相量法的运算公式

U1
解：
•
U 1 = 220
0 ,
•
U 2 = 220
120
+ •
•
U 1 + U2 = 220
0
220 120
-120o
•
U2
•
•
U1+ U2
= 220 (cos0 + j sin 0 ) + 220[cos(120 ) + j sin(120 )] = 110 j190.5 = 1102 + (190.5)2 arctan 190.5 = 220 60
复常数
A(t)包含了三要素：I， ， 复常数包含了I , 。
•
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
13
•
i(t) = 2I cos(t + ) I = I
正弦量的有效值相量表示:
以正弦量的有效值作为相量的模 正弦量的初相位作为相量的幅角
•
u(t) = 2U cos(t + ) U = U
注意:只适用正弦量
Im = 2I
i(t) = Im cos(t + ) = 2I cos(t + )
同理: u(t ) = Um cos(t + ) = 2U cos(t + )
★ 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 2 关系，即
Im = 2I U m = 2U
10
二、 相 量 法 的 基 本 概 念
110
u1(t ) + u2 (t ) = 2 220cos(t 60 )
19
•
•
U 1 U2 = 220
0
220 120

=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：

*注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压 最大值、有效值的符号。 最大值、有效值的符号。 宁波工程学院
i , Im , I
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8-23
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )

①三角函数表示法： u +
u U m sin( t )
②正弦波形图示法: ③ 相量表示法。
(见右图)

0
_
t
正弦量的相量表示法 相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。

正弦量的相量表示法
例 题 把下列电量的相量转换为瞬时值函数式。
(设f=50Hz）
(1) U 100e j 30V

(2) I (60 80 j ) A

(3) U m 20045V

解
(1)u 2U sin(2ft ) 100 2 sin(100t 30)V
6 j


极坐标式为：A r 5
B
5 6

6
+j
0
+1
复数及其运算 复数的运算
1.复数加减法运算
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则有
A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j
例题
把下列正弦量用相量形式表示出来。 t 30)V (1)u 100sin 314tV (2)u 20 2 sin(628
(3)i 5 sin(100 t 60) A

解
(1)U m 1000V (2)U 20 30V (3) I 5 60 A
解
指数式，极坐标式。
1 3 r a 2 b2 ( )2 ( )2 1 2 2

220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t


例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴

2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
U I
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
+j
b
A

Chapter 8 相量法 （Phasor method）
相量 — 用于表示正弦量的复数。 相量法 — 复数分析法
概述 正弦量 正弦量的相量表示和相量的主要性质 电路定律的相量形式
1、正弦量 Am
f (t) = Amcos(t + )
振幅（有效值）、角频率、
0
和初相角三个要素。
T
2、复数几种表示形式
i 2I cos(t i )
U Ue ju U u I Ie ji I i
相量 vs
正弦量
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数（相量） --- 大写+ “.”
u、i U、I Um
U
R 1/jC I
代入元件的VAR，得:
RI
1
jC
I
jLI U s
U
+
s
+ U R
+
U C
jL
+
U
L
I
Us
200
200
R j(L 1C)
1
j(3
1 2
1 3 2
)
1 j
200 2450
2 45 A
3
i 2 cos(3t 45 ) A
UR RI 2 45V
UC
1 jC
I
j1 2
电压、电流关系
瞬时值
有效值
设
u 2U cost
R则
U IR
i 2I cost
相量图
相量式
I U
u、 i 同相

量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；

设相量 A rejψ A 将相顺量时针A 乘旋以转e9-0j9，0 得，到C
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。

I1

630
A

I 2 8 60 A


② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？ ？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式

I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)

I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。

8
相量法的基础(****) §8 - 3 相量法的基础
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义： 相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 例如： 正弦量 i = 220 2 cos(314t − 30 o )A
& = 220 e − j30o A 表示。 表示。 可用相量 I
& = Re[ 2 I e e jω t ] = Re[ 2 I e jω t ]
三、正弦量的运算： 正弦量的运算：
1、同频正弦量的代数和： 、同频正弦量的代数和： i1 = 2 I1 cos(ω t + ψ 1 )A， i2 = 2 I 2 cos(ω t + ψ 2 )A
& & & & i = i1 + i2 = Re[ 2 I1 e jω t ] + Re[ 2 I 2 e jω t ] = Re[ 2 ( I1 + I 2 )e jω t ]
2π ω = 2πf = T
额定值为有效值， 额定值为有效值， 耐压值为最大值。 耐压值为最大值。
热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 ③有效值： 有效值： 周期电流的有效值： 周期电流的有效值： = I 正弦电流的有效值： 正弦电流的有效值：I =
& I =Ie
jψ i
& = ωI e jψ i +90o = ωI e jψ i ⋅e90o = jωI e jψ i = jωI & ∴Y
结论： 正弦量的微分为同频正弦量，对应的相量为原相量乘以 jω。 结论： 正弦量的微分为同频正弦量， 。 注意：不能说“ 的函数。 注意：不能说“相量的导数为相量乘 jω” 。 因为相量不是 t 的函数。 11

例1. 547 10 25 ?
解: 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ? 20 j5
解：上式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
wL ) R
wL
R L
小结
① 正弦量 时域
正弦波形图
相量 频域 相量图
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N
线性
w1
w2
N
线性
w非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
8. 4 电路定律的相量形式
VCR、KCL和KVL
(3) 初相位(initial phase angle)y ：反映了正弦量的计时起点。
(wt+y )表示正弦量随时间变化的
进程,称之为相位角。它的大小决定该
i(t)=Imsin(w t+y)
i
T
时刻正弦量的值。 Im
y/w O
2 twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：| | 。
I
1 T i 2 (t )dt
T0
均方根值
物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的 电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸 收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t+ )