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8、相量法

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第八章 相量法

第八章 相量法

ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL

第8章 相量法

第8章 相量法

Chapter 8 相量法主要内容：1.复数；2.正弦量；3.相量、相量法；4.电路定律的相量形式。

§8-1复数一、复数的几种表示形式1. 代数形式：jb a F +=2. 三角形式：)sin cos ( θθj F F += 欧拉公式 θθθsin cos j e j +=3. 指数形式：θj eF F =4. 极坐标形式：θ∠=F F二、复数的运算1.相等若两复数的实部和虚部分别相等，则这两复数相等；若它们的模相等，辐角相等，则这两复数相等。

2.加减运算)()()()(2121221121b b j a a jb a jb a F F ±+±=+±+=±复数的加减运算可以在复平面上用图形来表示。

求复数之和的运算在复平面上符合平行四边形求和法则。

3.乘法运算)(2122121211θθθθ+==j j j eF F eF eF F F)arg()arg()arg( , 21212121F F F F F F F F +==∴复数相乘时，其模相乘，其辐角相加。

4.除法运算)arg()arg(arg,212121212121221121F F F F F F F F F F F F F F -==∴-∠=∠∠=θθθθ复数相除时，其模相除，其辐角相减。

5.旋转因子 ①)( , ,1θθθθθθ+==∠=a aj j j j eA eA eA A e则若② 1 ,1 , ,222=-=-==-ππππj j jjeej e j e例8-1：设 212121,13510,43F F F F F j F 和求+︒∠=-=。

解：)252543135104321j j j F F +-+-=︒∠+-=+（ ︒∠=+=1435.13.07-4.07j︒∠=︒-∠=︒∠︒-∠=︒∠-=9.1715.01.1885.0135101.535135104321j F F§8-2 正弦量一、正弦量时变电压和电流：随时间变化的电压和电流。

电路第五版 8、相量法

电路第五版 8、相量法

=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：

8.《相量法》

8.《相量法》

电压、电流关系 瞬时值 有效值
相量图
I
功率 相量式 有功功率 无功功率
u
2U sin t
U
R
u
i 2I sin t u、 i 同相 通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗
i 设
u iR
R
U IR
I R U
UI
则
0
L
u
di jX L uL 则 dt jL u
I I I L C R
1 I U jLI L C S jC 1 RI R IC jC
Page 27
8.4 电路定律的相量形式 电感元件VCR的相量形式
i(t) + uL (t) I
i(t )
L
u L(t ) L
di(t ) dt
2I cos(t i )
π ) 2
2 L I cos( t i
+
UL
jL
I I i
UL LI (i 2)
L uS + iL iC C
iR R
U S
j L +
I L
I C
I R
1/j C
R
时域电路
相量模型
Page 34
8.4 电路定律的相量形式
i L iC i R
di 1 L L iC dt uS dt C 1 R i R iC dt C
时域列写微分方程
UI
I jX U C
C sin(t 9 0)
C
U
0
I 2 XC
u落后i 90°
Page 30

8、相量法

8、相量法
如为正弦函数： 如为正弦函数：
•
•
i( t ) = 2I sin(ωt +ψ ) ⇔ I = I∠ψ
u( t ) = 2U sin(ωt +ψ ) ⇔ U = U∠ψ
如函数用最大值表示： 如函数用最大值表示：
•
•
同为 正弦 或 同为 余弦
在同一个电路中的正弦量形式要一致 在同一个电路中的正弦量形式要一致(identical) 正弦量形式要一致
§8. 2 正弦量的相量表示 Phasor Expression of Sinusoidal
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
相量
i = 2 Icos(ωt + ψ )
复函数
I = I∠ ψ
•
A( t ) = 2 Ie
j(ωt +ψ )
= 2 Icos(ωt + ψ ) + j 2 Isin(ωt + ψ )
u, i
u
0
i
ωt
ψu ψi ϕ
同相： 3. ϕ = 0， u与i同相： ， 与 同相 u, i
o 反相： 4. ϕ = ± π (± 180 ) ， u与i反相： ± 与 反相
u, i
0
ωt
u i
i 0
u
ωt
5. ϕ = ± 90°，u与i 正交 ° 与 u, i u i 0 规定： 规定： | ϕ | ≤ π (180°) °
ωt ψ
波形图
补充： 补充：小常识
Supplement: Common Sense
* 电网频率(Power network frequency)： 电网频率( ) 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz •有线通讯频率(wire communication 有线通讯频率( 有线通讯频率 frequency)：300 - 5000 Hz ： •无线通讯频率(Wireless communication)： 无线通讯频率( 无线通讯频率 ： 30 kHz - 3×104 MHz ×

第八章 相量法

第八章 相量法
2
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。

若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图

第08章 相量法

α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念

电路原理课件 第8章 相量法


三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A

8第八章相量法


瞬时功率以2交变。但始终大于零， 表明电阻始终是吸收（消耗）功率。
diL i L L 2.电感L： u L L dt u + L jωL
U L jL I L
I L

U L L I L
即： ψu =ψi +

+
U L


ψu 0
ω L具有 电阻的 量纲！
+j

可看出电感L的电压超前电流 2
初相位 和相位差应取180º~~―180º(主值)范围内。
当0，称u超前i；当0，称u滞后i。
特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i u i
= ( 180o ) ，反相：
u, i i 0 u
0 u, i
u
t
t
=± 90° ，正交
i
0
即u 超前i 90°或 u滞 后 i 90° ，而不说 u t 落后 i 270°或 u领先 i 270°。
+1
同样，正弦电压的相量为
U U u
相量是一个复数， 它表示一个正弦量， 所以在符号 字母上加上一点， 以与一般复数相区别。 特别注意， 相量只能表征或代表正弦量而并不等于正 弦量。 二者不能用等号表示相等的关系，只能有相对 应的关系 . . i (t ) I i (t ) 2 Re I t . . u (t ) U u (t ) 2 Re U t
A
-B O 1 2 实部(+1)
A+B
三角形法则
若A+B+C则
多边形法则
B 四边形法则
三.复数的乘除 →通常采用极坐标式

第八章 相量法

I
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60

41 . 9
60


41 . 9
30


30

Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1

j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B

A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j


e e
2 j
j

2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
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热效应( 热效应(Heat Effect)相当 )
则有
∫
T
0
i R dt = I RT
交流 直流
2
2
I =
1 T
∫
T
0
i dt
2
当 i = I m cos
i
(ω t +ϕ) 时，可得
Im I = 2
有效值必须大写 有效值必须大写 如：U、I 、
注意
问题与讨论 (Questions and Discussions) 的电器， 的线路上? 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? 电器 最高耐压 =300V
o
u 2 ( t ) = 4 2 cos( 314 t + 62 o ) V
求
( 1)
u=u1+u2
& U 2 = 4∠60o V
= 9.67∠ 41.9 V
o
& 解 : U1 = 6∠30o V
= 7.196 + j 6.464
& & & U = U 1 + U 2 = 6∠ 30o + 4∠60o = 5.196 + j 3 + 2 + j 3.464
ωt
ϕu ϕi ϕ
同相： 3. ϕ = 0， u与i同相： ， 与 同相 u, i
o 反相： 4. ϕ = ± π (± 180 ) ， u与i反相： ± 与 反相
u, i
0
ωt
u i
i 0
u
ωt
5. ϕ = ± 90°，u与i 正交 ° 与 u, i u i 0
ωt
四、交流电的计算存在问题？ 交流电的计算存在问题？ 问题
F = Fe
jθ
cos θ + j sin θ = e
F = F ∠θ
旋转因子： 旋转因子：
e jϕ = 1∠ϕ
j F１ F1 +1 j F１ F1 +1
任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个ϕ角
例
F=F1e j ϕ
例
F=F1e
jωt
ϕ
ωt
以ω的角速度逆时针旋转 的角速度逆时针旋转
如函数用最大值表示： 如函数用最大值表示：
⇔U
•
⇔ I = I∠ϕ
•
•
= U∠ϕ
同为 正弦 或 同为 余弦
在同一个电路中的正弦量形式要一致 在同一个电路中的正弦量形式要一致(identical) 正弦量形式要一致
i ( t ) = I m sin( ω t + ψ ) ⇔ I m = I m ∠ ψ
2.极坐标式化成代数式 极坐标式化成代数式 例如： 例如： 5 /53.1º = 3+ j4 按键步骤： 按键步骤： 5 a 53.13 b 2ndF b(→xy) 显示实部3， 显示实部 ，b 显示虑部
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在 正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。 定性分析 正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
u( t ) = U m cos(ωt +ψ ) ⇔ U m = U m ∠ ψ
由相量还原正弦量时要注意是有效值还是最大值 由相量还原正弦量时要注意是有效值还是最大值 有效值还是
•
三、相量运算(Phasor Operation)： 同频率正弦量相加减 相量运算 ： 1.
已知 : u1 ( t ) = 6 2 cosBiblioteka 314 t + 31 ) V
∴ u (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = 9.67 2cos(314t + 41.9 o ) V
注意：还原时，要为对应的余弦量形式 注意：还原时，要为对应的余弦量形式 对应的余弦量
1.代数式化成极坐标式 代数式化成极坐标式 例如： 例如： 3 + j 4 = 5 /53.13º 按键步骤 3 a 4 b 2ndF a (rθ)显示模 ，b显示角 显示模5， 显示角 显示角53.13º 显示模
F = a 2 + b2
b θ = arctan a
j = −1
F = a + jb Results
Re[F ] ② 三角函数形式
Imaginary
Im[F ]
θ
a 复平面
+1 链接 欧拉 公式
jθ
F = F cosθ + j F sin θ = F (cosθ + j sin θ)
③ 指数形式 ④ 极坐标形式
第八章
相量法 ( Phasor Method )
§8-1正弦量 正弦量 §8-2 复数及正弦量相量表示 §8-2 电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系 电阻、
§8-1正弦量 正弦量
包括正弦函数 和余弦函数cos 包括正弦函数sin和余弦函数 正弦函数
一、正弦量的三要素： 正弦量的三要素：
f (t ) = Fm cos(ωt + ϕ )
链接 相位差 动画
相位差 ϕ = (ω t+ ϕu) - (ω t+ ϕi)= ϕu - ϕi
| ϕ | ≤ π (180°) °
1. ϕ >0， u 领先 超前 ，或i 落后 滞后 u 超前)i 落后(滞后 滞后) ， 领先(超前
u, i
u
0
i
超前) 2. ϕ <0， i 领先 超前 u， ， 领先(超前 ， 落后(滞后 滞后) 或u 落后 滞后 i
的正弦函数， 同一频率的正弦函数，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电的优越性(Merit)： 正弦交流电的优越性 ：
1、便于传输(transmit easily)； 、便于传输 ； 2、有利于电器设备的运行(be good for electric device operation)； 、有利于电器设备的运行 ；
~ 220V
有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um =
2 220V = 311V ⋅
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值， 该用电器最高耐压低于电源电压的最大值， 不能用。 所以不能用 所以不能用。
三、同频率正弦量的相位差 同频率正弦量的相位差: 正弦量的相位差 Phasor Difference of The Same Sequence Sinusoidal 设 u(t)=Umcos(ω t+ ϕ u) i(t)=Imcos(ω t+ ϕi ) 同为余弦或正弦 同频率
L + uS iL 1 iC C 2
iR R
已知 : u s = 50 cos (314t − 65 )V
o
Ｒ、Ｌ、Ｃ 求：
i L、 iC 、 i R
繁琐困难
d t = uS
i L = iC + i R
di L 1 L + dt C
∫i
C
1 R iR = C
∫i
C
dt
§8－２ 复数及正弦量相量表示 － 一、复数的表示形式： 复数的表示形式： ① 代数形式 j b F × F
正弦电流电路相量分析法过程示意如图
正弦电 流电路
×
建立含微积分 的电路方程 时域分析过程) (时域分析过程)
×
得时域响 应表达式
(1) 相量正变换
(3)相量反变换 相量反变换
相量电路模型
用线性直流电路的分析方法 建立复数形式电路方程
得频域响 应相量
正弦电流电路相量分析法过程示意图
§8-３ 电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系 ３ 电阻、
一、电阻： 电阻： i(t) + R uR(t) 时域模形
已知 i (t ) = 2I cos(ωt + ψ )
则
•
u (t ) = Ri (t ) = 2RI cos(ωt + ψ )
R
相量形式： 相量形式：
I = I∠ ψ
U R = RI∠ψ = R I
•
•
电阻相量关系： 电阻相量关系：
& I
+
i (t ) = 2 I cos ωt U = jω I & L&
感抗 XL=ω L= 2π f L π 单位: 单位 欧
& U
有效值关系 U=ω L I 相位关系: 相位关系 u 超前 i 90° ° i 滞后 90° 滞后u °
补充： 补充：小常识 Supplement: Common Sense
•电网频率(Power network frequency)： 电网频率( 电网频率 ) 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz •有线通信频率(wire communication frequency)： 有线通信频率( 有线通信频率 ： 300 ~5000 Hz •无线通信频率(Wireless communication)： 无线通信频率( 无线通信频率 ： 30 kHz - 3×104 MHz ×
c 3×108 天线的长度一般是( 1 ~ 1 )λ λ= = 4 8 f f
补充： 补充：正弦交流电路 Supplement: Sinusoidal Alternative Circuit
如果在线性电路中， 全部激励 如果在线性电路中，如果全部激励都是同一频率
全部稳态响应 (frequency)的正弦函数，则电路中的全部稳态响应，也将是 )的正弦函数，
Im
& U
& U2 & U1
Im
& U
& U2 & U1
30o