为BC的中点，过点D作DE DF⊥，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若72CF=，4AC=，2AB=．则AE=．【答案】10【详解】延长FD 至G ，使GD FD =，连接BG ，如图所示： D 为BC 的中点，BD CD ∴=，在BDG ∆和CDF ∆中，BD CD BDG CDF GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDG CDF SAS ∴∆≅∆，72BG CF ∴==，G F ∠=∠， //BG CF ∴， BGH AFH ∴∆∆∽， ∴77271542GH BH BG FH AH AF ====+， ∴411DH FD =，15152211AH AB ==， 90BAC ∠=︒，152AF AC CF =+=， 221515755()()21122HF ∴=+=， 41051511DH FH ∴==， DE DF ⊥，90EDH BAC ∴∠=︒=∠，90E EHD F EHD ∴∠+∠=∠+∠=︒，E F ∴∠=∠，DHE AHF ∴∆∆∽，∴HE DH HF AH=，即10511157551122HE=，解得：12511HE=，12515101111AE HE AH∴=-=-=；12．（2021•宝安区二模）如图，在等腰Rt ABC∆中，90B∠=︒，BA BC=，D为BC上一点，且3BD=，E为AD上一点，连接CE，45CED∠=︒，2CE AE=，则CE的长为．【答案】1855【详解】过A作AN CE⊥的延长线于N，过C作CM AD⊥交AD延长线于M，2CE AE=，∴设AE a=，则2CE a=，3445∠=∠=︒，AN NE ∴=，45ECM ∠=︒，90B ∠=︒，BA BC =，45ACD ∴∠=︒，12∴∠=∠，AEN ∴∆，CEM ∆都是等腰直角三角形， 2CE a =，AE a =， CM EM a ∴==，22AN NE a ==， 12∠=∠，CDM CAN ∴∆∆∽，∴CM CD CN AC=， 22NE a =，2CE a =， 322NC a ∴=， 222213255222AC AN NC a a a a ∴=+=+==， ∴3252aCD a a =，103CD a ∴=， 1033BC a ∴=+， 在Rt ABC ∆中，45BAC ∠=︒，sin BC BAC AC∴∠=， sin45BC AC ∴=︒⋅，即1023532a a +=⨯， 9105a ∴=， 9101852255CE a ∴==⨯=． 13．（2021•宝安区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 是BC 边上两点，连接AD ，以AD 为腰作等腰直角ADF ∆，90ADF ∠=︒，作FE BC ⊥于点E ，FE CE =，若2BD =，5CE =，则CDF S ∆=． 【答案】30 【详解】过点A 作AH BC ⊥于H ，90AHD ∴∠=︒，FE BC ⊥，90DEF ∴∠=︒，ADF ∆是等腰直角ADF ∆，AD DF ∴=，90ADF ADH EDF ∠=∠+∠=︒，90ADH DAH ∴∠+∠=︒，EDF DAH ∴∠=∠，在ADH ∆和DFE ∆中，DAH EDF AHD DEF AD FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADH DFE AAS ∴∆≅∆，5CE =，5DH EF ∴==，7BH CH ∴==（三线合一）， ∴12CDF S DC EF ∆=⨯⨯11252=⨯⨯30=．14．（2021•罗湖区期末）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，点D 是BC上的一点，AC DC=，AB AE⊥，且AE AB=，连接DE交AC的延长线于点F，32ACCF=，则BDCD=．【答案】43【详解】在DC上截取CG CF=，连接AG，32ACCF=，设3AC x=，2CF x=，AC DC=，3CD x∴=，CG CF=，2CG x∴=，90ACB∠=︒，在Rt ACG∆和Rt DCF∆中，AC CDACD DCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACG DCF SAS∴∆≅∆，CAG CDF∴∠=∠，90AGB CAG∠=∠+︒，90EFA CDF∠=︒+∠，AGB EFA∴∠=∠，AB AE⊥，90EAB∴∠=︒，90ACD∠=︒，AC CD=，45CAD∴∠=︒，45EAF BAD ∴∠+∠=︒，45ADC ABC BAD ∠=︒=∠+∠，EAF ABC ∴∠=∠，在EAF ∆和ABG ∆中，EAF ABC EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAF ABG AAS ∴∆≅∆，5BG AF x ∴==，32GD x x x =-=，4BD x ∴=， ∴43BDCD =15．（2020•崇州市模拟）如果点P 是ABC ∆内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫ABC ∆的费马点．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC ∆中，当120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，P 就是ABC ∆的费马点．若点P 是腰长为2的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++= ．【答案】31+【详解】如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点， 在等腰Rt DEF ∆中，2DE DF ==，DM EF ⊥，22EF DE ∴==1EM DM ∴==， 故cos30EM PE ︒=， 解得：233PE =，则33PM =， 故313DP =-，同法可得233PF = 则233213133PD PE PF ++=⨯+-=+．16．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，45BC =，D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．【答案】8【详解】过点C 作CG BA ⊥于点G ，作EH AB ⊥于点H ，作AM BC ⊥于点M ． 5AB AC ==，45BC =，25BM CM ∴==，易证AMB CGB ∆∆∽，∴BM AB GB CB=， 即25545GB = 8GB ∴=，设BD x =，则8DG x =-，易证()EDH DCG AAS ∆≅∆，8EH DG x ∴==-，2111(8)(4)8222BDE S BD EH x x x ∆∴==-=--+， 当4x =时，BDE ∆面积的最大值为8．17．（2021•光明区二模）如图，扇形OPQ 可以绕着正六边形ABCDEF 的中心O 旋转，若120POQ ∠=︒，OP 等于正六边形ABCDEF 边心距的2倍，2AB =，则阴影部分的面积为 ．【答案】423π-【详解】连接OE ，OD ，OC ．设EF 交OP 于T ，CD 交OQ 于J ．120POQ EOC ∠=∠=︒，EOT COJ ∴∠=∠，OE OJ =，60OET OCJ ∠=∠=︒，()EOT COJ ASA ∴∆≅∆，2322234OTEDJ OEDC S S ∴==⨯⨯=五边形四边形， 2120(23)23423360OPQ OTEDJ S S S ππ⋅⋅∴=-=-=-阴扇形五边形 18．（2021•深圳二模）如图Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为．【答案】12 5【详解】90BAC∠=︒，3AB=，4AC=，225BC AC AB∴=+=，四边形APCQ是平行四边形，PO QO∴=，CO AO=，PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP'，ACB P CO∠=∠'，90CP O CAB∠'=∠=︒，CAB∴∆∽△CP O'，∴CO OP BC AB'=，∴253OP' =，65 OP∴'=，∴则PQ的最小值为1225 OP'=，方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC AB BC OP'=，求得OP'，而其他部分的步骤共用．19．（2020•九龙坡区校级月考）如图，Rt ABC∆中，AB BC⊥，6AB=，4BC=，点D是ABC∆内一个动点，且满足DAB DBC∠=∠，当线段CD取最小值时，记BCDα∠=，线段AB 上一动点E绕着点D顺时针旋转得到点F，且满足EDFα∠=，则AF的最小值 ．【答案】125 【详解】AB BC ⊥，6AB =、4BC =， 90DBC ABD ∴∠+∠=︒，DAB DBC ∠=∠，设DAB DBC β∠=∠=，90DAB ABD ∴∠+∠=︒，90ADB ∴∠=︒，∴点D 在以AB 为直径的圆上，设圆心为O ，半径为132AB =，则当O 、D 、C 三点共线时CD 最小，3OD OB OA ∴===，225OC OB BC ∴=+=，将DA 绕点D 逆时针旋转α，得到DG ，连接GE ，DG DA ∴=，GDA EDF α∠=∠=，GDE ADF ∴∠=∠，DE DF =，()GDE ADF SAS ∴∆≅∆，GE AF ∴=，∴当GE AB ⊥时，GE 最小，即AF 最小，过点D 作DM AB ⊥于M ，过点G 作GH DM ⊥，交DM 的延长线于点H ，//DM BC ∴，四边形GHME 为矩形．OMD OBC ∴∆∆∽，GE HM =，∴DM OM OD BC OB OC ==， ∴3435DM OM ==， 125DM ∴=，95OM =， 924355AM OM OA ∴=+=+=， DAB DBC β∠=∠=，OA OD =，ODA OAD β∴∠=∠=，2BOC ODA OAD β∴∠=∠+∠=．在Rt OBC ∆中，90OCB BOC ∠=︒-∠，902αβ∴=︒-，90MAD MDA ∠+∠=︒，90GDH βα∴++∠=︒，GDH DAM β∴∠==∠，90DHG AMD ∠=∠=︒，AD DG =，()GDH DAM AAS ∴∆≅∆．245DH AM ∴==， 125HM DH DM ∴=-=，即AF 的最小值为125． 20．（2021•南山区二模）矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，沿AE 将AEB ∆翻折得到AFE ∆，sin FCE ∠= ．【答案】45【详解】如图，过E 作EH CF ⊥于H ，由折叠的性质得：BE EF =，BEA FEA ∠=∠，点E 是BC 的中点，3CE BE ∴==，3EF CE ∴==，FEH CEH ∴∠=∠，90AEB CEH ∴∠+∠=︒，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒，BAE CEH ∴∠=∠，B EHC ∠=∠，ABE EHC ∴∆∆∽， ∴AB AE EH CE =， 22435AE =+=，125EH ∴=， 4sin 5EH ECF CE ∴∠==． 21．（2021•龙岗区二模）如图，已知在菱形ABCD ，9BC =，60ABC ∠=︒，点E 在BC 上，且6BE =，将ABE ∆沿AE 折叠得到△AB E '，其中B E '交CD 于点F ，则CF = ．【答案】95【详解】过点A 作AG BC ⊥交BC 于G ，取HG 使HG GE =，过H 作HM AE ⊥于H ，过F 作FN BC ⊥交BC 延长线于N ，四边形ABCD 是菱形，在Rt ABG ∆中，60B ∠=︒， 3sin sin 602AG B AB ∴=︒==， 39322AG AB ∴==， 1cos cos602BG B AB =︒==， 1922BG AB ∴==， 6BE =，922()2(6)32HE GE BE BG ∴==-=⨯-=， 在Rt AGE ∆中，222439633744AE AG GE =+=+==， 1122AHE S HE AG AE HM ∆=⨯⨯=⨯⨯， ∴131337222HM ⨯⨯=⨯⨯， 解得，92114HM =， HG GE =，AG HE ⊥，AHE ∴∆是等腰三角形，AH AE ∴=，AHE HEA ∠=∠，在Rt AHM ∆中，222229211064739763()1419614AM AH HM AE HM =-=-=-==， //AB CD ，60FCN B ∴∠=∠=︒，∴tan 603FN CN=︒=， 折叠，AEB HEA ∴∠'=∠，在Rt AHE ∆中，1801802HAE HEA AHE HEA ∠=︒-∠-∠=︒-∠，又1801802FEN HEA AEB HEA ∠=︒-∠-∠'=︒-∠，设CN x =，3FN x =， tan tan FN HM FEC HAM EN AM ∠=∠==，∴921314339714x x =+， ∴333313x x =+， 910x ∴=， 9931010CN FN ∴==， 22189105CF CN FN ∴=+==． 22．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD 中，13AE AD =，将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，延长BG 交CD 于F 点，若3CF FD ==，则BC 的长为 ．【答案】66【详解】延长BF 交AD 的延长线于点H ，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，//AD BC ，90A BCF ∠=∠=︒， H CBF ∴∠=∠，在BCF ∆和HDF ∆中，CBF H BCF DFH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCF HDF AAS ∴∆≅∆，将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，90A BGE ∴∠=∠=︒，AE EG =，90EGH ∴∠=︒， 13AE AD =， ∴设AE EG x ==，则3AD BC DH x ===， 2ED x ∴=，5EH ED DH x ∴=+=， 在Rt EGH ∆中，1sin 55EG x H EH x ∠===， 1sin 5CF CBF BF ∴∠==， ∴315BF =， 15BF ∴=，222215366BC BF CF ∴=-=-=23．（2021•葫芦岛二模）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，8AD =，E 为AB 边上一点，将BEC ∆沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当AEF ∆为直角三角形时，AE = ．【答案】7或515【详解】①如图，若90AEF ∠=︒，90B BCD AEF ∠=∠=︒=∠，∴四边形BCFE 是矩形，将BEC ∆沿着CE 翻折，∴四边形BCFE 是正方形，8BE BC AD ∴===，1587AE AB BE ∴=-=-=；②如图，若90AFE ∠=︒，将BEC ∆沿着CE 翻折，8CB CF ∴==，90B EFC ∠=∠=︒，BE EF =， 180AFE EFC ∠+∠=︒，∴点A ，点F ，点C 三点共线， 222215817AC AB BC ∴=+=+=，9AF AC CF ∴=-=，222AE AF EF =+，2281(15)AE AE ∴=+-，515AE ∴=， ③若90EAF ∠=︒，158CD CF BC =>==，∴点F 不可能落在直线AD 上，∴不存在90EAF ∠=︒，综上所述：7AE =或515． 24．（2020•青羊区校级期末）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，P 是边AD 上一点，将ABP ∆沿着直线BP 翻折得到△A BP '．当8AP =时，A D '= ．如图2，连接A C '，当2AP =时，此时△A BC '的面积为 ．【答案】217；60017 【详解】如图1，当8AP =时，由折叠知AB AP =，APB BPA '∠=∠，ABP A BP '∠=∠，90A BA P '∠=∠=︒， ∴四边形ABA P '是正方形，8A P '∴=，2PD =，222282217A D A P PD ''∴=+=+=．如图2，当2AP =时，过点A '作//MN AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，∴四边形ABNM 为矩形，8AB MN ∴==，AM BN =，90AMN BNM ∠=∠=︒， 设A M x '=，则8A N x '=-，设BN y =，则2PM y =-， 在Rt PMA '∆中，222PM A M PA ''+=，222(2)2y x ∴-+=①，在Rt BNA '∆中，222BN A N A B ''+=，222(8)8y x ∴+-=②，由①②可得，4y x =，把4y x =代入①得，222(42)2x x -+=， 解得，1617x =， 1612081717A N '∴=-=， 1112060010221717A BC S BC A N ''∴=⨯⨯=⨯⨯=． 25．（2021•坪山区二模）如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，60C E ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，AC 与DE 相交于点F ，3DF CF =，则AD BD= ．【答案】3【详解】连接EC ，如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，60ACB AED ∠=∠=︒， AED ACB ∴∆∆∽，∴AE AD AC AB=， 即AE AC AD AB=， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，EAC DAB ∴∠=∠，EAC DAB ∴∆∆∽，∴AD BD AE EC=，ACE ABD ADE ∠=∠=∠， 在Rt EAD ∆中，60AED ∠=︒，∴3AD AE=，∴3BD EC =， ∴33EC BD=，EFCAFD ∠=∠，ECF ADF ∠=∠， EFC AFD ∴∆∆∽，∴3AD DF EC CF==， ∴3333AD AD EC BD EC BD =⋅=⨯= 26．（2021•深圳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则BAC DAE ∠-∠= ︒（点A ，B ，C ，D ，E 是网格线交点）．【答案】45【详解】如图，连接CG 、AG ，由勾股定理得：2222125AC AG ==+=，2221310CG =+=， 222AC AG CG ∴+=，90CAG ∴∠=︒，CAG ∴∆是等腰直角三角形，45ACG ∴∠=︒，//CF AB ，ACF BAC ∴∠=∠，在CFG ∆和ADE ∆中，90CF AD CFG ADE FG DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CFG ADE SAS∴∆≅∆，FCG DAE∴∠=∠，45BAC DAE ACF FCG ACG∴∠-∠=∠-∠=∠=︒27．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将ADE∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若4AD=，则图中阴影部分的面积为．【答案】23 9【详解】连接OG，QG，将ADE∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，4AD DF∴==，2BF CF==，矩形ABCD中，90DCF∠=︒，30FDC∴∠=︒，60DFC∴∠=︒，O与CD相切于点G，OG CD∴⊥，BC CD⊥，//OG BC∴，DOG DFC∴∆∆∽，∴DO OG DF FC=，设OG OF x==，则442x x-=，解得：43x =，即O 的半径是43． 连接OQ ，作OH FQ ⊥， 60DFC ∠=︒，OF OQ =， OFQ ∴∆为等边三角形；同理OGQ ∆为等边三角形； 60GOQ FOQ ∴∠=∠=︒，32323OH OQ ==， 3232333QH ∴=⨯=， 23CQ ∴= 四边形OHCG 为矩形，233OH CG ∴==， 232311222339CGQ S S CQ CG ∆∴==⨯⨯=⨯⨯=阴影． 28．（2020•扬州）如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得14DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．【答案】93【详解】作CH AB ⊥于点H ，在ABCD 中，60B ∠=︒，8BC =，43CH ∴=，四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG ∴，EOD GOC ∴∆∆∽，∴EO DO ED GO OC GC==，14DF DE =， ∴45DE EF =， ∴45ED GC =， ∴45EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，CH EO ∴=，43EO ∴=，53GO ∴=，EG ∴的最小值是9329．（2021•锡山区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，点E 为边AB上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得13DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造平行四边形EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．【答案】1433【详解】作CH AB ⊥于点H ，在ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，23CH ∴=，四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG ∴，EOD GOC ∴∆∆∽， ∴EO DO ED GO CO GC ==， 13DF DE =， ∴34DE EF =， ∴34ED GC =， ∴34EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，CH EO ∴=，23EO ∴=，833GO ∴=， EG ∴的最小值是814233333+=30．（2021•龙岗区校级一模）如图，在矩形ABCD 中，5AC =，AE 平分DAC ∠交CD 于E ，CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，则CF = ．【答案】10【详解】作FG AC ⊥于点G ，作FM CD ⊥于点M ，作FN AD ⊥于点N ， CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，:1:2CE CA ∴=，5AC =， 52CE ∴=， AE 平分DAC ∠，CF 平分ACD ∠， FG FM FN ∴==， FM CD ⊥，AD CD ⊥，:1:2EF AF =， EMF EDA ∴∆∆∽，∴13MF EF DA EA ==， 设FM x =，则3AD x =，同理可得，ANF AED ∆∆∽，则32DE x =， 5322CD x ∴=+， 90D ∠=︒，3AD x =，5AC =， 22253()(3)522x x ∴++=， 解得11x =，253x =-（舍去）， 1FM ∴=，5311322CM =+⨯-=， 又90CMF ∠=︒，221310CF ∴=+=，故答案为：10．。

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）函数（二）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•丹东）如图，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB//x 轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（）A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，∵AB∥x轴，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，∵S△ABC＝S△AOB＝6，∴1﹣k＝6，∴k＝﹣10．故选：C．2．（2021•丹东）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（）A．2B．3C．4D．5解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，∴c＜0，∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确；∴2a+2b+c＝2a+2×﹣1﹣a＝a＞0，故②正确；∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c＝﹣，∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，∴抛物线与x轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：，∴Δ＝，∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC ＝3BD，则点B的横坐标为（）A．B．2C．D．3解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故选：B．4．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（）A．﹣8B．﹣2C．﹣8D．﹣6解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，∴x B＝，x A＝，即A（，4），B（，2），∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，∴BC＝AB＝，又∵菱形ABCD的面积为8，∴BC×（y A﹣y B）＝8，即×（4﹣2）＝8，整理得＝4，解得k＝±8，∵函数图象在第二象限，∴k＜0，即k＝﹣8，故选：A．5．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．6．（2021•本溪）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∴BD＝2AD＝2，当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），观察图象可知，选项D满足条件，故选：D．7．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，∴（1）函数图象开口向上，（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故选：C．二．填空题（共2小题）8．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F 两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为﹣2+2．解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．9．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）解：∵2m﹣1＜0（m＜），∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．三．解答题（共16小题）10．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积．解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，∴，∴m＝3，∴B（3，2），∴k＝6，∴反比例函数的解析式为；（2）∵BC⊥y轴，∴C（0，2），BC∥x轴，∴BC＝3，令x＝0，则y＝，∴A（0，﹣2），∴AC＝4，∴，∴△ABC的面积为6．11．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，取x＝0，得y＝8，∴C（0，8），取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴B（4，0）；（2）存在点P，设P（0，y），若CC'是斜边，则PC＞PO，不合题意，舍去，∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：y1＝16，，∴P（0，16）或P（0，）．12．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m＝时，点A的坐标是（，1），抛物线与y轴交点的坐标是（0，）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y 随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m 的值．解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，∴顶点A（，1），令x＝0，得y＝，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），故答案为：（，1），（0，）；（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，解得：m＝1，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝（舍）或m＝﹣，②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝，综上所述，m的值为或﹣；（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（不合题意，应舍去），∴B（m+，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m+，解得：m＝或m＝（不合题意，应舍去）；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，解得：m＝，经检验，m＝不符合题意，舍去，∴m＝，若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，解得：m＝﹣1＜0，不合题意，舍去；当m＜0时，如图2，若点B在NQ边上，点C在PM边上，则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（舍去），∴|m+|＝2，当m+＝2时，得m2﹣2m+3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程无解；当m+＝﹣2时，得m2﹣6m+3＝0，解得：m＝3﹣或m＝3+，∵m＜0，∴均不符合题意；若点B在NQ边上，点C在MN边上，则|m+|＝|2m|，∴m+＝﹣2m或m+＝2m，∵m＜0，∴m＝﹣或m＝﹣1﹣，经验证，m＝﹣时，不符合题意；∴m＝﹣1﹣；若点B在PQ边上，点C在PM边上，显然点B到y轴的距离为4，点C到x轴的距离为2，不符合题意；综上所述，m的值为或或﹣1﹣．13．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．14．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ 与图象有2个交点．15．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）设y＝kx+b，将（50，100）、（80，40）代入，得：，解得：∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；（2）设电商每天获得的利润为w元，则w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵﹣2＜0，且对称轴是直线x＝70，又∵50≤x≤80，∴当x＝70时，w取得最大值为1800，答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．16．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C，∴﹣4＝2×（﹣5）+m，解得：m＝6，∴C（0，6），将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2＝125，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，∴∠BCA＝∠ECA，如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），∵∠BAC＝∠F AC＝90°，AF＝AB，AC＝AC，∴△F AC≌△BAC（SAS），∴∠BCA＝∠FCA，∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CF的解析式为，联立方程组，解得：或（舍去），故点E坐标为（，）；（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，∵AB＝5，BC＝，∴sin∠BCA＝，∴MN＝，又CO＝6，∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，当F、N、M三点共线时，t最小，∵AC＝10，BC＝，∴sin∠ABC＝，∴FM'＝，∴点P运动时间t的最小值为，由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），∵FD＝，∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，联立方程组，解得：，∴此时N坐标为（﹣6，）．17．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．18．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．（1）当m＝2时，①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m 的值；（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．解：（1）当m＝2时，y＝，①∵M（4，n）在该函数图象上，∴n＝42﹣2×4+2＝10；②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，∵﹣＜0，∴当x＝时，y有最大值是2，当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，∵2＜2，∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；（2）分两种情况：①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝PQ，∴m＝﹣+m+m，解得：m1＝0，m2＝6，∵m＞0，∴m＝6；②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m 解得：m1＝0，m2＝14，∵m＞0，∴m＝14；综上，m的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，当x＝0时，y＝m，∴OB＝m，∵CD＝m，∴CD＝OB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD，∵∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△ABO≌△BCD（ASA），∴OA＝BD，当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，x2﹣x﹣2m＝0，解得：x1＝，x2＝，∴OA＝，且﹣≤m≤3，∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，∴OD＝c＝﹣a，∴BD＝m﹣OD＝m+a，∵OA＝BD，∴＝m+，解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，同理得：OA＝BD，当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，解得：x1＝，m2＝（舍），∴OA＝＝a，∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，解得：m1＝0，m2＝﹣；综上，m的值是或﹣．19．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC ＝2．（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，如图1中，设BC交y轴于D．∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，∴OD＝4，∴D（0，4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，由，解得（即点B）或，∴C（﹣1，6）．（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，∴E（﹣，0），当0＜m＜2时，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．当﹣＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．综上所述，S＝．（3）∵直线AC交x轴于（﹣，0），B′（2m﹣2），当﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝或（都不符合题意舍弃），当3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+或﹣2﹣（舍弃），综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+．20．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，∴y＝﹣2x+220；（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元，答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．21．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．22．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，∵S△DMN＝S△AOC，∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8），∴DM＝＝3，答：DM的长为3．23．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF 的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，解得x＝1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，该直线过点B（0，3），故t＝3，则直线BQ的表达式为y＝x+3，当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；24．（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1m/min；（2）求AB的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．解：（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），故答案为：1；（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，∵图象经过A（7，30）和B（10，18），把点A和点B坐标代入函数解析式得：，解得：，∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，∴x＝14.5，∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．25．（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）解：【探索发现】①如图②，②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得：，∴y＝6x+6；【结论应用】应用上述发现的规律估算：①x＝12时，y＝6×12+6＝78，∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．。

初三数学中考基本题型训练（3）1. 4的算术平方根是（）A.±2B.2C.±2D.22．计算23()a的结果是（）A．5a B．6a C．8a D．23a3．若12x x，是一元二次方程2560x x-+=的两个根，则12x x+的值是（）A．1B．5C．5-D．64．请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化．（）对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．下面事件：①掷一枚硬币，着地时正面向上；②在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾；③买一张福利彩票，开奖后会中奖；④明天会下雨．其中，必然事件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：6．-7的相反数是_______。

7．当x= 时，分式1xx+没有意义．8．．一元二次方程2x x=的解为9．化简：22221369x y x yx y x xy y+--÷--+＝_______10．请写出一个是轴对称图形的图形名称．答：．三、解答题：11．解方程．33122xx x-+=--第4题图12．解不等式组13．某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率。

14.一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每球除了颜色以外没有任何区别.(1)小王通过大量反复的实验(每次取一个球，放回搅匀后再取第二个)发现，取出黑球的频率稳定在 左右，请你估计袋中黑球的个数.(2)若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出一个球，取出红球的概率是多少?15．为了建设“森林重庆”，绿化环境，某中学七年级一班同学都积极参加了植树活动，今年4月该班同学的植树情况的部分统计如下图所示：（1）请你根据以上统计图中的信息，填写下表：该班人数植树株数的中位数 植树株数的众数（2）请你将该条形统计图补充完整．5125431x x x x ->+⎧⎨-<+⎩，．16 1412 10 8 6 4 20 9 16 7 4 1 2 4 5 6 植树量（株） 20题图 人数 1 4。

2021中考数学 二轮冲刺训练：圆的有关性质一、选择题1. 已知：如图，OA ，OB 是⊙O的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为( )A ．45°B ．35°C ．25°D ．20°2. 如图，BC是半圆O 的直径，D ，E 是上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果∠A=70°，那么∠DOE 的度数为 ( )A .35°B .38°C .40°D .42°3. 如图，在⊙O中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，CD ⊥AB.若∠DAB ＝65°，则∠BOC 等于( )A ．25°B ．50°C ．130°D ．155°5. 2018·济宁如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A．50°B．60°C．80°D．100°6. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为()A．3 B．2.5 C．4 D．3.57. 如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A．22.5°B．30°C．45°D．60°8. (2019•镇江)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC CB=．若∠=︒，则ABC∠的度数等于110CA．55︒B．60︒C．65︒D．70︒二、填空题9. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为.10. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC 上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.11.如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．12. 已知：如图，A ，B是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)13. 如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P 的坐标为________．14. 如图所示，在半圆O 中，AB 为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.15. 已知⊙O的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵，直线AO 与BC交于点D ，则AD 的长为________．16. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动(点C ，D 与点A ，B 不重合)，M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P.若CD ＝3，AB ＝8，PM ＝l ，则l 的最大值是________．三、解答题17. 如图，AB 是☉O 的直径，C 是☉O 上一点，过点O 作OD ⊥AB ，交BC 的延长线于点D ，交AC 于点E ，F 是DE 的中点，连接CF . (1)求证:CF 是☉O 的切线; (2)若∠A=22.5°，求证:AC=DC.18. 如图，在⊙O中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E.求证：AD ＝BE.19. 如图，AB是☉O 的直径，DO ⊥AB 于点O ，连接DA 交☉O 于点C ，过点C 作☉O的切线交DO 于点E ，连接BC 交DO 于点F . (1)求证:CE=EF .(2)连接AF 并延长，交☉O 于点G .填空:①当∠D 的度数为 时，四边形ECFG 为菱形; ②当∠D 的度数为 时，四边形ECOG 为正方形.20.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数；(2)求证：AE2＝EF·ED；(3)求证：AD是⊙O的切线．21.如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB 垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝13，求AD；(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．22.在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C[解析]∵∠A=70°，∴∠B +∠C=110°，∴∠BOE +∠COD=220°，∴∠DOE=∠BOE +∠COD -180°=40°，故选C .3. 【答案】A[解析] ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，∴∠B ＝∠A ＝50°，∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°. ∵C 是AB ︵的中点， ∴∠BOC ＝12∠AOB ＝40°. 故选A.4. 【答案】C5. 【答案】D[解析] 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， 可知∠α＝2∠BCD ＝260°. 而∠α＋∠BOD ＝360°， 所以∠BOD ＝100°.6. 【答案】C7. 【答案】C[解析] 设圆心为O ，连接OA ，OB ，如图．∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍， 即AB ＝2OA ，∴AB2＝2OA2.∵OA ＝OB ，∴AB2＝OA2＋OB2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°， ∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.故选C.8. 【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°， ∵DC CB ，∴∠CAB=12∠DAB=35°， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A ．二、填空题9. 【答案】5 [解析]如图，已知☉O ，圆内接正方形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正方形的边长为a ，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即2+2=52，解得a=5.10. 【答案】52°[解析]∵圆内接四边形对角互补，∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.11.【答案】35 【解析】∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠C ＝∠OAC ，∵∠AOB ＝40°，∴∠B＝∠OAB ＝70°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC ＝∠C ，∴∠OAC ＝∠BAC ＝12∠OAB ＝35°.12. 【答案】菱形[解析] 连接OC.∵C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠COB ＝60°. 又∵OA ＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OCB 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ， ∴四边形OACB 是菱形．13. 【答案】(－4，－7)[解析] 过点P 作PH ⊥MN 于点H ，连接PM ，则MH ＝12MN ＝3，OH ＝OM ＋MH ＝7.由勾股定理，得PH ＝4，∴圆心P 的坐标为(－4，－7)．14. 【答案】(902n －1) [解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45°所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.15. 【答案】3或1 [解析] 如图所示：∵⊙O 的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵， ∴AO ⊥BC ，垂足为D ， 则BD ＝12BC ＝ 3. 在Rt △OBD 中， ∵BD2＋OD2＝OB2， 即(3)2＋OD2＝22， 解得OD ＝1.∴当点A 在如图①所示的位置时，AD ＝OA －OD ＝2－1＝1； 当点A 在如图②所示的位置时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋1＝3.16. 【答案】34 [解析] 如图，当CD ∥AB 时，PM 的长最大，连接OM ，OC .∵CD ∥AB ，CP ⊥AB ，∴CP⊥CD.∵M为CD的中点，OM过点O，∴OM⊥CD，∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM＝OC.∵⊙O的直径AB＝8，∴半径OC＝4，∴PM＝4.三、解答题17. 【答案】证明:(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°.∵点F是ED的中点，∴CF=EF=DF，∴∠AEO=∠FEC=∠FCE.∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC.∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO=90°，∴∠OCA+∠FCE=90°，即OC⊥FC，∵OC是☉O的半径，∴CF与☉O相切.(2)∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE=∠ACD=90°.∵∠AEO=∠DEC，∴∠OAE=∠CDE=22.5°.连接AD ，∵AO=BO ，OD ⊥AB ，∴AD=BD ，∴∠ADO=∠BDO=22.5°，∴∠ADB=45°，∴∠CAD=90°-∠ADB=45°=∠ADB ，∴AC=CD.18. 【答案】证明：如图，连接OC. ∵AC ︵＝CB ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.∵CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°.在△COD 与△COE 中，⎩⎨⎧∠AOC ＝∠BOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS)，∴OD ＝OE.又∵AO ＝BO ，∴AO －OD ＝BO －OE ，即AD ＝BE.19. 【答案】解:(1)证明:连接OC.∵CE 是☉O 的切线，∴OC ⊥CE.∴∠FCO +∠ECF=90°.∵DO ⊥AB ，∴∠B +∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO ，∴∠B +∠CFE=90°.∵OC=OB ，∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF .(2)∵AB 是☉O 的直径，∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE +∠ECF=90°，∠D +∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE ，∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF .即点E 为线段DF 的中点.①四边形ECFG 为菱形时，CF=CE.∵CE=EF ，∴CE=CF=EF .∴△CEF 为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°.故填30°.②四边形ECOG 为正方形时，△ECO 为等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D +∠DCE ，∴∠D=∠DCE=22.5°.故填22.5°.20. 【答案】(1)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝36°，∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝36°，∴∠DAF ＝∠AFB －∠D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF ＝∠FBC ＝∠D ，∠AEF ＝∠AED ，∴△EAF ∽△EDA ， ∴AE DE ＝EF EA ，∴AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足，∵AB ＝AC ，∴AG 垂直平分BC ，∴AG 过圆心O ，∵AD ∥BC ，∴AD ⊥AG ，∴AD 是⊙O 的切线．解图21. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE， ∴△BOE ≌△DOE (SAS)，∴∠ODE ＝∠OBE ，∵BE ⊥AB ，∴∠OBE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵AB ⊥CD ，∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13， ∵⊙O 的半径为3，∴AB =6，∴AD ＝13AB ＝2；解图 (3)解：猜想PF ＝FD ，证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE ，∴△APF ∽△ABE ，∴PF BE ＝AP AB ，∴PF ＝AP ·BE AB ，在△APD 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠P AD ＝∠BOE ， ∴△APD ∽△OBE ，∴PD BE ＝AP OB， ∴PD ＝AP ·BE OB ，∵AB ＝2OB ，∴PF ＝12PD ， ∴PF ＝FD .22. 【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的一动点，且∠ACB ＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C 必在以AB 为直径的圆上，所以以AB 为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C 的另一点就是所求；(2)因为∠ACB ＝90°，∠AOC ＝90°，所以过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m 2－5m ＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数；常数项是点A的纵坐标与点B 的纵坐标的积，先把方程ax 2＋bx ＋c ＝0，化为 x 2＋b a x ＋c a＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上，过P 、Q 分别作x 轴垂线，垂足为M 、N ，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．图① 图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°，∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ，∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°，∴△AOD ∽△DEB ，(6分)∴AO DE ＝OD EB ，即15－m ＝m 2，∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实根；(8分)(3)解：(0，1)，(－b a ，c a )或(0，1a )，(－b a ，c )；(10分)(4)解：在解图②中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N.由(2)知△PMD ∽△DNQ ，∴n 1m 2－x ＝x －m 1n 2，(12分) ∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解，∴－b a ＝m 1＋m 2；c a ＝m 1m 2＋n 1n 2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB ＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m 的等量关系，从而使问题得以解决．。

2023年中考数学压轴题专项训练--填空压轴题(几何篇)一、压轴题速练1一．填空题(共40小题)1(2023•龙湾区二模)如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，点D是线段AC上任意一点，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，AE=m，CF=n，则n+m的最大值是，最小值是．2(2023•湖北模拟)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，AB=22，现有半径足够大的扇形OEF，∠EOF=90°，当扇形OEF绕点O转动时，扇形OEF和正方形ABCD重叠部分的面积为．3(2023•榆树市二模)如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交BC于点M．若AB=13，EF=1，则GM的长为．4(2023•道外区二模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠ABC=90°，以CD为斜边作等腰直角△ECD，连接BE，若CD=213，BE=2，则AB=．5(2023•包河区二模)Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．(1)如图1，若DE ⊥BC 与E ，DF ⊥AC 于F ，DE =3，DF =4，则AB =；(2)如图2，若点P 是CD 的中点，且CP =52，则PA 2+PB 2=．6(2023•庐江县三模)如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，连接MN ，若∠DAM =105°，∠BAN =75°，若AM AN=3+12，则∠ANM =°．7(2023•中山市二模)如图，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，点A ，B ，E 在同一直线上，BD ⊥AE ，垂足为点B ，点C 在BD 上，AB =4，BE =10．将△ABC 沿BE 方向平移，当这两个三角形重叠部分的面积等于△ABC 面积的一半时，△ABC 平移的距离为．8(2023•新都区模拟)青朱出入图，是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂．开方除之，即弦也．”，若图中DF =1，CF =2，则AE 的长为．9(2023•黄埔区一模)△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=6，∠BAC=90°，动点D在边BC上运动．以A为直角顶点，在AD右侧作等腰直角三角形△ADE(如图)．M为DE中点，N为BC三等分点，CN=13BC，连接MN，则线段MN的最小值为．10(2023•雁塔区校级模拟)如图，菱形ABCD的边长为5，将一个直角的顶点放置在菱形的中心O 处，此时直角的两边分别交边AD，CD于点E，F，当OE⊥AD时，OE的长为2，则EF的长是．​11(2023•奉贤区二模)如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为2，这两条边的夹角是90°，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是　2　．12(2023•吕梁一模)如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，点E，F分别在边AB和BC 上，且∠EPF=45°，若CF=2DP=4，AE=12，则AB的长度为．13(2023•蚌埠二模)如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，以点A为圆心，AE长为半径画弧EF，交边BC于点F，已知正方形边长为1．(1)若∠DAE=15°，则DE的长为；(2)△AEF的面积为S的最大值是．14(2023•兰考县一模)如图，方形ABCD中，AB=8，点P为射线BC上任意一点(与点B、C不重合)，连接AP，在AP的右侧作正方形APGH，连接AG，交射线CD于E，当ED长为2时，点BP的长为．15(2023•本溪一模)由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C，D都在格点上，∠A=60°，则cos∠CDB的值为．16(2023•沂南县校级一模)如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD 于点F，交AC与点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN、EM，则下列结论：①DN=BM；②EM∥FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是．17(2023•琼海一模)如图，菱形ABCD，AE⊥BC，点E为垂足，点F为AE的中点，连接BF并延长交AD于点G，连接CG，CE=2，CG=211，则DG=，AG=，AF=．18(2023•镇江一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，△BEF的顶点E在对角线AC上运动，且∠BFE=90°，∠EBF=∠BAC，连接AF，则AF的最小值为．19(2023•泉州模拟)如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E 在边AD 上，以BE 为边在菱形ABCD 的内部作等边三角形BEF ，若∠DEF =α，∠EBD =β，则α与β之间的数量关系可用等式表示为．20(2023•市南区一模)如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 边上的点，∠EAF =45°，则下列结论中正确的有．(填序号)①BE +DF =EF ；②tan ∠AMD =CD DF； ③BM 2+DN 2=MN 2；④若EF =1.5，S △AEF =3，则．S 正方形ABCD =4．21(2023•大连一模)学习菱形时，我们从它的边、角和对角线等方面进行研究，可以发现并证明：菱形的每一条对角线平分一组对角．小明参考平行四边形、矩形判定方法的研究过程，得出下面的猜想：①一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；②每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是(填序号，填写一个即可)．22(2023•石景山区一模)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE =DF ．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是矩形，这个条件可以是(写出一个即可)．23(2023•河东区一模)已知，如图，已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，点E ，F 分别在AB ，CB 的延长线上，且BE =BF =13AB ，G 是DF 的中点，连接GE ，则GE 的长是．24(2023•合肥模拟)如图，点P在正方形ABCD内，∠BPC=135°，连接PA、PB、PC、PD．(1)若PA=AB，则∠CPD=；(2)若PB=2，PC=3，则PD的长为．25(2023•鄞州区一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，作正方形CDEF，其中顶点E 在边AB上．(1)若正方形CDEF的边长为26，则线段AE的长是；(2)若点D到AB的距离是2，则正方形CDEF的边长是．26(2023•郓城县校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．点M是BC 边的中点，连接AM、OM，作CF∥AM．已知OC平分∠BCF，OB平分∠AOM，若BD=32，则sin∠BAM的值为．27(2023•三原县二模)如图，点M是▱ABCD内一点，连接MA，MB，MC，MD，过点A作AP∥BM，过点D作DP∥CM，AP与DP交于点P，若四边形AMDP的面积为6，则▱ABCD的面积为．28(2023•和平区二模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E为边BC上一点，BE=3，在AE的右侧，以AE为边作正方形AEFG，H为BG的中点，则AH的长等于．29(2023•鼓楼区校级模拟)如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，B是边AB上一点，△BCE与△FCE关于直线CE对称，连接BF并延长交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为点H，设BE=a，若点H为AG的中点，则BE的长为．30(2023•呼和浩特一模)如图在菱形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，点P为边AB上的任一点(不与A、B重合)，过点P分别作PM⊥AC，PN⊥BD，M、N为垂足，则可以判断四边形MPNO 的形状为．若菱形的边长为a，∠ADC=120°，则MN的最小值为．(用含a的式子表示)31(2023•洛阳一模)在扇形OAB中，∠AOB=60°，点C是半径OA上一点，且OC=6，将线段OC 沿OB方向平移，当平移距离是6时，点C的对应点C'恰好落在弧AB上，则图中阴影部分的面积为．32(2023•临渭区二模)如图，正六边形纸片ABCDEF的边长为6cm，从这个正六边形纸片上剪出一个扇形(图中阴影部分)，则这个扇形的面积为cm2．(结果保留π)33(2023•桂林二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，半径为1的⊙O在Rt△ABC内移动，当⊙O与∠A的两边都相切时，圆心O到点B的距离为2　．34(2023•万州区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，以点B为圆心，AB为半径作圆弧交CB的延长线于点D，以点A为圆心，AC为半径作圆弧交AD于点E．则图中阴影部分的面积为．35(2023•九龙坡区校级模拟)如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD 为折线将弧AC、弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为．36(2023•烟台一模)如图，GC，GB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长GC，与BA的延长线交于点E，过点C作弦CD∥AB，连接DO并延长与圆交于点F，连接CF，若AE=2，CE=4，则CD的长度为．37(2023•历下区二模)如图，已知扇形AOB的半径OA=2，∠AOB=120°将扇形AOB绕点A顺时针旋转30°得到扇形AO′B′，则图中阴影部分的面积是．38(2023•邓州市一模)如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，OA=3，半径OC平分AB，点D为半径OA中点，点E为半径OC上一动点，当AE+DE取得最小值时，由AC，AE，CE围成的阴影部分的面积为．39(2023•龙口市二模)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为．40(2023•渝中区校级二模)如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为．​。

备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣方向角问题，填空题专训及答案备考2021中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣方向角问题，填空题专训1、(2016大连.中考真卷) 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．2、(2018东胜.中考模拟) 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里（结果保留根号）．3、(2019辽阳.中考模拟) 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）.4、(2018吉林.中考模拟) 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度________．5、(2019张家港.中考模拟) 如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶12千米至B 地,再沿北偏西45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为________千米。

(结果保留根号)6、(2019新泰.中考模拟) 如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为________（结果保留根号）7、(2018滨州.中考模拟) 如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是________海里（结果保留根号）．8、(2017肥城.中考模拟) 如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10 海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时？9、(2017天桥.中考模拟) 一艘轮船在小岛A的北偏东60°距小岛80海里的B处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西4 5°的C处，则该船行驶的速度为________海里/小时．10、(2018济宁.中考真卷) 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________ km．11、(2018潍坊.中考真卷) 如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)12、(2020黄石.中考模拟) 周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛处观看李四在湖中划船（如图），小船从处出发，沿北偏东方向划行200米到处，接着小船向正南方向划行一段时间到处.在处李四观测张三所在的处在北偏西的方向上，这时张三与李四相距________米（保留根号）.13、(2019荆州.中考真卷) 如图，灯塔在测绘船的正北方向，灯塔在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔的正南方向，此时测得灯塔在测绘船北偏西的方向上，则灯塔，间的距离为________海里（结果保留整数）.（参考数据，，，）.14、(2017邵阳.中考模拟) 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．15、(2018.中考模拟) 如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程________（结果保留根号）16、(2018宁夏回族自治区.中考真卷) 一艘货轮以18 ㎞/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.17、(2020宁波.中考模拟) 如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为________米(精确到1米，参考数据 ≈1．414， ≈1．732)。

题型三填空压轴题类型1多空类1.如图,在直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AC上的点(不含端点),折叠△DCE 使得直角顶点C落在斜边AB上的点F处,且△BDF是直角三角形.(1)四边形DCEF的形状是;(2)若AB=10,AC=6,则CD的长为.2.如图(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AF在∠BAC内部,且AF=AB.分别对折∠BAF,∠CAF,使得AB,AC与AF重合,如图(2)(BD<CE).(1)△DEF的形状是;(2)若AB=6√2,DE=5,则AD的长为.3.在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,E为边CD上一点.如图(1),将△BCE沿BE所在直线折叠,点C恰好落在AD边上的点F处;将纸片展开,如图(2),沿着CF所在直线折叠△CDF得到△CD'F,折痕CF 与BE交于点M.(1)点D'BF上的一点;(填“是”或“不是”)(2)若点N是AF的中点,连接MN,则MN=.4.如图(1),四边形ABCD是正方形,点E是边AD上的点,将△CDE沿着直线CE折叠,使得点D落在AC上,对应点为点F.(1)CDEF=;(2)如图(2),点G是BC上的点,将△ABG沿着直线AG折叠,使得点B落在AC上,对应点为H,连接FG,EH,则S正方形ABCDS四边形EFGH=.5.在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们可以通过折纸得到一些特殊图形,把一张正方形纸片按照图(1)~(4)的过程折叠、展开.(1)(2)(3)(4)(1)在图(4)中,四边形ABCD是形;(2)若四边形ABCD的面积为S,则正方形纸片的面积为.类型2几何多解类1.点、线位置不确定类多解题6.[2020亳州二模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=16,点D,E分别在边BC,AB上,沿DE将△ABC 折叠,使点B与点A重合,连接AD,点P在线段AD上,当点P到△ABC的直角边距离等于5时,AP的长为.7.[2019宣城二模]在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.8.[2020安庆模拟]已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=9,BC=12.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q 作AC的垂线交射线AB于点P.连接BQ,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为.2.图形形状不确定类多解题9.如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=√5,BC=4,点D从点A出发,以每秒√5个单位长度的速度向点B运动,同时点E从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向点C运动,在DE的右侧作∠DEF=∠B,交直线AC于点F,连接DF.设运动时间为t秒,则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为.10.[2019合肥包河区一模]如图,在矩形ABCD中,AD=4,AC=8,点E是AB的中点,点F是对角线AC上一点,△GEF与△AEF关于直线EF对称,EG交AC于点H.当△CGH中有一个内角为90°时,CG的长为.11.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E在AD边上,且AE=2.点P是射线BC上一动点,连接BE,PE,过点P作PF⊥BE于点F.当△PEF与△ABE相似时,BP的长为.3.操作过程不确定类多解题12.如图是一张有一个角为30°,最小边长为4的直角三角形纸片,沿图中所示的中位线剪开后,将两部分拼成一个四边形,则所得四边形的周长为.13.在某张三角形纸片上,取其一边的中点,沿着过这点的两条中位线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的四边形,经测量这个四边形的相邻两边长分别为10 cm,6 cm,一条对角线的长为8 cm,则原三角形纸片的周长是cm.类型3函数多解类14.在抛物线y=ax2+bx+c中,当-3≤x≤3时,-3≤y≤3,且该抛物线经过点(3,-3),(-3,3),则a的取值范围为-.15.[2020合肥48中一模]在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=-x2-2x+c与y轴交于点P,以OP为一边向左作正方形OPBC,点A为抛物线的顶点,当△ABP是锐角三角形时,c的取值范围是.16.[2020合肥瑶海区二模]如果二次函数y=x2+b(b为常数)与正比例函数y=2x的图象在-1≤x≤2时有且只有一个交点,那么常数b的值应为.17.如图,直线y=x与抛物线y=x2-x-3交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随着m的增大而减小时,m的取值范围是.18.如图,若双曲线L:y=kx (x<0)与抛物线G:y=-34x(x+4)所围成的区域(不含边界)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数是3,则k的取值范围是.参考答案题型三 填空压轴题1.(1)正方形 (2)247 (1)易知∠B<90°.由折叠可知∠DFE=90°,∴∠BFD=90°-∠AFE<90°,∴∠BDF=90°,∴∠CDF=180°-∠BDF=90°,∴四边形DCEF 是矩形.又DC=DF ,∴四边形DCEF 是正方形.(2)如图,∵四边形DCEF 是正方形,∴EF ∥BC ,EC ∥FD ,∴∠AEF=∠C=∠FDB ,∠AFE=∠B ,∴△AEF ∽△FDB ,∴AE FD =EFDB ,∴AE ·DB=EF ·FD.易得BC=8.设CD=x ,则CE=EF=DF=CD=x ,∴BD=8-x ,AE=6-x ,∴(6-x )·(8-x )=x 2,解得x=247,即CD=247.2.(1)直角三角形 (2)3√5 (1)由折叠可知∠AFD=∠B ,∠AFE=∠C.∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠AFD+∠AFE=90°,故△DEF 是直角三角形.(2)如图,过点A 作AG ⊥BC ,垂足为点G.∵AB=AC=6√2, ∠BAC=90°,∴BC=2+AC 2=12.∵AB=AC ,AG ⊥BC ,∴AG=BG=CG=6.设BD=x ,则DF=x ,EF=EC=12-DE-BD=12-5-x=7-x.在Rt △DEF 中,DE 2=DF 2+EF 2,即25=x 2+(7-x )2,解得x=3或4.∵BD<CE ,∴BD=3, ∴DG=3,∴AD=√32+62=3√5.3.(1)是 (2)5 (1)由折叠的性质可知BC=BF ,∠DFC=∠D'FC ,∴∠BFC=∠BCF.∵AD ∥BC ,∴∠DFC=∠BCF ,∴∠D'FC=∠BFC ,∴点D'是BF 上的点.(2)连接AC.由折叠的性质可知,BE 垂直平分线段CF ,∴点M 是FC 的中点.又点N 是AF 的中点,∴MN 是△ACF 的中位线,∴MN=12AC.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,∴AC=√AB 2+BC 2=2+82=10,∴MN=12AC=5. 4.(1)√2+1 (2)4+3√22(1)由题意可知△AEF 是等腰直角三角形,且AF=EF.设EF=m ,则DE=m ,AE=√2EF=√2m ,∴CD=AD=m+√2m=(1+√2)m ,∴CD EF =(1+√2)mm=√2+1.(2)易知△CHG 是等腰直角三角形,且CH=GH.由折叠和正方形的性质可知∠DCE=∠BAG=22.5°.又∵CD=AB ,∠D=∠B=90°,∴△DCE ≌ △BAG ,∴DE=BG ,∴EF=DE=BG=GH.易知∠GHF=∠EFH=90°,∴EF ∥GH ,∴四边形EFGH 是平行四边形,∴S 四边形EFGH =EF ×FH.CH=HG=EF=AF=m ,AC=√2CD=√2(m+√2m ).S 正方形ABCD =CD 2=(1+√2)2m 2,S 四边形EFGH =EF (AC-AF-CH )=m [√2(m+√2m )-2m ]=√2m 2,∴S正方形ABCD S四边形EFGH=√2)2√2=√2√2=4+3√22. 5.(1)菱 (2)(√2+1)S (1)如图,由折叠可知,∠MAD=∠DAC=12∠MAC ,∠CAB=∠NAB=12∠CAN ,∠DCA= ∠MCD=12∠ACM ,∠ACB=∠NCB=12∠ACN.∵四边形AMCN 是正方形,∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA ,∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA ,∴AD ∥BC ,AB ∥DC ,∴四边形ABCD 为平行四边形.∵∠DAC=∠DCA , ∴AD=CD ,∴四边形ABCD 为菱形.(2)连接MN 交AC 于点O ,过点B 作BP ⊥AN 于点P ,易知MN 经过点B ,D ,△BPN 是等腰直角三角形,则OB=BP ,BN=√2BP.设OB=BP=a ,则BD=2a ,BN=√2a ,∴S△ACN S △ACB=ON OB =√2a+aa =√2+1.根据正方形和菱形的对称性,可知S正方形AMCN S四边形ABCD=2S△ACN 2S △ACB=√2+1,∴S 正方形AMCN =(√2+1)S.6.253或154 设BD=x ,则AD=BD=x ,CD=16-x.在Rt △ACD 中,由勾股定理,得AD 2=AC 2+CD 2,即x 2=82+(16-x )2,解得x=10,∴BD=10,CD=6.分以下两种情况讨论.(1)当点P 到AC 边的距离等于5时,过点P 作PF ⊥AC 于点F ,如图(1),则PF=5,PF ∥CD ,∴△APF ∽△ADC ,∴AP AD =PF DC ,即AP 10=56,∴AP=253.(2)当点P 到BC 边的距离等于5时,过点P 作PG ⊥BC 于点G ,如图(2),则PG=5,PG ∥AC ,∴△DPG ∽△DAC ,∴DP DA =PGAC ,即DP 10=58,∴DP=254,∴AP=10-254=154.综上所述,AP 的长为253或154.7.2,2√3或√14-√2 当点P 是AD 上的点时,如图(1),∵PD=2AP ,∴AP=13AD=13AB=2.当点P 是AB 上的点时,如图(2),∵PD=2AP ,∠DAP=90°,∴∠ADP=30°,∴AP=√33AD=√33×6=2√3.如图(3),当点P 是AC 上的点时,过点P 作AD 的垂线,垂足为点E.设AP=x ,则PD=2x ,AE=PE=√22x ,∴DE=6-√22x.在Rt △DEP 中,由勾股定理,得PD 2=DE 2+PE 2,即(2x )2=(6-√22x )2+(√22x )2,解得x=√14-√2(负值已舍去),故AP=√14-√2.当点P 是CD ,BD 或BC 上的点时,都不能满足PD=2AP.综上所述,AP 的长为2,2√3或√14-√2.8.5或18 在Rt △ABC 中,AB=9,BC=12,由勾股定理,得AC=15.分以下2种情况讨论.①当点P 在线段AB 上时,如图(1).∵∠QPB=∠A+∠AQP=∠A+90°,∴∠QPB 为钝角,∴当△PQB 为等腰三角形时,只可能是PQ=PB=9-PA.易证△AQP ∽△ABC ,∴PA AC =PQBC ,即PA 15=9−PA12,∴AP=5.②当点P 在线段AB 的延长线上时,如图(2),易知∠QBP 为钝角,∴当△PQB 为等腰三角形时,只可能是PB=BQ ,∴∠BQP=∠P.又∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,∴∠AQB=∠A ,∴BQ=AB=9,∴BP=9,∴AP=18.综上所述,当△PQB 为等腰三角形时,AP 的长为5或18.9.521,511或12 根据题意可得AD=√5t ,BE=4t ,则BD=√5-√5t ,CE=4-4t.易证△BDE ∽△CEF ,∴BD CE =BECF ,∴BD ·CF=BE ·CE.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点F 在线段AC 上,且AF=AD=√5t 时,CF=BD=√5-√5t ,∴(√5-√5t )2=4t (4-4t ),解得t=521(不合题意的解已舍去).②如图(2),当点F 在CA 的延长线上,且AF=AD=√5t 时,CF=√5+√5t ,∴(√5-√5t )(√5+√5t )=4t (4-4t ),解得t=511(不合题意的解已舍去).③如图(3),当点F 在CA 的延长线上,且DF=AD=√5t 时,过点B 作BM ⊥AC ,垂足为点M.设AM=x ,由勾股定理可得AB 2-AM 2=BC 2-CM 2,即(√5)2-x 2=42-(√5+x )2,解得x=3√55.取AF 的中点H ,连接DH ,则∠HDA=∠MBA ,∴sin ∠HDA=sin ∠MBA ,即AH AD =AMAB ,∴√5t=3√55√5,解得AH=3√55t ,∴AF=6√55t ,∴(√5-√5t )(√5+6√55t )=4t (4-4t ),解得t=12(不合题意的解已舍去).综上所述,t 的值为521,511或12.图(1) 图(2) 图(3)10.2√7或4 在矩形ABCD 中,AB=CD=2-AD 2=4√3,tan ∠BAC=BCAB =4√3=√33,∴∠BAC=30°.如图(1),当∠CHG=90°时,EH=12AE=√3,AH=√3EH=3,∴CH=8-3=5,GH=EG-EH=√3,∴CG=√CH 2+GH 2= √52+(√3)2=2√7.如图(2),当∠CGH=90°时,连接CE ,∵BE=AE=GE ,CE=CE ,∴Rt △CEG ≌Rt △CEB ,∴CG=BC=4.由题意可知,点G 在以点E 为圆心,EA 为半径的圆上运动,∴∠GCH<90°,故∠GCH ≠90°.图(1) 图(2)11.2或134 在△PEF 与△ABE 中,∠A=∠EFP=90°,∴当△PEF 与△ABE 相似时,分两种情况讨论.(1)如图(1),当△PEF ∽△EBA 时,∠PEF=∠EBA ,∴AB ∥EP.易得四边形ABPE 是矩形,∴BP=AE=2.(2)如图(2),当△PEF ∽△BEA 时,∠PEF=∠BEA.∵AD ∥BC ,∴∠EBP=∠BEA ,∴∠PEF=∠EBP ,∴BP=EP ,∴点F 是BE 的中点.由勾股定理可求得BE=√AB 2+AE 2=2+22=√13,∴EF=12BE=√132.∵△PEF ∽△BEA , ∴EF AE =EPBE ,即√1322=√13,∴EP=134,∴BP=EP=134.综上可知,BP 的长为2或134.图(1) 图(2)12.8+4√3或16 如图,由题意可得AB=4.∵∠C=30°,∴BC=8,AC=4√3.根据题意易知CD=AD=2√3,CF=BF=4,DF=2.剪开后有如图(1)、图(2)、图(3)3种拼接方式.图(1)中所得四边形ABED 为矩形,其周长为2+2+4+2√3+2√3=8+4√3;图(2)中所得四边形为平行四边形,其周长为4+4+4+4=16;图(3)中所得四边形为等腰梯形,其周长为2+4+2+4+4=16.综上,所得四边形的周长为8+4√3或16.13.48或(32+8√13) 原三角形纸片有如图(1)、图(2)两种可能.如图(1),原三角形纸片的三边长分别为20,16,12,故其周长为48 cm ;如图(2),∵BD=6,BC=8,CD=10,∴BD 2+BC 2=CD 2,∴∠CBD=90°.易知AC ∥BD ,∴∠BCA=90°,∴AB=√AC 2+BC 2=4√13,故原三角形纸片的三边长分别为20,12,8√13,故其周长为(32+8√13)cm.综上所述,原三角形纸片的周长是48 cm 或(32+8√13)cm.14.-16≤a<0或0<a ≤16 由于y=ax 2+bx+c 经过(3,-3),(-3,3),则9a+3b+c=-3①,9a-3b+c=3②,①-②,得6b=-6,∴b=-1,∴抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=12a .当a<0时,抛物线的开口向下,当x=12a ≤-3时符合题意,解得-16≤a<0;当a>0时,抛物线的开口向上,当x=12a ≥3时符合题意,解得0<a ≤16.综上所述,a 的取值范围为-16≤a<0或0<a ≤16.15. 1<c<2或-2<c<-1 根据抛物线的顶点坐标公式可得A (-1,c+1).分两种情况讨论.①当c>0时,如图(1),此时B (-c ,c ),P (0,c ),∴AP 2=(-1-0)2+(c+1-c )2=2,AB 2=[-1-(-c )]2+(c+1-c )2=c 2-2c+2.易知当0<c<1时,∠ABP 为钝角;当c=1时,∠ABP 为直角;当c>1时,随着c 的增大,∠ABP 逐渐减小,∠BAP 逐渐增大,当∠BAP 增加到90°时,AB 2+AP 2=BP 2,即c 2-2c+2+2=c 2,解得c=2.故△ABP 是锐角三角形时,1<c<2. ②当c<0时,如图(2),此时B (c ,c ),P (0,c ),∴AP 2=(-1-0)2+(c+1-c )2=2,AB 2=(-1-c )2+(c+1-c )2=c 2+2c+2.易知当-1<c<0时,∠ABP 为钝角;当c=-1时,∠ABP 为直角;当c<-1时,随着c 的减小,∠ABP 逐渐减小,∠BAP 逐渐增大,当∠BAP 增加到90°时,AB 2+AP 2=BP 2,即c 2+2c+2+2=c 2,解得c=-2.故△ABP 是锐角三角形时,-2<c<-1.综上所述,c 的取值范围为1<c<2或-2<c<-1.16.b=1或-3≤b<0 对于y=2x ,当x=-1时,y=-2,当x=2时,y=4.令x 2+b=2x ,移项,得x 2-2x+b=0,当Δ=4-4b=0时,解得b=1,此时抛物线与正比例函数y=2x 的图象的交点为(1,2),-1<1<2,故b=1符合题意,此时函数图象如图(1)所示.随着b 的减小,抛物线向下平移,当抛物线经过点(2,4)时,易得b=0,函数图象如图(2)所示,易知当0≤b<1时,抛物线与正比例函数y=2x 的图象在-1≤x ≤2时有两个交点.当抛物线过点(-1,-2)时,b=-3,函数图象如图(3)所示,易知当-3≤b<0时,抛物线与正比例函数y=2x 的图象在-1≤x ≤2时有一个交点.随着抛物线继续向下平移,易知当b<-3时,抛物线与正比例函数y=2x 的图象在-1≤x ≤2时无交点.综上所述,b=1或-3≤b<0.图(1) 图(2) 图(3)17.m<-1或1<m<3(等号写不写均可) 令x=x 2-x-3,解得x 1=-1,x 2=3,∴A (-1,-1),B (3,3).易得P (m ,m 2-m-3),Q (m ,m ).当m<-1或m>3时,PQ=m 2-m-3-m=m 2-2m+1-4=(m-1)2-4,∴当m<-1时,PQ 的长度随m 的增大而减小;当-1<m<3时,PQ=m-(m 2-m-3)=-m 2+2m+3=-(m-1)2+4,∴当1<m<3时,PQ 的长度随m 的增大而减小.综上可知,m 的取值范围为m<-1或1<m<3.18.-3<k ≤-2 ∵y=-34x (x+4)=-34(x+2)2+3,∴抛物线G 的顶点坐标为(-2,3).对于y=-34x (x+4),当x=-1时,y=94;当x=-3时,y=94;当x=-4或x=0时,y=0,∴抛物线与x 轴围成的区域(不含边界)内包含的整点有(-3,2),(-3,1),(-2,2),(-2,1),(-1,2),(-1,1),共6个.分析题意可知,符合要求的整点一定是(-3,2),(-2,2),(-3,1),故当双曲线y=k x 经过(-2,1)和(-1,2)两点时,k 取最大值,为-2;当双曲线y=k x 经过点(-3,1)时,符合条件的整点只有(-3,2)和(-2,2).综上可知,k 的取值范围为-3<k ≤-2.。

课后练习34归纳、猜想与说理型问题A组1．图1为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌叠在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤：步骤一：用右手拿出叠在最下面的2张牌，如图2.步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图3.步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图4.第1题图若依上述三个步骤洗牌，从图1的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图1相同，则洗牌次数可能为下列何者？()A. 18B．20C．25 D．272．(2017·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有3个菱形，第2个图形中一共有7个菱形，第3个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第9个图形中菱形的个数为()第2题图A ．73B ．81C ．91D ．1093．(2017·丽水模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝…＝30°.若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4…，则依此规律，点A 2018的纵坐标为( )第3题图A ．0B ．－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3322017C ．(23)2018D ．3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23320174．请在图中这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．第4题图5．观察下面的单项式：a ，－2a 2，4a 3，－8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是 .6．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°.连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠F AC ＝60°.连结AE ，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE ＝60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是 .第6题图7．如图，点B 1在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上，过点B 1分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为C 1和A ，点C 1的坐标为(1，0)，取x轴上一点C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，过点C 2作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 2，过B 2作线段B 1C 1的垂线交B 1C 1于点A 1，依次在x 轴上取点C 3(2，0)，C 4⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0…按此规律作矩形，则第n (n ≥2，n 为整数)个矩形A n －1C n －1C n B n 的面积为 .第7题图8．(2017·通州模拟)已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围是x ＞0，下表是y 与x 的几组对应值.x …1245689…y … 3.92 1.950.980.78 2.44 2.440.78…小风根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象和性质进行了探究．下面是小风的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；第8题图(2)根据画出的函数图象，写出：①x＝7对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：________________________．B组9．(2015·十堰)如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是( )第9题图A ．222B ．280C ．286D ．29210．如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始， 以AB ＝1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC ＝2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD ＝4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE ＝8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n 个半圆的面积为 (结果保留π)．第10题图11．阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数．例如：M {－1，2，3}＝－1＋2＋33＝43；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤－1），－1（a >－1）.解决下列问题： (1)填空：如果min{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围为____________________；(2)如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，求x .12．(2016·河北)如图，已知∠AOB ＝7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A ＝90°－7°＝83°.第12题图当∠A <83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1＝∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A原路返回到点A，此时∠A＝°.…若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝°.13．探索规律：观察由※组成的图案和算式，并解答问题．第13题图1＋3＝4＝221＋3＋5＝9＝321＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52(1)试猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝；(2)试猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n＋3)＝；(3)请用上述规律．．．．．计算：1001＋1003＋1005＋…＋2015＋2017＝.(可以用计算器，请算出最后数值哦！)14．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数V、面数F、棱数E之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中的几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据下面的多面体模型，完成表格中的空格：第14题图多面体顶点数V 面数F 棱数E四面体44长方体812正八面体812正十二面201230体你发现顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是____________________；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x＋y的值．15．(2016·广东模拟)在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：m n m＋n f123 2134 3235 4257347猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是__________________(不需要证明)；(2)当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．第15题图C组16．(2016·大同模拟)问题情境：如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连结BF交EG于点P.独立思考：(1)AE＝____________________cm，△FDM的周长为____________________cm；(2)猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．拓展延伸：如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论；②判断(2)中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论(不需证明)．第16题图参考答案课后练习34归纳、猜想与说理型问题A组1．B 2.C 3.D 4. 5.－128a8 6.(3)n－17.2n＋18．(1)如图，第8题图(2)①3.0②该函数没有最大值(答案不唯一)B组9．D10.422n－5π11.(1)0≤x≤1(2)x＝112．76613.(1)100(2)(n＋2)2(3)76808114．(1)666V＋F－E＝2(2)20(3)∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，∴共有棱24×3÷2＝36(条)．那么24＋F－36＝2，解得F＝14.∴x＋y＝14.15．(1)66f＝m＋n－1(2)m、n不互质时，猜想的关系式不一定成立，如图：第15题图C组16．独立思考：(1)316(2)EG⊥BF，EG＝BF.过G点作GH⊥AB 于H，则∠EGH＋∠GEB＝90°，由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称，∴BF⊥GE，∴∠FBE＋∠GEB＝90°，∴∠FBE＝∠EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠C＝∠ABC＝90°，四边形GHBC是矩形，∴GH＝BC＝AB，∴△AFB≌△HEG，∴BF ＝EG；拓展延伸：①△FDM的周长不发生变化．由折叠知∠EFM＝∠ABC ＝90°，∴∠DFM＋∠AFE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∠A ＝∠D＝90°，∴∠DFM＋∠DMF＝90°，∴∠AFE＝∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴△FMD的周长△AEF的周长＝FDAE.设AF为x cm，则FD＝(8－x)cm，在Rt△AFE中，由勾股定理得：x2＋AE2＝(8－AE)2，AE＝64－x216cm.∴△FMD的周长x＋AE＋8－AE＝8－xAE，△FMD的周长＝（8＋x）（8－x）64－x216＝16（64－x2）64－x2＝16cm，∴△FMD的周长不变．②(2)中结论成立．赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

2021年南京市中考数学填空题压轴题练习
1．二次函数y＝x2的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A10在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B10在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A9B10A10的斜边长为20．
【分析】如图所示，过点B1，B2，B3分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，E，分别写出直线A0B1、直线A1B2、直线A2B3的解析式，将它们分别与y＝x2联立，求得点B1，B2，B3的坐标，从而可得A0A1＝2，A1A2＝4，A2A3＝6，发现规律后，按照规律即可求得△A9B10A10的斜边长．
【解答】解：
如图所示，过点B1，B2，B3分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，E
∵△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形
∴∠B1A0A1＝∠B2A1A2＝∠B3A2A3＝45°
∴A0B1所在直线的解析式为：y＝x
由，得B1（1，1）
∴A0A1＝2B1C＝2
∴A1（0，2）
∴直线A1B2为：y＝x+2
由，得B2（2，4）
∴A1A2＝2B2D＝4
∴A2（0，6）
∴直线A2B3为：y＝x+6
由，得B3（3，9）
∴A2A3＝2B3E＝6
…
由上面A0A1＝2，A1A2＝4，A2A3＝6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2
∴△A9B10A10的斜边长为2+9×2＝20
故答案为：20．。

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）几何综合（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．3．（2021•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．4．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．二．填空题（共8小题）5．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE ＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为8．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．6．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．7．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．8．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S＝1，则S△ABC＝24．△EFG解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．9．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．10．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．11．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．12．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．三．解答题（共18小题）13．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．14．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．15．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB ﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P 作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1），∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2+x﹣（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝16．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝60度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．解：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．18．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P 从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为2；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AD＝AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB＝．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE＝AD＝1，∵cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当5＜t＜8时，∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，∴tan∠DPC＝＝＝，∴t＝．综上所述，t＝或．19．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．20．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC 的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠F AM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠F AM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S3＝S1+S2．（2）S3＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S3＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．21．（2021•大连）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运动，设运动时间为t秒．（1）求AC的长；（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的解析式．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴AC的长为5；（2）当0＜t≤1.5时，如图，S＝；当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP＝8﹣2t，∵sin∠BCA＝，∴，∴，∴S＝＝﹣；当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，S＝．综上所述：S＝．22．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．23．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．（1）找出与∠DBF相等的角并证明；（2）求证：∠BFD＝∠AFB；（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，∴∠BAE＝∠DBF．（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，∵AB＝BD，AE＝EF，∴，∵∠ABD＝∠AEF，∴△ABD∽△AEF，∴∠BDG＝∠AFB，∵∠BGD＝∠AGF，∴△BGD∽△AGF，∴，∴，∵∠AGB＝∠FGD，∴△AGB∽△FGD，∴∠BAD＝∠BFD，∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，∴∠BFD＝∠AFB．（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，∴D′F＝DF，D′M＝DM，∵MF＝MF，∴△D′MF≌△DMF，∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，∴∠EDF＝∠EHA，∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，∵，D′F＝DF，∴，∵AF＝kDF，∴，∴．24．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．25．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE2+CE2＝AC2，∴BF2+CE2＝BC2．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴＝＝＝＝2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，∴22＝m2+（m+1）2，∴2m2+2m﹣3＝0，∴m＝或（舍弃），∴AE＝AH+EH＝，∴AD＝1+，∴AC＝AD＝+．26．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．27．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．28．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠BOF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，29．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．30．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝6，（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）＝4（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．。

根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。

题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。

【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。

2021年四川省成都市中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.化简√9的结果是()A. 3B. −3C. ±3D. 9【答案】A【解析】解：√9=3，故A正确，故选：A．根据算术平方根是非负数，可得答案．本题考查了二次根式的化简，算术平方根是非负数．2.下列运算正确的是()A. a+a=a2B. a3÷a=a3C. a2⋅a=a3D. (a2)3=a5【答案】C【解析】解：A、a+a=2a，此选项计算错误；B、a3÷a=a2，此选项计算错误；C、a2⋅a=a3，此选项计算正确；D、(a2)3=a6，此选项计算错误；故选：C．根据合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方分别计算即可判断．本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方运算的法则．3.如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：B．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4.把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式，则n为()A. 1B. −2C. 2D. 8.13【答案】B【解析】解：把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式为8.13×10−2，则n为−2．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转.打一数学学习用具，谜底为()A. 量角器B. 直尺C. 三角板D. 圆规【答案】D【解析】解：圆规有两只脚，一铁脚固定，另一脚旋转，故选：D．利用圆规的特点直接得到答案即可．本题考查了简单的数学知识，稍有点数学常识的同学就会做出正确的回答，难度不大．6.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数232341A. 1.70、0.25B. 1.75、3C. 1.75、0.30D. 1.70、3【答案】C【解析】解：∵这组数据中1.75m出现次数最多，有4次，∴这组数据的众数为1.75m，∵最大数据为1.80m、最小数据为1.50m，∴极差为1.80−1.50=0.30，故选：C．根据众数和极差的定义分别进行解答即可．本题主要考查极差与众数，解题的关键是掌握极差=最大值−最小值、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．7.将抛物线y=−18x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是()A. y=−18(x−2)2−3 B. y=−18(x−2)2+3C. y=−18(x+2)2−3 D. y=−18(x+2)2+3【答案】C【解析】解：∵将抛物线y=−18x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴平移后所得抛物线解析式为y=−18(x+2)2−3，故选：C．直接根据平移的规律即可求得答案．本题主要考查函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．8.若关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实根，则m的取值范围是()A. m<3B. m≤3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠2【答案】D【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实根，∴m−2≠0，并且△=(−2)2−4(m−2)=12−4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．由于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．9.如图：有一块含有45∘的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20∘，那么∠2的度数是()A. 30∘B. 25∘C. 20∘D. 15∘【答案】B【解析】解：∵AB//CD，∴∠AFE=∠2，∵∠GFE=45∘，∠1=20∘，∴∠AFE=25∘，∴∠2=25∘，故选：B．直接利用平行线的性质进而结合等腰直角三角形的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，正确应用平行线的性质是解题关键．10.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则AB⏜的长度为()A. πB. 2πC. 5πD. 10π【答案】B【解析】解：连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB=360∘÷5=72∘，=2π，∴AB⏜的长度=72×π×5180故选：B．连接OA、OB，根据正五边形的性质求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．本题考查的是正多边形的性质、弧长的计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、弧长的计算公式是解题的关键．二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）11.因式分解：x2+14x+49=______．【答案】(x+7)2【解析】解：原式=(x+7)2．故答案为：(x+7)2．直接利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．12.如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格.若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是______．【答案】13【解析】解：如图，∵可选2个方格∴完成的图案为轴对称图案的概率=26=13．故答案为：13．根据轴对称的性质设计出图案即可．本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．13.如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8 cm，△FCB的周长为20cm，则FC的长为______cm．【答案】6【解析】解：AE=EF，AB=BF；△FDE的周长为DE+FE+DF=AD+DF=8cm，△FCB的周长为FC+AD+ AB=20cm，分析可得：FC=12[FC+AD+AB−(AD+DF)]=12(2FC)=12(△FCB的周长−△FDE的周长)=12(20−8)=6cm．故答案为6．根据折叠的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．14.把直线y=−x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是______．【答案】m >1【解析】解：方法一：直线y =−x +3向上平移m 个单位后可得：y =−x +3+m ，联立两直线解析式得：{y =2x +4y=−x+3+m ，解得：{x =m−13y =2m+103， 即交点坐标为(m−13,2m+103)，∵交点在第一象限，∴{m−13>02m+103>0， 解得：m >1．故答案为：m >1．方法二：如图所示：把直线y =−x +3向上平移m 个单位后，与直线y =2x +4的交点在第一象限，则m 的取值范围是m >1．故答案为：m >1．直线y =−x +3向上平移m 个单位后可得：y =−x +3+m ，求出直线y =−x +3+m 与直线y =2x +4的交点，再由此点在第一象限可得出m 的取值范围．本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．15. 某班体育委员对本班学生一周锻炼时间(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是______小时．【答案】11【解析】解：由统计图可知，一共有：6+9+10+8+7=40(人)，∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是第20个和21个学生对应的数据的平均数，∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是11，故答案为：11．根据统计图中的数据可以得到一共多少人，然后根据中位数的定义即可求得这组数据的中位数．本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，利用数形结合的思想解答．a=1是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay−b=7的一个解，代数式x2+2xy+y2−1的值是16.若{b=−2______．【答案】24【解析】解：把a=1，b=−2代入ax+ay−b=7，得x+y=5，∴x2+2xy+y2−1=(x+y)2−1=52−1=24．故答案为：24．把a=1，b=−2代入原方程可得x+y的值，把代数式x2+2xy+y2−1变形为(x+y)2−1，然后计算．本题考查了公式法分解因式，把(x+y)作为一个整体是解题的关键，而x2+2xy+y2−1也需要运用公式变形，以便计算．17.如图，同心圆的半径为6，8，AB为小圆的弦，CD为大圆的弦，且ABCD为矩形，若矩形ABCD面积最大时，矩形ABCD的周长为______．【答案】39.2【解析】解：连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，根据矩形的面积和三角形的面积公式发现：矩形的面积为△AOD面积的4倍，∵OA、OD的长是定值，∴当∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90∘，则AD=√OA2+OD2=10，∵12AD⋅OM=12OA⋅OD，∴OM=4.8，AB=9.6，则矩形ABCD的周长是：2(AD+AB)=2×(10+9.6)=39.2．故答案是：39.2．连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，将此题转化成三角形的问题来解决，根据三角函数的定义可以证明三角形的面积S=12absinC，根据这一公式分析面积的最大值的情况，然后熟练应用勾股定理，以及直角三角形斜边上的高等于两条直角边乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求其周长．本题考查了垂径定理和矩形的性质，考生应注意熟练运用勾股定理，来求边长和周长．18.如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边交CD边于点G.连接、若AD=7，CG=4，，则(结果保留根号)．【答案】√745【解析】解：连接AC，AG，，由旋转可得，，，，，∽，，，，是等腰直角三角形，，设，则AG=√2x，DG=x−4，∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，∴72+(x−4)2=(√2x)2，解得x1=5，x2=−13(舍去)，∴AB=5，∴Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√52+72=√74，， 故答案为：√745． 先连接AC ，AG ，，构造直角三角形以及相似三角形，根据∽，可得到，设，则AG =√2x ，DG =x −4，Rt △ADG 中，根据勾股定理可得方程72+(x −4)2=(√2x)2，求得AB 的长以及AC 的长，即可得到所求的比值．本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将转化为ACAB ，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB ，这也是本题的难点所在．19. 在平面直角坐标系，对于点P(x,y)和Q(x,y ′)，给出如下定义：若y ′={−y(x <0)y(x≥0)，则称点Q 为点P的“可控变点”.例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2)，点(−1,3)的“可控变点”为点(−1,−3).点(−5,−2)的“可控变点”坐标为______；若点P 在函数y =−x 2+16(−5≤x ≤a)的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是−16≤y ′≤16，实数a 的值为______．【答案】(−5,2) a =4√2【解析】解：(1)根据定义，点(−5,−2)的“可控变点”坐标为(−5,2)；(2)依题意，y =−x 2+16图象上的点P 的“可控变点”必在函数y ′={x 2−16(−5≤x <0)−x 2+16(x≥0)的图象上，如图．①当0≤x ≤a 时，y ′=−x 2+16，此时，抛物线y ′的开口向下，故当0≤x ≤a 时，y ′随x 的增大而减小，即：−16≤y ′≤16，当时，−a 2+16=−16， ∴a 2=32，∴a =±4√2，②当−5≤x <0时，y ′=x 2−16，抛物线y ′的开口向上，故当−5≤x <0时，y ′随x 的增大而减小，即：−16<y ′≤9，又∵−5≤x ≤a ，∴a 的值是：a =4√2．故答案为(−5,2)，a =4√2．(1)直接根据“可控变点”的定义直接得出答案；(2)y =−16时，求出x 的值，再根据“可控变点”的定义即可解决问题．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度，属于创新题目，中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）20. 先化简，再求值：2x−6x−2÷(5x−2−x −2)，其中x =√2−1【答案】解：原式=2(x−3)x−2÷(5x−2−x 2−4x−2)=−2(x −3)x −2×x −2(x +3)(x −3) =−2x+3，当x =√2−1时，原式=−2√2−1+3=√2−2． 【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）21. (1)计算：|1−√2|+(−14)−1+(π−3)0−2cos45∘；(2)解不等式{x ≥x−121+3(x −1)<6−x ，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：(1)原式=√2−1+(−4)+1−2×√22=√2−1−4+1−√2=−4；(2){x ≥x−12①1+3(x −1)<6−x ②， ∵解不等式①得：x ≥−1，解不等式②得：x <2，∴不等式组的解集为−1≤x <2，在数轴上表示为． 【解析】(1)先求出每一部分的值，再代入求出即可；(2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，能求出每一部分的值是解(1)的关键，能正确根据不等式的解集得出不等式组的解集是解(2)的关键．22.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42∘，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61∘，求白塔的高度AB.(参考数据sin42∘≈0.67，tan42∘≈0.90，sin61∘≈0.87，tan61∘≈1.80，结果保留整数)【答案】解：设AE=x，=1.1x，在Rt△ACE中，CE=AEtan42∘=0.55x，在Rt△AFE中，FE=AEtan61∘由题意得，CF=CE−FE=1.1x−0.55x=12，，解得：x=24011+1.5≈23米．故AB=AE+BE=24011答：这个电视塔的高度AB为23米．【解析】设AE=x，在Rt△ACE中表示出CE，在Rt△AFE中表示出FE，再由DH=CF=12米，可得出关于x的方程，解出即可得出答案．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．23.某销售公司年终进行业绩考核，人事部门把考核结果按照A，B，C，D四个等级，绘制成两个不完整的统计图，如图1，图2．(1)参加考试的人数是______，扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是______，请把条形统计图补充完整；(2)若考核为D等级的人中仅有2位女性，公司领导计划从考核为D等级的人员中选2人交流考核意见，请用树状图或表格法，求所选人员恰为一男一女的概率；(3)为推动公司进一步发展，公司决定计划两年内考核A等级的人数达到30人，求平均每年的增长率.(精确到0.01，√5=2.236)【答案】50 36∘【解析】解：(1)参加考试的总人数为24÷48%=50人，扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是360∘×550=36∘，C等级人数为50−(24+15+5)=6，补全图形如下：故答案为：50、36∘；(2)画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为12，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率1220=35；(3)设增长率是x，根据题意，得：24(1+x)2=30，(负值舍去)，解得：x=−1±√52≈0.12，所以x=−1+√52答：每年的增长率为12%．(1)由A等级人数及其百分比可得总人数，用360∘乘以D等级人数所占比例可得其圆心角度数，再用总人数减去其他学生人数求得C等级人数即可补全图形；(2)画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．(3)设增长率是x，根据“两年内考核A等级的人数达到30人”列出关于x的方程，解之即可得．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图和一元二次方程．24.如图，已知A(3,m)，B(−2,−3)是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．(1)求直线AB和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；(3)反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．，【答案】解：(1)设反比例函数解析式为y=kx把B(−2,−3)代入，可得k=−2×(−3)=6，∴反比例函数解析式为y=6；x，可得3m=6，把A(3,m)代入y=6x即m=2，∴A(3,2)，设直线AB的解析式为y=ax+b，2=3a+b，把A(3,2)，B(−2,−3)代入，可得{−3=−2a+ba=1，解得{b=−1∴直线AB的解析式为y=x−1；(2)由题可得，当x 满足：x <−2或0<x <3时，直线AB 在双曲线的下方；(3)存在点C ．如图所示，延长AO 交双曲线于点C 1， ∵点A 与点C 1关于原点对称， ∴AO =C 1O ，∴△OBC 1的面积等于△OAB 的面积， 此时，点C 1的坐标为(−3,−2)；如图，过点C 1作BO 的平行线，交双曲线于点C 2，则△OBC 2的面积等于△OBC 1的面积，∴△OBC 2的面积等于△OAB 的面积， 由B(−2,−3)可得OB 的解析式为y =32x ， 可设直线C 1C 2的解析式为，把C 1(−3,−2)代入，可得，解得，∴直线C 1C 2的解析式为y =32x +52， 解方程组{y =6xy =32x +52，可得C 2(43,92)； 如图，过A 作OB 的平行线，交双曲线于点C 3，则△OBC 3的面积等于△OBA 的面积， 设直线AC 3的解析式为y =32x +b “， 把A(3,2)代入，可得2=32×3+b “， 解得b “=−52，∴直线AC 3的解析式为y =32x −52， 解方程组{y =6xy =32x −52，可得C 3(−43,−92)； 综上所述，点C 的坐标为(−3,−2)，(43,92)，(−43,−92).【解析】(1)运用待定系数法，根据A(3,m)，B(−2,−3)，即可得到直线AB 和反比例函数的解析式； (2)根据直线AB 在双曲线的下方，即可得到x 的取值范围；(3)分三种情况进行讨论：延长AO 交双曲线于点C 1，过点C 1作BO 的平行线，交双曲线于点C 2，过A 作OB 的平行线，交双曲线于点C 3，根据使得△OBC 的面积等于△OAB 的面积，即可得到点C 的坐标为(−3,−2)，(43,92)，(−43,−92).本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．，过点B的直线l是⊙O的切线，点D是直线l 25.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠C=90∘，tanB=12上一点，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E，连接AD，交⊙O于点F，连接BF、CD交于点G．(1)求证：△ACB∽△BED；(2)当AD⊥AC时，求DG的值；CG(3)若CD平分∠ACB，AC=2，连接CF，求线段CF的长．【答案】(1)证明：如图1中，∵DE⊥CB，∴∠ACB=∠E=90∘，∵BD是切线，∴AB⊥BD，∴∠ABD=90∘，∴∠ABC+∠DBE=90∘，∠BDE+∠DBE=90∘，∴∠ABC=∠BDE，∴△ACB∽△BED；(2)解：如图2中，∵△ACB∽△BED；四边形ACED是矩形，∴BE：DE：BC=1：2：4，∵DF//BC，∴△GCB∽△GDF，∴DGCG =14．(3)解：如图3中，∵tan∠ABC=ACBC =12，AC=2，∴BC=4，易证△DBE≌△DBF，△ABC∽△DBE，∴DE：BC=BE：AC，∴DE=2BE，设BE=x，则DE=2x，∵∠DCE=45∘，∴CE=DE，∴4+x=2x，∴x=4，可得BF=BE=4=BC，∴AC=AF=2，∴CF⊥AB，设CF交AB于H．则CF=2CH=2×AC×BCAB =8√55．【解析】(1)只要证明∠ACB=∠E，∠ABC=∠BDE即可；(2)首先证明BE：DE：BC=1：2：4，由△GCB∽△GDF，可得DGCG =14；(3)想办法证明AB垂直平分CF即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．26.为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车.公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系．时段x还车数借车数存量y7：00−8：00175158：00−9：00287n……………(1)m=______，解释m的实际意义：______；(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知10：00−11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．【答案】13 7：00时自行车的存量【解析】解：(1)m+7−5=15，m=13，则m的实际意义：7：00时自行车的存量；故答案为：13，7：00时自行车的存量；(2)由题意得：n=15+8−7=16，设二次函数的关系式为：y=ax2+bx+c，把(0,13)、(1,15)和(2,16)分别代入得：{c=13a+b+c=154a+2b+c=16，解得：{a =−12b =52c =13，∴y =−12x 2+52x +13；(3)当x =3时，y =−12×32+52×3+13=16， 当x =4时，y =−12×42+52×4=13=15，设10：00−11：00这个时段的借车数为x ，则还车数为2x −4， 根据题意得：16+2x −4−x =15， x =3，答：10：00−11：00这个时段的借车数为3辆．(1)根据等量关系式：m +借车数−还车数=8：00的存量，列式求出m 的值，并写出实际意义；(2)先求出9点时自行车的存量，当x =2时所对应的y 值，即求出n 的值；再设一般式将三点坐标代入求出解析式；(3)先分别计算9：00−10：00和10：00−11：00的自行车的存量，即当x =3和x =4时所对应的y 值，设10：00−11：00这个时段的借车数为x ，根据上一时段的存量+还车数−借车数=此时段的存量，列式求出x 的值即可．本题是二次函数的应用，理解各量的实际意义：还车数、借车数、存量；弄清等量关系式：上一时段的存量+还车数−借车数=此时段的存量，考查了利用待定系数法求二次函数的关系式，并根据图象理解真正意义．27. 在正六边形ABCDEF 中，N 、M 为边上的点，BM 、AN 相交于点P(1)如图1，若点N 在边BC 上，点M 在边DC 上，BN =CM ，求证：BP ⋅BM =BN ⋅BC ； (2)如图2，若N 为边DC 的中点，M 在边ED 上，AM//BN ，求MEDE 的值；(3)如图3，若N 、M 分别为边BC 、EF 的中点，正六边形ABCDEF 的边长为2，请直接写出AP 的长．【答案】(1)证明：在正六边形ABCDEF 中，AB =BC ，∠ABC =∠BCD =120∘， ∵BN =CM ， ∴△ABN ≌△BCM ，∴∠ANB =∠BMC ， ∵∠PBN =∠CBM ， ∴△BPN ∽△BCM ， ∴BP BC=BNBM，∴BP ⋅BM =BN ⋅BC ；(2)延长BC ，ED 交于点H ，延长BN 交DH 于点G ，取BG 的中点K ，连接KC ， 在正六边形ABCDEF 中，∠BCD =∠CDE =120∘， ∴∠HCD =∠CDH =60∘， ∴∠H =60∘， ∴DC =DH =CH ， ∵DC =BC ， ∴CH =BC ， ∵BK =GK ，∴2KC =GH ，KC//DH ， ∴∠GDN =∠KCN ，∵CN =DN ，∠DNG =∠CNK ， ∴△DNG ≌△CNK ， ∴KC =DG ， ∴DG =13DH =13DE ， ∵MG//AB ，AM//BG ， ∴四边形MABG 是平行四边形， ∴MG =AB =ED ，∴ME =DG =13DE ，即MEDE =13，(3)如图3，过N 作NH ⊥AB ，交AB 的延长线于H ， ∵∠ABC =120∘， ∴∠NBH =60∘，Rt △NBH 中，∠BNH =30∘，BN =1， ∴BH =12BN =12， ∴NH =√12−(12)2=√32， Rt △ANH 中，AN =√AH 2+NH 2=√(2+12)2+(√32)2=√7，连接FC ，延长FC 与AN 交于G ，设FC 与BM 交于K ， 易证△ANB ≌△GNC ，∴CG =AB =2，AN =NG =√7，FC =2AB =4，∴FG=FC+CG=6，∵EF//BC，∴FMBC =FKKC，∴12=FKKC，∵FK+KC=4，∴FK=43，KC=83，KG=83+2=143，∵KG//AB，∴PGAP =KGAB，∴PGAP =1432=73，设PG=7x，AP=3x，由PG+AP=AG=2√7得：7x+3x=2√7，x=√75，∴AP=3x=3√75．【解析】(1)先证明△ABN≌△BCM，得∠ANB=∠BMC，再证明△BPN∽△BCM，列比例式可得结论；(2)作辅助线，构建等边三角形的三角形的中位线CK，先证明△CDH是等边三角形得：∠HCD=∠CDH=∠H=60∘，DC=DH=CH，由△DNG≌△CNK，得KC=DG，DG=13DH=13DE，利用四边形MABG是平行四边形，得MG=AB=ED，所以ME=DG=13DE，即MEDE=13；(3)如图3，作辅助线，构建直角三角形和全等三角形，根据直角三角形30∘的性质得：BH=12，NH=√32，利用勾股定理求AN=√7，证明△ANB≌△GNC，利用EF//BC和KG//AB，列比例式可得：PGAP =1432=73，设PG=7x，AP=3x，根据PG+AP=AG=2√7得：7x+3x=2√7，可得结论．本题是相似三角形的综合题，考查了正六边形的性质、全等三角形和相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，一般情况下，正多边形的题解答都比较麻烦，熟练掌握正多边形的定义及性质是关键，第三问比较复杂，辅助线的作法是关键．28.如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B，交x轴正半轴于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；(3)将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】解：(1)将x =0代入y =−3x +3，得y =3，∴点B 的坐标为(0,3)，∵抛物线y =ax 2−2ax +a +4(a <0)经过点B ，∴3=a +4，得a =−1，∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3；(2)将y =0代入y =−x 2+2x +3，得x 1=−1，x 2=3，∴点C 的坐标为(3,0)，∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ，∴0<m <3，点M 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，将y =0代入y =−3x +3，得x =1，∴点A 的坐标(1,0)，∵△ABM 的面积为S ，∴S =S 四边形OAMB −S △AOB =S △BOM +S △OAM −S △AOB =3×m 2+1×(−m 2+2m+3)2−1×32， 化简，得 S =−m 2−5m2=−12(m −52)2+258， ∴当m =52时，S 取得最大值，此时S =258，此时点M 的坐标为(52,74)， 即S 与m 的函数表达式是S =−m 2−5m 2，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是(52,74)； (3)如右图所示，取点H 的坐标为(0,13)，连接HA ′、OA ′，∵∠HOA ′=∠A ′OB ，，OA ′OB =13， ∴△OHA ′∽△OA ′B ，，即BA ′3=A ′H ， ∵A ′H +A ′C ≥HC =√(13)2+32=√823， ∴t ≥√823， 即点M 在整个运动过程中用时最少是√823秒. 【解析】(1)根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得点A 的坐标，然后根据题意和图形可以用含m 的代数式表示出S ，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；(3)根据题意作出点H ，然后利用三角形相似和勾股定理、两点之间线段最短即可求得t 的最小值．这是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、最短路径、三角形相似，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．。

重难点 填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一 代数式求值类型二 方程、不等式求值类型三 函数求值题型02 规律探究类类型四 数字规律探究类型五 图形规律探究类型六 函数规律探究题型03 函数最值类类型七 一次函数的最值问题类型八 二次函数的最值问题类型九 反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十 一次函数的最值问题类型十一 二次函数的最值问题类型十二 反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一 一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。

2021中考数学冲刺集训：圆的有关性质一、选择题1. 如图，AB为☉O的直径，C，D为☉O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为()A.60°B.50°C.40°D.20°2. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为()A．4 B．5 C．8 D．103. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于()A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°4. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是()A．20°B．35°C．40°D．55°5. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是()A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是()A.7 B．27 C．6 D．87. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米8. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是()A．48°B．64°C．96°D．132°二、填空题9. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．10. 如图，AB 是⊙O的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD＝________°.11. 如图0，A ，B 是⊙O 上的两点，AB ＝10，P 是⊙O 上的动点(点P 与A ，B 两点不重合)，连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF ＝________．12. 已知：如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)13. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．14. 如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．三、解答题17. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).18. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG . (1)求证：AB ＝CD ； (2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．19. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE20. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平行四边形．①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．2021中考数学冲刺集训：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]如图，连接AD，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.2. 【答案】C[解析] 过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．则PB＝AP，∴AB＝2BP＝2 OB2－OP2.再过点P任作一条弦MN，过点O作OG⊥MN于点G，连接ON.则MN＝2GN＝2 ON2－OG2.∵OP＞OG，OB＝ON，∴MN＞AB，∴AB是⊙O中的过点P最短的弦．在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理，得PB＝4，则AB＝2PB＝8.3. 【答案】B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝12(180°－∠AOC)＝12×(180°－64°)＝58°.4. 【答案】B5. 【答案】C【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.6. 【答案】B [解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.7. 【答案】D8. 【答案】C[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴点C 在以O 为圆心，OA 长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE ＝48°，∴∠EOA ＝2∠ACE ＝96°.二、填空题9. 【答案】35 【解析】∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠C ＝∠OAC ，∵∠AOB ＝40°，∴∠B ＝∠OAB ＝70°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC ＝∠C ，∴∠OAC＝∠BAC ＝12∠OAB ＝35°. 10. 【答案】62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD ＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ACD ＝62°.11. 【答案】5 [解析] ∵OE 过圆心且与PA 垂直，∴PE ＝EA.同理PF ＝FB ，∴EF 是△PAB 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝5.12. 【答案】菱形 [解析] 连接OC.∵C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠COB ＝60°. 又∵OA ＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OCB 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∴四边形OACB是菱形．13. 【答案】5[解析] 设圆的半径为x，则OE＝x－1.根据垂径定理可知，CE＝3，由勾股定理可得32＋(x－1)2＝x2，解得x＝5.故答案为5.14. 【答案】215[解析] 连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B ＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C＝25°，∴∠A＝∠C＝25°.∵⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠D＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA的长为3或73.三、解答题17. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ， ∴BC CA ＝CD BC ， ∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ， ∴∠CBD ＝∠BAC ， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°， 即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径， ∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形． 证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ， 又∵△CBD ∽△CAB ， ∴∠BAC ＝∠CBD ， ∴∠CBD ＝∠DAE ， ∵∠DAE ＝∠DBF ， ∴∠DBF ＝∠CBD ， ∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°， ∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ， ∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝90° ∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20， ∴⊙O 的半径为r ＝AB2＝10， ∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.18. 【答案】(1)证明：∵AC 为直径， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ， 又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)， ∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心， ∴OA ⊥AE ， 即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°， 而∠BAC ＋∠BCA ＝90°， ∴∠EAB ＝∠BCA ， 而∠EBA ＝∠ABC ， ∴△EBA ∽△ABC ， ∴EB AB ＝BA BC ， ∴AB 2＝BE ·BC ， 由(1)知AB ＝CD ， ∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①，∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点， ∴G 为AB 的三等分点， 即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0， 即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③，将③代入①得，CD ＝332.19. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE 于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵23CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-20. 【答案】52解：(1)60(2)①如图(a)．∵四边形OBCD 为平行四边形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∠OBC ＝∠ODC .又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＝12∠BOD ，∴12∠BOD ＋∠BOD ＝180°，解得∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝12∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBC ＝∠ODC ＝180°－∠BOD ＝180°－120°＝60°. 又∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠OBA ＋∠ODA ＝∠ABC ＋∠ADC －(∠OBC ＋∠ODC )＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所示，连接AO .∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB .∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.。

2023年人教版中考数学第二轮高频压轴题：二次函数一、选择题（本大题共10道小题）1. (2022成都)关于二次函数y=x2+2x－8,下列说法正确的是( )A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(－2,0)和(4,0)D.y的最小值为－92. (2022•广东)把函数y＝(x﹣1)2+2图象向右平移1个单位长度,平移后图象的的数解析式为( )A.y＝x2+2B.y＝(x﹣1)2+1C.y＝(x﹣2)2+2D.y＝(x﹣1)2﹣33. (2022•衢州)二次函数y＝x2的图象平移后经过点(2,0),则下列平移方法正确的是( )A.向左平移2个单位,向下平移2个单位B.向左平移1个单位,向上平移2个单位C.向右平移1个单位,向下平移1个单位D.向右平移2个单位,向上平移1个单位4. (2022•绥化)将抛物线y＝2(x﹣3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是( )A.y＝2(x﹣6)2B.y＝2(x﹣6)2+4C.y＝2x2D.y＝2x2+45. (2022·潜江)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴两个交点间的距离为4,对称轴为直线x＝2,P为这条抛物线的顶点,则点P关于x轴的对称点的坐标是( )A.(2,4)B.(－2,4)C.(－2,－4)D.(2,－4)6. (2022·湖北黄石·中考真题)若二次函数y=ax2-bx-c的图象,过不同的六点A(-1,n)、B(5,n-1)、C(6,n+1)、D(,y1)、E(2,y2)、F(4,y3),则y1、y2、y3的大小关系是( )A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y2<y1<y37. (2022·河北·一模)如图,抛物线y＝a(x-1)2+k(a＞0)经过点(-1,0),顶点为M,过点P(0,a+4)作x轴的平行线1,l与抛物线及其对称轴分别交于点A,B,H.以下结论:①当x＝3.1时,y＞0;②存在点P,使AP＝PH;③(BP-AP)是定值;④设点M关于x轴的对称点为M',当a＝2时,点M′在l下方,其中正确的是( )A.①③B.②③C.②④D.①④8. (2022•滨州)对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c(a、b、c 为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论:①abc＜0,②b2＞4ac,③4a+2b+c＞0,④3a+c＞0,⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数),⑥当x＜﹣1时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为( )A.3B.4C.5D.69. (2022•天津)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0,c＞1)经过点(2,0),其对称轴是直线x.有下列结论:①abc＞0;②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根;③a.其中,正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.310. (2022•石家庄模拟)对于题目:在平面直角坐标系中,直线y=-4x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B,过点A且平行y轴的直5线与过点B且平行x轴的直线相交于点C,若抛物线y=ax2-2ax-3a(a;≠0)与线段BC有唯一公共点,求a的取值范围.甲的计算结果是a≥13乙的计算结果是a≥4,则( )3A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲与乙的结果合在一起正确D.甲与乙的结果合在一起也不正确二、填空题（本大题共8道小题）11. (2021•宝山区一模)如果抛物线y＝m(x+1)2+m(m是常数)的顶点坐标在第二象限,那么它的开口方向.12. (2022·四川中考真题)若实数x,y满足x+y2＝3,设s＝x2+8y2,则s 的取值范围是_____.13. (2022•黔东南州)抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(﹣3,0),对称轴为x＝﹣1,则当y＜0时,x的取值范围是.14. (2022·西藏中考真题)当﹣1≤x≤3时,二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m,则m＝_____.15. (2021·安徽)设抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a,其中a为实数.(1)若抛物线经过点(－1,m),则m＝;(2)将抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a向上平移2个单位,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 .16. (2022·吉林初三一模)二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示,其对称轴与它的图象交于点P,点N是其图象上异于点P的一点,若＝_____.PM⊥y轴,MN⊥x轴,则2MNPM17. (2021·连云港)某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是元.18. (2022·舟山)如图,已知点A1,A2,...,A2022在函数y=x2位于第二象限的图象上,点B1,B2,...,B2022在函数y=x2位于第一象限的图象上,点C1,C2,...,C2022在y轴的正半轴上,若四边形O1A1C1B1,C1A2C2B2,...,C2021A2022C2022B2022都是正方形,则正方形C2021A2022C2022B2022的对角线长为 .三、解答题（本大题共6道小题）19. (2022秋•河西区期末)某种商品每件的进价为30元,在某时间段内若以每件x 元出售,可卖出(100﹣x)件,应如何定价才能使利润最大? (Ⅰ)填空:①当每件以35元出售时,可卖出 件;利润为 元;②当每件以x 元出售时,利润为 元;其中x 的取值范围是 . (Ⅱ)完成对本题的解答:20. (2021·乐山)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上,且经过点A(0,23),B(2,-21). (1)求b 的值(用含a 的代数式表示);(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在1≤x ≤3时,y 的最大值为1,求a 的值;(3)将线段AB 向右平移2个单位长度得到线段A ′B ′.若线段A ′B ′与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ＋4a －1仅有一个交点,求a 的取值范围.21. (2022•甘孜州)某商品的进价为每件40元,在销售过程中发现,每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b,且当售价定为50元/件时,每周销售30件,当售价定为70元/件时,每周销售10件.(1)求k,b的值;(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式,并求出销售该商品每周可获得的最大利润.22. (2022•上海)在平面直角坐标系xOy中,直线y x+5与x轴、y 轴分别交于点A、B(如图).抛物线y＝ax2+bx(a≠0)经过点A.(1)求线段AB的长;(2)如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC,求这条抛物线的表达式;(3)如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内,求a的取值范围.23. (2022·贵州贵阳·中考真题)体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中9-15表示9<x≤15)(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检测需要多少时间?(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?24. (2022·江苏宿迁·中考真题)二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,顶点为E.(1)求这个二次函数的表达式,并写出点E的坐标;(2)如图①,D是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD的垂直平分线恰好经过点C时,求点D的坐标;(3)如图②,P是该二次函数图象上的一个动点,连接OP,取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当△CEQ的面积为12时,求点P的坐标.。

2021年中考数学二轮模块复习高频考点分类精准练（规律探究问题）一．选择题。

1.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2022个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6742.观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．533. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n4. 根据如图中箭头的指向规律,从2019到2020再到2021箭头的方向是以下图示中的( ).5. 将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为( ).A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)6. 如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A 1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( )A．(12)n·75°B．(12)n－1·65° C．(12)n－1·75° D．(12)n·85°7. 在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位．当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是( )A．(66，34) B．(67，33) C．(100，33) D．(99，34)8. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD 先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2021次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( ).A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2) 二．填空题。